Math ¡104 ¡– ¡Calculus ¡ 6.3 ¡Arc ¡Length ¡ ¡ ¡ Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Arc ¡Length ¡ • To ¡approximate ¡the ¡length ¡of ¡a ¡smooth ¡curve ¡y=f(x) ¡we ¡ take ¡a ¡parHHon ¡and ¡sum ¡the ¡length ¡of ¡the ¡segments. ¡ Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Riemann ¡Sum ¡ApproximaHon ¡ ( ∆ x k ) 2 + ( ∆ y k ) 2 . It is ¡ ¡ ¡ ¡ p The length of a segment P k � 1 P k (hypotenuse) is close to the tangent line, so ∆ y k ≈ f 0 ( x k ) ∆ x k . ( ∆ x k ) 2 + ( ∆ y k ) 2 ≈ p p p ( ∆ x k ) 2 [1 + f 0 ( x k ) 2 ] = 1 + f 0 ( x k ) 2 ∆ x k . Z b n X 1 + f 0 ( x ) 2 dx p p lim 1 + f 0 ( x k ) 2 ∆ x k = n !1 a k =1 Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Arc ¡Length ¡Formula ¡ ¡ ¡ ¡ Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Examples ¡ 1. Find the length of the curve x = 2 ¡ ¡ ¡ 3 2 , 0 ≤ y ≤ 3. 3(1 + y 2 ) 2. Find the length of the curve y = 1 + 2 3 2 , 1 ≤ x ≤ 4. 3( x − 1) Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Example ¡(cont.) ¡ 3. Find the length of the curve y = x 2 − ln x ¡ ¡ ¡ 8 , 1 ≤ x ≤ 2. Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Trick ¡to ¡remember ¡ • The ¡total ¡length ¡is ¡the ¡integral ¡of ¡the ¡infinitesimal ¡ displacement ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡along ¡the ¡curve. ¡ ds ds 2 = dx 2 + dy 2 p dx 2 + dy 2 ds = y=f(x) ¡ x=g(y) ¡ s s ◆ 2 ◆ 2 ✓ dx ✓ dy ds ¡ 1 + dy 1 + dx dy dx Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
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