Math 104 Calculus 8.4 Trigonometric Subs=tu=ons Math 104 - PowerPoint PPT Presentation

Math ¡104 ¡– ¡Calculus ¡ 8.4 ¡Trigonometric ¡Subs=tu=ons ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Trigonometric ¡subs=tu=on ¡ ¡ • Some=mes ¡it ¡is ¡very ¡helpful ¡to ¡use ¡trigonometric ¡iden==es ¡to ¡ simplify ¡involving ¡radical ¡expressions. ¡ • It ¡can ¡be ¡used ¡to ¡evaluate ¡integrals ¡containing ¡the ¡following ¡ expressions: ¡ √ a 2 − x 2 1. 1 √ a 2 + x 2 or 2. a 2 + x 2 √ x 2 − a 2 3. • Don’t ¡forget ¡to ¡change ¡the ¡limits ¡of ¡the ¡definite ¡integrals! ¡ ¡ ¡ ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡


 
 
 
 Square ¡root ¡of ¡a 2 ¡ -­‑ ¡x 2 ¡ ¡ ¡ Let x = a sin θ a 2 − a 2 sin 2 θ p a 2 − x 2 = p Then 
 q a 2 (1 − sin 2 θ ) = √ a 2 cos 2 θ = = a | cos θ | We have θ = arcsin x a Since − a ≤ x ≤ a , Then − π 2 ≤ θ ≤ π 2 and cos θ ≥ 0. √ a 2 − x 2 = a cos θ . Thus Nicolas Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡


 
 
 Example ¡ Z √ 2 dx ¡ ¡ ¡ 1. Evaluate 
 x 2 √ 4 − x 2 1 Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡ 2. ¡Find ¡the ¡area ¡of ¡the ¡unit ¡disk. ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Tips ¡ ¡ ¡ ¡ To evaluate a definite integral we either undo the change of variable, or find the limits in the new variable θ . To undo the change of variable we use the reference triangle to find formulas for functions of θ . To find the new limits we use inverse trig. functions. Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡


 
 
 
 Square ¡root ¡of ¡a 2 ¡ + ¡x 2 ¡ Integrals with square root of a +x Let x = a tan θ ¡ ¡ ¡ ¡ p a 2 + a 2 tan 2 θ p a 2 + x 2 = Then 
 q a 2 (1 + tan 2 θ ) = a 2 sec 2 θ √ = = a | sec θ | We have θ = arctan x a Since x can be any real number, Then − π 2 < θ < π 2 and sec θ ≥ 1. √ a 2 + x 2 = a sec θ . Thus Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡


 Example ¡ Z 1 3. Find ¡ ¡ ¡ 1 + x 2 dx ! ! ! Z 1 dx 4. Evaluate ( x 2 + 4) 3 / 2 0 Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡


 
 
 
 Square ¡root ¡of ¡x 2 ¡ -­‑ ¡a 2 ¡ Let x = a sec θ ¡ ¡ x 2 − a 2 = a 2 sec 2 θ − a 2 p p Then a 2 (sec 2 θ − 1) p = p a 2 tan 2 θ = = a | tan θ | We have θ = sec − 1 x a , note that | x | ≥ a 1. If x ≥ a then 0 ≤ θ < π 2 , √ x 2 − a 2 = a tan θ . 2. If x ≤ − a then π 2 < θ ≤ π , √ x 2 − a 2 = − a tan θ . Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡ Z dx 5. Evaluate . ¡ ¡ √ 9 x 2 − 4 Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Summary ¡ ¡ ¡ 2 2 2 2 2 2 3. x − L e t = s e c θ L e t = s i n θ L e t = t a n θ 1. a − 2. a + a x a x a x a x x 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 ( ) 2 2 ( ) 2 − − sin θ + = + tan θ − = sec θ − = a x a a a x a a x a a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − θ tan θ sec θ − = sin = + = a a a a a a ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 sin − θ = 1 + tan θ = sec θ − 1 = a a a 2 2 2 2 2 2 = cos θ = sec θ = tan θ a a a x ≥ a 2 2 2 2 2 2 for x > − = cos θ + = sec θ − = tan θ a a x a a x a x a a 2 2 x ≤ − a − = − tan θ for x < − x ⇒ x a a a x ⇒ = tan θ = tan θ = sin θ = sin θ x a x a x ⇒ a a − π 2 < θ < π − π π = sec θ = sec θ x a ≤ θ ≤ − π π 2 2 a 2 ≤ θ ≤ π 0 ≤ θ < 2 2 2 π 2 2 + a < θ ≤ π a x 2 2 2 x x x − x a θ θ θ a 2 2 − a x a Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡


 
 Comple=ng ¡squares ¡ Z 2 dx ¡ ¡ ¡ 6. Evaluate √ 4 x − x 2 1 Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Remember ¡u-­‑subsitu=on ¡ ¡ ¡ ¡ x Z • Evaluate dx x 2 + 4 √ ! ! • Don’t use a trig. substitution if a u-substitution is easier. Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡