Lecture 6 Lecture 6 - PowerPoint PPT Presentation

Lecture 6 Lecture 6 กําหนดการเชิงเสน กําหนดการเชิงเสน (Linear Programming) Linear Programming) ( ��������� ���������������������������� �

อสมการเสนตรงสองตัวแปร � อสมการเสนตรงสองตัวแปรเขียนไดหลายแบบดังนี้ ax by c 0 or + + < ax by c 0 or + + ≤ ax by c 0 or + + > ax by c 0 + + ≥ � a, b, c = คาคงที่ และ a,b ≠ 0 ��������� ���������������������������� �

คําตอบของอสมการ ( พื้นที่ที่แรเงา ) � คําตอบของสมการเสนตรง y = mx + c คือจุดทุกจุดบน เสนตรงของสมการ � คําตอบของอสมการเสนตรง y < mx + c คือจุดทุกจุดบน พื้นที่ใตเสนตรงของสมการ y = mx + c � คําตอบของอสมการเสนตรง y ≤ mx + c คือจุดทุกจุดบน เสนตรงของสมการ y = mx + c รวมถึงจุดทุกจุดบนพื้นที่ใต เสนตรงดังกลาว � คําตอบของอสมการเสนตรง y > mx + c คือจุดทุกจุดบน พื้นที่เหนือเสนตรงของสมการ y = mx + c � คําตอบของอสมการเสนตรง y ≥ mx + c คือจุดทุกจุดบน เสนตรงของสมการ y = mx + c รวมถึงจุดทุกจุดบนพื้นที่ เหนือเสนตรงดังกลาว ��������� ���������������������������� �

ตัวอยาง ��������� ���������������������������� �

ตัวอยาง ��������� ���������������������������� �

Linear Programming � กําหนดการเชิงเสน คือ ระเบียบวิธีทางคณิตศาสตร เพื่อหาคําตอบที่เหมาะสมของสมการเสนตรง ( เชน หาคาสูงสุดหรือต่ําสุด ) ภายใตเงื่อนไขที่กําหนดไว ซึ่งเงื่อนไขดังกลาวอาจถูกเขียนอยูในรูปสมการ เสนตรงหรืออสมการเสนตรงก็ได � ฟงกชั่นที่เราตองการหาคําตอบเรียกวาฟงกชั่น เปาหมาย ( objective function) ��������� ���������������������������� �

ตัวอยาง � หาคาสูงสุดของฟงกชั่น P = 3x + y ภายใตเงื่อนไข ดังตอไปนี้ 2 x y 8 + ≤ 2 x 3 y 12 + ≤ x 0 ≥ y 0 ≥ ��������� ���������������������������� �

ตัวอยาง � Objective function: P = 3x + y � y = -3x + P � คําตอบของสมการคือจุดสัมผัส ( tangent point) ระหวาง เสนตรง y = -3x + P กับพื้นที่ที่เปนไปได ( feasible region) � คําตอบของสมการยังสามารถหาไดโดยการหา จุดตัดยอดมุมของพื้นที่ที่เปนไปได หลังจากนั้นให แทนคาจุดตัดดังกลาวในฟงกชั่นเปาหมาย เสร็จ แลวพิจารณาดูวามูลคาของฟงกชั่นเปนไปตาม เปาหมายหรือไม ถาใช จุดตัดนั้นเปนคําตอบของ สมการ ��������� ���������������������������� �

ตัวอยาง ( ) ( ) Z A 3 0 0 0 = + = ( ) ( ) Z B 3 4 0 12 = + = ( ) ( ) Z C 3 3 2 11 = + = ( ) ( ) Z D 3 0 4 4 = + = ��������� ���������������������������� �

พื้นที่ที่เปนไปไดไรขอบเขต ( unbounded feasible region) � เกษตรกรรายหนึ่งใชปุยสองประเภทในการเพาะปลูก โดยปุยแต ละประเภทมีราคาตอกระสอบและสวนประกอบของธาตุอาหารตอ กระสอบดังแสดงในตาราง ถาเกษตรกรรายนี้ตองการทําตนทุน ใหต่ําสุดโดยที่ยังคงจํานวนธาตุอาหารเอาไวใหไมต่ํากวาที่ กําหนดไว เขาควรจะซื้อปุยอยางละกี่กระสอบ ��������� ���������������������������� ��

พื้นที่ที่เปนไปไดไรขอบเขต � ให x แทนจํานวนปุยสําหรับพืชที่โตเร็ว และ y แทน จํานวนปุยสําหรับพืชที่โตชา � ฟงกชั่นเปาหมายคือ C = 8x + 6y � ฟงกชั่นนี้ใหคาต่ําสุดที่จุด ( 40,20) � ฟงกชั่นนี้ไมมีคาสูงสุดเนื่องจากพื้นที่ที่เปนไปไดไร ขอบเขต � เมื่อพื้นที่ที่เปนไดกวางขวางมาก จะทําใหฟงกชั่นเปาหมายเพิ่ม คาไดไมจํากัด ��������� ���������������������������� ��

พื้นที่ที่เปนไปไดไรขอบเขต � เงื่อนไข x y 3 2 160 + ≥ x y 5 2 200 + ≥ x y 2 80 + ≥ x 0 ≥ y 0 ≥ ��������� ���������������������������� ��

ไมมีพื้นที่ที่เปนไปได ( empty feasible region) � ทําใหฟงกชั่น Z = 8x - 3y มีคาต่ําสุดภายใต เงื่อนไข � -x + 3y = 21 � x + y ≤ 5 � x ≥ 0 � y ≥ 0 ��������� ���������������������������� ��

คําตอบที่เหมาะที่สุดมีหลายคําตอบ (multiple optimal solution) � ถาฟงกชั่นเปาหมายเลื่อนไปทับซอนกับสวนใดสวน หนึ่งกับสมการเงื่อนไข ฟงกชั่นเปาหมายนั้นจะมี คําตอบที่เหมาะที่สุดหลายคําตอบ � ตัวอยาง : หาคาต่ําสุดของ Z = 2x + 4y ภายใต เงื่อนไขดังนี้ � x - 4y ≤ 8 � x + 2y ≤ 16 � x,y ≥ 0 ��������� ���������������������������� ��

คําตอบที่เหมาะที่สุดมีหลายคําตอบ (multiple optimal solution) ( ) ( ) ( ) Z A 2 0 4 2 8 = + = ( ) ( ) ( ) Z B 2 8 4 4 32 (max) = + = ( ) ( ) ( ) Z C 2 0 4 8 32 (max) = + = ��������� ���������������������������� ��