Math 104 Calculus 6.3 Arc Length Math 104 - - PowerPoint PPT Presentation

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Math ¡104 ¡– ¡Calculus ¡ 6.3 ¡Arc ¡Length ¡ ¡ ¡

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Arc ¡Length ¡

• To ¡approximate ¡the ¡length ¡of ¡a ¡smooth ¡curve ¡y=f(x) ¡we ¡

take ¡a ¡parHHon ¡and ¡sum ¡the ¡length ¡of ¡the ¡segments. ¡

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Riemann ¡Sum ¡ApproximaHon ¡

¡ ¡ ¡ ¡

The length of a segment Pk1Pk (hypotenuse) is p (∆xk)2 + (∆yk)2. It is close to the tangent line, so ∆yk ≈ f 0(xk)∆xk.

p (∆xk)2 + (∆yk)2 ≈ p (∆xk)2[1 + f 0(xk)2] = p 1 + f 0(xk)2∆xk. lim

n!1 n

X

k=1

p 1 + f 0(xk)2∆xk = Z b

a

p 1 + f 0(x)2 dx

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Arc ¡Length ¡Formula ¡

¡ ¡ ¡

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Examples ¡

¡ ¡ ¡

• 1. Find the length of the curve x = 2

3(1 + y2)

3 2 , 0 ≤ y ≤ 3.

• 2. Find the length of the curve y = 1 + 2

3(x − 1)

3 2 , 1 ≤ x ≤ 4.

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Example ¡(cont.) ¡

¡ ¡ ¡

• 3. Find the length of the curve y = x2 − ln x

8 , 1 ≤ x ≤ 2.

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Trick ¡to ¡remember ¡

• The ¡total ¡length ¡is ¡the ¡integral ¡of ¡the ¡infinitesimal ¡

displacement ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡along ¡the ¡curve. ¡

ds ds2 = dx2 + dy2 ds = p dx2 + dy2

y=f(x) ¡ x=g(y) ¡ ds ¡ s 1 + ✓dx dy ◆2 dy s 1 + ✓dy dx ◆2 dx