Math 104 Calculus 8.3 Trigonometric Integrals Math 104 - - PowerPoint PPT Presentation

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Math ¡104 ¡– ¡Calculus ¡ 8.3 ¡Trigonometric ¡Integrals ¡

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Three ¡types ¡of ¡integrals ¡

¡ ¡ ¡ ¡

Three types of i

1.

!

2.

!

3. Z sinm x · cosn x dx Z tanm x · secn x dx Z sin(mx) sin(nx) dx Z cos(mx) cos(nx) dx Z sin(mx) cos(nx) dx

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Products ¡of ¡Sine ¡and ¡Cosine ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡(m,n ¡are ¡posiEve ¡integers) ¡ ¡ a) m, ¡n: ¡one ¡or ¡both ¡= ¡1 ¡

Use ¡u-­‑subsEtuEon. ¡Let ¡u ¡= ¡the ¡trig ¡funcEon ¡with ¡power ¡≠ ¡1. ¡

b) m, ¡n: ¡one ¡(or ¡both) ¡odd ¡(both ¡greater ¡than ¡1) ¡

• 1. Separate ¡one ¡factor ¡from ¡the ¡odd ¡exponent. ¡
• 2. Use ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡to ¡transform ¡the ¡remaining ¡even ¡power ¡into ¡

the ¡other ¡trig ¡funcEon. ¡

• 3. Use ¡u-­‑subsEtuEon ¡to ¡finish ¡the ¡problem ¡(let ¡u ¡= ¡the ¡“other” ¡trig ¡

funcEon) ¡

c) m, ¡n: ¡both ¡even ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Replace ¡all ¡even ¡powers ¡using ¡the ¡double-­‑angle ¡formula: ¡

¡ ¡

roducts of sine and cosi

form: Z sinm x · cosn x dx Separate one factor from t Use to t sin2 x + cos2 x = 1 Replace all powers using the double-angle formulas sin2 x = 1

2(1 − cos 2x) and cos2 x = 1 2(1 + cos 2x)

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡

• 1. ¡ ¡

• 1. Evaluate



 Z cos5 x sin2 x dx

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡

¡ ¡ ¡

• 2. Evaluate



 Z π cos4 x sin2 x dx

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡

• 3. ¡ ¡

• 3. Evaluate

Z π cos10 x sin x dx

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Products ¡of ¡tangent ¡and ¡secant ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

c) Other cases: there is no set method... b) n even

• 1. Factor out (sec2 x) which is the derivative of tan x.
• 2. Use sec2 x = tan2 x+1 to transform the remaining even power of sec x

into tan x

• 3. Use u-substitution to finish the problem (u = tan x)

d 

R tanm x · secn xdx

a) m odd, n positive

• 1. Factor out (tan x sec x), which is the derivative of sec x.
• 2. Use tan2 x = sec2 x − 1 to transform the remaining even power of

tan x into sec x.

• 3. Use u-substitution to finish the problem (u = sec x)

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡

• 4. ¡ ¡

• 5. Evaluate



 Z tan3 x sec3 x dx

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡

• 5. ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 


• 6. Evaluate

Z tan2 x sec4 x dx

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡

Other ¡cases: ¡

• 6. ¡ ¡ ¡Evaluate ¡
• 7. Evaluate ¡ ¡

uate a Z tan x dx nd 
 Z sec x dx.

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Linear ¡factors ¡of ¡sine ¡and ¡cosine ¡

¡

a) If ¡m≠n, ¡change ¡the ¡product ¡into ¡a ¡sum ¡using ¡the ¡following ¡

idenEEes: ¡ ¡

b) If ¡m=n, ¡the ¡formulas ¡above ¡become ¡double-­‑angle ¡formulas ¡

• Trig. Function

( ) ( )

• 3. sin

sin mx nx dx

∫

( ) ( )

cos cos mx nx dx

∫

( ) ( )

sin cos mx nx dx

∫

                      

( ) ( ) [ ]

( )

[ ]

( )

1 sin sin cos cos 2 mx nx m n x m n x   = − +  − 

( ) ( ) [ ]

( )

[ ]

( )

1 cos cos cos cos 2 mx nx m n x m n x   = − +   +

( ) ( ) [ ]

( )

[ ]

( )

1 sin cos sin sin 2 mx nx m n x m n x   = − +   +            

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡

• 8. ¡ ¡
• 8. Evaluate

Z sin(3x) cos(5x) dx