Math 104 Calculus 8.5 Par6al Frac6ons Math 104 - - - PowerPoint PPT Presentation

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Math ¡104 ¡– ¡Calculus ¡ 8.5 ¡Par6al ¡Frac6ons ¡

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Par6al ¡Frac6ons ¡

¡ ¡

• Goal: To be able to integrate rational functions (quotients
• f polynomials).

• Method: Partial fraction decomposition. Write p(x)/q(x)

as a sum of functions that are easy to integrate.


• Description: Write q(x) as a product of linear factors and

irreducible quadratic factors. Decompose the rational function in a sum of simpler fractions.


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Easy ¡Cases ¡

¡ ¡


 Z 1 x + 3dx = ln |x + 3| + C Z 1 (x − 2)2 dx = −1 x − 2 + C Z 1 x2 + 4dx = 1 2 arctan ⇣x 2 ⌘ + C Z x x2 + 7dx = 1 2 log(x2 + 7) + C

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Review ¡of ¡Algebra ¡

¡ ¡ ¡

( )

Polynomials that can be factored over the reals are called . reducible

( )

Polynomials that be factored over the reals are called . can't irreducible

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Fundamental ¡Theorem ¡of ¡Algebra ¡

¡ ¡

• Every polynomial of degree n > 0, with real coefficients

can be written as a product of linear and/or irreducible quadratic factors.

• is irreducible.

b2 − 4ac < 0 = ⇒ ax2 + bx + c

• Irreducible quadratic cannot be factored as a product of

two linear factors.

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Sketch ¡of ¡Method ¡

• If ¡degree ¡of ¡p(x) ¡is ¡greater ¡than ¡degree ¡of ¡q(x), ¡do ¡long ¡division ¡
• first. ¡We ¡get ¡a ¡sum ¡of ¡a ¡quo6ent ¡polynomial ¡and ¡a ¡proper ¡

frac6on ¡ ¡

• Decompose ¡the ¡proper ¡frac6on ¡into ¡a ¡sum ¡of ¡par6al ¡frac6ons: ¡
• Use ¡algebra ¡to ¡solve ¡for ¡the ¡constants ¡(compare ¡coefficients ¡or ¡

evaluate ¡at ¡special ¡values) ¡

• Integrate ¡the ¡quo6ent ¡polynomial ¡and ¡par6al ¡frac6ons. ¡

x2 + 2 x − 1 = x + 1 + 3 x − 1


 Linear
 


6x (x+3)(2x−5) = A x+3 + B 2x−5


 Powers of linear
 


x2+6x−4 (x−3)3

=

A x−3 + B (x−3)2 + C (x−3)3


 Irreducible quadratic


x+5 (x+1)(x2+9) = A x+1 + Bx+C x2+9

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Method ¡Descrip6on ¡

¡ ¡ ¡

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Examples ¡

¡ ¡

• 1. Evaluate



 
 Z 2 x − 12 x2 + 3x − 18dx

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Examples ¡

¡ ¡

• 2. Find


Z 2x + 8 x3 − 4x2 + 4xdx

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Examples ¡

¡ ¡

• 3. Find

Z 6x2 − 23x + 58 (x − 2)(x2 − 4x + 13) dx

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Examples ¡

¡ ¡

• 4. Find

Z x3 − 2x2 + 18x − 29 x2 + 16 dx

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Heaviside ¡“Cover-­‑up” ¡Method ¡

¡ ¡ ¡

Only ¡works ¡ when ¡linear ¡ factors ¡have ¡ exponents ¡= ¡1 ¡