PVMD Delft University of Technology Energy of an 1 electron - - PowerPoint PPT Presentation

PVMD

Delft University of Technology

Energy ¡band ¡diagrams ¡

Miro ¡Zeman ¡

Energy ¡of ¡an ¡ electron ¡

1

Preliminary ¡ ¡assump2ons ¡

Assump2ons: ¡ § The ¡crystal ¡la5ce ¡has ¡no ¡defects ¡ ¡ § All ¡atoms ¡are ¡fixed ¡in ¡one ¡posi;on ¡ § 1-­‑D ¡crystal ¡la5ce ¡

Robert ¡F. ¡Pierret ¡& ¡Gerold ¡W. ¡Neudeck, ¡Semiconductor ¡Fundamentals, ¡Volume ¡VI ¡of ¡Modular ¡Series ¡on ¡Solid ¡State ¡Devices, ¡1st ¡edi;on, ¡page ¡53 ¡

Isolated ¡atom ¡

1-­‑D ¡single-­‑crystal ¡la;ce ¡ a

x=0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡x=(N-­‑1)a ¡ a ¡La5ce ¡constant ¡ ¡ N ¡Number ¡of ¡atoms ¡in ¡crystal ¡

a

The ¡Schrödinger ¡equa2on ¡

Schrödinger ¡equa2on ¡ ¡

Second ¡order ¡differen;al ¡equa;on ¡applied ¡to ¡determine ¡the ¡ wavefunc;on ¡of ¡a ¡system. ¡ ¡

For ¡a ¡par;cle ¡of ¡mass ¡m, ¡moving ¡in ¡a ¡one ¡dimensional ¡system ¡with ¡energy ¡E ¡

Poten2al ¡energy ¡of ¡an ¡electron ¡ ¡

An ¡electron ¡in ¡a ¡crystal ¡la5ce ¡interacts ¡with ¡the ¡atom ¡cores. ¡For ¡purely ¡ Coulombic ¡interac;ons, ¡the ¡poten;al ¡energy ¡of ¡an ¡electron ¡as ¡func;on ¡of ¡ posi;on ¡is ¡a ¡periodic ¡func;on, ¡U(x). ¡

U(x) ¡ x ¡

Robert ¡F. ¡Pierret ¡& ¡Gerold ¡W. ¡Neudeck, ¡Semiconductor ¡Fundamentals, ¡Volume ¡VI ¡of ¡Modular ¡Series ¡on ¡Solid ¡State ¡Devices, ¡1st ¡edi;on, ¡page ¡55 ¡

1-­‑D ¡periodic ¡func2ons ¡simplifica2ons ¡

Bloch ¡theorem ¡

The ¡wavefunc;on ¡of ¡a ¡periodic ¡poten;al ¡in ¡any ¡unit ¡cell ¡is ¡the ¡ same ¡for ¡all ¡the ¡unit ¡cells ¡in ¡a ¡crystal. ¡

Robert ¡F. ¡Pierret ¡& ¡Gerold ¡W. ¡Neudeck, ¡Semiconductor ¡Fundamentals, ¡Volume ¡VI ¡of ¡Modular ¡Series ¡on ¡Solid ¡State ¡Devices, ¡1st ¡edi;on, ¡page ¡56 ¡

1-­‑D ¡periodic ¡func2ons ¡simplifica2ons ¡

For ¡a ¡1-­‑D ¡system: ¡

§ Wavenumber ¡k ¡can ¡have ¡only ¡two ¡dis;nct ¡values ¡for ¡each ¡allowed ¡E ¡ § Δk ¡is ¡in ¡the ¡range ¡–π/a ¡≤ ¡k ¡≤ ¡π/a ¡ § Periodic ¡boundary ¡condi;ons ¡apply ¡for ¡a ¡finite ¡la5ce ¡length ¡ § The ¡la5ce ¡is ¡represented ¡as ¡a ¡closed ¡N-­‑atoms ¡ring ¡ ¡

Robert ¡F. ¡Pierret ¡& ¡Gerold ¡W. ¡Neudeck, ¡Semiconductor ¡Fundamentals, ¡Volume ¡VI ¡of ¡Modular ¡Series ¡on ¡Solid ¡State ¡Devices, ¡1st ¡edi;on, ¡page ¡56 ¡

Kronig-­‑Penney ¡model ¡ ¡

Idealiza;on ¡of ¡the ¡shape of ¡periodic ¡poten;al ¡func;on ¡

U(x) ¡ x ¡ U(x) ¡ x ¡ U0 ¡

• ­‑b ¡

a

Periodic ¡poten2al ¡func2on ¡ Kronig-­‑Penney ¡idealiza2on ¡

Unit ¡cell ¡length ¡= ¡a+b ¡ ¡ ¡

Robert ¡F. ¡Pierret ¡& ¡Gerold ¡W. ¡Neudeck, ¡Semiconductor ¡Fundamentals, ¡Volume ¡VI ¡of ¡Modular ¡Series ¡on ¡Solid ¡State ¡Devices, ¡1st ¡edi;on, ¡page ¡58 ¡

Solu2on ¡of ¡the ¡Schrödinger ¡equa2on ¡

The ¡energy ¡of ¡an ¡electron ¡can ¡be ¡hence ¡determined ¡by ¡solving ¡the ¡Schrödinger ¡ equa;on ¡applying ¡boundary ¡condi;ons ¡in ¡the ¡unit ¡cell ¡length ¡range ¡–b ¡< ¡x ¡< ¡a ¡

Energy ¡bands ¡

Defining: ¡ ¡ ¡ ¡ It ¡can ¡be ¡proven ¡that ¡the ¡only ¡allowed ¡solu;ons ¡lie ¡in ¡the ¡range: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡-­‑1 ¡≤ ¡f(ξ) ¡≤ ¡1 ¡

f(ξ) ¡ ξ ¡ 3 ¡ 2 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 4 ¡ 5 ¡

• ­‑1 ¡
• ­‑2 ¡
• ­‑3 ¡

Band ¡1 ¡ Band ¡2 ¡Band ¡3 ¡ Band ¡4 ¡ Band ¡5 ¡

k ¡= ¡0 ¡ k ¡= ¡± ¡π/(a+b) ¡

Robert ¡F. ¡Pierret ¡& ¡Gerold ¡W. ¡Neudeck, ¡Semiconductor ¡Fundamentals, ¡Volume ¡VI ¡of ¡Modular ¡Series ¡on ¡Solid ¡State ¡Devices, ¡1st ¡edi;on, ¡page ¡61 ¡

Energy ¡dispersion ¡ diagrams ¡

2

Electronic ¡dispersion ¡diagram ¡

E-­‑k ¡diagrams ¡(1-­‑D) ¡

The ¡allowed ¡electronic ¡energy ¡states ¡are ¡plojed ¡as ¡func;on ¡of ¡ the ¡wavenumber, ¡k. ¡ ¡

E ¡ k ¡

• ­‑π/(a+b) ¡

π/(a+b) ¡ 0 ¡ Band ¡1 ¡ Band ¡2 ¡ Band ¡3 ¡ Band ¡4 ¡

For ¡a ¡free ¡par;cle: ¡

Robert ¡F. ¡Pierret ¡& ¡Gerold ¡W. ¡Neudeck, ¡Semiconductor ¡Fundamentals, ¡Volume ¡VI ¡of ¡Modular ¡Series ¡on ¡Solid ¡State ¡Devices, ¡1st ¡edi;on, ¡page ¡62 ¡

Dispersion ¡diagram ¡of ¡3-­‑D ¡crystals ¡

Arno ¡H.M. ¡Smets ¡et ¡al., ¡Solar ¡energy, ¡1st ¡edi;on, ¡page ¡154 ¡

E-­‑k ¡diagrams ¡(3-­‑D) ¡

The ¡allowed ¡electronic ¡energy ¡states ¡are ¡plojed ¡as ¡func;on ¡of ¡ the ¡wave ¡vector, ¡k. ¡ ¡

Simplifica2ons: ¡ § Only ¡the ¡por;ons ¡occupied ¡by ¡charge ¡ carriers ¡are ¡represented ¡ § The ¡plot ¡is ¡constructed ¡along ¡direc;ons ¡ characterized ¡by ¡high ¡symmetry ¡ § The ¡symmetry ¡of ¡a ¡crystal ¡enables ¡to ¡focus ¡

• nly ¡on ¡the ¡+k ¡values, ¡neglec;ng ¡-­‑k ¡

Energy ¡band ¡ diagrams ¡

3

Conduc2on ¡band ¡

Highest ¡energy ¡band ¡occupied ¡by ¡valence ¡electrons ¡at ¡T>0. ¡ Electrons ¡are ¡mobile ¡and ¡can ¡move ¡through ¡material. ¡

Energy ¡band ¡defini2ons ¡

Valence ¡band ¡

Band ¡of ¡energy ¡states ¡occupied ¡by ¡valence ¡electrons ¡at ¡0K. ¡ ¡ Electrons ¡are ¡stuck ¡in ¡covalent ¡bonds ¡and ¡immobile. ¡

Band ¡gap ¡

Band ¡of ¡forbidden ¡energy ¡states ¡for ¡electrons. ¡

Band ¡diagrams ¡

Conduc2on ¡ band ¡ Valence ¡ band ¡ Band ¡gap ¡ energy ¡ E ¡ E ¡ EC ¡ EV ¡ EG ¡

Direct ¡and ¡indirect ¡ band ¡gap ¡materials ¡

4

Direct ¡and ¡indirect ¡band ¡gap ¡materials ¡ ¡

Direct ¡band-­‑gap ¡materials ¡ ¡

The ¡highest ¡point ¡of ¡the ¡valence ¡band ¡is ¡ver;cally ¡aligned ¡with ¡ the ¡lowest ¡of ¡the ¡conduc;on ¡band. ¡ ¡ ¡

Indirect ¡band-­‑gap ¡materials ¡ ¡

The ¡highest ¡point ¡of ¡the ¡valence ¡band ¡is ¡not ¡aligned ¡with ¡the ¡ lowest ¡of ¡the ¡conduc;on ¡band. ¡ ¡ ¡

Direct ¡and ¡indirect ¡band ¡gap ¡materials ¡ ¡

Adapted ¡from: ¡Arno ¡H.M. ¡Smets ¡et ¡al., ¡Solar ¡energy, ¡1st ¡edi;on, ¡page ¡66 ¡

Energy ¡ k ¡

Direct ¡band ¡gap ¡

Energy ¡ k ¡

Indirect ¡band ¡gap ¡

An ¡electron ¡can ¡be ¡excited ¡ simply ¡by ¡absorp;on ¡of ¡a ¡

• photon. ¡

Electron ¡excita;on ¡also ¡ requires ¡a ¡momentum, ¡ provided ¡by ¡la5ce ¡ vibra;ons. ¡

Equa;ons ¡

5

2 2 2

( ) 2 U x E m x ψ ψ ψ ∂ − + = ∂ h

2 h π = h

h ¡Planck’s ¡constant ¡ m ¡Par;cle’s ¡mass ¡ U(x) ¡Poten;al ¡energy ¡func;on ¡ E ¡Par;cle’s ¡energy ¡ ψ ¡Wavefunc;on ¡

,

( ) ( ) U x a U x + =

IF ¡ THEN ¡

( ) ( )

ika

x a e x ψ ψ + =

2 2

sin( )sin( ) cos( )cos( ) cos ( ) 2 a b a b k a b α β α β α β αβ + − + = +

Where: ¡

2

2 / mE α = h

2

2 ( ) / m U E β− = − h

2

2 (E ) / m U β+ = − h

For ¡ ¡0 ¡< ¡x ¡< ¡a ¡ For ¡ ¡-­‑b ¡< ¡x ¡< ¡0 ¡ β= ¡{ ¡

For ¡0 ¡< ¡E ¡< ¡U0 ¡ For ¡E ¡> ¡U0 ¡

E U ξ =

2

2 / mU α = h

and ¡

2 2

2 k E m = h 2 k π λ = k = p h

Electron ¡energy ¡ Wavenumber ¡ Par2cle ¡momentum/ ¡ Crystal ¡momentum ¡ ¡

G C V

E E E = −

2 n k Na π =

n= ¡0, ¡±1, ¡±2, ¡… ¡±N/2 ¡