Polyakov loop potential from a massive (phenomenological) extension - - PowerPoint PPT Presentation

Polyakov loop potential from a massive (phenomenological) extension

• f the Landau-deWitt gauge

Urko Reinosa∗

(Work in collaboration with J. Serreau, M. Tissier, N. Wschebor)

∗Centre de Physique Théorique, Ecole Polytechnique, CNRS, Palaiseau, France

Workshop on Non-Perturbative Methods in Quantum Field Theory October 8-10, 2014, Balatonfüred, Hungary

Motivation

Motivation

Motivation

Approaches to strongly interacting matter

• Need for methods to investigate

infrared properties of QCD

• r related theories.
• Functional methods applied to:

∗ first principle actions; ∗ model actions.

Motivation

Phenomenological model I

• We put forward a model based on the observation (made on the lattice) that, in

the Landau gauge, the Euclidean gluon propagator G(p) behaves like a massive propagator at low momenta, while the ghost propagator F(p)/p2 is massless:

G(p) p (GeV)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.5 1 1.5 2 2.5 3

F(p) p (GeV)

2 4 6 8 10 12 14 1 2 3 4 5 6 7 8

• We propose to add a gluon mass to the usual Landau-gauge action,

as a phenomenological parameter: S = ∫x {1 4 F a

µνF a µν + ∂µ¯

ca(Dµc)a + iha∂µAa

µ + 1

2 m2Aa

µAa µ}

⇒ extended Landau gauge model (eLG). In our approach m has to be fitted. Ex: SU(3), T = 0 propagators → m ≃ 500 MeV.

Motivation

Phenomenological model II

• Most appealing feature of the model, its simplicity:

∗ Just one additional parameter as compared to YM theory. ∗ Simple modification of the Feynman rules. ∗ The model is perturbatively renormalizable. ∗ No IR Landau pole ⇒ perturbation theory in this model can be used in the IR!

• Lattice Landau-gauge correlators are qualitatively well reproduced by simple
• ne-loop perturbative calculations in this model:

G(p) p (GeV)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.5 1 1.5 2 2.5 3

F(p) p (GeV)

2 4 6 8 10 12 14 1 2 3 4 5 6 7 8

Tissier, Wschebor, Phys.Rev. D84 (2011); Peláez, Tissier, Wschebor, Phys.Rev. D88 (2013) and arXiv:1407.2005.

Motivation

Phenomenological model III

• It is intriguing that one single additional phenomenological parameter allows to reproduce,

using a perturbative expansion, several features of the correlation functions of QCD.

• We aim at:

∗ justifying the presence of the mass term from first principles: there are indications that it could originate from the Gribov ambiguity → Serreau, Tissier, Phys.Lett. B712 (2012) ∗ exploring other features of QCD: QCD phase diagram at finite temperature and density.

Motivation

Phenomenological model IV

• We have tested the model at finite temperature.
• One loop, finite T, eLG ghost and chromo-magnetic propagators agree well with lattice results:

3 2.6 2.2 1.8 1.4 1 1 2 3

k (GeV) F(0, k)

2

3 2 1 0 0 1 3

GT(0, k) k (GeV)

UR, J. Serreau, M. Tissier and N. Wschebor, Phys.Rev. D89 (2014) 105016. (Lattice data: A. Maas, J.M. Pawlowski, L. von Smekal, D. Spielmann, Phys.Rev. D85 (2012) 034037)

Motivation

Phenomenological model IV

• We have tested the model at finite temperature.
• One loop, finite T, eLG ghost and chromo-magnetic propagators agree well with lattice results:

3 2.6 2.2 1.8 1.4 1 1 2 3

k (GeV) F(0, k)

2

3 2 1 0 0 1 3

GT(0, k) k (GeV)

UR, J. Serreau, M. Tissier and N. Wschebor, Phys.Rev. D89 (2014) 105016. (Lattice data: A. Maas, J.M. Pawlowski, L. von Smekal, D. Spielmann, Phys.Rev. D85 (2012) 034037)

• The eLG model fails in reproducing the lattice chromo-electric propagator in the vicinity
• f the confinement/deconfinement phase transition:

∗ could signal a failure of the eLG model. ∗ could be related to the fact that the underlying symmetry is not manifest in the LG: → investigate massive extensions of other (more appropriate) gauges.

Motivation

Outline

• I. Confinement/deconfinement phase transition:
• Center symmetry, Polyakov loop;
• Landau-deWitt gauge.
• Extended Landau-deWitt gauge model.
• II. LO Polyakov loop and effective potential.
• III. NLO results.
• IV. Thermodynamics.

Confinement/Deconfinement phase transition

Confinement/Deconfinement phase transition

Confinement/Deconfinement phase transition

Polyakov loop and center symmetry breaking

• Free-energy F for having an isolated static quark located somewhere

e−βF = 1 N ⟨tr P eig ∫

β 0 dτA0(τ)⟩ ≡ ⟨L⟩

with A0 = Aa

0ta (a = 1, . . . , N)

• The Yang-Mills action at finite T is invariant under twisted or center (gauge) transformations

U(β, ⃗ x) = U(0, ⃗ x)V with V ∈ SU(N)center = {ei2πk/N1∣k = 0, . . . , N − 1}

• Under a center transformation ⟨L⟩ → ⟨L⟩ ei2πk/N:

∗ if center symmetry is manifest ⟨L⟩ = 0 and F = ∞ (confined phase); ∗ if center symmetry is broken ⟨L⟩ ≠ 0 and F < ∞ (deconfined phase).

Confinement/Deconfinement phase transition

Polyakov loop and center symmetry breaking

• Free-energy F for having an isolated static quark located somewhere

e−βF = 1 N ⟨tr P eig ∫

β 0 dτA0(τ)⟩ ≡ ⟨L⟩

with A0 = Aa

0ta (a = 1, . . . , N)

• The Yang-Mills action at finite T is invariant under twisted or center (gauge) transformations

U(β, ⃗ x) = U(0, ⃗ x)V with V ∈ SU(N)center = {ei2πk/N1∣k = 0, . . . , N − 1}

• Under a center transformation ⟨L⟩ → ⟨L⟩ ei2πk/N:

∗ if center symmetry is manifest ⟨L⟩ = 0 and F = ∞ (confined phase); ∗ if center symmetry is broken ⟨L⟩ ≠ 0 and F < ∞ (deconfined phase). The lattice predicts a 2nd/1st order breaking of center symmetry in the SU(2)/SU(3) case.

Confinement/Deconfinement phase transition

Which gauge to use?

• The gauge fixing should not break the center symmetry explicitely.
• Choose a background ¯

Aa

µ, define (¯

Dµϕ)a ≡ ∂µϕa + gf abc ¯ Abϕc, and fix the gauge according to (¯ Dµ(Aµ − ¯ Aµ))a = 0. In the limit ξ → 0, one obtains the Landau-deWitt gauge (LdWG): S¯

A[A] = ∫x {1

4 F a

µνF a µν + (¯

Dµ¯ c)a(Dµc)a + iha(¯ Dµ(Aµ − ¯ Aµ))a} By construction S¯

AU [AU] = S¯ A[A] and thus Γ¯ AU [AU] = Γ¯ A[A].

• If one considers ˜

Γ[¯ A] ≡ Γ¯

A[¯

A], then ∗ the physics is obtained at the absolute minimum of ˜ Γ[¯ A]; ∗ center symmetry is manifest because ˜ Γ[¯ AU] = Γ¯

AU [¯

AU] = Γ¯

A[¯

A] = ˜ Γ[¯ A].

Confinement/Deconfinement phase transition

Which gauge to use?

• The gauge fixing should not break the center symmetry explicitely.
• Choose a background ¯

Aa

µ, define (¯

Dµϕ)a ≡ ∂µϕa + gf abc ¯ Abϕc, and fix the gauge according to (¯ Dµ(Aµ − ¯ Aµ))a = 0. In the limit ξ → 0, one obtains the Landau-deWitt gauge (LdWG): S¯

A[A] = ∫x {1

4 F a

µνF a µν + (¯

Dµ¯ c)a(Dµc)a + iha(¯ Dµ(Aµ − ¯ Aµ))a} By construction S¯

AU [AU] = S¯ A[A] and thus Γ¯ AU [AU] = Γ¯ A[A].

• The LdWG and ˜

Γ[¯ A] have been studied in the framework of the functional RG:

• 0.4
• 0.3
• 0.2
• 0.1

0.2 0.4 0.6 0.8 1 β4 V(β <Α0>) β <A0>/(2π)

• 0.5
• 0.4
• 0.3
• 0.2
• 0.1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 β4 V(β <Α0>) β <A0>/(2π)

0.3 0.5 0.7

• J. Braun, H. Gies and J.M. Pawlowski, Phys.Lett. B684 (2010).

Confinement/Deconfinement phase transition

The extended Landau-deWitt gauge model (eLdWG)

• Following our approach in the LG, we add a phenomenological mass term in the LdWG action.
• The mass term should not break center symmetry (S¯

AU [AU] = S¯ A[A] ⇒ ˜

Γ[¯ AU] = ˜ Γ[¯ A]): S¯

A[A] = ∫x {1

4 F a

µνF a µν + (¯

Dµ¯ c)a(Dµc)a + iha(¯ Dµ(Aµ − ¯ Aµ))a + 1 2m2(Aa

µ − ¯

Aa

µ)(Aa µ − ¯

Aa

µ)}

⇒ extended Landau-deWitt gauge model (eLdWG): ∗ Does the model show a confined phase at small temperatures? ∗ How well are the observables described (in particular in the confined phase)? ∗ How much is captured from a simple perturbative expansion?

• Feynman rules?

Confinement/Deconfinement phase transition

Feynman rules: simplifying remarks

• We are interested in thermodynamical properties:

⇒ uniform background: ¯ Aa

µ(τ, ⃗

x) = ¯ Aa

µ.

⇒ effective potential: γ(¯ A) = ˜ Γ[¯ A]/(βV).

• We are interested in the Polyakov loop:

⇒ temporal background ¯ Aa

µ = ¯

Aa

0δµ0.

• One can always choose ¯

A0 in the Cartan sub-algebra: ⇒ SU(2): βg¯ A0 = r3

σ3 2

⇒ SU(3): βg¯ A0 = r3

λ3 2 + r8 λ8 2

Confinement/Deconfinement phase transition

Feynman rules: modes

• SU(2): 3 non-degenerate modes classified according to a certain charge Q3 = {−1, 0, 1}

ghost ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ G0(K) =

1 K 2

G+(K) =

1 K 2

+

G−(K) =

1 K 2

−

gluon ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ G0

µν(K) = P⊥

µν(K)

K 2+m2 + ξP∥

µν(K)

K 2+ξm2

G+

µν(K) = P⊥

µν(K+)

K 2

++m2

+

ξP∥

µν(K+)

K 2

++ξm2

G−

µν(K) = P⊥

µν(K−)

K 2

−+m2

+

ξP∥

µν(K−)

K 2

−+ξm2

Kσ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ K = (2πnT, ⃗ k) K+ = ((2πn+r3)T, ⃗ k) K− = ((2πn−r3)T, ⃗ k) The background plays the role of an imaginary chemical potential for the charge Q3.

• SU(3): modes classified according to two charges Q3 and Q8: 2 neutral modes (degenerate)

and 3 pairs of charged modes corresponding to the 3 SU(2) subgroups of SU(3).

• For each charge eigenstate, we have:

∗ 3 massive transverse gluons; ∗ 1 massless longitudinal gluon (ξ → 0); ∗ 2 massless ghosts.

Polyakov loop potential and center symmetry breaking

Polyakov loop potential and center symmetry breaking

Polyakov loop potential and center symmetry breaking

LO Polyakov loop

• At LO (in g2 with g2¯

A ∼ 1), the path ordering P in the definition of ⟨L⟩ does not play a role ⟨L⟩ = 1 N ⟨tr P e−ig ∫

β 0 dτ A0(τ)⟩ = 1

N ⟨tr P e−ig ∫

β 0 dτ (¯

A0+a0(τ))⟩ = 1

N tr e−iβg¯

A0

ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

≡⟨L⟩lo

+O(g2)

• The confining phase (⟨L⟩ = 0) corresponds to specific, confining, values of the background:

SU(2): ⟨L⟩lo = cos ( r3

2 ) = 0 ⇔ r3 = π mod 2π

SU(3): ⟨L⟩lo = 1

3 [e −i r8

√ 3 + 2e

i

r8 2 √ 3 cos ( r3

2 )] ⇔ (r3, r8) = ( 4π 3 , 0) mod (2π, ± 2π √ 3 )

• Does the background acquires its confining value(s) for small enough temperatures?

Polyakov loop potential and center symmetry breaking

LO effective potential: SU(2) case

• Only the charged modes contribute to the r3 dependence of the potential (εq =

√ q2 + m2) γ(r3) = 3T ∫q ln (1 + e−2βεq − 2e−βεq cos(r3)) − T ∫q ln (1 + e−2βq − e−βq cos(r3))

Polyakov loop potential and center symmetry breaking

LO effective potential: SU(2) case

• Only the charged modes contribute to the r3 dependence of the potential (εq =

√ q2 + m2) γ(r3) = 3T ∫q ln (1 + e−2βεq − 2e−βεq cos(r3)) − T ∫q ln (1 + e−2βq − e−βq cos(r3))

• Symmetry:

Center symmetry implies: γ(r3 + 2π) = γ(r3) γ(π + δr3) = γ(π − δr3) ⇒ { we can restrict to r3 ∈ [0, π] 0 and π are extrema

Π 2 Π

Polyakov loop potential and center symmetry breaking

LO effective potential: SU(2) case

• Only the charged modes contribute to the r3 dependence of the potential (εq =

√ q2 + m2) γ(r3) = 3T ∫q ln (1 + e−2βεq − 2e−βεq cos(r3)) − T ∫q ln (1 + e−2βq − e−βq cos(r3))

• Thermal asymptotic behavior:

T ≫ m, 2T ∫q ln(1 + e−2βq − e−βq cos(r3)) ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

≡γWeiss(r3)

T ≪ m, −T ∫q ln(1 + e−2βq − e−βq cos(r3)) ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

=− 1

2 γWeiss(r3)

γWeiss(r3) = (r3 − π)4 24π2 − (r3 − π)2 12 + 7π2 360

Π 2 Π

Polyakov loop potential and center symmetry breaking

LO effective potential: SU(2) case

• Only the charged modes contribute to the r3 dependence of the potential (εq =

√ q2 + m2) γ(r3) = 3T ∫q ln (1 + e−2βεq − 2e−βεq cos(r3)) − T ∫q ln (1 + e−2βq − e−βq cos(r3))

• Thermal asymptotic behavior:

T ≫ m, 2T ∫q ln(1 + e−2βq − e−βq cos(r3)) ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

≡γWeiss(r3)

T ≪ m, −T ∫q ln(1 + e−2βq − e−βq cos(r3)) ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

=− 1

2 γWeiss(r3)

γWeiss(r3) = (r3 − π)4 24π2 − (r3 − π)2 12 + 7π2 360

Π 2 Π

Inverted Weiss potential!

Polyakov loop potential and center symmetry breaking

LO effective potential: SU(2) case

• Only the charged modes contribute to the r3 dependence of the potential (εq =

√ q2 + m2) γ(r3) = 3T ∫q ln (1 + e−2βεq − 2e−βεq cos(r3)) − T ∫q ln (1 + e−2βq − e−βq cos(r3))

• Thermal asymptotic behavior:

T ≫ m, 2T ∫q ln(1 + e−2βq − e−βq cos(r3)) ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

≡γWeiss(r3)

T ≪ m, −T ∫q ln(1 + e−2βq − e−βq cos(r3)) ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

=− 1

2 γWeiss(r3)

γWeiss(r3) = (r3 − π)4 24π2 − (r3 − π)2 12 + 7π2 360

Π 2 Π

2nd order phase transition!

Polyakov loop potential and center symmetry breaking

LO effective potential: SU(2) case

• Only the charged modes contribute to the r3 dependence of the potential (εq =

√ q2 + m2) γ(r3) = 3T ∫q ln (1 + e−2βεq − 2e−βεq cos(r3)) − T ∫q ln (1 + e−2βq − e−βq cos(r3))

• Thermal asymptotic behavior:

T ≫ m, 2T ∫q ln(1 + e−2βq − e−βq cos(r3)) ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

≡γWeiss(r3)

T ≪ m, −T ∫q ln(1 + e−2βq − e−βq cos(r3)) ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

=− 1

2 γWeiss(r3)

γWeiss(r3) = (r3 − π)4 24π2 − (r3 − π)2 12 + 7π2 360

Π 2 Π

No surprise: our free propagators obey the fRG confinement criterion obtained in J. Braun, H. Gies, J.M. Pawlowski, PLB684 (2010).

Polyakov loop potential and center symmetry breaking

LO effective potential: SU(3) case

• We obtain a mildly first order phase transition in agreement with lattice or fRG results.

4 Π 3

2 Π 2 Π

3 2 Π 3 2 Π 3 4 Π 3

2 Π

UR, J. Serreau, M. Tissier and N. Wschebor, arXiv:1407.6469.

• We obtain Tc ≃ 185 MeV. NLO corrections?

Polyakov loop potential and center symmetry breaking

LO artifacts

• The Polyakov loop reaches its limiting value at a finite temperature Ta/Tc = 1.5:

1 1.5 1 TTc L 1.4 1.5 1.58 1 TTc L

• Similar conclusion for SU(3) with Ta/Tc = 1.38:

1 1.38 1 TTc L 1.3 1.38 1.46 1 TTc L

⇒ Additional singularity in thermodynamical observables in the range [Tc, 2Tc].

Next-to-leading order results

Next-to-leading order results

Next-to-leading order results

NLO Polyakov loop

• The calculation of the PL at NLO requires the path ordering to be taken into account.

In the SU(2) case, we obtain ⟨L⟩nlo = (1 + ag2βm) × ⟨L⟩lo with (εq = √ q2 + m2) a = 3 32π + sin2 (r3 2 ) ∫ d3q (2πm)3 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 cosh(βq) − cos(r3) − q2 ε2

q

1 cosh(βεq) − cos(r3) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Cross-check: since a > 0, we have ⟨L⟩nlo = 0 iff r3 = π mod 2π.

• A similar calculation can be done for SU(3).

Next-to-leading order results

NLO effective potential I

γnlo(¯ A) = − − − − − − −

• Background-dependent propagators and background-dependent derivative vertices!
• Using symmetry: same level of complexity as in the Landau gauge (¯

A = 0).

Next-to-leading order results

NLO effective potential II

γnlo(r3) − γlo(r3) = (3 2m2δZm2,finite + g2m2 64π2 (35 ln ¯ µ2 m2 + 313 3 − 99π 2 √ 3 )) (T 0

m + 2T + m)

+ 15g2 8 (U0V + + U+V 0 + U+V +) + 21g2 4m2 ˜ U+ ˜ V + + g2m2[99Wmmm + W00m + 2Wm00] UV finite! * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * T +

α =

1 2π2 ∫

∞

dq q2 Re nεα

q −ir3T

εα

q

, U+ = T +

m + 1

3 T +

0 ,

V + = T +

m − 1

5 T +

0 ,

˜ T +

α =

1 2π2 ∫

∞

dq q2 Im nεα

q −ir3T ,

˜ U+ = ˜ T +

m − ˜

T +

0 ,

˜ V + = ˜ T +

m − 5

21 ˜ T +

0 ,

Wαβγ = 1 256π4 ∑

σ=± ∫ ∞

dq q εα

q

∫

∞

dk k εβ

k

Re ln −(εα

q + σεβ k + iǫ)2 + (εγ k+q)2

−(εα

q + σεβ k + iǫ)2 + (εγ k−q)2

× ((nσεα

q +εβ k

+ nεβ

k

)Re nεα

q −ir3T + (nσεα q +εβ k

+ nεα

q )Re nεβ k −ir3T )

“Transmutation” of the degrees of freedom in the presence of the background. Ex: SU(2), T < Tc, n(ε − iπT) = −f(ε) Fermi-Dirac!

Next-to-leading order results

Summary of NLO results

• The “predictions” concerning the orders of the SU(2)/SU(3) transitions remain the same.
• We obtain improved values for Tc in the SU(3) case:

LO NLO FRG∗ Tc 185 MeV 256 MeV (prelim.) 275 MeV

∗ Fister and Pawlowski, Phys.Rev. D88 (2013) 045010.

• The LO artifact seems to be lifted (or at least pushed to higher temperatures) because the

curvature of the potential at the origin remains negative in the range T ∈ [Tc, 3Tc]:

1 1.5 TTc

LO curvature at Π LO curvature at 0

• Add. singularity for T ∈ [Tc, 2Tc]

1 1.5 TTc

NLO curvature at Π NLO curvature at 0

No add. singularity for T ∈ [Tc, 3Tc]!

Thermodynamics

Thermodynamics (yet exploratory)

Thermodynamics

Ghost dominance and thermodynamics

• Any framework where ghosts dominate at small temperatures (LG, LdWG, eLG and eLdWG

models, ...) faces an apparent paradox: ∗ naively, ghosts contribute negatively to the entropy: ∆s = d∆p/dT < 0; ∗ how to obtain then meaningful thermodynamical observables?

• In the eLdWG model, this is possible due the transmutation of the degrees of freedom.

Ex.: in SU(2), for T < Tc, a ghost of charge Q3 = σ contributes to the entropy as ∆s = 2T 3 ∫q ln (1 + e−2q − 2e−q cos(σπ)) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ σ = 0 ∶ 4T 3 ∫q ln (1 − e−q)< 0 σ = ±1 ∶ 4T 3 ∫q ln (1 + e−q)> 0

• The total ghost contribution is then (we use ∫q ln(1 − e−q) = − 8

7 ∫q ln(1 + e−q))

∆s0 + ∆s+ + ∆s− 4T 3 = ∫q ln(1 − e−q) + 2 ∫q ln(1 + e−q) = 6 7 ∫q ln(1 + e−q)> 0

Thermodynamics

LO pressure in the eLdWG model

The LO thermal pressure is monotonically increasing in the low temperature region ...

1 1.3 TTc p

LO eLdWG

... but becomes non-monotonic (and even slightly negative) when approaching Tc.

Thermodynamics

NLO pressure in the eLdWG model

NLO corrections ensure that the thermal pressure remains monotonic!

1 1.3 TTc p

NLO eLdWG LO eLdWG

We have unwanted, non-exponentially suppressed (∼T 4) contributions at small T.

Conclusions

Conclusions

• A perturbative one-loop calculation of the Polyakov loop potential within the

eLdWG model allows to capture the physics of center symmetry breaking.

• Our approach allows for a systematic determination of higher order corrections.
• Two-loop corrections corrections are important to reach a value of the transition

temperature closer to that obtained on the lattice or within an fRG approach and to get rid of certain artifacts of the one-loop approximation (additional singularities in the thermodynamical observables and negative entropy).

• TODO list:

∗ eLdWG propagators (in progress, in collaboration with A. Tresmontant). ∗ Include quarks and chemical potential (in progress). ∗ Elimination of T 4 contributions in the pressure? non-perturbative issue? ∗ Solid theoretical justification of the mass term? Gribov copies?