Math 104 Calculus 8.4 Trigonometric Subs=tu=ons Math 104 - - PowerPoint PPT Presentation

SLIDE 1

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Math ¡104 ¡– ¡Calculus ¡ 8.4 ¡Trigonometric ¡Subs=tu=ons ¡

SLIDE 2

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Trigonometric ¡subs=tu=on ¡ ¡

• Some=mes ¡it ¡is ¡very ¡helpful ¡to ¡use ¡trigonometric ¡iden==es ¡to ¡

simplify ¡involving ¡radical ¡expressions. ¡

• It ¡can ¡be ¡used ¡to ¡evaluate ¡integrals ¡containing ¡the ¡following ¡

expressions: ¡

• Don’t ¡forget ¡to ¡change ¡the ¡limits ¡of ¡the ¡definite ¡integrals! ¡

¡ ¡ ¡

1. √ a2 − x2 2. √ a2 + x2 or 1 a2 + x2 3. √ x2 − a2

SLIDE 3

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Square ¡root ¡of ¡a2 ¡-­‑ ¡x2 ¡

¡ ¡Let Then 
 
 
 
 
 p a2 − x2 = p a2 − a2 sin2 θ = q a2(1 − sin2 θ) = √ a2 cos2 θ = a| cos θ| x = a sin θ

Nicolas

We have θ = arcsin x a Since −a ≤ x ≤ a, Then −π 2 ≤ θ ≤ π 2 and cos θ ≥ 0. Thus √ a2 − x2 = a cos θ.

SLIDE 4

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡

¡ ¡ ¡ 


• 1. Evaluate



 
 Z √

2 1

dx x2√ 4 − x2

SLIDE 5

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡

• 2. ¡Find ¡the ¡area ¡of ¡the ¡unit ¡disk. ¡

SLIDE 6

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Tips ¡

¡ ¡ ¡

To evaluate a definite integral we either undo the change of variable, or find the limits in the new variable θ. To undo the change of variable we use the reference triangle to find formulas for functions of θ. To find the new limits we use inverse trig. functions.

SLIDE 7

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Square ¡root ¡of ¡a2 ¡+ ¡x2 ¡

¡ ¡ ¡ ¡

Integrals with square root of a +x

Let Then
 
 
 
 
 p a2 + x2 = p a2 + a2 tan2 θ = q a2(1 + tan2 θ) = √ a2 sec2 θ = a| sec θ| x = a tan θ

We have θ = arctan x a Since x can be any real number, Then −π 2 < θ < π 2 and sec θ ≥ 1. Thus √ a2 + x2 = a sec θ.

SLIDE 8

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡

¡ ¡ ¡




• 3. Find

! ! !

• 4. Evaluate

Z 1 dx (x2 + 4)3/2 Z 1 1 + x2 dx

SLIDE 9

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Square ¡root ¡of ¡x2 ¡-­‑ ¡a2 ¡

¡ ¡

Let Then 
 
 
 
 p x2 − a2 = p a2 sec2 θ − a2 = p a2(sec2 θ − 1) = p a2 tan2 θ = a| tan θ| x = a sec θ

We have θ = sec−1 x a, note that |x| ≥ a

• 1. If x ≥ a then 0 ≤ θ < π

2 ,

√ x2 − a2 = a tan θ.

• 2. If x ≤ −a then π

2 < θ ≤ π,

√ x2 − a2 = −a tan θ.

SLIDE 10

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡

¡ ¡

• 5. Evaluate

Z dx √ 9x2 − 4 .

SLIDE 11

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Summary ¡

¡ ¡

2 2

• 1. a

x − L n t s e i x a θ =

( )

2 2 2 2

sin a x a a θ − = −

2 2 2

sin a a θ = −

( )

2 2

1 sin a θ = −

2 2

cos a θ =

2 2

cos a x a θ − = sin sin x a x a θ θ = ⇒ = θ x a

2 2

a x −

2 2

• 3. x

a − L c t s e e x a θ =

( )

2 2 2 2

sec x a a a θ − = −

2 2 2

sec a a θ = −

( )

2 2

sec 1 a θ = −

2 2

tan a θ =

2 2

tan x a a θ − = sec sec x a x a θ θ = ⇒ = θ x a

2 2

x a −

2 2

• 2. a

x + L n t t e a x a θ =

( )

2 2 2 2

tan a x a a θ + = +

2 2 2

tan a a θ = +

( )

2 2

1 tan a θ = +

2 2

sec a θ =

2 2

sec a x a θ + = tan tan x a x a θ θ = ⇒ = θ x a

2 2

a x +

2 2 π π θ − ≤ ≤ 2 2 π π θ − ≤ ≤ 2 π θ ≤ < 2 π θ π < ≤

2 2

tan x a a θ − − = for x a > for x a < −

−π 2 < θ < π 2

x ≥ a

x ≤ −a

SLIDE 12

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Comple=ng ¡squares ¡

¡ ¡ ¡


 


• 6. Evaluate

Z 2

1

dx √ 4x − x2

SLIDE 13

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Remember ¡u-­‑subsitu=on ¡

¡ ¡ ¡

• Evaluate

! !

• Don’t use a trig. substitution if a u-substitution is easier.

Z x √ x2 + 4 dx