Math 104 Calculus 10.2 Infinite Series Math 104 - - - PowerPoint PPT Presentation

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Math ¡104 ¡– ¡Calculus ¡ 10.2 ¡Infinite ¡Series ¡

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Infinite ¡series ¡

• Given ¡a ¡sequence ¡we ¡try ¡to ¡make ¡sense ¡of ¡the ¡infinite ¡

sum ¡of ¡its ¡terms. ¡ ¡ ¡

• Example: an = 1

2n s1 = a1 = 1 2 s2 = a1 + a2 = 1 2 + 1 4 = 0.75 s3 = a1 + a2 + a3 = 1 2 + 1 4 + 1 8 = 0.875 s8 = a1 + · · · + a8 = 1 2 + · · · + 1 256 = 0.996 s20 = 0.99999905

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Infinite ¡series ¡

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Geometric ¡series ¡

¡ ¡ ¡ ¡

Geometric series

• A geometric series is one in which each term is obtained

from the preceding one by multiplying it by the common ratio r.
 
 


∞

X

k=1

arn−1 = a + ar + ar2 + ar3 + · · ·

• Does not converge for some values of r

r = 1 then

∞

X

k=1

arn−1 = a + a + a + a + · · · → ∞ r = −1 then

∞

X

k=1

arn−1 = −a + a − a + a − a · · ·

• We have

sn = a + ar + ar2 + · · · + arn−1 rsn = ar + ar2 + ar3 + · · · + arn sn − rsn = a − arn sn = a(1 − rn) 1 − r

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Geometric ¡series ¡

¡ ¡ ¡

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Geometric ¡series ¡

¡ ¡ ¡ ¡

∞

X

n=1

1 4n = 1 3

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RepeaEng ¡decimals ¡

¡ ¡ ¡

• We can use geometric series to convert repeating

decimals to fractions.

• Example: 1.23 = 1.2323232323 . . .

1.23 = 1 + 23 100 + 23 10000 + 23 1000000 + · · · 1.23 = 1 +

∞

X

n=1

23 100n = 1 + 23/100 1 − 1/100 = 1 + 23/100 99/100 = 1 + 23 99 = 122 99

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Telescoping ¡series ¡

¡ ¡ ¡ ¡

• A telescoping series is one in which the middle terms

cancel and the sum collapses into just a few terms.


• Find the sum of the following series:



 1.
 
 
 2.
 
 
 3.

∞

X

n=1

✓ 3 n2 − 3 (n + 1)2 ◆

∞

X

n=1

3 k(k + 3)

∞

X

n=1

✓ 1 ln(n + 2) − 1 ln(n + 1) ◆

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Divergence ¡Test ¡

¡ ¡ ¡ ¡ Proof: an =

n

X

k=1

ak −

n−1

X

k=1

ak = sn − sn−1 → L − L = 0.

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Examples ¡

¡ ¡ ¡ ¡

• 1. Does

converge?
 
 
 
 


• 2. Does

converge?

! ∞

X

n=1

3n2 n(n + 1)

∞

X

n=1

sin(n) Remark: The converse is not true but diverges!

∞

X

n=1

1 n 1 n → 0

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ProperEes ¡of ¡convergence ¡

¡ ¡ ¡ ¡ Example:

∞

X

n=1

3 2n = 3

∞

X

n=1

1 2n = 3 · 1 = 3.

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Reindexing ¡series ¡

¡ ¡ ¡ ¡