Math 104 Calculus 6.6 Moments and Centers of Mass - PowerPoint PPT Presentation

Math ¡104 ¡– ¡Calculus ¡ 6.6 ¡Moments ¡and ¡Centers ¡of ¡Mass ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Balancing ¡Masses ¡ d 1 ¡ d 2 ¡ ¡ • Along ¡the ¡line, ¡mass ¡ m 1 ¡at ¡point ¡x 1 , ¡mass ¡ m 2 ¡at ¡x 2 . ¡ • Archimedes’ ¡Law ¡of ¡Lever: ¡rod ¡will ¡be ¡balanced ¡if ¡ ¡m 1 d 1 ¡= ¡m 2 d 2 ¡ Moment ¡of ¡ the ¡system ¡ about ¡the ¡ Center ¡of ¡Mass: ¡ m 1 (¯ x − x 1 ) = m 2 ( x 2 − ¯ x ) origin ¡ m 1 ¯ x − m 1 x 1 = m 2 x 2 − m 2 ¯ x = m 1 x 1 + m 2 x 2 x ¯ ( m 1 + m 2 )¯ x = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 Total ¡Mass ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Center ¡of ¡Mass ¡Along ¡a ¡Line ¡ ¡ ¡ ¡ • A ¡system ¡of ¡n ¡masses: ¡ m 1 , ¡m 2 , ¡..., ¡m n ¡ • Center ¡of ¡mass: ¡ x = m 1 x 1 + · · · + m n x n ¯ m 1 + · · · + m n • Moment ¡of ¡the ¡system ¡about ¡the ¡origin: ¡measure ¡the ¡ tendency ¡of ¡the ¡system ¡to ¡rotate ¡about ¡the ¡origin. ¡ M 0 = m 1 x 1 + · · · + m n x n Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Balancing ¡on ¡the ¡Plane ¡ • For ¡a ¡planar ¡region, ¡it ¡can ¡rotate ¡about ¡either ¡x ¡or ¡y-­‑axis. ¡ So ¡there ¡are ¡two ¡moments: ¡ • Moment about x -axis: M x = m 1 y 1 + · · · m n y n . • Moment about y -axis: M y = m 1 x 1 + · · · m n x n . • Total ¡Mass: ¡ ¡ M = m 1 + · · · + m n • The ¡center ¡of ¡mass ¡is: ¡ x = M y y = M x M , ¯ ¯ M Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Center ¡of ¡Mass ¡of ¡a ¡2D ¡Region ¡ • To ¡compute ¡moments ¡and ¡total ¡mass ¡of ¡a ¡region ¡with ¡a ¡ given ¡density ¡(mass ¡to ¡area ¡raPo), ¡we ¡parPPon ¡it ¡into ¡ strips ¡and ¡do ¡a ¡Riemann ¡sum ¡approximaPon. ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Center ¡of ¡Mass ¡of ¡a ¡2D ¡Region ¡ ¡ ¡ ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Center ¡of ¡Mass ¡of ¡a ¡2D ¡Region ¡ • If ¡the ¡density ¡only ¡depends ¡on ¡the ¡x ¡coordinate, ¡total ¡ mass ¡is ¡given ¡by ¡ Z b M = δ ( x )[ f ( x ) − g ( x )] dx a • The ¡moments ¡are: ¡ Z b M y = x δ ( x )[ f ( x ) − g ( x )] dx a Z b 1 M x = 2[ f ( x ) + g ( x )] δ ( x )[ f ( x ) − g ( x )] dx x = x ˜ a Z b y = f ( x ) + g ( x ) = 1 ˜ δ ( x )[ f ( x ) 2 − g ( x ) 2 ] dx 2 2 a ˜ dm = δ dA = δ ( x )[ f ( x ) − g ( x )] dx Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Centroid ¡ • If ¡the ¡density ¡is ¡constant ¡the ¡formula ¡simplify: ¡ R b a x [ f ( x ) − g ( x )] dx x = M y ¯ M = R b Total ¡area ¡of ¡ a [ f ( x ) − g ( x )] dx the ¡region ¡ A ¡ R b a [ f ( x ) 2 − g ( x ) 2 ] dx y = M x ¡ ¯ M = R b 2 a [ f ( x ) − g ( x )] dx • In ¡this ¡case ¡the ¡value ¡of ¡the ¡density ¡is ¡irrelevant. ¡We ¡also ¡call ¡ the ¡center ¡of ¡mass ¡the ¡ centroid ¡of ¡the ¡region. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Examples ¡ 1. Find the center of mass of a thin plate between the x -axis and y = ¡ ¡ ¡ ¡ 2 /x 2 , 1 ≤ x ≤ 2, if the density is δ ( x ) = x 2 . 2. Find the centroid of an isosceles triangle whose base is on the x -axis, − 1 ≤ x ≤ 1 and whose height is 3. Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Examples ¡ 3. Find the center of mass of a plate of constant density given by the region ¡ ¡ ¡ between y = x − x 2 and y = − x . Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Pappus’ ¡Theorem ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡ • Find ¡the ¡centroid ¡of ¡a ¡upper-­‑half ¡disk ¡of ¡radius ¡a ¡using ¡ Pappus’ ¡Theorem. ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡