t s r r - - PowerPoint PPT Presentation

❆❞❛♣t✐✈❡ ❙❡♥s✐♥❣ ❢♦r ❘❡❝♦✈❡r✐♥❣ ❙tr✉❝t✉r❡❞ ❙♣❛rs❡ ❙❡ts

❊r✈✐♥ ❚á♥❝③♦s✱ ❘✉✐ ❈❛str♦ ❊✐♥❞❤♦✈❡♥ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚❡❝❤♥♦❧♦❣②

❙tr✉❝t✉r❡s ❙❡♠✐♥❛r ✶✻✳✶✵✳✷✵✶✺

❙✉♣♣♦rt ❘❡❝♦✈❡r②✴❉❡t❡❝t✐♦♥

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❲❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ r❡❝♦✈❡r✐♥❣ t❤❡ s✉♣♣♦rt ✭♦r ❞❡t❡❝t✐♥❣ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡✮ ♦❢ ❛♥ ✉♥❦♥♦✇♥ s✐❣♥❛❧✳

❙✉♣♣♦rt ❘❡❝♦✈❡r②✴❉❡t❡❝t✐♦♥

❈❧❛ss✐❝❛❧ ❋r❛♠❡✇♦r❦ ▲❡t ① = (x✶, . . . , xn)T ∈ Rn ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥ s✐❣♥❛❧ ✇❤❡r❡ xi = µ ✱ ✐❢ i ∈ S ✵ ✱ ✐❢ i / ∈ S , ✇✐t❤ µ > ✵ ✜①❡❞ ❛♥❞ S ∈ C ✇❤❡r❡ C ✐s ❛ ❝❧❛ss ♦❢ s❡ts✳

❙✉♣♣♦rt ❘❡❝♦✈❡r②✴❉❡t❡❝t✐♦♥

❈❧❛ss✐❝❛❧ ❋r❛♠❡✇♦r❦ ❲❡ ♦❜s❡r✈❡ Yi = xi + Wi, Wi

iid

∼ N(✵, ✶), i = ✶, . . . , n . ❖✉r ❣♦❛❧ ✐s t♦ r❡❝♦✈❡r S ♦r t♦ ❞❡t❡❝t ✐ts ♣r❡s❡♥❝❡ ✭❞❡❝✐❞❡ ❜❡t✇❡❡♥ H✵ : S = ∅ ❛♥❞ H✶ : ∅ = S ∈ C✮✳ ❍♦✇ ❞♦❡s µ ♥❡❡❞ t♦ s❝❛❧❡ s♦ t❤❛t t❤❡ ❛❜♦✈❡ t❛s❦s ❛r❡ ♣♦ss✐❜❧❡❄

❙✉♣♣♦rt ❘❡❝♦✈❡r②✴❉❡t❡❝t✐♦♥

❈❧❛ss✐❝❛❧ ❋r❛♠❡✇♦r❦ ❉❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ❝❧❛ss C✳ ❋r♦♠ ♥♦✇ ♦♥✱ ❛ss✉♠❡ |S| = s ≪ n ∀S ∈ C ✭s♣❛rs❡ s✐❣♥❛❧s✮✳ ❲❡ ✇❛♥t ♠❛①

S∈C P(Error) t♦ ❜❡ s♠❛❧❧✳

♠❛①

S∈C

• i∈S

Xi ❞♦❡s t❤❡ ❥♦❜ ✭✐♥ t❤❡ s♣❛rs❡ r❡❣✐♠❡✮✳

❙❡❡ ❡✳❣✳ ▲✉❣♦s✐ ❡t✳ ❛❧✳ ✭✷✵✶✵✮✿ ❖♥ ❝♦♠❜✐♥❛t♦r✐❛❧ t❡st✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠s❀ ❆r✐❛s✲❈❛str♦ ❡t✳ ❛❧✳ ✭✷✵✶✶✮✿ ❉❡t❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ❆♥♦♠❛❧♦✉s ❈❧✉st❡r ✐♥ ❛ ◆❡t✇♦r❦

❆❞❛♣t✐✈❡ s❡♥s✐♥❣

▲❡❛r♥✐♥❣ t♦ ❧❡❛r♥

• ❍♦✇ ❝❛♥ ✇❡ t❛❦❡ ❛❞✈❛♥t❛❣❡ ♦❢ ❢❡❡❞❜❛❝❦❄
• ❍♦✇ ♠✉❝❤ ❝❛♥ ✇❡ ❣❛✐♥❄

❆❞❛♣t✐✈❡ s❡♥s✐♥❣

❋r❛♠❡✇♦r❦ ❚❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥ s✐❣♥❛❧ ❛♥❞ t❤❡ ❣♦❛❧s ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡ ❛s ❜❡❢♦r❡✳ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥t ♠♦❞❡❧✿ Yt = xAt + Wt, Wt

iid

∼ N(✵, ✶), t = ✶, . . . , n , ✇❤❡r❡ At ∈ {✶, . . . , n} ❝❛♥ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ♣❛st ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s {Aj, Yj}t−✶

j=✶✳

❆❞❛♣t✐✈❡ s❡♥s✐♥❣

❋r❛♠❡✇♦r❦ ❚❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥ s✐❣♥❛❧ ❛♥❞ t❤❡ ❣♦❛❧s ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡ ❛s ❜❡❢♦r❡✳ ▼❡❛s✉r❡♠❡♥t ♠♦❞❡❧✿ Yt = xAt + Γ−✶/✷

t

Wt, Wt

iid

∼ N(✵, ✶), t = ✶, ✷, . . . , ✇❤❡r❡ At ∈ {✶, . . . , n}, Γt > ✵ ❝❛♥ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ♣❛st ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s {Aj, Γj, Yj}t−✶

j=✶✱ ❛♥❞ ♠✉st s❛t✐s❢②

ES

• t

Γt

• ≤ n, ∀S ∈ C .

❆❞❛♣t✐✈❡ s❡♥s✐♥❣

❙✐♠♣❧❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❢♦r r❡❝♦✈❡r② ▲❡t C ❜❡ t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ ❛❧❧ s✲s♣❛rs❡ s❡ts ❛♥❞ s✉♣♣♦s❡ ✇❡ ✇✐s❤ t♦ r❡❝♦✈❡r t❤❡ s✉♣♣♦rt ✭✇❡ ✇❛♥t S s✳t✳ ♠❛①

S∈C PS(

S = S) ≤ ε✮✳ ❆❧❣♦r✐t❤♠

• ❋✐① Γt = Γ = ✶/✸ ∀t ∈ N
• ❋♦r ❡❛❝❤ ❡♥tr② xi, i = ✶, . . . , n ❞♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✿
• ▼❡❛s✉r❡ Yi,j = xi + Γ−✶/✷Wi, j = ✶, . . . , τi✱ ✇❤❡r❡

τi = ♠✐♥{j : Yi,j ≤ ✵} ∧ ❧♦❣✷(n/ε)✳

• i ∈

S ⇐ ⇒ Yi,j > ✵∀j = ✶, . . . , ❧♦❣✷(n/ε)✳

❆❞❛♣t✐✈❡ s❡♥s✐♥❣

❙✐♠♣❧❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❢♦r r❡❝♦✈❡r② ✲ ❛♥❛❧②s✐s ❋♦r i / ∈ S P(i ∈ S) = P(Yi,j > ✵ ∀j) ≤ (✶/✷)❧♦❣✷(n/ε) = ε/n . ❋♦r i ∈ S P(i / ∈ S) ≤ P(∃j : Yi,j ≤ ✵) ≤ ❧♦❣✷(n/ε) ✷ e−µ✷/✻ ≤ ε/s ✇❤❡♥❡✈❡r µ ≥

• ✻
• ❧♦❣ s

ε + ❧♦❣ ❧♦❣✷(n/ε) ✷

• ✳

❍❡♥❝❡ PS( S = S) ≤

• i /

∈S

P(i ∈ S) +

• i∈S

P(i / ∈ S) ≤ ε .

❆❞❛♣t✐✈❡ s❡♥s✐♥❣

❙✐♠♣❧❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❢♦r r❡❝♦✈❡r② ✲ ❛♥❛❧②s✐s ❍♦✇ ♠✉❝❤ ♣r❡❝✐s✐♦♥ ❞♦ ✇❡ ✉s❡ ✐♥ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥❄ ES

• t

Γt

• ≤ Γ
• i /

∈S

✷ +

• i∈S

❧♦❣✷(n/ε)

• ≤ ✶

✸(✷n+s ❧♦❣(n/ε)) ≤ n ✐❢ s ≪ n✳ ❚♦ s✉♠♠❛r✐③❡✱ t❤✐s s✐♠♣❧❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡ s✉❝❝❡❡❞s ✇❤❡♥ µ

• ❧♦❣ s + ❧♦❣ ❧♦❣ n + ❧♦❣ ✶

ε .

❘❡♠✐♥❞❡r ✲ ❙▲❘❚ ✭❲❛❧❞✮

❲❡ ✇✐s❤ t♦ t❡st H✵ : Yj ∼ N(✵, Γ−✶) ❛♥❞ H✶ : Yj ∼ N(µ, Γ−✶)✱ j ∈ N ✇✐t❤ ❛s ❢❡✇ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s ❛s ♣♦ss✐❜❧❡ ✭✐♥ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥✮ ✇✐t❤ ♣r❡s❝r✐❜❡❞ ❡rr♦r ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s α, β✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♣r♦❝❡ss Z✵ = ✵, Zt =

t

• j=✶

❧♦❣ f✶(Yi) f✵(Yi) , t = ✶, ✷, . . . ▲❡t l = ❧♦❣ β < ✵ < u = ❧♦❣(✶/α) ❛♥❞ T = ✐♥❢{t : Zt / ∈ (l, u)}✳ ❲❡ t❤❡♥ ❤❛✈❡ P✵(ZT ≥ u) ≤ α ❛♥❞ P✶(ZT ≤ l) ≤ β✳ ❆s Γ → ✵ ✇❡ ❛❧s♦ ❤❛✈❡

• P✵(ZT ≥ u) → α ❛♥❞ P✶(ZT ≤ l) → β
• E✵(T) ≈

✷ Γµ✷ ❧♦❣ ✶ β ❛♥❞ E✶(T) ≈ ✷ Γµ✷ ❧♦❣ ✶ α

❆❞❛♣t✐✈❡ s❡♥s✐♥❣

❘❡✜♥❡♠❡♥t ❘❡♣❧❛❝❡ t❤❡ ❝♦r❡ ♦❢ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✇✐t❤ ❛ ❙▲❘❚ t♦ t❡st ❜❡t✇❡❡♥ xi = ✵ ❛♥❞ xi = µ✳ ❙❡t ❚②♣❡ ■ ❛♥❞ ■■ ❡rr♦r ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s t♦ ❜❡ α = ε/n ❛♥❞ β = ε/s✳ ❲❡ ❤❛✈❡ PS( S = S) ≤ ε ❛s ❜❡❢♦r❡✳ ❚❤❡ ♣r❡❝✐s✐♦♥ ✉s❡❞ ✭✐♥ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥✮ ✐s ES

• t

Γt

• ≤ ✷

µ✷

• n ❧♦❣ s

ε + s ❧♦❣ n ε

• .

■❢ n ✐s ❧❛r❣❡ ✭❛♥❞ s ≪ n✮ t❤✐s ✐s ❛t ♠♦st n ✇❤❡♥❡✈❡r µ ≥

• ✷ ❧♦❣ s

ε + o(✶) . ❚❤✐s ✐s ♦♣t✐♠❛❧✳

❆❞❛♣t✐✈❡ s❡♥s✐♥❣

❉❡t❡❝t✐♦♥ ❲❤❛t ❛❜♦✉t ❞❡t❡❝t✐♦♥❄ ❊❛s②✿ s❡t α ❛s ❜❡❢♦r❡ ❛♥❞ β =

s

√ε✳ ❚❤✐s ❡♥s✉r❡s t❤❛t ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ s✐❣♥❛❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✐s ❢♦✉♥❞ ✇✳♣✳ ✶ − ε ✉♥❞❡r t❤❡ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡✳ ❙❝❛❧✐♥❣ ❧❛✇s ❞♦ ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ❛♥②♠♦r❡ ✭❛s ❧♦♥❣ ❛s ✇❡ ❤❛✈❡ s②♠♠❡tr② ✐♥ t❤❡ ❝❧❛ss✮✦

❆❞❛♣t✐✈❡ s❡♥s✐♥❣

❙tr✉❝t✉r❡❞ ❘❡❝♦✈❡r② ❋♦r ❝❡rt❛✐♥ ❝❧❛ss❡s ✐t ✐s ❡♥♦✉❣❤ t♦ ✜♥❞ ♦♥❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❜❡❝♦♠❡s ✧❡❛s②✧✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✐❢ t❤❡r❡ ✇❛s ♥♦ ♥♦✐s❡✿

❆❞❛♣t✐✈❡ s❡♥s✐♥❣

❙tr✉❝t✉r❡❞ ❘❡❝♦✈❡r② ❋♦r ❝❡rt❛✐♥ ❝❧❛ss❡s ✐t ✐s ❡♥♦✉❣❤ t♦ ✜♥❞ ♦♥❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❜❡❝♦♠❡s ✧❡❛s②✧✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✐❢ t❤❡r❡ ✇❛s ♥♦ ♥♦✐s❡✿

❆❞❛♣t✐✈❡ s❡♥s✐♥❣

❙tr✉❝t✉r❡❞ ❘❡❝♦✈❡r② ❋♦r ❝❡rt❛✐♥ ❝❧❛ss❡s ✐t ✐s ❡♥♦✉❣❤ t♦ ✜♥❞ ♦♥❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❜❡❝♦♠❡s ✧❡❛s②✧✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✐❢ t❤❡r❡ ✇❛s ♥♦ ♥♦✐s❡✿

❆❞❛♣t✐✈❡ s❡♥s✐♥❣

❙tr✉❝t✉r❡❞ ❘❡❝♦✈❡r② ❋♦r ❝❡rt❛✐♥ ❝❧❛ss❡s ✐t ✐s ❡♥♦✉❣❤ t♦ ✜♥❞ ♦♥❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❜❡❝♦♠❡s ✧❡❛s②✧✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✐❢ t❤❡r❡ ✇❛s ♥♦ ♥♦✐s❡✿

❆❞❛♣t✐✈❡ s❡♥s✐♥❣

❙tr✉❝t✉r❡❞ ❘❡❝♦✈❡r② ❋♦r ❝❡rt❛✐♥ ❝❧❛ss❡s ✐t ✐s ❡♥♦✉❣❤ t♦ ✜♥❞ ♦♥❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❜❡❝♦♠❡s ✧❡❛s②✧✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✐❢ t❤❡r❡ ✇❛s ♥♦ ♥♦✐s❡✿

❆❞❛♣t✐✈❡ s❡♥s✐♥❣

❙tr✉❝t✉r❡❞ ❘❡❝♦✈❡r② ❋♦r ❝❡rt❛✐♥ ❝❧❛ss❡s ✐t ✐s ❡♥♦✉❣❤ t♦ ✜♥❞ ♦♥❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❜❡❝♦♠❡s ✧❡❛s②✧✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✐❢ t❤❡r❡ ✇❛s ♥♦ ♥♦✐s❡✿

❆❞❛♣t✐✈❡ s❡♥s✐♥❣

❙tr✉❝t✉r❡❞ ❘❡❝♦✈❡r② ❋♦r ❝❡rt❛✐♥ ❝❧❛ss❡s ✐t ✐s ❡♥♦✉❣❤ t♦ ✜♥❞ ♦♥❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❜❡❝♦♠❡s ✧❡❛s②✧✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✐❢ t❤❡r❡ ✇❛s ♥♦ ♥♦✐s❡✿

❆❞❛♣t✐✈❡ s❡♥s✐♥❣

❙tr✉❝t✉r❡❞ ❘❡❝♦✈❡r② ❋♦r ❝❡rt❛✐♥ ❝❧❛ss❡s ✐t ✐s ❡♥♦✉❣❤ t♦ ✜♥❞ ♦♥❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❜❡❝♦♠❡s ✧❡❛s②✧✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✐❢ t❤❡r❡ ✇❛s ♥♦ ♥♦✐s❡✿

❆❞❛♣t✐✈❡ s❡♥s✐♥❣

❙tr✉❝t✉r❡❞ ❘❡❝♦✈❡r② ▼❛✐♥ ✐❞❡❛✿ t❛❦❡ ❛ ✧♥♦✐s❡❧❡ss ❝❛s❡✧ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r s✉♣♣♦rt r❡❝♦✈❡r② ❛♥❞ ✧r♦❜✉st✐❢②✧ ✐t ❛❣❛✐♥st ♥♦✐s❡ ❜② ✉s✐♥❣ ❙▲❘❚s✳ ❚②♣✐❝❛❧❧② t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✇✐❧❧ ❤❛✈❡ t✇♦ ♣❤❛s❡s✿

• ❙❡❛r❝❤✿ ❋✐♥❞ ❛♥ ❛❝t✐✈❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✭❝❛♥ ❛❧s♦ ✉s❡ r❛♥❞♦♠

s❡❛r❝❤✮

• ❘❡✜♥❡♠❡♥t✿ ❊①♣❧♦✐t str✉❝t✉r❡ ❛r♦✉♥❞ t❤❛t ❝♦♠♣♦♥❡♥t

❆❧❣♦r✐t❤♠s ♠❛② ❛❧t❡r♥❛t❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ t✇♦ ♣❤❛s❡s ✭❢♦r ✐♥st❛♥❝❡ ✐♥ ❝❛s❡ ♦❢ ✉♥✐♦♥s ♦❢ st❛rs✮✳ ❚❤❡ ♠❛✐♥ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ t✇♦ ♣❤❛s❡s ✐s t❤❛t t❤❡ ❡rr♦r ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ❢♦r t❤❡ ❙▲❘❚s ❛r❡ s❡t ❞✐✛❡r❡♥t❧②✳

❆❞❛♣t✐✈❡ s❡♥s✐♥❣

❉❡t❡❝t✐♦♥ ❙t✐❧❧ ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❡rr♦r ✇❡ ❣❡t ✭r❡❝❛❧❧ ✇❡ ❛r❡ ✐♥ t❤❡ s♣❛rs❡ r❡❣✐♠❡ s ≪ n✮✳

❆❞❛♣t✐✈❡ s❡♥s✐♥❣

❉❡t❡❝t✐♦♥ ❋♦r t❡❝❤♥✐❝❛❧ r❡❛s♦♥s ✇❡ ♦♥❧② ♠❛♥❛❣❡❞ t♦ s❤♦✇ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s ❢♦r t❤❡ r❡❝♦✈❡r② ♣r♦❜❧❡♠ ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ ♠❛①

S∈C ES(|

S△S|) ≤ ε✳ ❆❞❛♣t✐✈❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❝❛♥ ✐♠♣r♦✈❡ ♦♥ ♥♦♥✲❛❞❛♣t✐✈❡ ♦♥❡s ❜②

• ❇❡tt❡r ♠✐t✐❣❛t✐♥❣ t❤❡ ❡✛❡❝ts ♦❢ ♥♦✐s❡ ❧♦❣ n ❀ ❧♦❣ s
• ❇❡tt❡r ❝❛♣✐t❛❧✐③✐♥❣ ♦♥ str✉❝t✉r❡ ✭✐♥ ❝❡rt❛✐♥ ❝❛s❡s✮ ❀ ✶/s

❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦♠♣r❡ss❡❞ s❡♥s✐♥❣

❋r❛♠❡✇♦r❦ ❚❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥ s✐❣♥❛❧ ❛♥❞ t❤❡ ❣♦❛❧s ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡ ❛s ❜❡❢♦r❡✳ ❉✐✛❡r❡♥t ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♠♦❞❡❧✿ Yt = < x, A(t) > + Wt, Wt

iid

∼ N(✵, ✶), t = ✶, ✷, . . . , ✇❤❡r❡ A(t) ∈ Rn ❝❛♥ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ♣❛st ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s {A(j), Yj}t−✶

j=✶✱

❛♥❞ ♠✉st s❛t✐s❢② ES

• t

A(t)✷

F

• ≤ n, ∀S ∈ C .

❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦♠♣r❡ss❡❞ s❡♥s✐♥❣

❉❡t❡❝t✐♦♥ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❡♥❡r❣② t❡st Y✶ =< x, ✶ > +W✶✱ ✇❤❡r❡ ✶ ∈ Rn ✐s ❛ ✈❡❝t♦r ♦❢ ♦♥❡s ❛♥❞ Ψ = ✶{Y✶ > sµ/✷}✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ♠❛①

i=✵,✶ Pi(Ψ = i) ≤ ε ,

✇❤❡♥❡✈❡r µ ≥

• ✽

s✷ ❧♦❣ ✶ ✷ε✳ ❚❤✐s ✐s ♦♣t✐♠❛❧ ❛♠♦♥❣ ❛❧❧ t❡sts

✭❛❞❛♣t✐✈❡ ♦r ♥♦♥✲❛❞❛♣t✐✈❡✮✳ ❙tr✉❝t✉r❡ ❛♥❞ ❛❞❛♣t✐✈✐t② ❞♦ ♥♦t ♣❧❛② ❛ r♦❧❡✳

❆r✐❛s✲❈❛str♦ ✭✷✵✶✷✮✿ ❉❡t❡❝t✐♥❣ ❛ ✈❡❝t♦r ❜❛s❡❞ ♦♥ ❧✐♥❡❛r ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts

❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦♠♣r❡ss❡❞ s❡♥s✐♥❣

❙✐♠♣❧❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❢♦r r❡❝♦✈❡r② ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✶✲s♣❛rs❡ ❝❛s❡✱ ❛♥❞ ❛ ❜✐♥❛r② s❡❛r❝❤ ❛❧❣♦r✐t❤♠✳ ▲❡t A(✶) ∈ Rn s✳t✳ A(✶)

i

= ✶{i ≤ n/✷} ❛♥❞ Y✶ =< x, A(✶) > +W✶✳ ■❢ Y✶ > µ/✷ ✧❣♦ ❧❡❢t✧ ♦t❤❡r✇✐s❡ ✧❣♦ r✐❣❤t✧✱ ❛♥❞ ✐t❡r❛t❡✳ ❚❤✐s s✐♠♣❧❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❤❛s ♠❛①

S∈C PS(

S = S) ≤ ε ✇❤❡♥❡✈❡r µ ≥

• ✽
• ❧♦❣ ❧♦❣✷ n

✷ + ❧♦❣ ✶ ε

• .

✭❛❧s♦ A(t)✷

F ≤ n✮

❙✐♠✐❧❛r❧② ❛s ❜❡❢♦r❡✱ r❡♣❧❛❝✐♥❣ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s ❜② ❙▲❘❚s ✭♠✉❧t✐♣❧❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✇✐t❤ s♠❛❧❧ s❡♥s✐♥❣ ❡♥❡r❣②✮ ✇❡ ❝❛♥ ❣❡t r✐❞ ♦❢ t❤❡ ❧♦❣ ❧♦❣ t❡r♠✳

❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦♠♣r❡ss❡❞ s❡♥s✐♥❣

❘❡❝♦✈❡r② ❖♥❡ ❝❛♥ ✉s❡ t❤❡ ✐♥s✐❣❤ts ❣❛✐♥❡❞ ❛❜♦✈❡ ❢♦r str✉❝t✉r❡❞ r❡❝♦✈❡r②✳ ❋♦r s✲s♣❛rs❡ s❡ts ❞♦ s ❜✐♥❛r② s❡❛r❝❤❡s ✐♥ ♣❛r❛❧❧❡❧✳ ❋♦r str✉❝t✉r❡❞ s❡ts ❞♦ t✇♦ ♣❤❛s❡s ❛s ❜❡❢♦r❡✳ ■♥ t❤❡ s❡❛r❝❤ ♣❤❛s❡

• ■♥t❡r✈❛❧s✿ ❙❡❛r❝❤ ❢♦r ❛ ❜❧♦❝❦ ♦❢ ❛❝t✐✈❛t✐♦♥✳
• ❙t❛rs✿ ❙❡❛r❝❤ ❢♦r t❤❡ ❝❡♥t❡r ♦❢ t❤❡ ❛❝t✐✈❡ st❛r✳
• ❙✉❜♠❛tr✐❝❡s✿ ❙❡❛r❝❤ ❢♦r r♦✇s t❤❛t ❝♦♥t❛✐♥ ❛❝t✐✈❛t✐♦♥✳

❚❤❡ r❡✜♥❡♠❡♥t ♣❤❛s❡s ❛r❡ ✧❡❛s②✧ ✇❤❡♥ s ≪ n ✭❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ s❡❛r❝❤ ♣❤❛s❡s✮✳

▼❛❧❧♦②✱ ◆♦✇❛❦ ✭✷✵✶✸✮✿ ◆❡❛r✲❖♣t✐♠❛❧ ❛❞❛♣t✐✈❡ ❝♦♠♣r❡ss❡❞ s❡♥s✐♥❣

❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦♠♣r❡ss❡❞ s❡♥s✐♥❣

❘❡❝♦✈❡r② ◆♦♥✲❛❞❛♣t✐✈❡ r❛t❡s ❛r❡ ♥❡❝❡ss❛r②✱ ❛❞❛♣t✐✈❡ ♦♥❡s ❛r❡ s✉✣❝✐❡♥t ❛♥❞ ❡①❝❡♣t ❢♦r s✉❜♠❛tr✐❝❡s ❛❧s♦ ♥❡❝❡ss❛r②✳ ❙✐♠✐❧❛r ❜❡❤❛✈✐♦r ❛s ❜❡❢♦r❡✳

❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦♠♣r❡ss❡❞ s❡♥s✐♥❣

❘❡♠❛r❦ ✲ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❆♣♣❡❛❧ ♦❢ ❝♦♠♣r❡ss✐✈❡ s❡♥s✐♥❣✿ ❢❡✇ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ✭≈ s ❧♦❣ n✮✳ ❲❡ ❧♦s❡ t❤✐s ✐♥ t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❛❜♦✈❡✳ ◆♦t❡ t❤❛t ✐♥ ❜✐♥❛r② s❡❛r❝❤ A(t)✵ = ✷−t✳ ❚❤✐s ❛❧❧♦✇s ✉s t♦ ❝❤♦♦s❡ A(t)✷

F ∼ t✷−t ❛♥❞ st✐❧❧ s❛t✐s✜❡s t A(t)✷ F ≤ n✳ ❚❤✐s ✇❛② ✇❡ ❣❡t

r✐❞ ♦❢ t❤❡ ❧♦❣ ❧♦❣ t❡r♠ ✭❛t t❤❡ ♣r✐❝❡ ♦❢ ❛♥ ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥st❛♥t✮✳ ❙❛♠❡ ❝❛♥ ❜❡ ❞♦♥❡ t♦ ❛❧❧ ♦t❤❡r ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❀ s❛♠❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡✱ s♠❛❧❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ■♥ t❤❡ ♥♦♥✲❛❞❛♣t✐✈❡ ❝❛s❡ s ❧♦❣ n ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ ♦♣t✐♠❛❧✳ ■♥ t❤❡ ♥♦♥✲❛❞❛♣t✐✈❡ ❝❛s❡ ✇❡ ❞♦♥✬t ❦♥♦✇ ✭②❡t✮✳

❆❞❛♣t✐✈❡ s❡♥s✐♥❣

❋✐♥❛❧ r❡♠❛r❦ ❚❤❡ ❝r✉① ♦❢ ❛❧❧ ❛❞❛♣t✐✈❡ s❡♥s✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ✐s t❤❡ s❛♠♣❧✐♥❣ str❛t❡❣②✳ ❲❡ ❛✐♠ t♦ ❝♦❧❧❡❝t t❤❡ ♠♦st ✧✐♥❢♦r♠❛t✐✈❡✧ s❛♠♣❧❡s ❜❛s❡❞ ♦♥ ✇❤❛t ✇❡ ❛❧r❡❛❞② ❧❡❛r♥❡❞✳ ❲♦✉❧❞ ❛ s❛♠♣❧✐♥❣ str❛t❡❣② t❤❛t ❛t t✐♠❡ t = ✶, ✷, . . . ❞❡❝✐❞❡s ✇❤❛t t♦ ❞♦ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ♣♦st❡r✐♦r ♦❢ S|Y✶, . . . , Yt−✶ ♠❛❦❡ s❡♥s❡❄