MAT140 - C alculo I - Deriva c ao Impl cita e Derivadas de Ordem - PowerPoint PPT Presentation

MAT140 - C´ alculo I - Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita e Derivadas de Ordem Superior 28 de agosto de 2015 MAT140 - C´ alculo I - Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita e Derivadas de Ordem Superior UFV

Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita Considere o seguinte conjunto R = { ( x , y ); y = 2 x + 1 } O conjunto R representa a reta definida pela equa¸ c˜ ao y = 2 x + 1. Note que esta equa¸ c˜ ao define uma fun¸ c˜ ao explicitamente. De fato, define a fun¸ c˜ ao f ( x ) = 2 x + 1. Mas, nem todas as fun¸ c˜ oes podem ser definidas explicitamente, como pode ser visto no exemplo abaixo. MAT140 - C´ alculo I - Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita e Derivadas de Ordem Superior UFV

Exemplo Seja A = { ( x , y ); xy + y 2 + 2 x 3 = 0 } Note que n˜ ao podemos resolver y em fun¸ c˜ ao de x e nem x em fun¸ c˜ ao de y. Al´ em disso, podem existir ou n˜ ao, fun¸ c˜ oes f que satisfa¸ cam a equa¸ c˜ ao xy + y 2 + 2 x 3 = 0 (1) � Exemplo Note que x 2 + y 2 = − 1 n˜ ao define nehuma fun¸ c˜ ao a valores reais que satisfa¸ ca a equa¸ c˜ ao. � MAT140 - C´ alculo I - Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita e Derivadas de Ordem Superior UFV

Uma equa¸ c˜ ao pode definir mais de uma fun¸ c˜ ao f que satisfa¸ ca a mesma. Exemplo Considere a equa¸ c˜ ao x 2 + y 2 = 4 Note que esta equa¸ c˜ ao define duas fun¸ c˜ oes, a saber � 4 − x 2 e f 2 ( x ) = − � 4 − x 2 f 1 ( x ) = onde amabas, f 1 e f 2 , satisfazem a equa¸ c˜ ao acima. � Assim, podemos ter equa¸ c˜ oes que n˜ ao definam nenhuma fun¸ c˜ ao, definam exatamente uma ou definam mais de uma fun¸ c˜ ao. MAT140 - C´ alculo I - Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita e Derivadas de Ordem Superior UFV

Voltamos agora a aten¸ c˜ ao novamente para a equa¸ c˜ ao (1). Como vimos, (1) n˜ ao pode ser resolvida explicitamente em fun¸ c˜ ao de x . Mas pode existir uma fun¸ c˜ ao (ou mais de uma) f que satisfa¸ ca (1), isto ´ e, que a equa¸ c˜ ao xf ( x ) + f ( x ) 2 + 2 x 3 = 0 seja satisfeita, no sentido que a igualdade seja v´ alida para todo x no dom´ ınio de f . Neste caso, a fun¸ c˜ ao f est´ a definida implicitamente pela equa¸ c˜ ao (1). Se f ´ e deriv´ avel e definida implicitamente por uma equa¸ c˜ ao dada, mesmo sem explicitar f , ´ e poss´ ıvel (caso exista) encontrar sua derivada. O m´ etodo que usaremos para este fim ´ e chamado deriva¸ ıcita . c˜ ao impl´ MAT140 - C´ alculo I - Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita e Derivadas de Ordem Superior UFV

Exemplo Suponha que f ´ e deriv´ avel e definida pela equa¸ c˜ ao (1), isto ´ e, y = f ( x ) satisfa¸ ca xf ( x ) + f ( x ) 2 + 2 x 3 = 0 Aplicando as regras de deriva¸ c˜ ao para a equa¸ c˜ ao xy + y 2 + 2 x 3 = 0 obtemos dx ( xy + y 2 + 2 x 3 ) = d d dx (0) � dx ( xy ) + d d dx ( y 2 ) + 2 d dx ( x 3 ) = 0 MAT140 - C´ alculo I - Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita e Derivadas de Ordem Superior UFV

� dx ( x ) . y + x . dy d dx + 2 y . dy dx + 6 x 2 = 0 � y + x . dy dx + 2 y . dy dx + 6 x 2 = 0 da´ ı ( x + 2 y ) dy dx = − y − 6 x 2 � dx = − y − 6 x 2 dy x + 2 y � MAT140 - C´ alculo I - Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita e Derivadas de Ordem Superior UFV

Exemplo Considere novamente a equa¸ c˜ ao x 2 + y 2 = 4 (2) Neste caso temos que y 2 = 4 − x 2 ⇓ 4 − x 2 e y = − � � y = 4 − x 2 Assim, a equa¸ c˜ ao (2) define exatamente duas fun¸ c˜ oes � � f 1 ( x ) = 4 − x 2 e f 2 ( x ) = − 4 − x 2 Derivando implicitamente a equa¸ c˜ ao (2) obtemos MAT140 - C´ alculo I - Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita e Derivadas de Ordem Superior UFV

2 x + 2 y dy dx = 0 ⇓ dy dx = − x y Agora vamos derivar cada uma das fun¸ c˜ oes f 1 e f 2 1 ( x ) = 1 x 1 2(4 − x 2 ) − 1 f 1 ( x ) = (4 − x 2 ) 2 ⇒ f ′ 2 ( − 2 x ) = − √ 4 − x 2 2 ( x ) = − 1 x 1 2(4 − x 2 ) − 1 f 2 ( x ) = − (4 − x 2 ) 2 ⇒ f ′ 2 ( − 2 x ) = √ 4 − x 2 MAT140 - C´ alculo I - Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita e Derivadas de Ordem Superior UFV

√ 4 − x 2 , temos que Note que, para y = f 1 ( x ) , onde f 1 ( x ) = 4 − x 2 = − x x f ′ 1 ( x ) = − √ y √ 4 − x 2 , temos que e para y = f 2 ( x ) , onde f 2 ( x ) = − 4 − x 2 = − x x f ′ 2 ( x ) = √ y ou seja, as derivadas encontradas das fun¸ c˜ oes f 1 e f 2 est˜ ao de acordo com a derivada encontrada da equa¸ c˜ ao (2) por deriva¸ c˜ ao implicita. � MAT140 - C´ alculo I - Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita e Derivadas de Ordem Superior UFV

Exemplo Considere a equa¸ c˜ ao 2 xy 2 − x 2 = 1 supondo que esta defina uma fun¸ c˜ ao f deriv´ avel de x. Encontre uma equa¸ c˜ ao da reta tangente ` a curva y = f ( x ) , no ponto (1 , 1) . Derivando implicitamente, obtemos 2 y 2 + 4 xy dy dx − 2 x = 0 ⇓ dx = x − y 2 dy 2 xy MAT140 - C´ alculo I - Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita e Derivadas de Ordem Superior UFV

No ponto (1 , 1) temos que dy (1 , 1) = 1 − 1 2 . 1 . 1 = 0 � 2 = 0 � dx � Usando o ponto (1 , 1) e a derivada, obtemos y − 1 = 0( x − 1) ⇒ y = 1 Veja abaixo o esbo¸ co da curva e da reta tangente. � MAT140 - C´ alculo I - Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita e Derivadas de Ordem Superior UFV

Figura: Gr´ afico da curva y = f ( x ) e da reta tangente ` a curva no ponto (1 , 1). MAT140 - C´ alculo I - Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita e Derivadas de Ordem Superior UFV

Exemplo Considerando a equa¸ c˜ ao xcos ( y ) + 3 xy = 0 avel de x. Calcule dy suponha que esta define uma fun¸ c˜ ao deriv´ dx . Derivando implicitamente dx ( xcos ( y ) + 3 xy ) = d d dx (0) ⇓ cos ( y ) + x . ( − sen ( y )) dy dx + 3 y + 3 x dy dx = 0 ⇓ dx = − 3 y − cos ( y ) dy 3 x − xsen ( y ) � MAT140 - C´ alculo I - Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita e Derivadas de Ordem Superior UFV

Derivadas de Ordem Superior Seja I um intervalo em R e f : I → R uma fun¸ c˜ ao deriv´ avel. A derivada de f , a fun¸ c˜ ao f ′ , ser´ a chamada de derivada primeira de f ou de fun¸ c˜ ao derivada primeira de f . ao f ′ seja deriv´ avel, a derivada de f ′ ser´ a denotada por f ′′ e Caso a fun¸ c˜ chamda de derivada segunda de f . Analogamente, se f ′′ for deriv´ avel, a derivada de f ′′ ser´ a denotada por f ′′′ e chamada de derivada terceira de f . ao f , denotada por f ( n ) , ´ Para n > 3, a derivada en´ esima da fun¸ c˜ e a ao f ( n − 1) (derivada ( n − 1)-´ derivada primeira da fun¸ c˜ esima de f ). MAT140 - C´ alculo I - Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita e Derivadas de Ordem Superior UFV

Assim f (0) = f f (1) = f ′ f (2) = f ′′ f (3) = f ′′′ ao f ( n ) , ou seja, f (4) , f (5) , . . . e para n > 3 usamos a nota¸ c˜ MAT140 - C´ alculo I - Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita e Derivadas de Ordem Superior UFV

Exemplo Considere a fun¸ c˜ ao polinomial f ( x ) = 2 x 5 − x 3 + 8 x − 7 Temos que f ´ e deriv´ avel e segue que f ′ ( x ) = 10 x 4 − 3 x 2 + 8 Note que f ′ tamb´ em ´ e deriv´ avel, de onde obtemos f ′′ ( x ) = 40 x 3 − 6 x Novamente, f ′′ tamb´ em ´ e deriv´ avel, logo f ′′′ ( x ) = 120 x 2 − 6 MAT140 - C´ alculo I - Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita e Derivadas de Ordem Superior UFV

f ′′′ tamb´ em ´ e deriv´ avel, assim f (4) ( x ) = 240 x O mesmo para f (4) , de onde f (5) ( x ) = 240 Finalmente, f (5) tamb´ em ´ e deriv´ avel, logo f (6) ( x ) = 0 Como f (6) = 0 , segue que f (7) = f (8) = . . . f ( n ) = 0 , para todo n > 7 . MAT140 - C´ alculo I - Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita e Derivadas de Ordem Superior UFV

Nota¸ c˜ ao de Leibniz Em rela¸ c˜ ao a nota¸ c˜ ao de Leibniz, a nota¸ c˜ ao para derivadas de ordem superior ´ e dada a seguir dy derivada primeira − → dx d 2 y derivada segunda − → dx 2 . . . d n y derivada en´ esima − → dx n MAT140 - C´ alculo I - Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita e Derivadas de Ordem Superior UFV

Exemplo Calcule d 2 y dx 2 , sendo que y = x 2 sen ( x ) + e x Temos que d dx ( x 2 sen ( x ) + e x ) = 2 xsen ( x ) + x 2 cos ( x ) + e x d 2 dx 2 ( x 2 sen ( x ) + e x ) = d dx (2 xsen ( x ) + x 2 cos ( x ) + e x ) = 2 sen ( x ) + 2 xcos ( x ) + 2 xcos ( x ) − x 2 sen ( x ) + e x = (2 − x 2 ) sen ( x ) + 4 xcos ( x ) + e x MAT140 - C´ alculo I - Deriva¸ c˜ ao Impl´ ıcita e Derivadas de Ordem Superior UFV