stt Pr t t - - PowerPoint PPT Presentation

❊st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ P❛r❛❧❧❡❧ ❈♦♠♣❧❡①✐t② ✇✐t❤ ❘❡✇r✐t✐♥❣ ❚❡❝❤♥✐q✉❡s

❈❤r✐st♦♣❤❡ ❆❧✐❛s⋆✱ ❈❛rst❡♥ ❋✉❤s†✱ ▲❛✉r❡ ●♦♥♥♦r❞‡

⋆ ■◆❘■❆ ✫ ▲■P ✭❯▼❘ ❈◆❘❙✴❊◆❙ ▲②♦♥✴❯❈❇ ▲②♦♥✶✴■◆❘■❆✮✱ ▲②♦♥✱ ❋r❛♥❝❡✱

❝❤r✐st♦♣❤❡✳❛❧✐❛s❅❡♥s✲❧②♦♥✳❢r

† ❇✐r❦❜❡❝❦✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ▲♦♥❞♦♥✱ ❯♥✐t❡❞ ❑✐♥❣❞♦♠✱

❝❛rst❡♥❅❞❝s✳❜❜❦✳❛❝✳✉❦

‡ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ▲②♦♥ ✫ ▲■P ✭❯▼❘ ❈◆❘❙✴❊◆❙ ▲②♦♥✴❯❈❇ ▲②♦♥✶✴■◆❘■❆✮✱ ▲②♦♥✱

❋r❛♥❝❡✱ ❧❛✉r❡✳❣♦♥♥♦r❞❅❡♥s✲❧②♦♥✳❢r

▲❛♥❣✉❛❣❡s✱ ❈♦♠♣✐❧❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❙❡♠❛♥t✐❝s✱ ▲■P ❙❡♠✐♥❛r ◆♦✈❡♠❜❡r✱ ✸r❞ ✷✵✶✻

✶ ✴ ✷✸

❖✉t❧✐♥❡

✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✷ P❛r❛❧❧❡❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ r❡❣✉❧❛r ♣r♦❣r❛♠s

P❛r❛❧❧❡❧✐③❛t✐♦♥ → ❚❡r♠✐♥❛t✐♦♥

✸ P❛r❛❧❧❡❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ r❡❝✉rs✐✈❡ ♣r♦❣r❛♠s

❚❡r♠✐♥❛t✐♦♥ → P❛r❛❧❧❡❧✐③❛t✐♦♥

✹ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s ✷ ✴ ✷✸

❈♦♥t❡①t✿ ❱❡r✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ P❛r❛❧❧❡❧ ❙②st❡♠s✳✳✳

P❛r❛❧❧❡❧ ❙②st❡♠s ▼❛♥② ♠♦❞❡❧s✿ ❑P◆ ✭❛♥❞ ✈❛r✐❛♥ts✮✱ ❙❉❋ ✭❛♥❞ ✈❛r✐❛♥ts✮✱ ❡t❝ ❈♦rr❡❝t♥❡ss ❉❡t❡r♠✐♥✐s♠ ❚❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ❊✣❝✐❡♥❝② ▲❛t❡♥❝② ❇❛♥❞✇✐❞t❤

✸ ✴ ✷✸

✳✳✳ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ♣❛r❛❧❧❡❧✐③✐♥❣ ❝♦♠♣✐❧❡rs✦

❋r♦♠ t❤❡ s♦✉r❝❡ ❝♦❞❡✿ ❚❛r❣❡t ❧❛t❡♥❝②❄ ≥ t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ❚❛r❣❡t ❜❛♥❞✇✐❞t❤❄

✹ ✴ ✷✸

■♥♥❡r P❛r❛❧❧❡❧✐s♠✱ ■

❚r❛❝❡ (ΩI, ≺s❡q)✿ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❡①❡❝✉t❡❞ ❜② t❤❡ ♣r♦❣r❛♠ ♦♥ t❤❡ ✐♥♣✉t I✳ ❯♥❞❡❝✐❞❛❜❧❡ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✦ ❘❡str✐❝t ♣r♦❣r❛♠ ♠♦❞❡❧ P♦❧②❤❡❞r❛❧ ♠♦❞❡❧ ❖✈❡r✲❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ ΩI ❆❜str❛❝t ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❘❡❣✉❧❛r Pr♦❣r❛♠ ΩI ❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ I✳ P♦❧②❤❡❞r❛❧ ♠♦❞❡❧

✺ ✴ ✷✸

P♦❧②❤❡❞r❛❧ ▼♦❞❡❧✿ ❆✣♥❡ ▲♦♦♣ ◆❡sts

❢♦r ✐ ✿❂ ✵ t♦ ✷✯◆ ℓ✶✿ ❝❬✐❪ ✿❂ ✵❀ ❢♦r ✐ ✿❂ ✵ t♦ ◆ ❢♦r ❥ ✿❂ ✵ t♦ ◆ ℓ✷✿ ❝❬✐✰❥❪ ✿❂ ❝❬✐✰❥❪ ✰ ❛❬✐❪✯❜❬❥❪❀

ℓ1 i i j ℓ2

❢♦r ❧♦♦♣ ✇✐t❤ ❛rr❛②s ✰ ❛✣♥❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❝❛♥ ❜❡ ❡♥❝♦❞❡❞ ✇✐t❤ ✐♥t❡❣❡r ♣♦❧②❤❡❞r❛✿

✶ ✐

✐ ✵ ✷◆

✷ ✐ ❥

✐ ❥ ✵ ◆ ✷ ❙t❛t✐❝ ❛♥❛❧②s✐s ✇✐t❤ ■▲P✿ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡s✱ s❝❤❡❞✉❧✐♥❣✱ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥

✻ ✴ ✷✸

P♦❧②❤❡❞r❛❧ ▼♦❞❡❧✿ ❆✣♥❡ ▲♦♦♣ ◆❡sts

❢♦r ✐ ✿❂ ✵ t♦ ✷✯◆ ℓ✶✿ ❝❬✐❪ ✿❂ ✵❀ ❢♦r ✐ ✿❂ ✵ t♦ ◆ ❢♦r ❥ ✿❂ ✵ t♦ ◆ ℓ✷✿ ❝❬✐✰❥❪ ✿❂ ❝❬✐✰❥❪ ✰ ❛❬✐❪✯❜❬❥❪❀

ℓ1 i i j ℓ2

❢♦r ❧♦♦♣ ✇✐t❤ ❛rr❛②s ✰ ❛✣♥❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ΩI ❝❛♥ ❜❡ ❡♥❝♦❞❡❞ ✇✐t❤ ✐♥t❡❣❡r ♣♦❧②❤❡❞r❛✿ ℓ✶, ✐ : ✐ ∈ ✵, ✷◆ ℓ✷, ✐, ❥ : (✐, ❥) ∈ ✵, ◆✷ ❙t❛t✐❝ ❛♥❛❧②s✐s ✇✐t❤ ■▲P✿ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡s✱ s❝❤❡❞✉❧✐♥❣✱ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥

✻ ✴ ✷✸

❚r❡❡ ▼♦❞❡❧✿ ❚r❡❡ ❚r❛✈❡rs❛❧s

♣✉❜❧✐❝ ✐♥t tr❡❡▼❛① ✭✮ ④ ✐♥t ❧❡❢t▼❛① ❂ ■♥t❡❣❡r✳▼■◆❴❱❆▲❯❊❀ ✐♥t r✐❣❤t▼❛① ❂ ■♥t❡❣❡r✳▼■◆❴❱❆▲❯❊❀ ✐❢ ✭t❤✐s✳❧❡❢t ✦❂ ♥✉❧❧✮ ❧❡❢t▼❛① ❂ t❤✐s✳❧❡❢t✳tr❡❡▼❛① ✭✮❀ ✐❢ ✭t❤✐s✳r✐❣❤t ✦❂ ♥✉❧❧✮ r✐❣❤t▼❛① ❂ t❤✐s✳r✐❣❤t✳tr❡❡▼❛① ✭✮❀ r❡t✉r♥ ▼❛t❤✳♠❛①✭t❤✐s✳✈❛❧ ✱ ▼❛t❤✳♠❛①✭❧❡❢t▼❛① ✱ r✐❣❤t▼❛①✮✮❀ ⑥

2 3 4 7

❊❛❝❤ ♥♦❞❡ ✭s✉❜tr❡❡✮ ♦❢ t ✐s ❛♥ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ♦❢ Ωt ◆♦t ❡①❛❝t❧② r❡❣✉❧❛r✱ ❜✉t Ωt ✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡✦

✼ ✴ ✷✸

■♥♥❡r P❛r❛❧❧❡❧✐s♠✱ ■■

❉❛t❛ ❉❡♣❡♥❞❡♥❝❡ r❡❧❛t❡ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♥❣✴❝♦♥✜❝t✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥s✱ → ⊆ Ω × Ω ✉s✉❛❧❧② s♣❧✐t ✐♥t♦ ✢♦✇✲✱ ❛♥t✐✲✱ ♦✉t♣✉t✲❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡s ❙❝❤❡❞✉❧❡ ❆ss✐❣♥ ❞❛t❡s t♦ ♦♣❡r❛t✐♦♥s✱ θ : Ω → (D, ≺) ■♥❞✉❝❡❞ ♦r❞❡r ≺θ = {(s, t), θ(s) ≺ θ(t)} ❈♦rr❡❝t♥❡ss s → t = ⇒ θ(s) ≺ θ(t) ❍❡♥❝❡✿ → ⊆ ≺θ

✽ ✴ ✷✸

▲❛t❡♥❝②

✴✴❈♦♠♣✉t❡ ② ❂ ❆① ❢♦r ✐ ✿❂ ✵ t♦ ◆✲✶ ℓ✶✿ ②❬✐❪ ✿❂ ✵❀ ❢♦r ❥ ✿❂ ✵ t♦ ◆✲✶ ℓ✷✿ ②❬✐❪ ✿❂ ②❬✐❪ ✰ ❛❬✐❪❬❥❪✯①❬❥❪❀ λ = O(◆)

ℓ1 i i j ℓ2

▲❛t❡♥❝② λ ❧♦♥❣❡st ❝❤❛✐♥ ♦❢ → ❉❡❣r❡❡ ♦❢ s❡q✉❡♥t✐❛❧✐t② s♠❛❧❧❡st s ∈ N s✳t✳ λ = O(◆s) ❈♦✉♥t❡r♣❛rt ✐♥ t❤❡ ❚r❡❡ ▼♦❞❡❧❄

✾ ✴ ✷✸

▲✐♥❦s ✇✐t❤ ❚❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ❆♥❛❧②s✐s

❚r❛♥s✐t✐♦♥ s②st❡♠ Σ s❡t ♦❢ st❛t❡s Σ✵ ⊆ Σ ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡s → ⊆ Σ × Σ tr❛♥s✐t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥ ❚❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ❊①❤✐❜✐t ❛ r❛♥❦✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ρ : Σ → (D, ≺) s✳t✳ s → t ⇒ ρ(t) ≺ ρ(s) ❲❈❊❚ λ = ♠❛①{♥, ∃σ✵ ∈ Σ✵ : σ✵ →♥ σ} ❯♣♣❡r ❜♦✉♥❞✿ λ ≤ #{ρ(σ), ∃σ✵ ∈ Σ✵ : σ✵ →∗ σ}

✶✵ ✴ ✷✸

■♥st❛♥❝❡✿ ■♥t❡❣❡r ❚r❛♥s✐t✐♦♥ ❙②st❡♠s

✇❤✐❧❡✭♣ = q✮ ✐❢✭♣❁q✮ ♣ ✿❂ ♣ ✲ q❀ ❡❧s❡ q ✿❂ q ✲ ♣❀

while stop p < q : p := p − q p ≥ q : q := q − p p = q :

❊❛❝❤ st❛t❡ ♦❢ Σ ✐s ❛ ♣❛✐r ℓ, ✐ ρ ✐s ❛✣♥❡ ♣❡r ❝♦♥tr♦❧ ♣♦✐♥t✿ ρ : ℓ, ✐ → ❆✐ + ❜, Σ → (Z♣, ≪)

✶✶ ✴ ✷✸

❈r♦ss ❋❡rt✐❧✐③❛t✐♦♥

P❛r❛❧❧❡❧✐③❛t✐♦♥ ❚❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ❉❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❚r❛♥s✐t✐♦♥ s②st❡♠ ❙❝❤❡❞✉❧❡ ❘❛♥❦✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ▲❛t❡♥❝② ❲❈❊❚

✶✷ ✴ ✷✸

❖✉t❧✐♥❡

✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✷ P❛r❛❧❧❡❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ r❡❣✉❧❛r ♣r♦❣r❛♠s

P❛r❛❧❧❡❧✐③❛t✐♦♥ → ❚❡r♠✐♥❛t✐♦♥

✸ P❛r❛❧❧❡❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ r❡❝✉rs✐✈❡ ♣r♦❣r❛♠s

❚❡r♠✐♥❛t✐♦♥ → P❛r❛❧❧❡❧✐③❛t✐♦♥

✹ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s ✶✸ ✴ ✷✸

❉❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❆♥❛❧②s✐s

❢♦r ✐ ✿❂ ✵ t♦ ✷✯◆ ℓ✶✿ ❝❬✐❪ ✿❂ ✵❀ ❢♦r ✐ ✿❂ ✵ t♦ ◆ ❢♦r ❥ ✿❂ ✵ t♦ ◆ ℓ✷✿ ❝❬✐✰❥❪ ✿❂ ❝❬✐✰❥❪ ✰ ❛❬✐❪✯❜❬❥❪❀

ℓ1 i i j ℓ2

■❞❡❛✿ ●✐✈❡♥ ❛ ❝♦♥s✉♠❡r✱ ✜♥❞ t❤❡ ❧❛st ♣r♦❞✉❝❡r ■▲P✳

◆ ✐s ❛♥ ❛✣♥❡ r❡❧❛t✐♦♥✿ ✷ ✐

✶ ❥ ✶

◆ ✷ ✐ ❥

✐ ✵ ❥ ◆

✶ ✐ ◆ ✷ ✵ ✐

✵ ✐ ◆

✶ ✐ ◆ ✷ ✐

◆ ◆ ◆ ✐ ✷◆

✶✹ ✴ ✷✸

❉❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❆♥❛❧②s✐s

❢♦r ✐ ✿❂ ✵ t♦ ✷✯◆ ℓ✶✿ ❝❬✐❪ ✿❂ ✵❀ ❢♦r ✐ ✿❂ ✵ t♦ ◆ ❢♦r ❥ ✿❂ ✵ t♦ ◆ ℓ✷✿ ❝❬✐✰❥❪ ✿❂ ❝❬✐✰❥❪ ✰ ❛❬✐❪✯❜❬❥❪❀

ℓ1 i i j ℓ2

■❞❡❛✿ ●✐✈❡♥ ❛ ❝♦♥s✉♠❡r✱ ✜♥❞ t❤❡ ❧❛st ♣r♦❞✉❝❡r ■▲P✳ →◆ ✐s ❛♥ ❛✣♥❡ r❡❧❛t✐♦♥✿ ℓ✷, ✐ − ✶, ❥ + ✶ →◆ ℓ✷, ✐, ❥ : ✐ > ✵ ∧ ❥ < ◆ ℓ✶, ✐ →◆ ℓ✷, ✵, ✐ : ✵ ≤ ✐ ≤ ◆ ℓ✶, ✐ →◆ ℓ✷, ✐ − ◆, ◆ : ◆ < ✐ ≤ ✷◆

✶✹ ✴ ✷✸

❉❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❆♥❛❧②s✐s ✕ ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

ℓ1 ℓ2 0 ≤ i ≤ N : (i) → (0, i) N < i ≤ 2N : (i) → (i − N, N) 0 ≤ i, j ≤ N, i > 0, j < N : (i − 1, j + 1) → (i, j)

ℓ1 i i j ℓ2

→◆ ✐s ❛♥ ❛✣♥❡ r❡❧❛t✐♦♥✿ ℓ✷, ✐ − ✶, ❥ + ✶ →◆ ℓ✷, ✐, ❥ : ✐ > ✵ ∧ ❥ < ◆ ℓ✶, ✐ →◆ ℓ✷, ✵, ✐ : ✵ ≤ ✐ ≤ ◆ ℓ✶, ✐ →◆ ℓ✷, ✐ − ◆, ◆ : ◆ < ✐ ≤ ✷◆ ✳✳✳ ✜♥✐t❡❧② r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❛s ❛ ❣r❛♣❤ ✭P❘❉●✮

✶✺ ✴ ✷✸

❙❝❤❡❞✉❧✐♥❣

ℓ1 ℓ2 θℓ1(i) = (0) θℓ2(i, j) = (1, i) 0 ≤ i ≤ N : (i) → (0, i) N < i ≤ 2N : (i) → (i − N, N) 0 ≤ i, j ≤ N, i > 0, j < N : (i − 1, j + 1) → (i, j)

ℓ1 i i j ℓ2

❚✐♠❡st❛♠♣s ❛r❡ ✈❡❝t♦rs ♦❢ (N❞ℓ, ≪)✳ ❆✣♥❡ s❝❤❡❞✉❧❡✿ θℓ : ① → ❆ℓ ① + ❇ℓ ◆ + ❝ℓ Dℓ → (N❞ℓ, ≪) ❈❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ✇✐t❤ ■▲P ❇♦♥✉s✿ r❡✈❡rs❡ t❤❡ ♦r❞❡r✿ t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠✦ ❬❘❛♥❑✱ ✷✵✶✵❪

✶✻ ✴ ✷✸

❙❝❤❡❞✉❧✐♥❣

ℓ1 ℓ2 θℓ1(i) = (0) θℓ2(i, j) = (1, i) 0 ≤ i ≤ N : (i) → (0, i) N < i ≤ 2N : (i) → (i − N, N) 0 ≤ i, j ≤ N, i > 0, j < N : (i − 1, j + 1) → (i, j)

ℓ1 i i j ℓ2

❚✐♠❡st❛♠♣s ❛r❡ ✈❡❝t♦rs ♦❢ (N❞ℓ, ≪)✳ ❆✣♥❡ s❝❤❡❞✉❧❡✿ θℓ : ① → ❆ℓ ① + ❇ℓ ◆ + ❝ℓ Dℓ → (N❞ℓ, ≪) ❈❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ✇✐t❤ ■▲P ❇♦♥✉s✿ r❡✈❡rs❡ t❤❡ ♦r❞❡r✿ t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠✦ ❬❘❛♥❑✱ ✷✵✶✵❪

✶✻ ✴ ✷✸

❖✉t❧✐♥❡

✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✷ P❛r❛❧❧❡❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ r❡❣✉❧❛r ♣r♦❣r❛♠s

P❛r❛❧❧❡❧✐③❛t✐♦♥ → ❚❡r♠✐♥❛t✐♦♥

✸ P❛r❛❧❧❡❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ r❡❝✉rs✐✈❡ ♣r♦❣r❛♠s

❚❡r♠✐♥❛t✐♦♥ → P❛r❛❧❧❡❧✐③❛t✐♦♥

✹ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s ✶✼ ✴ ✷✸

❚❛r❣❡t✿ r❡❝✉rs✐✈❡ ♣r♦❣r❛♠s ♦♥ tr❡❡s

♣✉❜❧✐❝ ✐♥t tr❡❡▼❛① ✭✮ ④ ✐♥t ❧❡❢t▼❛① ❂ ■♥t❡❣❡r✳▼■◆❴❱❆▲❯❊❀ ✐♥t r✐❣❤t▼❛① ❂ ■♥t❡❣❡r✳▼■◆❴❱❆▲❯❊❀ ✐❢ ✭t❤✐s✳❧❡❢t ✦❂ ♥✉❧❧✮ ❧❡❢t▼❛① ❂ t❤✐s✳❧❡❢t✳tr❡❡▼❛① ✭✮❀ ✐❢ ✭t❤✐s✳r✐❣❤t ✦❂ ♥✉❧❧✮ r✐❣❤t▼❛① ❂ t❤✐s✳r✐❣❤t✳tr❡❡▼❛① ✭✮❀ r❡t✉r♥ ▼❛t❤✳♠❛①✭t❤✐s✳✈❛❧ ✱ ▼❛t❤✳♠❛①✭❧❡❢t▼❛① ✱ r✐❣❤t▼❛①✮✮❀ ⑥

2 3 4 7

❊❛❝❤ ♥♦❞❡ ✭s✉❜tr❡❡✮ ♦❢ t ✐s ❛♥ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ♦❢ Ωt✳ → ❝❛♥ ❜❡ ❡♥❝♦❞❡❞ ❛s ❛ t❡r♠ r❡✇r✐t❡ s②st❡♠ ✭❚❘❙✮✿ ❞❡♣(❚r❡❡(✈❛❧, ❧❡❢t, r✐❣❤t)) → ❞❡♣(❧❡❢t) ❞❡♣(❚r❡❡(✈❛❧, ❧❡❢t, r✐❣❤t)) → ❞❡♣(r✐❣❤t) ❍♦✇ t♦ s❝❤❡❞✉❧❡ ✭❝❤❡❝❦ t❤❡ t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢✮ ❛ ❚❘❙❄ ❲✐t❤ ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s✦ ❬❆Pr♦❱❊✱ ❑♦❆❚❪

✶✽ ✴ ✷✸

▼♦♥♦t♦♥❡ ■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s

• ✐✈❡♥ ❛ ❚❘❙ → ♦✈❡r ❛ t❡r♠ ❛❧❣❡❜r❛ T (Σ)✿

❆ss✐❣♥ ❡❛❝❤ s②♠❜♦❧ ❛/♥ ∈ Σ ✇✐t❤ [❛] : ❘♥ → ❘✳ ❚❤❡ ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ t❡r♠ ✐s✿ ❢ (t✶, . . . , t♥) = [❢ ](t✶, . . . , t♥) ❈♦rr❡❝t♥❡ss✿ t → ✉ ⇒ t > ✉✳ P♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❜② ❑♦❆❚✳

✶✾ ✴ ✷✸

P✉tt✐♥❣ ✐t ❛❧❧ t♦❣❡t❤❡r

♣✉❜❧✐❝ ✐♥t tr❡❡▼❛① ✭✮ ④ ✐♥t ❧❡❢t▼❛① ❂ ■♥t❡❣❡r✳▼■◆❴❱❆▲❯❊❀ ✐♥t r✐❣❤t▼❛① ❂ ■♥t❡❣❡r✳▼■◆❴❱❆▲❯❊❀ ✐❢ ✭t❤✐s✳❧❡❢t ✦❂ ♥✉❧❧✮ ❧❡❢t▼❛① ❂ t❤✐s✳❧❡❢t✳tr❡❡▼❛① ✭✮❀ ✐❢ ✭t❤✐s✳r✐❣❤t ✦❂ ♥✉❧❧✮ r✐❣❤t▼❛① ❂ t❤✐s✳r✐❣❤t✳tr❡❡▼❛① ✭✮❀ r❡t✉r♥ ▼❛t❤✳♠❛①✭t❤✐s✳✈❛❧ ✱ ▼❛t❤✳♠❛①✭❧❡❢t▼❛① ✱ r✐❣❤t▼❛①✮✮❀ ⑥

24,3 31,1 42,2 71,1

▼♦♥♦t♦♥❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ P❛r❛❧❧❡❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② [❞❡♣](①✶) = ①✶ [❚r❡❡](①✶, ①✷, ①✸) = ①✷ + ①✸ + ✶ λ = O(❤❡✐❣❤t(t)) [❞❡♣](①✶) = ①✶ [❚r❡❡](①✶, ①✷, ①✸) = ♠❛①(①✷, ①✸) + ✶ λ = O(❤❡✐❣❤t(t))

✷✵ ✴ ✷✸

❲❤❛t ❤❛♣♣❡♥s ♦♥ ♣♦❧②❤❡❞r❛❧ ♣r♦❣r❛♠s❄

❢♦r✭✐❂✵❀ ✐❁❂◆❀ ✐✰✰✮ ❢♦r ✭❥❂✵❀ ❥❁❂◆❀ ❥✰✰✮ ✴✴ ❇❧♦❝❦ ❙ ④ ♠✶❬✐❪❬❥❪ ❂ ■♥t❡❣❡r✳▼■◆❴❱❆▲❯❊❀ ❢♦r✭❦❂✶❀ ❦❁❂✐❀ ❦✰✰✮ ♠✶❬✐❪❬❥❪ ❂ ♠❛①✭♠✶❬✐❪❬❥❪✱❍❬✐✲❦❪❬❥❪ ✰ ❲❬❦❪✮❀ ♠✷❬✐❪❬❥❪ ❂ ■♥t❡❣❡r✳▼■◆❴❱❆▲❯❊❀ ❢♦r✭❦❂✶❀ ❦❁❂❥❀ ❦✰✰✮ ♠✷❬✐❪❬❥❪ ❂ ♠❛①✭♠✷❬✐❪❬❥❪✱❍❬✐❪❬❥✲❦❪ ✰ ❲❬❦❪✮❀ ❍❬✐❪❬❥❪ ❂ ♠❛①✭✵✱❍✭✐✲✶✱❥✲✶✮✰s✭❛❬✐❪✱❜❬✐❪✮✱ ♠✶❬✐❪❬❥❪✱♠✷❬✐❪❬❥❪✮❀ ⑥

j i

❞❡♣(✐, ❥) → ❞❡♣(✐ − ✶, ❥ − ✶) : ✵ ≤ ✐ ≤ ♥, ✵ ≤ ❥ ≤ ♥ ❞❡♣(✐, ❥) → ❞❡♣(✐ − ❦, ❥) : ✵ ≤ ✐ ≤ ♥, ✵ ≤ ❥ ≤ ♥, ✶ ≤ ❦ ≤ ✐ ❞❡♣(✐, ❥) → ❞❡♣(✐, ❥ − ℓ) : ✵ ≤ ✐ ≤ ♥, ✵ ≤ ❥ ≤ ♥, ✶ ≤ ℓ ≤ ❥ ❘❡s✉❧t✿ [❞❡♣](①✶, ①✷) = ①✶ + ①✷ λ ≤ ✷♥ ❙❛♠❡ ❛s ✐♥ t❤❡ ♣♦❧②❤❡❞r❛❧ ♠♦❞❡❧✦

✷✶ ✴ ✷✸

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s

P♦s✐t✐♦♥✿ ❚✇♦ s✉❝❝❡ss❢✉❧ ❡①♣❡r✐❡♥❝❡s ♦❢ ❝r♦ss ❢❡rt✐❧✐③❛t✐♦♥ P❛r❛❧❧❡❧✐③❛t✐♦♥ ↔ ❚❡r♠✐♥❛t✐♦♥✳ ▼♦♥♦t♦♥✐❝ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡♥❡✜t t♦ ❛✉t♦♠❛t✐❝ ♣❛r❛❧❧❡❧✐③❛t✐♦♥✳ ◆❛t✉r❛❧ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❛✣♥❡ s❝❤❡❞✉❧✐♥❣ t♦ r❡❝✉rs✐✈❡ ♣r♦❣r❛♠s ▲♦❝❦s✿ ❍♦✇ t♦ ❞❡✜♥❡✴✜♥❞ t❤❡ ❜❡st s❝❤❡❞✉❧❡❄ ❍♦✇ t♦ ❝♦✉♥t t❤❡ st❡♣s❄ ❙t❡♣s t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧✐③✐♥❣ ❝♦♠♣✐❧❡r✿

❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♣❛rt✐t✐♦♥✐♥❣❄

• ❡♥❡r❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣❛r❛❧❧❡❧ ❝♦❞❡ ❣✐✈❡♥ ❛ s❝❤❡❞✉❧❡❄

✷✷ ✴ ✷✸

❚❤❛♥❦s✦

✷✸ ✴ ✷✸