t ts rt - - PowerPoint PPT Presentation

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✷

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❈✉t ▼❡❧❧✐♥ ▼♦♠❡♥ts ✭❈▼▼✮ ✲ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s

❢♥(◗✷) =

✶

• ✵

❞① ①♥−✶ ❢ (①, ◗✷)

• ✉♥❝✉t ♠♦♠❡♥t

❢♥(①♠✐♥, ◗✷) =

✶

• ①♠✐♥

❞① ①♥−✶ ❢ (①, ◗✷)

• ❝✉t ♠♦♠❡♥t

❢♥(①♠✐♥, ①♠❛①, ◗✷) =

①♠❛①

• ①♠✐♥

❞① ①♥−✶ ❢ (①, ◗✷)

• ❞♦✉❜❧❡ ❝✉t ♠♦♠❡♥t

❉♦r♦t❛ ❑♦t❧♦r③ ❝✉t ♠♦♠❡♥ts

▼❛✐♥ ✜♥❞✐♥❣s ♦❢ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❈▼▼❆

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❉●▲❆P ❡q✉❛t✐♦♥s

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❊✈♦❧✉t✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥s ❢♦r ❈▼▼

▼❛✐♥ ✜♥❞✐♥❣s ✭❆✳ ❑♦t❧♦r③ ❛♥❞ ❉✳❑✳ ✷✵✵✼✮ ❞❢ ◆❙

♥

(①, ◗✷) ❞ ❧♥ ◗✷ = αs(◗✷) ✷π (P′

qq(♥) ∗ ❢ ◆❙ ♥

)(①, ◗✷) ❞ ❞ ❧♥ ◗✷

• ❢ ❙

♥ (①, ◗✷)

• ♥(①, ◗✷)
• = αs(◗✷)

✷π P′

qq(♥)

P′

q●(♥)

P′

• q(♥)

P′

• ●(♥)
• ∗
• ❢ ❙

♥ (①, ◗✷)

• ♥(①, ◗✷)
• ❘❡s❝❛❧❡❞ s♣❧✐tt✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s✿

P′

✐❥(♥, ①) = ①♥ P✐❥(①)

P✐❥(①) = P(✵)

✐❥ (①) + αs(◗✷)

✷π P(✶)

✐❥ (①) +

αs(◗✷) ✷π ✷ P(✷)

✐❥ (①) + · · ·

❆♥♦♠❛❧♦✉s ❞✐♠❡♥s✐♦♥✿ γ′

s,♥ ≡

✶

✵

❞① ①s−✶ P′(♥, ①) = γs+♥

❉♦r♦t❛ ❑♦t❧♦r③ ❝✉t ♠♦♠❡♥ts

▼❛✐♥ ✜♥❞✐♥❣s ♦❢ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❈▼▼❆

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❉●▲❆P ❡q✉❛t✐♦♥s

❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ❈▼▼❆

❊✈♦❧✉t✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥s ❢♦r ❈▼▼

❱❛❧✐❞ ✐♥ ❡❛❝❤ ♦r❞❡r ♦❢ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ❣✶ ♥(①, ◗✷) = ✶ ✷

• q

❡✷

q ×

×

• ∆❢ ♥(①, ◗✷) + αs(◗✷)

✷π

• ❈ ′

q(♥) ∗ ∆❢ ♥ + ❈ ′

• (♥) ∗ ∆● ♥
• (①, ◗✷)
• ❘❡s❝❛❧❡❞ ❲✐❧s♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✿

❈ ′

✐ (♥, ①) = ①♥ ❈✐(①)

▼♦♠❡♥ts ♦❢ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ❢✉♥❝t✐♦♥s✿ ❈ ′

s,♥ ≡

✶

✵

❞① ①s−✶ ❈ ′(♥, ①) = ❈s+♥

❉♦r♦t❛ ❑♦t❧♦r③ ❝✉t ♠♦♠❡♥ts

▼❛✐♥ ✜♥❞✐♥❣s ♦❢ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❈▼▼❆

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❉●▲❆P ❡q✉❛t✐♦♥s

❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ❈▼▼❆

❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❛♥❞ ❈▼▼ ❛♣r♦❛❝❤❡s

P❉❋ ■♥♣✉t✿ P❉❋s ❢ (①, ◗✷

✵)

⇓ ❊✈♦❧✉t✐♦♥ ❢r♦♠ ◗✷

✵ t♦ ◗✷

∂❢ (①, ◗✷) ∂ ❧♥ ◗✷ = αs(◗✷) ✷π (P ∗ ❢ ) ⇓ ❘❡s✉❧ts✿ P❉❋ ❢ (①, ◗✷) ❈▼▼ ■♥♣✉t✿ ❈▼▼ ❢♥(①♠✐♥, ◗✷

✵)

⇓ ❊✈♦❧✉t✐♦♥ ❢r♦♠ ◗✷

✵ t♦ ◗✷

∂❢♥(①♠✐♥, ◗✷) ∂ ❧♥ ◗✷ = αs(◗✷) ✷π (P′ ∗ ❢♥) ⇓ ❘❡s✉❧ts✿ ❈▼▼ ❢♥(①♠✐♥, ◗✷) P′(♥, ③) = ③♥ P(③) ♦♥❡ ❝❛♥ ✉s❡ st❛♥❞❛r❞ ♠❡t❤♦❞s ♦❢ s♦❧✈✐♥❣ ❉●▲❆P ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✉s❡❢✉❧ r❡❧❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ ✉♥❝✉t ❛♥❞ ❝✉t ♠♦♠❡♥ts✱ ❉✳❑✳ ✷✵✶✶✮

❉♦r♦t❛ ❑♦t❧♦r③ ❝✉t ♠♦♠❡♥ts

▼❛✐♥ ✜♥❞✐♥❣s ♦❢ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❈▼▼❆

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❉●▲❆P ❡q✉❛t✐♦♥s

❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ❈▼▼❆

❊✈♦❧✉t✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥s ❢♦r ❞♦✉❜❧❡ ❈▼▼

❙✐♥❝❡ t❤❡ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❞❛t❛ ❝♦✈❡r ♦♥❧② ❛ ❧✐♠✐t❡❞ r❛♥❣❡ ♦❢ ①✱ ❡①❝❡♣t ✈❡r② s♠❛❧❧ ① → ✵ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ❧❛r❣❡ ① → ✶✱ ✐t ✐s ✈❡r② ♥❛t✉r❛❧ ❛♥❞ ❝♦♥✈❡♥✐❡♥t t♦ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ t❤❡ ❞♦✉❜❧❡ ❝✉t ♠♦♠❡♥ts✳ ❚r✉♥❝❛t✐♦♥ ❛t ❧❛r❣❡ ① ✐s ❧❡ss ✐♠♣♦rt❛♥t ✐♥ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ t♦ t❤❡ s♠❛❧❧✲① ❧✐♠✐t ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ r❛♣✐❞ ❞❡❝r❡❛s❡ ♦❢ t❤❡ ♣❛rt♦♥ ❞❡♥s✐t✐❡s ❛s ① → ✶✱ ♥❡✈❡rt❤❡❧❡ss ❛ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❛♥❛❧②s✐s r❡q✉✐r❡s ❛♥ ❡q✉❛❧ tr❡❛t♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ❜♦t❤ ❝✉t ❧✐♠✐ts✳ ❞♦✉❜❧❡ ❈▼▼ ✐s ❛ s✉❜tr❛❝t✐♦♥ ♦❢ t✇♦ ❈▼▼ ❢♥(①♠✐♥, ①♠❛①, ◗✷) = ❢♥(①♠✐♥, ◗✷) − ❢♥(①♠❛①, ◗✷) ❛♥❞ ❛❧s♦ s❛t✐s✜❡s t❤❡ ❉●▲❆P✲t②♣❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ✇✐t❤ ❛ ❦❡r♥❡❧ P′(♥, ③)

❉♦r♦t❛ ❑♦t❧♦r③ ❝✉t ♠♦♠❡♥ts

▼❛✐♥ ✜♥❞✐♥❣s ♦❢ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❈▼▼❆

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❉●▲❆P ❡q✉❛t✐♦♥s

❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ❈▼▼❆

❊✈♦❧✉t✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥s ❢♦r s✐♥❣❧❡ ❛♥❞ ❞♦✉❜❧❡ ❈▼▼

❊✈♦❧✉t✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r ❈▼▼ ∂❢♥(①♠✐♥, ◗✷) ∂ ❧♥ ◗✷ = αs(◗✷) ✷π

✶

• ①♠✐♥

❞③ ③ P′(♥, ③) ❢♥ ①♠✐♥ ③ , ◗✷ ❚❤❡ s♣❧✐tt✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ❈▼▼ P′(♥, ③) = ③♥ P(③) ❚❤❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r ❞♦✉❜❧❡ ❈▼▼ ∂❢♥(①♠✐♥, ①♠❛①, ◗✷) ∂ ❧♥ ◗✷ = αs(◗✷) ✷π

✶

• ①♠✐♥

❞③ ③ P′(♥, ③) ❢♥ ①♠✐♥ ③ , ①♠❛① ③ , ◗✷

❉♦r♦t❛ ❑♦t❧♦r③ ❝✉t ♠♦♠❡♥ts

▼❛✐♥ ✜♥❞✐♥❣s ♦❢ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❈▼▼❆

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❉●▲❆P ❡q✉❛t✐♦♥s

❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ❈▼▼❆

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❉●▲❆P ❡q✉❛t✐♦♥s

❙✳❱✳ ▼✐❦❤❛✐❧♦✈ ❛♥❞ ❉✳❑✳ ❏❍❊P ✵✻✭✷✵✶✹✮✵✻✺

■❢ ❢ (①, ◗✷) ✐s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❉●▲❆P ❡q✉❛t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ P✭②✮✿ ˙ ❢ ≡ ∂❢ (③, ◗✷) ∂ ❧♥ ◗✷ = (P ∗ ❢ )(③) ≡

✶

• ✵

P(②) ❢ (①, ◗✷) δ(③ − ①②) ❞① ❞②, t❤❡♥ t❤❡ ♠✉❧t✐✲✐♥t❡❣r❛t❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❈▼▼ ❢ (③; ♥✶, ♥✷, ..., ♥❦) =

✶

• ③

③♥❦−✶

❦

❞③❦

✶

• ③❦

③

♥❦−✶−✶ ❦−✶

❞③❦−✶ ...

✶

• ③✷

③♥✶−✶

✶

❢ (③✶) ❞③✶ ✐s ❛❧s♦ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❉●▲❆P ❡q✉❛t✐♦♥✿

❉♦r♦t❛ ❑♦t❧♦r③ ❝✉t ♠♦♠❡♥ts

▼❛✐♥ ✜♥❞✐♥❣s ♦❢ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❈▼▼❆

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❉●▲❆P ❡q✉❛t✐♦♥s

❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ❈▼▼❆

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❉●▲❆P ❡q✉❛t✐♦♥s

˙ ❢ (③; ♥✶, ♥✷, ..., ♥❦) = (P ∗ ❢ )(③; ♥✶, ♥✷, ..., ♥❦) ✇✐t❤ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ P(②) = P(②) · ② ♥✶+♥✷+...+♥❦ ❙♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡s✿ ❋♦r ♥✶ = ♥✷ = ... = ♥❦ = ♥ ♦♥❡ ❤❛s ❢ (③; {♥}❦) = ✶

③

t♥ − ③♥ ♥ ❦−✶ ❢ (t) (❦ − ✶)! t♥−✶ ❞t , P(②) = P(②) · ② ❦♥ ❋♦r ❦ = ✶ ♦♥❡ ♦❜t❛✐♥s ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❡q✳ ❢♦r ❝✉t ♥✲t❤ ♠♦♠❡♥t ❢ (③; ♥) =

✶

• ③

t♥−✶ ❢ (t) ❞t

❉♦r♦t❛ ❑♦t❧♦r③ ❝✉t ♠♦♠❡♥ts

▼❛✐♥ ✜♥❞✐♥❣s ♦❢ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❈▼▼❆

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❉●▲❆P ❡q✉❛t✐♦♥s

❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ❈▼▼❆

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❉●▲❆P ❡q✉❛t✐♦♥s

❊✈♦❧✉t✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛t ❦ = ✶✿ ˙ ❢ (③, ♥) ≡ ∂❢ (③; ♥, ◗✷) ∂ ❧♥ ◗✷ = (P ∗ ❢ )(③; ♥, ◗✷) ≡

✶

• ✵

P(②) ❢ (①; ♥, ◗✷) δ(③ − ①②) ❞① ❞②, ✇❤❡r❡ P(②) = P(②) · ② ♥ ■❢ ♦♥❡ ♣✉ts ③ = ✵ ✱ ✐t r❡❞✉❝❡s t♦ t❤❡ ✇❡❧❧ ❦♥♦✇♥ st❛♥❞❛r❞ r❡♥♦r♠✲❣r♦✉♣ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ♠♦♠❡♥ts ❢ (✵; ♥, ◗✷)✿ ∂❢ (✵; ♥, ◗✷) ∂ ❧♥ ◗✷ =  

✶

• ✵

P(②) ② ♥−✶ ❞②   · ❢ (✵; ♥, ◗✷) ≡ γ(♥) · ❢ (✵; ♥, ◗✷)

❉♦r♦t❛ ❑♦t❧♦r③ ❝✉t ♠♦♠❡♥ts

▼❛✐♥ ✜♥❞✐♥❣s ♦❢ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❈▼▼❆

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❉●▲❆P ❡q✉❛t✐♦♥s

❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ❈▼▼❆

• ❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❈▼▼ ❛♥❞ t❤❡✐r ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧s

❢ (③; ♥✶, ♥✷, ..., ♥❦) =

✶

• ③

③♥❦−✶

❦

❞③❦

✶

• ③❦

③

♥❦−✶−✶ ❦−✶

❞③❦−✶ ...

✶

• ③✷

③♥✶−✶

✶

❢ (③✶) ❞③✶ P(②) = P(②) · ② ♥✶+♥✷+...+♥❦ ❢ (③; ♥, ♥, ..., ♥) = ✶

③

t♥ − ③♥ ♥ ❦−✶ ❢ (t) (❦ − ✶)! t♥−✶ ❞t P(②) = P(②) · ② ❦♥ ❢ (③; ♥, ✶, ..., ✶) = ✶

③

(t − ③)❦−✶ ❢ (t) Γ(❦) t♥−✶ ❞t P(②) = P(②) · ② ♥+❦−✶

❉♦r♦t❛ ❑♦t❧♦r③ ❝✉t ♠♦♠❡♥ts

▼❛✐♥ ✜♥❞✐♥❣s ♦❢ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❈▼▼❆

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❉●▲❆P ❡q✉❛t✐♦♥s

❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ❈▼▼❆

• ❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❈▼▼ ❛♥❞ t❤❡✐r ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧s

❢ (③; ♥, ✶, ..., ✶

• ❦

) =

✶

• ③

❞③❦

✶

• ③❦

❞③❦−✶ ...

✶

• ③✷
• ❦

③♥−✶

✶

❢ (③✶) ❞③✶ ❤❡♥❝❡ t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ♦♣❡r❛t♦r✿ ③♥−✶❢ (③)

• ❡✈.❦❡r♥❡❧:

P② ♥−✶

=

• − ❞

❞③ ❦ ❢ (③; ♥, ✶, ..., ✶)

• ❡✈.❦❡r♥❡❧:

P② ♥+❦−✶

• ❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s
• − ❞

❞③ ❦ [❢ (③)③♥] P(②) = P(②) · ② ♥−❦

❉♦r♦t❛ ❑♦t❧♦r③ ❝✉t ♠♦♠❡♥ts

▼❛✐♥ ✜♥❞✐♥❣s ♦❢ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❈▼▼❆

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❉●▲❆P ❡q✉❛t✐♦♥s

❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ❈▼▼❆

❙✉♠♠❛r② ♦❢ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❈▼▼ ❛♥❞ t❤❡✐r ❊✈♦❧✳ ❑❡r♥❡❧s

ϕ♥(①) ≡ ①♥❢ (①)

• ❡♥❡r❛❧ ❢♦r♠ ❢♦r ❛♥② ❦✿

ϕ❦

♥(①) → ❡✈♦❧. ❦❡r♥❡❧ : P(②)② ♥+❦

❦ > ✵ : ✐♥t❡❣r❛❧s ❦ < ✵ : ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ❦ = ✷ ❦ = ✶ ❦ = ✵ ❦ = −✶ ❦ = −✷ ✶

① ❞③

✶

③ ϕ♥(t) ❞t

✶

① ϕ♥(t)❞t

ϕ♥(①) −ϕ′

♥(①)

ϕ′′

♥(①)

P(②)② ♥+✷ P(②)② ♥+✶ P(②)② ♥ P(②)② ♥−✶ P(②)② ♥−✷ P❛rt✐❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ϕ(❦)

✶ (①) = (①❢ (①))(❦) ✇❡r❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❜② ❖✳ ❚❡r②❛❡✈

✭✷✵✵✼✱ ✷✵✵✾✮

❉♦r♦t❛ ❑♦t❧♦r③ ❝✉t ♠♦♠❡♥ts

▼❛✐♥ ✜♥❞✐♥❣s ♦❢ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❈▼▼❆

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❉●▲❆P ❡q✉❛t✐♦♥s

❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ❈▼▼❆

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ❢♦r str✉❝t✉r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s

❋♦r ❙❋ ❋ = ❈ ∗ ❢ ♦♥❡ ♦❜t❛✐♥s t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❙❋ F ❛♥❞ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ❢✉♥❝t✐♦♥ C✿ ❋, ❈ → F = C ∗ ❢ (③; {♥}❦), C = ❈(②) · ② ♥✶+♥✷+...+♥❦. ❚❤❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r ❋✿ ˙ ❋(③; µ✷) = (❑ ∗ ❋) (③); ❑ = P + β(❛s) (∂❛s❈) ∗ ❈ −✶, ✇❤❡r❡ β ✐s t❤❡ ◗❈❉ β✲❢✉♥❝t✐♦♥✱ µ✷ ❞ ❞µ✷ ❛s(µ✷) = β(❛s)✳ ❚❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r F✿ ˙ F(③; {♥}❦) = K ∗ F(③; {♥}❦), K(②) = ❑(②) · ② ♥✶+♥✷+...+♥❦.

❉♦r♦t❛ ❑♦t❧♦r③ ❝✉t ♠♦♠❡♥ts

▼❛✐♥ ✜♥❞✐♥❣s ♦❢ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❈▼▼❆

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❉●▲❆P ❡q✉❛t✐♦♥s

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• ❦

) = ✶

①✵

❧♥(❦−✶) (①/①✵) Γ(❦) ①♥−✶❢ (①) ❞① ❡✈♦❧✈❡s ✇✐t❤ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ ✇❤✐❝❤ ✐s ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦♥ ❦✿ P(②) = P(②) · ② ♥ ■♥t❡❣r❛♥❞s ❧♥(❦−✶) (①/①✵) /Γ(❦) ❛t ❞✐✛❡r❡♥t ❦ ❛r❡ ✏❜r✐❝❦s✑ ❢♦r ❛♥② ♥❡✇ ❣❈▼▼ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥s t❤❛t ❡✈♦❧✈❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ s❛♠❡ ❉●▲❆P ❡q✉❛t✐♦♥✳

❉♦r♦t❛ ❑♦t❧♦r③ ❝✉t ♠♦♠❡♥ts

▼❛✐♥ ✜♥❞✐♥❣s ♦❢ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❈▼▼❆

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❉●▲❆P ❡q✉❛t✐♦♥s

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❋✉t✉r❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s

❚❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ t♦ ❢ (①✵; ♥, ✵, . . . , ✵) ✐s r❡✐♥❢♦r❝❡❞ ❛t t❤❡ r✐❣❤t ❡♥❞ ① = ✶ ❜② ♣♦✇❡rs ♦❢ ❧♦❣s✳ ❚❤✐s r❡✐♥❢♦r❝❡♠❡♥t ❜❡❝♦♠❡s ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ✉s❡❢✉❧ ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡♥ t❤❡ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❞❛t❛ ❛r❡ ❜❡tt❡r ❦♥♦✇♥ ❛t ❧❛r❣❡r ① ❛♥❞✱ ✐♥ ❝♦♥tr❛st✱ ♦♥❡s ❛r❡ ✉♥r❡❧✐❛❜❧❡ ♦r ✇♦rs❡ ❦♥♦✇♥ ❛t ❧♦✇❡r ①✳

0.01 0.1 1 10 100 0.001 0.01 0.1 1 g1

NS(x) lnk-1(x/x0)/Γ(k)

x g1

NS(x,Q0 2) = N (1-x)3

x0=0.001 k=1 k=2 k=3 k=4 0.01 0.1 1 10 100 0.001 0.01 0.1 1 g1

NS(x) lnk-1(x/x0)/Γ(k)

x g1

NS(x,Q0 2) = N x-0.4(1-x)3

x0=0.001 k=1 k=2 k=3 k=4

❈♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s t♦ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❇❥♦r❦❡♥ ❙✉♠ ❘✉❧❡ ✶

①✵

❧♥(❦−✶) (①/①✵) Γ(❦) ❣ ◆❙

✶

(①) ❞①

❉♦r♦t❛ ❑♦t❧♦r③ ❝✉t ♠♦♠❡♥ts

▼❛✐♥ ✜♥❞✐♥❣s ♦❢ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❈▼▼❆

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❉●▲❆P ❡q✉❛t✐♦♥s

❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ❈▼▼❆

❘❡❝❡♥t ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✭✷✵✵✽✲✷✵✶✹✮

❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ P❉❋s ❢r♦♠ ❈▼▼ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s t♦ ❇❙❘ ❛♥❞ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ t♦ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❞❛t❛ ❍❊❘▼❊❙✱ ❈❖▼P❆❙❙✱ ❏▲❆❇ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❲❛♥❞③✉r❛✲❲✐❧❝③❡❦ r❡❧❛t✐♦♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❈▼▼ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ str✉❝t✉r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❣✷ ❍❚ r❡s✉♠♠❛t✐♦♥ ✇✐t❤✐♥ ❈▼▼❆ ✭✐♥ ❝♦❧❧❛❜✳ ✇✐t❤ ❖✳ ❚❡r②❛❡✈✮

❉♦r♦t❛ ❑♦t❧♦r③ ❝✉t ♠♦♠❡♥ts

▼❛✐♥ ✜♥❞✐♥❣s ♦❢ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❈▼▼❆

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❉●▲❆P ❡q✉❛t✐♦♥s

❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ❈▼▼❆

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❉●▲❆P ❡q✉❛t✐♦♥s ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞
• ❡♥❡r❛❧ ❈▼▼ ✭♠✉❧t✐♣❧❡ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥s ❛s ✇❡❧❧ ❛s ♠✉❧t✐♣❧❡

❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♣❛rt♦♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✮ ♦❜❡② t❤❡ s❛♠❡ ❉●▲❆P ❡✈♦❧✳ ❡qs✳ ✇✐t❤ s✐♠♣❧② ♠♦❞✐✜❡❞ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ ❆❞✈❛♥t❛❣❡s ♦❢ ❈▼▼❆ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ♥✉❝❧❡♦♥ ❝❛♥ ❜❡ st✉❞✐❡❞ ✐♥ ❛ r❡str✐❝t❡❞ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧❧② r❛♥❣❡ ♦❢ ❇❥♦r❦❡♥✲① ❊❳P❊❘■▼❊◆❚❙ P❘❖❱■❉❊ ❈❯❚ ▼❖▼❊◆❚❙ ◆♦ ✉♥❝❡rt❛✐♥t✐❡s ❢r♦♠ t❤❡ ✉♥♠❡❛s✉r❛❜❧❡ r❡❣✐♦♥s✦ ◆♦✈❡❧ t♦♦❧s ♣r♦✈✐❞✐♥❣ ❛ r✐❝❤ ✈❛r✐❡t② ♦❢ ❢✉rt❤❡r ♣♦ss✐❜❧❡ ✇❛②s t♦ t❡st ◗❈❉ ❈❤♦✐❝❡ ♦❢ t❤❡ s✉✐t❛❜❧❡ ❝❧❛ss❡s ♦❢ ❈▼▼ ❢♦r t❤❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❦✐♥❡♠❛t✐❝ r❛♥❣❡ ❊♥❤❛♥❝❡♠❡♥t ♦❢ ①✲r❡❣✐♦♥ ✇✐t❤ s♠❛❧❧❡r ✉♥❝❡rt❛✐♥t✐❡s

❉♦r♦t❛ ❑♦t❧♦r③ ❝✉t ♠♦♠❡♥ts

▼❛✐♥ ✜♥❞✐♥❣s ♦❢ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❈▼▼❆

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❉●▲❆P ❡q✉❛t✐♦♥s

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❚❤❛♥❦ ②♦✉✦

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