Math 104 Calculus 8.1 & 8.2 Integra:on by Parts - - PowerPoint PPT Presentation

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Math ¡104 ¡– ¡Calculus ¡ 8.1 ¡& ¡8.2 ¡Integra:on ¡by ¡Parts ¡

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Integra:on ¡by ¡Parts ¡

• Reversing ¡the ¡product ¡rule ¡for ¡deriva:ves ¡we ¡obtain ¡

¡

• Write ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡u = f(x) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡dv = g’(x)dx

¡ ¡ ¡ ¡ ¡then ¡ ¡ ¡ ¡ ¡du = f’(x)dx ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡v = g(x)

• The ¡formula ¡can ¡be ¡wriIen ¡as ¡

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

The ¡Case ¡of ¡Definite ¡Integrals ¡

• Using ¡integral ¡by ¡parts ¡and ¡the ¡Fundamental ¡Theorem ¡of ¡

Calculus, ¡we ¡get ¡

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Trading ¡Integrals ¡

• We ¡are ¡trading ¡in ¡one ¡integral ¡for ¡another, ¡this ¡will ¡only ¡work ¡

if ¡the ¡new ¡integral ¡is ¡easier ¡to ¡evaluate. ¡

• E.g., ¡let’s ¡evaluate ¡
• Wrong ¡way: ¡
• Right ¡way: ¡
• Principle: ¡Choose ¡u ¡that ¡becomes ¡simpler ¡when ¡

differen:ated, ¡but ¡make ¡sure ¡dv ¡can ¡be ¡integrated. ¡

Z xexdx Z xexdx = x2 2 ex − Z x2 2 exdx Z xexdx = xex − Z exdx = xex − ex + C

u = ex du = exdx dv = xdx v = x2/2

u = x du = dx dv = exdx v = ex

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

LIATE ¡hierarchy ¡mnemonic ¡

• Logarithmic ¡
• Inverse ¡trigonometric ¡
• Algebraic ¡
• Trigonometric ¡
• Exponen:al ¡
• Choose ¡u ¡higher ¡up ¡and ¡dv ¡lower ¡down ¡the ¡list. ¡

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Examples ¡

¡ ¡ ¡

• 1. Evaluate

• 2. Evaluate


 Z 2

1

x ln(x)dx Z ln(x)dx

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Examples ¡

¡ ¡ ¡ ¡

• 3. Evaluate

Z x2e5xdx

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Shortcut ¡Method ¡

• Shortcut ¡method ¡works ¡when ¡the ¡integrand ¡is ¡a ¡product ¡of ¡a ¡

polynomial ¡and ¡an ¡exponen:al ¡func:on ¡or ¡a ¡trigonometry ¡ func:on. ¡

• Step ¡1: ¡Differen:ate ¡the ¡polynomial ¡down ¡to ¡zero ¡on ¡the ¡leY ¡

column ¡of ¡a ¡table ¡

• Step ¡2: ¡Integrate ¡the ¡other ¡func:on ¡the ¡same ¡number ¡of ¡

:mes ¡on ¡the ¡right ¡column ¡of ¡the ¡table ¡

• Step ¡3: ¡Mul:ply ¡along ¡down ¡diagonal ¡and ¡sum ¡with ¡

alterna:ng ¡signs, ¡star:ng ¡with ¡plus. ¡

2

2 2 Diff x x

5 5 1 5 5 1 25 5 1 125 x x x x

Int e e e e

+ + −

2 5 2 5 5 5 1 2 2 5 25 125 x x x x

x e dx x e xe e C = − + +

∫

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Examples ¡

¡ ¡ ¡ ¡

• 4. Evaluate

Z 1 x cos(πx)dx

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡

¡ ¡ ¡ ¡5. Find the volume of the solid of revolution formed by rotating, about the y-axis, the region bounded by the curves y = cos(πx/2), y = 0, 0 ≤ x ≤ 1.

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡

¡ ¡

• 6. Evaluate

Z √

3 1

arctan(1/x)dx

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡

¡ ¡

• 7. Evaluate

Z e−x sin(x)dx

Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Warning ¡

• Never ¡forget ¡your ¡old ¡friend: ¡u-­‑subs:tu:on ¡
• E.g., ¡evaluate ¡ ¡
• In ¡this ¡case, ¡integra:on ¡by ¡parts ¡does ¡not ¡work. ¡

uate Z xex2dx