Lecture 4 Lecture 4 - - PowerPoint PPT Presentation

• Lecture 4

Lecture 4

คณิตศาสตรการเงิน คณิตศาสตรการเงิน

( (Mathematics of Finance) Mathematics of Finance)

• ดอกเบี้ยทบตน (compound interest)

ฝากเงินตนจํานวน S โดยธนาคารคิดดอกเบี้ยแบบ

สามัญ (simple interest) ที่อัตรา r ตอป เงิน จํานวนนี้จะกลายเปน S(1+rn) เมื่อผานไป n ป

ฝากเงินตนจํานวน S โดยธนาคารคิดดอกเบี้ยแบบ

ทบตน (compound interest) ที่อัตรา r ตอป เงิน จํานวนนี้จะกลายเปน S(1+r)n เมื่อผานไป n ป

ถาจํานวนครั้งของการทบตนตอป = m เงินจํานวน S จะกลายเปน S(1+r/m)mn เมื่อผานไป n ป

• ตัวอยาง

เงินฝากออมทรัพย

จํานวน $500 กลายเปน $588.38 ภายในสามป ถาธนาคารคิดทบตน ดอกเบี้ยใหทุกๆครึ่งป จง หาอัตราดอกเบี้ยตอปที่ ธนาคารกําหนดไว (nominal annual rate)

มีการทบตน 2 × 3 = 6 ครั้ง

055 . 0275 . 1 500 38 . 588 2 500 38 . 588 2 1 500 38 . 588 2 1 38 . 588 2 1 500

6 6 6 6

≈

• ≈

− = = + =

• +

=

• +

r r r r r

• ตัวอยาง

นานกี่ปเงินฝากออม

ทรัพยจํานวน $600 จึง จะเพิ่มเปน $900 ถา อัตราดอกเบี้ยที่ธนาคาร กําหนดไวคือ 6% ตอป ทบตนทุกๆสามเดือน

อัตราดอกเบี้ยตอครั้ง (ตอ

สามเดือน) = .06/4 = .015

( ) ( ) ( )

8 . 6 015 . 1 ln 4 5 . 1 ln 5 . 1 ln 015 . 1 ln 4 5 . 1 ln 015 . 1 ln 5 . 1 015 . 1 015 . 1 600 900

4 4 4

≈ = = = = = n n

n n n

• อัตราดอกเบี้ยที่แทจริงตอป (Effective

Annual Rate)

ถาจํานวนครั้งของการทบตนตอป = m

EAR = (1+APR/m)m - 1 APR = Annual Percentage Rage หลังจากผานไป n ป เงินตนจํานวน S จะกลายเปน

S(1+EAR)n ในบัญชีเงินฝากออมทรัพยที่มีการคิด ดอกเบี้ยแบบทบตน

ตัวอยาง:

เงินตนจํานวน $12,000 จะกลายเปน $24,947.14

หลังจากผานไป 15 ป ถา EAR = 5% ตอป

( )

14 . 947 , 24 $ 05 . 1 000 , 12

15 ≈

= S

• เปรียบเทียบอัตราดอกเบี้ย

นักลงทุนตองเลือกระหวางฝากเงินในธนาคารที่ใหอัตรา

ดอกเบี้ย 6% ตอป ทบตนทุกวัน กับฝากเงินกับอีกธนาคาร ที่ใหอัตราดอกเบี้ย 6.125% ตอป ทบตนทุกสามเดือน

% 27 . 6 1 4 06125 . 1 % 18 . 6 1 365 06 . 1

4 365

≈ −

• +

= ≈ −

• +

= EAR EAR

• มูลคาปจจุบัน (present value)

ถาเงินตน P กลายเปนเงินจํานวน S ในปที่ n โดยเงิน

จํานวน P นี้ถูกฝากในบัญชีออมทรัพยที่ใหดอกเบี้ย r% ตอ ป ทบตนทุกๆ ป แลว

P = S(1+r)-n = มูลคาปจจุบันของ S ถามีการทบตน m ครั้งตอปแลว

• P = S(1+r/m)-mn

ตัวอยาง: หามูลคาปจจุบันของเงิน $1,000 ในอีก 3 ปตอ

จากนี้ ถาอัตราดอกเบี้ย = 9% ทบตนทุกเดือน

อัตราดอกเบี้ยตอครั้ง = 9%/12 =.0075

( )

15 . 764 $ 0075 . 1 1000

36 ≈

=

−

P

• ความเทาเทียมกันกัน

เงินกู $3,000 บาท ผูกู

สามารถเลือกวาจะชําระ แบบงวดเดียว 6 ป หลังจากนี้ หรือชําระ แบบสามงวด

$500 ตอนนี้ $1,500 สามปหลังจากนี้ x หาปหลังจากนี้ จงหา x ถาอัตราดอกเบี้ย

คือ 6% ตอป ทบตนทุกป

• เปรียบเทียบการลงทุน

ลงทุน $5,000 ในธุรกิจ โดยเงินจํานวนนี้จะ

กลายเปน $6,300 ในอีกหาปขางหนา

ฝากเงิน $5,000 ในบัญชีออมทรัพยที่ใหอัตรา

ดอกเบี้ย 6% ตอป ทบตนทุกๆครึ่งป

• !!!

• มูลคาปจจุบันสุทธิ (net present value)

NPV

= ผลรวมของมูลคาปจจุบัน

ของกระแสเงินสด - เงิน ลงทุน

ตัวอยาง

ลงทุน $200,000 ในธุรกิจ

ที่ใหกระแสเงินสด ณ ปลายปที่ 2 3 และ 5 ดัง แสดงในตาราง จงหา NPV ถาอัตราดอกเบี้ยคือ 7% ตอป ทบตนทุกป Year Cash Flow 2 $10,000 3 8000 5 6000

( ) ( ) ( )

31 . 457 $ 000 , 20 07 . 1 6000 07 . 1 8000 07 . 1 000 , 10 NPV

5 3 2

− ≈ − + + =

− − −

• ดอกเบี้ยทบตนตอเนื่อง (interest

compounded continuously)

เงินจํานวน S จะกลายเปน S(1+r/m)mn เมื่อผานไป

n ป ถาจํานวนครั้งของการทบตนตอป = m

ทบตนตอเนื่อง m = infinity เงินตนจํานวน S จะกลายเปน Sern เมื่อผานไป n ป

ตัวอยาง

เงินจํานวน $100 ในบัญชีออมทรัพยที่ใหดอกเบี้ย 5%

ตอป ทบตนตอเนื่อง จะกลายเปน

$100e(.05)(1) = $105.13 เมื่อเวลาผานไปหนึ่งป $100e(.05)(5) = $128.40 เมื่อเวลาผานไปหาป

• ดอกเบี้ยทบตนตอเนื่อง (interest

compounded continuously)

EAR = eAPR - 1 ถามีการทบตนตอเนื่อง P = Se-rn = มูลคาปจจุบันของ S หลังจากผานไป n ป ถามี

การทบตนตอเนื่อง

ตัวอยาง: กองทุนหนึ่งถูกตั้งตนดวยเงินจํานวนหนึ่ง โดยที่

เงินจํานวนนี้จะกลายเปน $25,000 ในอีก 20 ปขางหนา สมมติอัตราดอกเบี้ยที่จายใหกับกองทุนนี้คือ 7% ตอป ทบ ตนแบบตอเนื่อง จงหาเงินจํานวนนี้

( )( )

6165 $ 000 , 25 000 , 25

4 . 1 20 07 .

≈ = = =

− − −

e e Se P

rn

เงินรายงวด (annuity)

เงินรายงวดคือกลุมของกระแสเงินสดที่มีจํานวนเงิน

และชวงระยะหางของการเกิดเทาๆกัน

เงินรายงวดแบบสามัญ (ordinary or deferred

annuity)

กระแสเงินสดเกิดตอนสิ้นงวด (หรือปลายป)

เงินรายงวดแบบสง (annuity due)

กระแสเงินสดเกิดตอนตนงวด (หรือตนป)

6/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 13

เงินรายงวด (annuity)

เงินรายงวด (annuity)

มูลคาปจจุบันของเงินรายงวด (แบบสามัญ) (A) คือ

ผลรวมของมูลคาปจจุบันของเงินทุกงวด

R = จํานวนเงินแตละงวด r = อัตราดอกเบี้ยทบตนตองวด n = จํานวนงวด

6/14/20119 Nattawoot Koowattanatianchai 15

( ) ( ) ( )

r n n n

Ra r r R A r R r R r R A

| 2 1

) 1 ( 1 1 ... 1 1 =

• +

− =

• +

+ + + + + =

− − − −

ตัวอยาง

หามูลคาปจจุบันของเงินเดือนของพนักงานบริษัท

คนหนึ่ง ซึ่งรับเดือนละ $100 เปนเวลา 3 ปครึ่ง ถา อัตราดอกเบี้ยทบตน = 6% ตอป ทบตนทุกๆเดือน

R = 100, r = 0.06/12 = 0.005, n = (3.5)(12) = 42 จาก Appendix B

6/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 16

( )

83 . 3779 $ 798300 . 37 100 100

005 . 42

__

= ≈ =

• a

A 798300 . 37

005 . 42

__

= a

ตัวอยาง

สมมติวากูเงินธนาคารมา $10,000 บาท กําหนด

ชําระภายในสี่ป โดยธนาคารคิดอัตราดอกเบี้ย 6% ตอป ทบตนทุกป จงหาวาตองชําระเงินแตละปคืน ธนาคารเปนจํานวนเทาไร

A= $10,000, n = 4, r = 0.06

6/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 17

91 . 2885 $ 465106 . 3 000 , 10 000 , 10 000 , 10

06 . 4 06 . 4

__ __ __

= ≈ = = = a a A R Ra

r n

มูลคาอนาคตของเงินรายงวด (future value of an annuity)

ถาอัตราดอกเบี้ยทบตนตองวด = r เงินงวดๆละ R

จํานวน n งวด จะกลายเปน

• (

)

r n n

Rs r r R S

__

1 1 = − + ⋅ =

ตัวอยาง

ถาเงินจํานวน $50 ถูกฝากเขาบัญชีออมทรัพยทุกๆ

3 เดือน หลังจากนี้เปนเวลา 3 ป บัญชีนี้ใหอัตรา ดอกเบี้ย 6% ตอป ทบตนทุกๆ 3 เดือน

จงหาวาเงินในบัญชีนี้จะเปนเทาไรตอนปดบัญชี จํานวนดอกเบี้ยทบตนที่ไดมาทั้งหมด

R=50, n=4(3)=12, r=0.06/4=0.015

6/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 19

( )

06 . 652 $ 041211 . 13 50 50

015 . 12

__

≈ ≈ = s S

( )

06 . 52 $ 50 12 06 . 652 Interest Compund = − =

กองทุนจม (sinking fund)

กองทุนจม คือ การระดมทุนเพื่อวัตถุประสงคใด

วัตถุประสงคหนึ่งในอนาคต เชน ไถถอนหนี้ โดยที่ การฝากเงินในกองทุนมักจะทําแบบเปนงวด

ตัวอยาง: โรงงานแหงหนึ่งจะเปลี่ยนเครื่องจักรทุกๆ

8 ป โรงงานตั้งกองทุนจมขึ้นมาเพื่อใชในการ เปลี่ยนเครื่องจักรตัวหนึ่ง (ราคาซื้อใหม = $7,000) ที่เหลือมูลคา = $700 ตอนถูกเปลี่ยน จงหาวา โรงงานจะตองฝากเงินในกองทุนทุกๆ ไตรมาสเปน จํานวนเงินเทาไร ถาธนาคารใหดอกเบี้ย 8% ตอป

6/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 20

กองทุนจม (sinking fund)

n = 4(8) = 32, r = 0.08/4 = 0.02, S = 7000 –

700 = 6300

• 45

. 142 $ 6300 6300

02 . 32 02 . 32

____ ____ ____

≈ = = = s s S R Rs

r n

การจายหนี้ (loan amortization)

6/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 22

ตัวอยาง

นักลงทุนรายหนึ่งกูเงินมา $170,000 ที่อัตรา

ดอกเบี้ย 7.5% ตอป ทบตนทุกๆเดือน โดยจะจาย คืนทุกเดือนเปนเวลา 20 ป จงหา

เงินที่ตองจายในแตละเดือน จํานวนของดอกเบี้ยที่ตองเสียทั้งหมด เงินตนคงเหลือหลังจากหาป เขียนตารางการจายหนี้ของสองงวดแรก

6/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 23

ตัวอยาง

เงินสงรายเดือน ดอกเบี้ยที่ตองจายทั้งหมด เงินตนคงเหลือ

6/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 24

( )

51 . 1369 $ 00625 . 1 00625 . 000 , 170

240

≈

• −

=

−

R

( )

40 . 682 , 158 $ 000 , 170 51 . 1369 240 = −

( )

74 . 733 , 147 $ 00625 . 00625 . 1 51 . 1369

180

≈

• −

−

ตัวอยาง

ตารางการจายหนี้

เดือนแรก

ดอกเบี้ยที่ตองสง = 170000x.00625 = 1062.5 ชําระเงินตน = 1369.51 – 1062.5 = 307.01 หนี้คงเหลือ = 170,000 – 307.01 = 169693

เดือนสอง

ดอกเบี้ยที่ตองสง = 169693x.00625 ชําระเงินตน = 1369.51 - 169693x.00625 หนี้คงเหลือ = 169693 - (1369.51 -

169693x.00625)

เงินรายงวดแบบสง

Adue = Aordinary (1+r) =

Why?

Sdue = Sordinary (1+r) =

Why?

ตัวอยาง

จงหามูลคาอนาคตของบัญชีเงินฝากประจําที่ผูฝากตอง

ฝาก $555 ทุกๆตนไตรมาสจากนี้จนกระทั่ง 18 ป ถา อัตราดอกเบี้ยคือ 14% ตอปทบตนทุกๆไตรมาส

6/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 26

• +

− r n

a R

__

1

1

• −

+

1

__

1 r n

s R

Ordinary Perpetuity

นิยาม

เงินรายงวดที่เกิดขึ้นติดตอกันไปตลอดไมมีวันสิ้นสุด (n =

∞)

6/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 27

r R r r R A =

• +

− =

−∞

) 1 ( 1

( )

∞ = − + ⋅ =

∞

r r R S 1 1

Perpetuity due

Adue = Aordinary (1+r)

= A(1+r)/r if n = ∞

Sdue = Sordinary (1+r)

= ∞(1+r) = ∞ if

6/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 28

จํานวนงวดใน 1 ป ≠ จํานวนการทบ ตนใน 1 ป

แกโดยการหาอัตราดอกเบี้ยที่แทจริง (Effective

Rate) ในแตละครั้งของการทบตน (อัตรา แทจริงตองวด)

re = (1+r/m)j -1 m = จํานวนการทบตนตอป j = จํานวนการทบตนตองวด

6/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 29

จํานวนงวดใน 1 ป ≠ จํานวนการทบ ตนใน 1 ป

ตัวอยาง:

ฝากเงิน $50 ทุกๆครึ่งปไปอีก 2 ปในบัญชีออม

ทรัพยที่ใหดอกเบี้ย 4% ตอป ทบตนทุกๆไตรมาสจง หามูลคาปจจุบันของเงินรายงวดประเภทนี้

ฝากเงิน $100 ทุกๆเดือนเริ่มหลังจากนี้ไปอีก 8 ป ถา

อัตราดอกเบี้ยคือ 12% ตอปทบตนทุกๆสองเดือนจง หามูลคาปจจุบันของเงินรายงวดนี้

6/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 30

เงินงวดเลื่อนจาย (deferred annuity)

การลงทุนชนิดหนึ่งมีผลตอบแทนให $400 ทุกๆ

เดือนไปอีก 24 เดือน หลังจากนั้นจะไมให ผลตอบแทนใดๆไปอีก 12 เดือน จากนั้นจะให ผลตอบแทน $550 ตอเดือนไปอีก 1 ปและสุดทาย จะใหผลตอบแทน $1,300 ตอเดือนไปอีก 2 ป จง หามูลคาปจจุบันของการลงทุนชนิดนี้ถาอัตราคิด ลดคือ 12% ตอปทบตนทุกๆเดือน

6/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 31

• 4/6/2011

Natt Koowattanatianchai 32

• Email:

Email: Email: Email: Email: Email: Email: Email:

• fbusnwk@ku.ac.th

fbusnwk@ku.ac.th fbusnwk@ku.ac.th fbusnwk@ku.ac.th fbusnwk@ku.ac.th fbusnwk@ku.ac.th fbusnwk@ku.ac.th fbusnwk@ku.ac.th

• Homepage:

Homepage: Homepage: Homepage: Homepage: Homepage: Homepage: Homepage:

• http://

http:// http:// http:// http:// http:// http:// http://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm

• Mobile:

Mobile: Mobile: Mobile: Mobile: Mobile: Mobile: Mobile:

• 087

087 087 087 087 087 087 087-

• 5393525

5393525 5393525 5393525 5393525 5393525 5393525 5393525

• Office:

Office: Office: Office: Office: Office: Office: Office:

• ชั้น

ชั้น ชั้น ชั้น ชั้น ชั้น ชั้น ชั้น 9 9 9 9 9 9 9 9 ตึกใหมคณะบริหารธุรกิจ ตึกใหมคณะบริหารธุรกิจ ตึกใหมคณะบริหารธุรกิจ ตึกใหมคณะบริหารธุรกิจ ตึกใหมคณะบริหารธุรกิจ ตึกใหมคณะบริหารธุรกิจ ตึกใหมคณะบริหารธุรกิจ ตึกใหมคณะบริหารธุรกิจ