MAT140 - C alculo I - Deriva c ao Impl cita e Derivadas de Ordem - - PowerPoint PPT Presentation

MAT140 - C´ alculo I - Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita e Derivadas de Ordem Superior

28 de agosto de 2015

MAT140 - C´ alculo I - Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita e Derivadas de Ordem Superior UFV

Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita

Considere o seguinte conjunto R = {(x, y); y = 2x + 1} O conjunto R representa a reta definida pela equa¸ c˜ ao y = 2x + 1. Note que esta equa¸ c˜ ao define uma fun¸ c˜ ao explicitamente. De fato, define a fun¸ c˜ ao f (x) = 2x + 1. Mas, nem todas as fun¸ c˜

• es podem ser definidas explicitamente, como pode

ser visto no exemplo abaixo.

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Exemplo

Seja A = {(x, y); xy + y 2 + 2x3 = 0} Note que n˜ ao podemos resolver y em fun¸ c˜ ao de x e nem x em fun¸ c˜ ao de

• y. Al´

em disso, podem existir ou n˜ ao, fun¸ c˜

• es f que satisfa¸

cam a equa¸ c˜ ao xy + y 2 + 2x3 = 0 (1)

• Exemplo

Note que x2 + y 2 = −1 n˜ ao define nehuma fun¸ c˜ ao a valores reais que satisfa¸ ca a equa¸ c˜ ao.

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Uma equa¸ c˜ ao pode definir mais de uma fun¸ c˜ ao f que satisfa¸ ca a mesma.

Exemplo

Considere a equa¸ c˜ ao x2 + y 2 = 4 Note que esta equa¸ c˜ ao define duas fun¸ c˜

• es, a saber

f1(x) =

• 4 − x2 e f2(x) = −
• 4 − x2
• nde amabas, f1 e f2, satisfazem a equa¸

c˜ ao acima.

• Assim, podemos ter equa¸

c˜

• es que n˜

ao definam nenhuma fun¸ c˜ ao, definam exatamente uma ou definam mais de uma fun¸ c˜ ao.

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Voltamos agora a aten¸ c˜ ao novamente para a equa¸ c˜ ao (1). Como vimos, (1) n˜ ao pode ser resolvida explicitamente em fun¸ c˜ ao de x. Mas pode existir uma fun¸ c˜ ao (ou mais de uma) f que satisfa¸ ca (1), isto ´ e, que a equa¸ c˜ ao xf (x) + f (x)2 + 2x3 = 0 seja satisfeita, no sentido que a igualdade seja v´ alida para todo x no dom´ ınio de f . Neste caso, a fun¸ c˜ ao f est´ a definida implicitamente pela equa¸ c˜ ao (1). Se f ´ e deriv´ avel e definida implicitamente por uma equa¸ c˜ ao dada, mesmo sem explicitar f , ´ e poss´ ıvel (caso exista) encontrar sua derivada. O m´ etodo que usaremos para este fim ´ e chamado deriva¸ c˜ ao impl´ ıcita.

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Exemplo

Suponha que f ´ e deriv´ avel e definida pela equa¸ c˜ ao (1), isto ´ e, y = f (x) satisfa¸ ca xf (x) + f (x)2 + 2x3 = 0 Aplicando as regras de deriva¸ c˜ ao para a equa¸ c˜ ao xy + y 2 + 2x3 = 0

• btemos

d dx (xy + y 2 + 2x3) = d dx (0)

• d

dx (xy) + d dx (y 2) + 2 d dx (x3) = 0

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• d

dx (x).y + x.dy dx + 2y.dy dx + 6x2 = 0

• y + x.dy

dx + 2y.dy dx + 6x2 = 0 da´ ı (x + 2y)dy dx = −y − 6x2

• dy

dx = −y − 6x2 x + 2y

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Exemplo

Considere novamente a equa¸ c˜ ao x2 + y 2 = 4 (2) Neste caso temos que y 2 = 4 − x2 ⇓ y =

• 4 − x2 e y = −
• 4 − x2

Assim, a equa¸ c˜ ao (2) define exatamente duas fun¸ c˜

• es

f1(x) =

• 4 − x2

e f2(x) = −

• 4 − x2

Derivando implicitamente a equa¸ c˜ ao (2) obtemos

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2x + 2y dy dx = 0 ⇓ dy dx = −x y Agora vamos derivar cada uma das fun¸ c˜

• es f1 e f2

f1(x) = (4 − x2)

1 2 ⇒ f ′

1(x) = 1

2(4 − x2)− 1

2 (−2x) = −

x √ 4 − x2 f2(x) = −(4 − x2)

1 2 ⇒ f ′

2(x) = −1

2(4 − x2)− 1

2 (−2x) =

x √ 4 − x2

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Note que, para y = f1(x), onde f1(x) = √ 4 − x2, temos que f ′

1(x) = −

x √ 4 − x2 = −x y e para y = f2(x), onde f2(x) = − √ 4 − x2, temos que f ′

2(x) =

x √ 4 − x2 = −x y

• u seja, as derivadas encontradas das fun¸

c˜

• es f1 e f2 est˜

ao de acordo com a derivada encontrada da equa¸ c˜ ao (2) por deriva¸ c˜ ao implicita.

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Exemplo

Considere a equa¸ c˜ ao 2xy 2 − x2 = 1 supondo que esta defina uma fun¸ c˜ ao f deriv´ avel de x. Encontre uma equa¸ c˜ ao da reta tangente ` a curva y = f (x), no ponto (1, 1). Derivando implicitamente, obtemos 2y 2 + 4xy dy dx − 2x = 0 ⇓ dy dx = x − y 2 2xy

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No ponto (1, 1) temos que dy dx

• (1,1) = 1 − 1

2.1.1 = 0 2 = 0 Usando o ponto (1, 1) e a derivada, obtemos y − 1 = 0(x − 1) ⇒ y = 1 Veja abaixo o esbo¸ co da curva e da reta tangente.

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Figura: Gr´ afico da curva y = f (x) e da reta tangente ` a curva no ponto (1, 1).

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Exemplo

Considerando a equa¸ c˜ ao xcos(y) + 3xy = 0 suponha que esta define uma fun¸ c˜ ao deriv´ avel de x. Calcule dy

dx .

Derivando implicitamente d dx (xcos(y) + 3xy) = d dx (0) ⇓ cos(y) + x.(−sen(y))dy dx + 3y + 3x dy dx = 0 ⇓ dy dx = −3y − cos(y) 3x − xsen(y)

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Derivadas de Ordem Superior

Seja I um intervalo em R e f : I → R uma fun¸ c˜ ao deriv´

• avel. A derivada

de f , a fun¸ c˜ ao f ′, ser´ a chamada de derivada primeira de f ou de fun¸ c˜ ao derivada primeira de f . Caso a fun¸ c˜ ao f ′ seja deriv´ avel, a derivada de f ′ ser´ a denotada por f ′′ e chamda de derivada segunda de f . Analogamente, se f ′′ for deriv´ avel, a derivada de f ′′ ser´ a denotada por f ′′′ e chamada de derivada terceira de f . Para n > 3, a derivada en´ esima da fun¸ c˜ ao f , denotada por f (n), ´ e a derivada primeira da fun¸ c˜ ao f (n−1) (derivada (n − 1)-´ esima de f ).

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Assim f (0) = f f (1) = f ′ f (2) = f ′′ f (3) = f ′′′ e para n > 3 usamos a nota¸ c˜ ao f (n), ou seja, f (4), f (5), . . .

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Exemplo

Considere a fun¸ c˜ ao polinomial f (x) = 2x5 − x3 + 8x − 7 Temos que f ´ e deriv´ avel e segue que f ′(x) = 10x4 − 3x2 + 8 Note que f ′ tamb´ em ´ e deriv´ avel, de onde obtemos f ′′(x) = 40x3 − 6x Novamente, f ′′ tamb´ em ´ e deriv´ avel, logo f ′′′(x) = 120x2 − 6

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f ′′′ tamb´ em ´ e deriv´ avel, assim f (4)(x) = 240x O mesmo para f (4), de onde f (5)(x) = 240 Finalmente, f (5) tamb´ em ´ e deriv´ avel, logo f (6)(x) = 0 Como f (6) = 0, segue que f (7) = f (8) = . . . f (n) = 0, para todo n > 7.

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Nota¸ c˜ ao de Leibniz

Em rela¸ c˜ ao a nota¸ c˜ ao de Leibniz, a nota¸ c˜ ao para derivadas de ordem superior ´ e dada a seguir derivada primeira − → dy dx derivada segunda − → d2y dx2 . . . derivada en´ esima − → dny dxn

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Exemplo

Calcule d2y dx2 , sendo que y = x2sen(x) + ex Temos que d dx (x2sen(x) + ex) = 2xsen(x) + x2cos(x) + ex d2 dx2 (x2sen(x) + ex) = d dx (2xsen(x) + x2cos(x) + ex) = 2sen(x) + 2xcos(x) + 2xcos(x) − x2sen(x) + ex = (2 − x2)sen(x) + 4xcos(x) + ex

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