π π ~β« β π : π 2 0, π : π 2 ππ½ β² ~Length π ~ π = π R β π‘ πstring β πBH π β (β = 3) 2 π π‘ π β π
β’ β’ β’ β’ 3 1 ~π Ξ ~π 5 3
β π‘ β π π 0 β β π β β 3 π β βπ π+2 π π π β π π’ π π β π π’ π π β π’
π ππΊ 2 π π πΎπΌ = β 2β 2 β π + β π 1 β π 2 π πΊ π 1 , πΊ π 2 ππ 0 0 0 βπ 2 β πβ2 πβ2 + π£ β π π π πΊ π 1 β πΊ(π 2 ) π = πΊ π 1 β πΊ π 2 πΊ 2 π=0 = β 2 π β‘ π 0 2 π 0 = β π
πΎπΊ ~ β β β 1 ln π + π 2 β π 2 β πβ2 π 2 + π£β π π 2 πβ 2 π π π πβ2 gravity diffusion elasticity repulsive (excluded-volume effect) Entropic force π 0 = β π π 2 β πβ2 π 2 πβ6 ~π(1) π π ~π 4 πβ2 π 0 πβ4 π£β π π 2 π£ π ~π β = 4 2 ~π(1) π π 0
π£ Repulsive + Gravity Entropic + Repulsive πβ4 π£ π ~π 2 1 π π‘ β β π 2 π πβ2 Entropic + Gravity Entropic πβ6 π π ~π β1 π π π ~π 4 2
β’ β’ β’ β’
2 π + π 2 β π πΎπΌ 0 = β ππΊ β π πΊ π 2 2β 2 β π 2β 2 ππ 0 0 πΎπΊ β€ πΎπΊ 0 π + πΎ(πΌ β πΌ 0 ) 0 π π 2β1 + π 2 π£π πΎπΊ β€ ππ β π 2 π 2 π π 2 (π 0 π βͺ 1 β 2 π π 2 0 = β 2 tanh π 0 π π 0 β 2 π 0 π β₯ π(1) π 0
β 2 π (π 0 π βͺ 1 πΊ 2 0 = β 2 π π 2β1 + π 2 π£π πΎπΊ β€ ππ β π 2 π 2 π tanh π 0 π 2 β 2 π 0 π 0 π β₯ π(1) π 0 (2 < β < 4) π 0 = β π π = 0, π£ β₯ 0 π 0 = 0 π > 0, π£ > 0 1 π π β β π£π π stable shrink shrink π BH π β β π£ 1 1 π β β π 2 π π 0 = β π πβ4 π π‘ β β π 2 π πβ2 π πβ6 πβ4 π = 0 πβ2 2π π β1 2 πβ2 π β 1 π π ~π 4 πβ² π ~π£ π π π β π£ πβ2 π π 2β1 + π 2 π£π πΎπΊ β€ ππ β π 2 π 2 π 2 πβ4 πβ2 2 + ππ£π 0 0 = 1 β ππ 2 π 0 2 πβ4 πβ2 2 + ππ£π 0 0 = 1 β ππ 2 π 0 2
β = 3 π log π π π β log π β π π‘ β βπ 2 π π β1 < π£ < π£ π 1 2 (π 0 ) π β β π 2 π β1 π£ < π β1 π β β π£ π π π 0 log π π π π π π π π πβ² π
β β πβ (π > 0) β πβ β’ π = ππ 0 = πβ π β’ πβ 2 π β ππΊ πΎπΌβ² = 2π 2 β 2 β π ππ 0 π΅ β² β‘ 1 π β² β« π΅π βπΎπΌ β² 2 β² π βπΎ πΌβπΌ β² 2 π βπΎπΌ πΊ π β πΊ 0 πΊ 2 = β« πΊ π β πΊ 0 = β² β« π βπΎπΌ π βπΎ πΌβπΌ β²
2 β² π βπΎ πΌβπΌ β² 2 π βπΎπΌ πΊ π β πΊ 0 πΊ 2 = β« πΊ π β πΊ 0 = β² β« π βπΎπΌ π βπΎ πΌβπΌ β² 2 β² 2 β² 1 + πΎ πΌ β πΌ β² β² β πΎ πΌ β πΌ β² β πΊ π β πΊ 0 πΊ π β πΊ 0 +π πΎ πΌ β πΌ β² 2 4βπ 6βπ β ππ 2 β 2 + π π 1 β π 2 + π· 1 π£π 2 π 2 πβ 2 π 2βπ 2 β π· 2 π 2 π = 0 π· 1 , π· 2 : Positive π independent constants 4βπ 6βπ π π β π π+2 + π£π 2 π 2 = 0 2 β π 2 π π = β π π
4βπ 6βπ π π β π π+2 + π£π 2 π 2 = 0 2 β π 2 π π = β π π π 2 = 0, π£ > 0 Puff-up π£ stable 1 3 π β βπ£ π+2 π (expanded configuration) π+2 π 0 = β π π£ = 0 πβ4 π£ π ~π 2 4βπ 4βπ π π β π π+2 + π£π π π β π π+2 + π£π = 0 2 3 = 0 2 (π£ β π 0 ) π β βπ π+2 (π£ > π£ π ) π, π£ > 0 1 π π β β π£π π π Puff-up shrink BH π β β π£ 1 3 1 π π‘ β β π 2 π π β βπ£ π+2 π π+2 π πβ2 π = 0 π πβ2 2π π β1 2 π+2 π β 3 β²β² β π£ πβ² π ~π£ π π π π+2 4βπ 6βπ 4βπ 6βπ π π β π π+2 + π£π 2 π 2 = 0 π π β π π+2 + π£π 2 π 2 = 0 2 β π 2 π 2 β π 2 π π£ < π£ 0 π
β = 3 π log π π π β log π β 3 π£~π(1) π β β π£ π π‘ β βπ 2 π π 5 π β1 < π£ < π£ π 1 2 (π 0 ) π β β π 2 π β1 π£ < π β1 π β β π£ π 0 log π π πβ²β² π πβ² π
2 < β < 4 β = 1 log π π π log π π£ 1 β β 1 puff-up β²β² π π 1 0 1 3 β π~π£ π+2 π π+2 πβ² π π£ π~ π β β 4 β β 2 (π£ π ) 2 2β π π free Black hole β1 πβ2 2π π β1 πβ² π β π£ π π 0 ~ π 1 0 π~ π 2 π πβ4 πβ4 2 πβ2 π β 1 π π β π£ πβ2 β β 6 β 1 log π π π 2 (π π ) (π π ) 2 π+2 π β 3 β²β² β π£ 4 π π π+2
β = 4 β = 1 log π π π log π π£ π£ 1 π~ 3 π puff-up 1 3 π~π£ π+2 π π+2 1 0 4 free Black hole β1 π 0 ~ π 0 β 1 log π π 2 (π π ) β > 4
β’ β β’ β’ β’ β’ β’
2 π + π 2 β π πΎπΌ 0 = β ππΊ β π πΊ π 2 2β 2 β π 2β 2 ππ 0 0 π βπΎπΊ = β« β πΊ π βπΎπΌ = β« β πΊ π βπΎπΌ 0 π βπΎ πΌβπΌ 0 β₯ e βπΎ πΌβπΌ 0 0 e βπΎπΊ 0 πΎπΊ β€ πΎπΊ 0 π + πΎ(πΌ β πΌ 0 ) 0 π d exp β πβ [πΊ π 2 + πΊ π β² 2 ] cosh π π β πβ² β 2πΊ(π) β πΊ(π β² ) πβ 2 π» 0 π, π β² = 2πβ 2 sinh π π β π β² 2β 2 sinh π π β πβ² π π β π β² π β π 2 β π πΎπΊ 0 = βlog π 0 β π πΊ π 2 πΎ(πΌ β πΌ 0 ) 0 = β π 2β 2 0 0 0
πΎπΊ β€ β 2 ln cosh ππ β πβ π tanh ππ 4 πβ2 π π β² π π 2 πβ 2 πβ 2 β π β² β2 β π β π£ Ξ β 1 π, π β² ; π 2πΊ 2 π, π β² ; π 2πΊ 0 0 2 1 π, π β² ; π = sinh ππ cosh π π β π + sinh ππβ² cosh π π β π β² β 2 sinh ππ cosh π π β π β² πΊ cosh ππ + cosh π π β π β² sinh ππβ² 2 2 π, π β² ; π = sinh ππ sinh π πβ² β π 1 β sinh ππ πΊ sinh ππ β² sinh ππβ² cosh ππ
π βππ π βπ(πβπ β² ) π βπ(πβπ) βͺ 1 π βππ β² π βπ π β² βπ π βππ π π 2β1 + π 2 π£π πΎπΊ β€ ππ β π 2 π 2 π 2 πβ4 πβ2 2 + ππ£π 0 0 = 1 β ππ 2 π 0 2 β 2 π (π 0 π βͺ 1 πΊ 2 0 = β 2 tanh π 0 π β 2 π 0 π 0 π β₯ π(1) π 0
πβ 2 π β ππΊ πΎπΌβ² = 2π 2 β 2 β π ππ 0 d β 2 β 2 π»β² π, π β² = πΊ π β πΊ π β² exp β 2ππ 2 β 2 π β πβ² 2π 2 β 2 π β πβ² π΅ β² β‘ 1 2 β² π β² β« π΅π βπΎπΌ β² π βπΎ πΌβπΌ β² 2 π βπΎπΌ πΊ π β πΊ 0 πΊ 2 = β« πΊ π β πΊ 0 = β² β« π βπΎπΌ π βπΎ πΌβπΌ β² 2 β² 2 β² 1 + πΎ πΌ β πΌ β² β² β πΎ πΌ β πΌ β² +π πΎ πΌ β πΌ β² 2 β πΊ π β πΊ 0 πΊ π β πΊ 0 4βπ 6βπ β ππ 2 β 2 + π π 1 β π 2 + π· 1 π£π 2 π 2 πβ 2 π 2βπ 2 β π· 2 π 2 π = 0 π· 1 , π· 2 : Positive π independent constants
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