Math 104 Calculus 8.5 Par6al Frac6ons Math 104 - - PowerPoint PPT Presentation

Math ¡104 ¡– ¡Calculus ¡ 8.5 ¡Par6al ¡Frac6ons ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Par6al ¡Frac6ons ¡ ¡ ¡ • Goal: To be able to integrate rational functions (quotients of polynomials). 
 • Method: Partial fraction decomposition. Write p(x)/q(x) as a sum of functions that are easy to integrate. 
 • Description: Write q(x) as a product of linear factors and irreducible quadratic factors. Decompose the rational function in a sum of simpler fractions. 
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 Easy ¡Cases ¡ Z 1 ¡ ¡ • 
 x + 3 dx = ln | x + 3 | + C 1 − 1 Z • 
 ( x − 2) 2 dx = x − 2 + C Z ⇣ x x 2 + 4 dx = 1 1 ⌘ • 
 + C 2 arctan 2 x 2 + 7 dx = 1 x Z 2 log( x 2 + 7) + C Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Review ¡of ¡Algebra ¡ ¡ ¡ ¡ ( ) reducible Polynomials that can be factored over the reals are called . ( ) Polynomials that can't be factored over the reals are called irreducible . Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Fundamental ¡Theorem ¡of ¡Algebra ¡ • Every polynomial of degree n > 0, with real coefficients ¡ ¡ can be written as a product of linear and/or irreducible quadratic factors. ⇒ ax 2 + bx + c b 2 − 4 ac < 0 = • is irreducible. • Irreducible quadratic cannot be factored as a product of two linear factors. Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡


 
 
 
 
 Sketch ¡of ¡Method ¡ • If ¡degree ¡of ¡p(x) ¡is ¡greater ¡than ¡degree ¡of ¡q(x), ¡do ¡long ¡division ¡ first. ¡We ¡get ¡a ¡sum ¡of ¡a ¡quo6ent ¡polynomial ¡and ¡a ¡ proper ¡ frac6on ¡ x 2 + 2 3 ¡ x − 1 = x + 1 + x − 1 • Decompose ¡the ¡proper ¡frac6on ¡into ¡a ¡sum ¡of ¡par6al ¡frac6ons: ¡ 6 x A B Linear 
 ( x +3)(2 x − 5) = x +3 + 2 x − 5 x 2 +6 x − 4 A B C Powers of linear 
 = x − 3 + ( x − 3) 2 + ( x − 3) 3 ( x − 3) 3 x +5 x +1 + Bx + C A Irreducible quadratic 
 ( x +1)( x 2 +9) = x 2 +9 • Use ¡algebra ¡to ¡solve ¡for ¡the ¡constants ¡(compare ¡coefficients ¡or ¡ evaluate ¡at ¡special ¡values) ¡ • Integrate ¡the ¡quo6ent ¡polynomial ¡and ¡par6al ¡frac6ons. ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Method ¡Descrip6on ¡ ¡ ¡ ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡


 
 
 Examples ¡ Z 2 x − 12 ¡ ¡ 1. Evaluate 
 x 2 + 3 x − 18 dx 0 Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Examples ¡ 2 x + 8 Z ¡ ¡ 2. Find 
 x 3 − 4 x 2 + 4 xdx Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Examples ¡ 6 x 2 − 23 x + 58 Z ¡ ¡ 3. Find ( x − 2)( x 2 − 4 x + 13) dx Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Examples ¡ Z x 3 − 2 x 2 + 18 x − 29 ¡ ¡ 4. Find dx x 2 + 16 Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Heaviside ¡“Cover-­‑up” ¡Method ¡ ¡ ¡ ¡ Only ¡works ¡ when ¡linear ¡ factors ¡have ¡ exponents ¡= ¡1 ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡