r ts t - PowerPoint PPT Presentation

❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ❣❡♥❡r✐❝ ❥✉❞❣♠❡♥ts ✇✐t❤ r❡❝✉rs✐✈❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ❆♥❞r❡✇ ●❛❝❡❦ ✶ ❉❛❧❡ ▼✐❧❧❡r ✷ ●♦♣❛❧❛♥ ◆❛❞❛t❤✉r ✶ ✶ ❉❡♣❛rt♠❡♥t ♦❢ ❈♦♠♣✉t❡r ❙❝✐❡♥❝❡ ❛♥❞ ❊♥❣✐♥❡❡r✐♥❣ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ▼✐♥♥❡s♦t❛ ✷ ■◆❘■❆ ❙❛❝❧❛② ✲ ❰❧❡✲❞❡✲❋r❛♥❝❡ ✫ ▲■❳✴➱❝♦❧❡ ♣♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡ ▲■❈❙✬✵✽ ❏✉♥❡ ✷✹✱ ✷✵✵✽

Pr❡✈✐❡✇ ❈♦♥t❡①t ❲❡ ✇❛♥t t♦ s♣❡❝✐❢② ❛♥❞ r❡❛s♦♥ ♦✈❡r s②♥t❛❝t✐❝ ♦❜❥❡❝ts ✇✐t❤ ❜✐♥❞✐♥❣ ❯s❡❢✉❧ ❧♦❣✐❝❛❧ ❢❡❛t✉r❡s ✐♥ t❤✐s ❝♦♥t❡①t ◮ ❤✐❣❤❡r✲♦r❞❡r ❛❜str❛❝t s②♥t❛① r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ♦❜❥❡❝ts ◮ ∇ ✲q✉❛♥t✐✜❡r ❢♦r ❣❡♥❡r✐❝ ❥✉❞❣♠❡♥ts ◮ r❡❝✉rs✐✈❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ❢♦r ✐♥❞✉❝t✐✈❡ s♣❡❝✐✜❝❛t✐♦♥s ◮ ♥❛t✉r❛❧ ♥✉♠❜❡r ✐♥❞✉❝t✐♦♥ ❈♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ❲❡ ❝♦♠❜✐♥❡ ❣❡♥❡r✐❝ ❥✉❞❣♠❡♥ts ✇✐t❤ r❡❝✉rs✐✈❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s t♦ ♦❜t❛✐♥ ❛ ♠❡❝❤❛♥✐s♠ ❢♦r ✐♥t❡r♥❛❧✐③✐♥❣ ♣r♦♣❡rt✐❡s r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ tr❡❛t♠❡♥t ♦❢ ❜✐♥❞✐♥❣

❘✉♥♥✐♥❣ ❡①❛♠♣❧❡✿ t②♣❡ ❛ss✐❣♥♠❡♥t ① : ❛ ∈ Γ Γ ⊢ ① : ❛ Γ ⊢ t ✶ : ❛ → ❜ Γ ⊢ t ✷ : ❛ Γ ⊢ ( t ✶ t ✷ ) : ❜ Γ , ① : ❛ ⊢ t : ❜ Γ ⊢ ( λ ① : ❛ . t ) : ❛ → ❜ ① / ∈ ❞♦♠ (Γ)

∇ q✉❛♥t✐✜❡r✿ ❣❡♥❡r✐❝ ❥✉❞❣♠❡♥ts ▼✐❧❧❡r ✫ ❚✐✉ ✏●❡♥❡r✐❝ ❏✉❞❣♠❡♥ts✑ ❬▲■❈❙✵✸✱ ❚♦❈▲✵✺❪ ❚✐✉ ✏ ▲● ω ✑ ❬▲❋▼❚P✵✻❪ ∇ ① . ❋ ♠❡❛♥s ❋ ❤❛s ❛ ❣❡♥❡r✐❝ ♣r♦♦❢✖♦♥❡ ✇❤✐❝❤ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ❢r❡s❤♥❡ss✱ ❜✉t ♥♦t t❤❡ ❢♦r♠ ♦❢ ① ∀ ① . ❋ ⊃ ∇ ① . ❋ ∇ ① . ❋ �⊃ ∀ ① . ❋ ∇ ① . ∇ ② . ❋ ≡ ∇ ② . ∇ ① . ❋ ∇ ① . ❋ ≡ ❋ ✐❢ ① ❞♦❡s ♥♦t ❛♣♣❡❛r ✐♥ ❋ ❚❤❡s❡ str✉❝t✉r❛❧ r✉❧❡s ❛❧❧♦✇ ❛ tr❡❛t♠❡♥t ♦❢ ∇ ❜❛s❡❞ ♦♥ ♥♦♠✐♥❛❧ ❝♦♥st❛♥ts ✇❤✐❝❤ ♠❛❦❡ q✉❛♥t✐✜❝❛t✐♦♥ ✐♠♣❧✐❝✐t

▲♦❣✐❝❛❧ r✉❧❡s ❢♦r ∇ Γ , ❇ [ ❛ / ① ] ⊢ ❈ Γ ⊢ ❇ [ ❛ / ① ] ∇L Γ ⊢ ∇ ① . ❇ ∇R Γ , ∇ ① . ❇ ⊢ ❈ ❛ ✐s ❛ ♥♦♠✐♥❛❧ ❝♦♥st❛♥t ♥♦t ❛♣♣❡❛r✐♥❣ ✐♥ ❇ ◆♦♠✐♥❛❧ ❝♦♥st❛♥ts ❤❛✈❡ ✭✐♠♣❧✐❝✐t✮ ❢♦r♠✉❧❛ ❧❡✈❡❧ ❜✐♥❞✐♥❣ ◆♦♠✐♥❛❧ ❝♦♥st❛♥ts ❛r❡ ❡q✉✐✈❛r✐❛♥t ✭❛❧✇❛②s ♣❡r♠✉t❛❜❧❡✮ π. ❇ = π ′ . ❇ ′ ✐❞ π Γ , ❇ ⊢ ❇ ′

❘♦❧❡ ♦❢ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ❉❡✜♥✐t✐♦♥s ❢♦r ❛t♦♠✐❝ ❥✉❞❣♠❡♥ts ❡♥❝♦❞❡ s♣❡❝✐✜❝❛t✐♦♥s ♠❡♠❜❡r ❆ ( ❆ :: ▲ ) � ⊤ ♠❡♠❜❡r ❆ ( ❇ :: ▲ ) � ♠❡♠❜❡r ❆ ▲ ❋♦r ❛♥ ❛t♦♠✐❝ ❥✉❞❣♠❡♥t✱ ◮ r✐❣❤t ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❜❛❝❦❝❤❛✐♥✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ♣r❡❞✐❝❛t❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ◮ ❧❡❢t ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❝❛s❡✲❛♥❛❧②s✐s ♦✈❡r t❤❡ ♣r❡❞✐❝❛t❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥

❚②♣✐♥❣ ❡①❛♠♣❧❡ ✇✐t❤ ∇ ♦❢ Γ ❳ ❆ � ♠❡♠❜❡r ( ❳ : ❆ ) Γ ♦❢ Γ ( ❛♣♣ ❚ ✶ ❚ ✷ ) ❇ � ∃ ❆ . ♦❢ Γ ❚ ✶ ( ❛rr ❆ ❇ ) ∧ ♦❢ Γ ❚ ✷ ❆ ♦❢ Γ ( ❛❜s ❆ ❚ ) ( ❛rr ❆ ❇ ) � ∇ ① . ♦❢ (( ① : ❆ ) :: Γ) ( ❚ ① ) ❇ ❊①❛♠♣❧❡ ♣r♦♣❡rt②✿ ∀ ▲ , ❛ , ❜ , t ✶ , t ✷ . ∇ ① . ♦❢ (( ① : ❛ ) :: ▲ ) ( t ✶ ① ) ❜ ∧ ♦❢ ▲ t ✷ ❛ ⊃ ♦❢ ▲ ( t ✶ t ✷ ) ❜

❘❡❛s♦♥✐♥❣ ❛❜♦✉t t②♣❡ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ∀ t , ❛ ✶ , ❛ ✷ . ( ♦❢ ♥✐❧ t ❛ ✶ ∧ ♦❢ ♥✐❧ t ❛ ✷ ) ⊃ ❛ ✶ = ❛ ✷ ∀ Γ , t , ❛ ✶ , ❛ ✷ . ( ♦❢ Γ t ❛ ✶ ∧ ♦❢ Γ t ❛ ✷ ) ⊃ ❛ ✶ = ❛ ✷ ∀ Γ , t , ❛ ✶ , ❛ ✷ . ( ❝♥t① Γ ∧ ♦❢ Γ t ❛ ✶ ∧ ♦❢ Γ t ❛ ✷ ) ⊃ ❛ ✶ = ❛ ✷ ❝♥t① Γ s❤♦✉❧❞ ❡♥❢♦r❝❡ ◮ Γ = ( ① ✶ : ❛ ✶ ) :: ( ① ✷ : ❛ ✷ ) :: . . . :: ( ① ♥ : ❛ ♥ ) :: ♥✐❧ ◮ ❊❛❝❤ ① ✐ ✐s ❛t♦♠✐❝ ◮ ❊❛❝❤ ① ✐ ✐s ✉♥✐q✉❡ ❲❡ ✇❛♥t ❛ ♠❡❝❤❛♥✐s♠ ❢♦r ❞❡✜♥✐♥❣ ✇❡❧❧✲❢♦r♠❡❞ ❝♦♥t❡①ts s♦ t❤❛t t❤❡s❡ ❦✐♥❞s ♦❢ ✭❣❡♥❡r✐❝✮ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❛r❡ s❛t✐s✜❡❞

❊①t❡♥❞❡❞ ❢♦r♠ ♦❢ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ❉❡✜♥✐t✐♦♥❛❧ ❝❧❛✉s❡s t❛❦❡ t❤❡ ❢♦r♠ ③ . ❍ ) � ❇ ∀ � ① . ( ∇ � ✇❤❡r❡ ◮ ♥♦ ♥♦♠✐♥❛❧ ❝♦♥st❛♥ts ❛♣♣❡❛r ✐♥ ❍ ♦r ❇ ✭❡q✉✐✈❛r✐❛♥❝❡✮ ◮ ❝❧❛✉s❡s ❛r❡ str❛t✐✜❡❞ ✭❝♦♥s✐st❡♥❝②✮ ▼❡❛♥✐♥❣ ♦❢ s✉❝❤ ❛ ❝❧❛✉s❡ ❆♥ ✐♥st❛♥❝❡ ♦❢ ❍ ✐s tr✉❡ ✐❢ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ✐♥st❛♥❝❡ ♦❢ ❇ ✐s tr✉❡✱ ♣r♦✈✐❞❡❞ ◮ � ③ ✐s ✐♥st❛♥t✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ✉♥✐q✉❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ❝♦♥st❛♥ts � ❛ ◮ � ① ✐s ✐♥st❛♥t✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❡r♠s ♥♦t ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ � ❛

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❘✐❣❤t r✉❧❡ ❢♦r ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ❚❤❡ r✐❣❤t ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ r✉❧❡ ❢♦r ❛t♦♠✐❝ ❥✉❞❣♠❡♥ts ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❜❛❝❦❝❤❛✐♥✐♥❣ ♦♥ ❛ ❞❡✜♥✐t✐♦♥❛❧ ❝❧❛✉s❡ ③ . ❍ ) � ❇ ❈❧❛✉s❡✿ ∀ � ① . ( ∇ � ❙❡q✉❡♥t✿ Σ : Γ ⊢ ❆ ✶✳ ❘❛✐s❡ � ① ♦✈❡r t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ❝♦♥st❛♥ts ✐♥ ❆ ✱ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t✐❛t❡ � ③ ① ′ . ❍ ′ � ❇ ′ ✇✐t❤ ✉♥✐q✉❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ❝♦♥st❛♥ts✿ ∀ � ✷✳ ❘❛✐s❡ Σ ♦✈❡r t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ❝♦♥st❛♥ts ✐♥st❛♥t✐❛t✐♥❣ � ③ ✿ Σ ′ : Γ ′ , ❆ ′ ⊢ ❈ ′ ✸✳ ▼❛t❝❤ ❆ ′ = ( π. ❍ ′ ) θ ✇❤❡r❡ π ✐s ❛ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ❝♦♥st❛♥ts ✐♥ ❍ ′ Σ ′ : Γ ′ ⊢ ( π. ❇ ′ ) θ ❞❡❢ R Σ : Γ ⊢ ❆