Math 104 Calculus 10.1 Sequences Math 104 - Yu - - PowerPoint PPT Presentation

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Math ¡104 ¡– ¡Calculus ¡ 10.1 ¡Sequences ¡

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Infinite ¡sequences ¡

¡ ¡ ¡

• A sequence is an ordered list of numbers {a1, a2, a3, · · · , an, · · · }.
• If we have an formula for the n-th term we usually write {an} or

{an}∞

n=1.

Example: ⇢ n (n + 1)2 ∞

n=1

= ⇢1 4, 2 9, 3 16, · · ·

• Note that the index does not have to start with 1.

Example: n n 2n

• ∞

n=3 =

⇢3 8, 4 16, 5 32, · · ·

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Graphing ¡sequences ¡

¡ ¡

10.1 Sequence

( )

2

1

n

n a n = +

: positive integers : terms of the sequence input

• utput

1 2 3 4 5 1, , 2, , 3, , 4, , 5, , 4 9 16 25 36                               … These isolated points make up the graph of the sequence. It seems as though the terms of the sequence are approaching 0 as n → ∞

( )

2

lim 1

n

n n

→∞

+ =

2

lim 2 1

n

n n n

→∞

= + +

2

1 2 1

lim1

n n n n →∞

= + + 0 0

( ) ( )

when deg . deg. . num denom <

( ) ( ) ( )

lim and polynomials

n

p n p q q n

→∞

=

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Limit ¡of ¡a ¡sequence ¡

¡ ¡ ¡ ¡

• In general, if the terms of a sequence are approaching a finite number

L, we say that the sequence converges to L, and write lim

n→∞ an = L

• r an → L when n → ∞.
• If the limit does not exists, we say that the sequence diverges.
• If lim

n→∞ an = ∞ we say that the sequence diverges to infinity. If

lim

n→∞ an = −∞, we say that the sequence diverges to negative

infinity.

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Examples ¡

¡ ¡


 
 converges to 0.
 
 
 ⇢ 1 n

• =

⇢ 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5 . . .

diverges.
 
 
 {(−1)n} = {−1, 1, −1, 1, −1, . . . }


 
 diverges to ⇢ n2 n + 2

• =

⇢1 3, 4 4, 9 5, 16 6 , 25 7 . . .

• ∞.

n cos(nπ 2 )

• = {0, −1, 0, 1, 0, −1, 0, 1, . . .} diverges

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OperaDons ¡on ¡limits ¡

¡ ¡ ¡ ¡

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Sandwich ¡theorem ¡

¡ ¡ ¡!

!

Example: lim cos(n) n = 0, since −1 n ≤ cos(n) n ≤ 1 n.

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Ideas ¡from ¡limits ¡of ¡funcDons ¡

¡ ¡ ¡

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Examples ¡

Determine ¡if ¡the ¡following ¡sequences ¡converge ¡or ¡diverge. ¡If ¡the ¡ sequence ¡converges, ¡find ¡the ¡limit. ¡

• 1. 



 
 
 2.

!

3.

!

4. ⇢3n + 4 5n − 2

• (r

n + 1 9n + 1 ) ⇢(−1)n log n n

• ⇢

sin ✓ πn2 2n2 + 2n + 4 ◆

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Well-­‑known ¡limits ¡

¡ ¡ ¡

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Other ¡useful ¡rules ¡

¡ ¡ ¡ ¡

• 2. ¡
• 1. If lim

n→∞ |an| = 0, then lim n→∞ an = 0.

{ }

convergent to 0 if 1 1

• 3. The sequence

is convergent to 1 1 divergent for all other values of

n

r r r r − < <   =   

r

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Monotonic ¡Sequence ¡

¡ ¡