SLIDE 1
Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Volume ¡by ¡cross-‑sec:ons ¡
- Goal: ¡Find ¡the ¡volume ¡of ¡a ¡solid. ¡
- Method: ¡slice ¡the ¡solid ¡into ¡pieces ¡and ¡sum ¡them ¡up. ¡
Math 104 Calculus 6.1 Volume by Cross-sec:ons - - PowerPoint PPT Presentation
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Math 104 Calculus 6.1 Volume by Cross-sec:ons Math 104 - Yu Volume by cross-sec:ons Goal: Find the volume of a solid.
SLIDE 2
SLIDE 3
Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Volume ¡by ¡cross-‑sec:ons ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
- ¡ ¡ ¡ ¡
The Riemann sum
n
X
k=1
A(xk)∆xk converges to an integral. lim
∆xk→0 n
X
k=1
A(xk)∆xk = Z b
a
A(x) dx
SLIDE 4
Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Volume ¡by ¡cross-‑sec:ons ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
SLIDE 5
Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Example ¡
Find ¡the ¡volume ¡of ¡the ¡given ¡pyramid, ¡which ¡has ¡a ¡square ¡base ¡of ¡side-‑ length ¡3m ¡and ¡height ¡5m. ¡ ¡(Anima:on) ¡
SLIDE 6
Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Example ¡
The ¡base ¡of ¡the ¡solid ¡is ¡a ¡quarter ¡of ¡a ¡disk ¡of ¡radius ¡1. ¡The ¡cross-‑sec:ons ¡by ¡ planes ¡perpendicular ¡to ¡the ¡x-‑axis ¡are ¡squares ¡with ¡one ¡side ¡on ¡the ¡disk. ¡ ¡ 1) Find ¡the ¡volume. ¡(Anima:on) ¡ 2) What ¡if ¡the ¡cross-‑sec:ons ¡are ¡isosceles ¡right ¡triangles ¡with ¡one ¡leg ¡on ¡the ¡ quarter ¡disk? ¡ 3) What ¡if ¡the ¡cross-‑sec:ons ¡are ¡isosceles ¡right ¡triangles ¡with ¡one ¡leg ¡on ¡the ¡ quarter ¡disk? ¡ 4) What ¡if ¡the ¡cross-‑sec:ons ¡are ¡equilateral ¡triangles? ¡ ¡
SLIDE 7
Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Solids ¡of ¡Revolu:on ¡
- A ¡solid ¡of ¡revolu,on ¡is ¡obtained ¡by ¡rota:ng ¡a ¡plane ¡
region ¡about ¡an ¡axis. ¡
SLIDE 8
Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Solids ¡of ¡Revolu:on ¡
- One ¡way ¡to ¡calculate ¡its ¡volume ¡is ¡by ¡using ¡cross-‑sec:ons
¡ perpendicular ¡to ¡the ¡rota:on ¡axis. ¡
- First ¡case: ¡no ¡gap ¡between ¡the ¡region ¡and ¡the ¡axis, ¡“Disk ¡
Method” ¡
SLIDE 9
Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Solid ¡of ¡Revolu:on ¡
- Second ¡case: ¡there ¡is ¡gap ¡between ¡the ¡region ¡and ¡the ¡
axis, ¡“Washer ¡Method” ¡
SLIDE 10
Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Disk ¡Method ¡
- Disk ¡Method ¡with ¡horizontal ¡axis ¡of ¡rota:on ¡(not ¡necessarily ¡the ¡x-‑
axis) ¡
Area of cross-sections: A(x) = π[R(x)]2 R(x) = radius as function in x
Volume = Z b
a
A(x) dx = Z b
a
π[R(x)]2 dx
SLIDE 11
Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Example ¡
¡ ¡ ¡ ¡
Calculate the volume of the solid generated by rotating the region between the curves y = √x and y = 0 about the x-axis.
SLIDE 12
Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Disk ¡Method ¡
- Disk ¡Method ¡with ¡ver:cal ¡axis ¡of ¡rota:on ¡(not ¡necessarily ¡the ¡y-‑
axis) ¡
R(y) = radius as function in y Area of cross-sections: A(y) = π[R(y)]2
Volume = Z b
a
A(y) dy = Z b
a
π[R(y)]2 dy
SLIDE 13
Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Example ¡
¡ ¡ ¡ ¡
Calculate the volume of the solid generated by rotating the region between the curves y = x3, y = 8, and x = 0 about the y-axis
SLIDE 14
Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Example ¡
The ¡semi-‑circle ¡of ¡radius ¡a ¡is ¡revolved ¡around ¡the ¡x-‑axis ¡to ¡give ¡a ¡
- sphere. ¡Find ¡its ¡volume. ¡ ¡ ¡
SLIDE 15
Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Washer ¡Method ¡
- Washer ¡Method ¡with ¡horizontal ¡axis ¡of ¡rota:on ¡(not ¡necessarily ¡the
¡ x-‑axis) ¡
R(x) = Outer Radius r(x) = Inner Radius Volume = Z b
a
π[R(x)2 − r(x)2] dx
SLIDE 16
Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Washer ¡Method ¡
- Washer ¡Method ¡with ¡ver:cal ¡axis ¡of ¡rota:on ¡(not ¡necessarily ¡the ¡y-‑
axis) ¡ ¡
Rotate ¡about ¡the ¡y-‑axis ¡
R(y) = Outer Radius r(y) = Inner Radius Volume = Z b
a
π[R(y)2 − r(y)2] dy
SLIDE 17
Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Example ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
Calculate the volume of the solid generated by rotating the region between the curves y = √x and y = x2 around the y-axis
SLIDE 18
Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Example ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡
Calculate the volume of the solid generated by rotating the region between the curves y = 4 − x2 and y = 0 about the line y = −2