The spanning laceability of k-ary The spanning laceability of k ary - - PowerPoint PPT Presentation
The spanning laceability of k-ary The spanning laceability of k ary n-cubes when k is even : : 1 Outline Introd ction Introduction Preliminaries Definition Theorem 1
1
2
Paper p1
(0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0) 1 2 (0,1) (0,2) (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) (3,1) (3,2) (4,1) (4,2) (5,1) (5,2) 1 (0,0) (0,1) (1,0) (1 1) (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) 3 4 (0,3) (0,4) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,3) (3,4) (4,3) (4,4) (5,3) (5,4)
2 1
Q
2 2
Q
1 (0,1) (1,1) (0,0,1) (1,0,1) (0,1,1) (1,1,1)
2 3
Q
6 1
Q
5 (0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)
6 2
Q
3
k-ary n-cube hypercube
6-neighbers (2n-neighbers)
1 1 k
u
1
u
1 − k
u 4-neighbers (2n-2)
) (
, 1 , 6 2 k n
Q Q ) (
1 , 1 5 , 6 2 − k k n
Q Q ) (
1 , 1 1 , 6 2 k n
Q Q
4
) (
1 2 n
Q Q
−
) (
1 2 − n
Q Q ) (
1 2 n
Q Q
−
Paper p1 Recent researches
1. 1. ,
w b w b
edge-bipancyclic
4 2
Q
edge-bipanconnected
4 2
Q
2. 3.
v P1 u v u v P1 P2 P1 P2
2-connected
5 2
Q
2*-connected
5 2
Q
5
Paper p2 w b
6
k n
Q
Paper p3 1. u v 1*-connected 1*-laceable 2. u v 2*-connected v 2*-laceable
7
Paper p3 3. W B W B 4.
8
Paper p3 5.
u
C(u,v) is k-container, k*-container; G is k-connected, k*-connected
u
u1 u2 u3
C(u,v) is 3*-cantainer v 9
Paper p4 6.
(0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1) (3,0) (3,1) (4,0) (4,1) (5,0) (5,1) (0,3) (0,2) (1,3) (1,2) (2,3) (2,2) (3,3) (3,2) (4,3) (4,2) (5,3) (5,2)
6 2
Q
1th-bit
( , ) (0,4) ( , ) (1,4) ( , ) (2,4) ( , ) (3,4) ( , ) (4,4) ( , ) (5,4)
1th bit
(0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)
0th-bit 0th-bit 1th-bit
10
Paper p4
11
tools
tools
k
Base cases for mathematical induction
k n
k
proof proof k mathematical induction
k n
p
k n 4 6 8
n
n 2 1
2 3
Lemma 3 Lemma 4 Lemma 5
12
2 n-1 n
n-1 n
Theorem 3
Paper p5
w b
j k n
Q ,
1 − ' , 1 j k n
Q −
1 , 1 + − j k n
Q
1 ' , 1 − − j k n
Q Proof:
13
Paper p5
w
Proof:
b
j k
Q
j k n
Q ,
1 −
w
1
x
, 1 k n
Q −
1 , 1 k n
Q −
b
x
14
Paper p5
Proof:
w
' j
y
1 '− j
y
1 + j
y y y y
1 '
b
j k
Q ,
1 ' , 1 j k n
Q
1 , 1 + j k n
Q
1 ' , 1 − j k
Q
j
x
1 '− j
x
1 + j
x
15
n
Q
1 − 1 n
Q −
1 − n
Q
1 − n
Q
Paper p6
w b
i k n
Q ,
1 − j k n
Q ,
1 − 1 , 1 + − i k n
Q
1 , 1 − − j k n
Q Proof:
The same as Lemma 1-case1 16 Similar to case2.1
Paper p6 Proof:
w
i
x
i
y
1 + i
x
1 + i
y
1 + i
z
1 + i
w
1 − j
x
1 − j
y
1 − j
z
1 − j
w
j
x
j
y
b 17 b
i k n
Q ,
1 − j k n
Q ,
1 − 1 , 1 + − i k n
Q
1 , 1 − − j k n
Q
Paper p7
w & b respective direction
b2 w b1 b1 b3 b2 b4
4 2
6 2
b4
18
Paper p7
w w
3* laceable
b1 w b2
Proof: 3*-laceable
w b1 w b2
4*-laceable
19
Paper p8-10 Proof:
w b1 w b3 w w b2 b4
3*-laceable
w b1 w b3 w w b2 b4
20
4*-laceable
Paper p11-17 reuglar
6 2
21
Paper p11-17
22
Paper p11-17 case1 case2 case3 case4
1 − = k v
Case 1
2
1
− ≤
−
k vt
Case 2 ((k 2 k 1) (k 1 k 1))
)) ( ( b w C E ∈
and 2 some for 1
1
= ≥ − =
−
v t k v
Case 4
2
1
− ≤
−
k vt
Case 3 ((k 2 k 1) (k 1 k 1))
)) ( ( b w C E ∉
1 s 1.1 case =
((k-2,k-1),(k-1,k-1))
)) , ( ( b w C E ∈
((k-2,k-1),(k-1,k-1))
)) , ( ( b w C E ∉
1 t 2.1 case = 2 t 4.1 case = 1 t 3.1 case = 2 s 1.2 case ≥ 2 t 2 2 3 s 2.1.3 case 2 s 2.1.2 case 1 s 2.1.1 case ≥ ≥ = = 1 4 2 1 3 t 4.2 case 2 s 4.1.2 case 1 s 4.1.1 case ≥ ≥ = 2 t 3.2 case 2 s 3.1.2 case 1 s 3.1.1 case ≥ ≥ = 3 s 2 2 3 case 2 s 2.2.2 case 1 s 2.2.1 case 2 t 2.2 case ≥ = = ≥ 2 s 4.2.2 case 1 s 4.2.1 case ≥ = 2 s 3.2.2 case 1 s 3.2.1 case ≥ = 23 3 s 2.2.3 case ≥
Paper p11-17
Proof: step1 step3
w b
regular
w b
step2 f p
6 2
Q
8 2
Q
2
Q
2
24
Paper p17 Proof:
25
Paper p17
1 + m
P
w
1
w
1 − k
w
m
P
1
} {
− = m i i
P
b
k 1 k k 1 k 2 k 2 k k
1
b
1 − k
b
, 1 k n
Q −
1 , 1 − − k k n
Q
1 , 1 k n
Q −
2 , 1 k n
Q −
2 , 1 − − k k n
Q
26
Paper p17-20
1
P P
m =
w b
2 1
P P
m
=
+ 1 − k
w
2
b
z
1
z P
, 1 k n
Q −
1 , 1 − − k k n
Q
1 , 1 k n
Q −
2 , 1 k n
Q −
27
Paper p17-20
w b
1 + m
P
1 − k
w
2
b
m
P
1
} {
− = m i i
S
1 1}
{
− = m i i
S
y
1 1
z
1
z
P
y
1 − m
y
1
y
1 1 − m
y
, k
Q
1 , − k k
Q
1 , k
Q
2 , k
Q
1 n
Q −
1 − n
Q
1 n
Q −
1 n
Q −
28
Paper p17-20
2
P
w b
1
P
1 − k
w
2
b
1
w
z
1
z
P
, 1 k n
Q −
1 , 1 − − k k n
Q
1 , 1 k n
Q −
2 , 1 k n
Q −
2 , 1 − − k k n
Q
29
Paper p17-20
2
P w b x e
3
P
2
b
1 − k
w
2 − k
g
2 '}
{
− m
S
b
2 '}
{
− m
T
1
w x
1
P f
1 − k
e P g y y y
1
y
1
1
} {
= i i
S
1
} {
= i i
T z
1
z
y
1
y
1 − m
y
1 − m
y
1
y
1 − k
f
, k
Q
1 , − k k
Q
1 , k
Q
2 , k
Q
2 , − k k
Q
1 n
Q −
1 − n
Q
1 n
Q −
1 n
Q −
1 − n
Q
30
Paper p17-20
w b
2
P
2
b
1
P
1 − k
w
2 − k
g
x
1
x
e P
3
P b
f
1
w x
1 1 '}
{
− = m i i
S
1 1 '}
{
− = m i i
T
g P
1 − k
e
1
z
z
y y
1 − k
f
z
z
f
, 1 k n
Q −
1 , 1 − − k k n
Q
1 , 1 k n
Q −
2 , 1 k n
Q −
2 , 1 − − k k n
Q
31
Paper p21
1 + m
P
w
1 1 − m
x
1
w
1
x
1 '+ j
w x
' j
w
1 − k
w
m
P
' j
x
1 0}
{
m 1 1}
{
− m
U
1 ' j 1 0}
{
− = m p p
U
1 1}
{
= m p p
U
1 '}
{
− = m p j p
U
, k
Q
1 , − k k
Q
1 , k
Q
' , j k
Q
2 , − k k
Q
1 ' , + j k
Q
b
1 − k
b b
1
b
1 '+ j
b
1 1 − m
y
1
y
' 1 j m
y
− 1 − m
y
y
' j
y
1 n
Q −
1 − n
Q
1 n
Q −
1 n
Q −
1 − n
Q
1 − n
Q
32
Paper p22-24
2
P
1 − j
b
1
w
1 '+ j
b P
w b
3 − k
b
1 − k
w
2 − k
b
2 − k
f
1 '+ j
f
3 − k
f
1 k
b e
3 k
f
' j
f
1 − k
b
1 − k
z
1
P
3 − k
e
2 − k
e
z
1 '+ j
e
33
, 1 k n
Q −
1 , 1 − − k k n
Q
1 , 1 k n
Q −
' , 1 j k n
Q −
2 , 1 − − k k n
Q
1 ' , 1 + − j k n
Q
1 ' , 1 − − j k n
Q
Paper p22-24
P
w b
1
w
) 1 ( x
2
x
2
w P
1 '+ j
b
1
P
3
P
1 − k
w
) 1 (
1
x
2
P
) ( ) 1 ( x ) 2 ( x ) 2 (
1
x ) 3 ( x ) 3 (
1
x ) 4 ( x ) 4 (
1
x
1 1
} {
− = m p p
S
1 1 1}
{
− = m p p
S
2
} {
− = m p p
Y
1 2}
{
− = m p p
U
) 1 ( − α x ) 1 (
1
− α x
k
Q
1 − k k
Q
1 k
Q
3 ' , = j k
Q
4 , k
Q
2 k
Q
z
1
z
2
z
' j
z z =
' 2 j m
t
−
) (
0 α
x ) (
1 0 α
x ) 1 (
0 α
x ) 1 (
0 α
x
2
t
' j
t
2
b
34
, 1 k n
Q −
1 , 1 − k k n
Q
1 , 1 k n
Q −
3 , 1 − j k n
Q
1 n
Q −
2 , 1 k n
Q −
Base cases for
k n
mathematical induction
k
proof
n
k
p proof
k n
n 2 n-1 n Given any pair of vertices, w and b, from different partite sets of
k n
i n i
1 2 − =
Internally disjoint paths between w and b, such that covers all vertices of
k n
for any even integer and any integer
.
35
for any even integer and any integer
.