One- and two-point Func0ons in AdS/dCFT and - PowerPoint PPT Presentation

¡One-­‑ ¡and ¡two-­‑point ¡Func0ons ¡ ¡ in ¡AdS/dCFT ¡and ¡Integrability ¡ Charlo>e ¡Kristjansen ¡ Niels ¡Bohr ¡Ins0tute ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Based ¡on: ¡ ¡ ¡ M. ¡de ¡Leeuw, ¡A.C. ¡Ipsen, ¡C.K.,K.E. ¡Vardinghus ¡and ¡Ma>hias ¡Wilhelm, ¡ ¡ • ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ArXiv: ¡1705.03898 ¡[hep-­‑th], ¡to ¡appear ¡in ¡JHEP ¡ I. ¡Buhl-­‑Mortensen, ¡M. ¡de ¡Leeuw, ¡A.C. ¡Ipsen, ¡C.K. ¡and ¡Ma>hias ¡Wilhelm, ¡ ¡ • ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ArXiv: ¡1704.07386 ¡[hep-­‑th] ¡ ¡M. ¡de ¡Leeuw, ¡C.K.,and ¡G. ¡Linardopoulos, ¡J.Phys. ¡A50 ¡(2017) ¡no.25, ¡254001 ¡ • ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ArXiv:1612.06236 ¡[hep-­‑th] ¡ Previous ¡and ¡ongoing ¡work ¡involving ¡also ¡K. ¡Zarembo ¡ • ¡ IGST ¡2017 ¡ Paris, ¡July ¡ ¡21 st ¡, ¡2017 ¡

One-­‑point ¡func0ons: ¡Mo0va0on ¡ Possibly ¡the ¡simplest ¡observables ¡beyond ¡the ¡spectrum ¡ Have ¡strong ¡similari0es ¡with ¡three-­‑point ¡func0ons ¡ ¡ (determinant ¡formulas, ¡signs ¡of ¡higher ¡loop ¡integrability) ¡ ¡ Allow ¡for ¡a ¡test ¡of ¡AdS/CFT ¡in ¡a ¡situa0on ¡where ¡both ¡ ¡ supersymmetry ¡and ¡conformal ¡symmetry ¡are ¡par0ally ¡broken. ¡ Provide ¡input ¡for ¡boundary ¡conformal ¡bootstrap ¡eqns. ¡together ¡ with ¡two-­‑point ¡func0ons. ¡Allow ¡for ¡data-­‑mining. ¡

Novel ¡features ¡in ¡dCFTs ¡ Cardy ¡´84 ¡ McAvity ¡& ¡Osborn ¡’95 ¡ Defect ¡ ¡of ¡co-­‑dimension ¡one ¡ ① One-­‑point ¡func0ons ¡ ¡ C bulk h O ∆ ( x ) i = ¡ | x 3 | ∆ ¡ ② Two-­‑point ¡func0ons ¡between ¡op’s ¡with ¡different ¡conf. ¡dims. ¡ ¡ µ | 2 ξ = | x µ � x 0 1 ∆ 0 ( x 0 ) i = h O ∆ ( x ) O bulk bulk 3 | ∆ 0 f ( ξ ) , ¡ | x 3 | ∆ | x 0 | x 3 || x 0 3 | ¡ ③ Mixed ¡correlators ¡involving ¡bulk ¡and ¡defect ¡fields ¡ ¡ µ ∆∆ 0 ∆ ( x ) ˆ ¡ x 0 ) i = bulk defect h O O ( ~ ∆ 0 x ∆ � ∆ 0 x 0 , 0) | 2 ∆ 0 | x � ( ~ ¡ 3 ¡ ¡

Plan ¡of ¡the ¡talk ¡ u ¡The ¡AdS/dCFT ¡set-­‑up ¡and ¡its ¡parameters ¡ ¡ λ , N, k u ¡One-­‑pt ¡func0ons ¡at ¡higher ¡loops ¡ ¡ u ¡Two-­‑point ¡func0ons ¡and ¡the ¡conf. ¡boundary ¡bootstrap ¡eqns. ¡ ¡ u Open ¡problems/Conclusion ¡ ¡

AdS/dCFT ¡(D3-­‑D5 ¡case) ¡ String ¡theory ¡ ¡ x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 N D 3 × × × × D 5 1 × × × × × × Gauge ¡theory ¡ defect ¡ ¡of ¡co-­‑dimension ¡one ¡ S = S N =4 + S D =3 Karch ¡& ¡Randall ¡’01, ¡ Freedman ¡& ¡Ooguri ¡’01, ¡ Parameters: ¡ ¡ λ , N

Symmetries ¡ x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 D 3 × × × × D 5 × × × × × × SO(1,3) ¡ ¡ SO(1,2) ¡ (x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ) ¡ (x 0 ,x 1 ,x 2 ) ¡ ⊂ ⊂ SO(2,3) ¡ SO(2,4) ¡ SO(3) ¡x ¡SO(3) ¡ (x 4 ,x 5 ,x 6 ) ¡ x ¡(x 7 ,x 8 ,x 9 ) ¡ SO(6) ¡ (x 4 ,x 5 ,x 6 ,x 7 ,x 8 ,x 9 ) ¡ 16 ¡supercharges ¡ 8 ¡supercharges ¡ PSU(2,2|4) ¡ OSP(4|4) ¡ Freedman ¡& ¡Ooguri ¡ ¡’01, ¡ Erdmenger, ¡Guralnik ¡ & ¡Kirsch ¡‘02 ¡

An ¡extra ¡parameter ¡-­‑-­‑-­‑ ¡The ¡string ¡theory ¡side ¡ ¡ D3’s ¡ D5 ¡ Geometry ¡of ¡D5 ¡brane: ¡ ¡ AdS 4 × S 2 Karch ¡& ¡Randall ¡’01, ¡ Background ¡gauge ¡field ¡F: ¡k ¡units ¡of ¡magne0c ¡flux ¡on ¡ ¡ S 2 Precise ¡embedding ¡of ¡D-­‑brane ¡determined ¡by ¡ ¡ S = S DBI + S W Z Constable, ¡Myers ¡ & ¡Tasord ¡´99 ¡

Gauge ¡theory ¡side ¡ ¡ Constable, ¡Myers ¡ For x 3 > 0 & ¡Tasord ¡´99 ¡ i = 1 ✓ ( t i ) k × k ◆ 0 Freedman ¡& ¡Ooguri ¡’01, ¡ � cl , i = 1 , 2 , 3 0 0 x 3 where t i constitute a k -dimensional irreducible representation of SU (2) [ t i , t j ] = ✏ ijk t k , Solves the classical eqns. of motion as well as the Nahm eqns.

Ques0ons ¡to ¡be ¡addressed ¡ Is ¡the ¡one-­‑point ¡func0on ¡problem ¡integrable? ¡ • o Closed ¡formula ¡at ¡tree ¡level ¡and ¡one-­‑loop ¡order ¡ ¡ o Sugges0ve ¡asympto0c ¡all ¡loop ¡order ¡formula ¡ Does ¡string ¡and ¡gauge ¡theory ¡observables ¡agree ¡in ¡the ¡ ¡AdS/dCFT ¡set-­‑up ¡ ¡ • ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡where ¡both ¡conformal ¡and ¡supersymmetry ¡are ¡(par0ally) ¡broken ¡? ¡ o Agreement ¡at ¡tree-­‑level ¡and ¡one-­‑loop ¡in ¡d.s.l. ¡ o Agreement ¡in ¡d.s.l. ¡up ¡to ¡wrapping ¡with ¡sugges0ve ¡asympto0c ¡all ¡loop ¡order ¡formula ¡ • What ¡can ¡one ¡learn ¡from ¡studying ¡two-­‑point ¡fcts ¡in ¡the ¡dCFT ¡ o Can ¡be ¡used ¡to ¡extract ¡conformal ¡data ¡from ¡boundary ¡bootstrap ¡eqns. ¡

One-­‑point ¡func0ons, ¡review ¡ Consider ¡SU(2) ¡subsector: ¡ Z = Φ 1 + i Φ 4 , W = Φ 2 + i Φ 5 h O i = h Tr ( ZZZWWZZ...W ) i = 1 Tr ( t 1 t 1 t 1 t 2 t 2 t 1 t 1 . . . t 2 ) x L 3 ¡Systema0c ¡approach ¡to ¡the ¡computa0on ¡of ¡1-­‑pt ¡func0ons ¡ ¡of ¡ ¡ ¡ conformal ¡operators ¡using ¡the ¡tools ¡of ¡integrability ¡ Map ¡to ¡the ¡states ¡of ¡integrable ¡spin ¡chain ¡ O = Tr( Z Z ZW W Z Z . . . W ) ⇠ | """##"" . . . #i L | {z } L fields Conformal ¡operators=Eigenstates ¡of ¡the ¡Heisenberg ¡spin ¡chain ¡ Eigenstates ¡(of ¡length ¡L ¡with ¡M ¡flipped ¡spins): ¡ |{ u i } i = ˆ B ( u M ) . . . ˆ B ( u 1 ) | 0 i L , | 0 i L = | "" . . . "i L

Tree-­‑level, ¡SU(2)-­‑subsector ¡ deLeeuw, ¡C.K. ¡ Matrix ¡Product ¡State ¡associated ¡with ¡the ¡defect: ¡ & ¡Zarembo ¡‘15, ¡ L 1 ) a + h# l | ⌦ ( t ( k ) ⇣ 2 ) a ⌘ h" l | ⌦ ( t ( k ) Y h MPS k | = tr a l =1 � E � { u j } M h MPS k � i =1 Object ¡to ¡calculate: ¡ ¡ C k ( { u j } ) = L 1 h { u j }|{ u j } i 2 No0ce: ¡3 ¡parameters: ¡k,L,M ¡ Non-­‑vanishing ¡result ¡only ¡if ¡ L ¡and ¡M ¡both ¡even ¡ • Bethe ¡state ¡has ¡total ¡momentum ¡zero ¡ • The ¡rapidi0es ¡come ¡in ¡pairs, ¡i.e. ¡ ¡ • { u i } = { − u i }

Complete ¡result: ¡ ¡any ¡k, ¡M, ¡L ¡ I. ¡Of ¡determinant ¡form ¡ deLeeuw, ¡C.K. ¡ s r Q ( i & ¡Zarembo ¡‘15, ¡ 2 ) C 2 ( { u j } ) = h MPS 2 | { u j } i det G + = 2 1 − L 1 Q (0) det G − h { u j }|{ u j } i 2 M Y Baxter ¡polynomial ¡ Q ( u ) = ( u − u i ) i =1 OBS: ¡well-­‑known ¡determinants ¡ 2 ) det G + det G − h { u j }|{ u j } i = Q ( i 2 ) det G = Q ( i ! L M u k − i u k − u j + i Y 2 exp[ i Φ k ] ≡ G ij = ∂ u i Φ j , u k + i u k − u j − i 2 j =1 j 6 = k Follows ¡ ¡from ¡results ¡involving ¡overlaps ¡of ¡Bethe ¡states ¡and ¡the ¡Néel ¡state ¡ Brockmann, ¡Nardis, ¡Wouter ¡& ¡Caux, ¡‘14, ¡Brockmann ¡‘14 ¡ Poszgay ¡‘13, ¡

Buhl-­‑Mortensen, ¡de ¡Leeuw, ¡ II. ¡Interes0ng ¡factoriza0on ¡property ¡ C.K. ¡& ¡Zarembo, ¡15. ¡ s s Q ( i 2 ) Q (0) det G + C k = i L T k − 1 (0) Q 2 ( ik det G − 2 ) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Can ¡be ¡proven ¡by ¡recursion ¡ ¡the ¡transfer ¡matrix ¡ T n For ¡the ¡n+1 ¡dimensional ¡representa0on ¡(in ¡the ¡auxiliary ¡space) ¡ ¡ n Q ( u + n +1 2 i ) Q ( u − n +1 2 2 i ) X ( u + ia ) L T n ( u ) = Q ( u + ( a − 1 2 ) i ) Q ( u + ( a + 1 2 ) i ) a = − n 2 Plays ¡an ¡important ¡role ¡in ¡ • Extension ¡of ¡the ¡formula ¡to ¡one ¡and ¡higher ¡loops ¡ • Extension ¡of ¡the ¡formula ¡to ¡other ¡sectors ¡