t t rs - - PowerPoint PPT Presentation

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

Pét❡r ❙❛❧✈✐

❇✉❞❛♣❡st ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚❡❝❤♥♦❧♦❣② ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝s

❲❆■❚ ✷✵✶✾ ❇✉❞❛♣❡st✱ ❏❛♥✉❛r② ✷✹t❤

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖✉t❧✐♥❡

✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ Pr❡✈✐♦✉s ✇♦r❦

✷

❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❙✐♠♣❧❡①❡s ❙✲♣❛t❝❤❡s

✸

❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ t♦ q✉❛❞r✐❧❛t❡r❛❧ ❙✲♣❛t❝❤ ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ t♦ t❡♥s♦r ♣r♦❞✉❝t ❢♦r♠

✹

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❊①❛♠♣❧❡ ❉✐s❝✉ss✐♦♥

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥

▼✉❧t✐✲s✐❞❡❞ s✉r❢❛❝❡s ✐♥ ❈❆❉ s♦❢t✇❛r❡

❙t❛♥❞❛r❞ s✉r❢❛❝❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s✿

❚❡♥s♦r✲♣r♦❞✉❝t ❇é③✐❡r s✉r❢❛❝❡ ❚❡♥s♦r✲♣r♦❞✉❝t ❇✲s♣❧✐♥❡ s✉r❢❛❝❡ ❚❡♥s♦r✲♣r♦❞✉❝t ◆❯❘❇❙ s✉r❢❛❝❡

◆♦ st❛♥❞❛r❞ ♠✉❧t✐✲s✐❞❡❞ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ t♦ t❡♥s♦r✲♣r♦❞✉❝t ♣❛t❝❤❡s

❚r✐♠♠✐♥❣

P❛r❛♠❡t❡r✐③❛t✐♦♥ ✐ss✉❡s ❆s②♠♠❡tr✐❝ ◆♦t ✇❛t❡rt✐❣❤t

❈❡♥tr❛❧ s♣❧✐t

▲♦♦s❡❧② ❞❡✜♥❡❞ ❞✐✈✐❞✐♥❣ ❝✉r✈❡s ❖♥❧② C ✵ ♦r G ✶ ❝♦♥t✐♥✉✐t②

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥

❙♦❧✉t✐♦♥

❊①❛❝t t❡♥s♦r ♣r♦❞✉❝t ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ❚r✐♠♠❡❞ r❛t✐♦♥❛❧ ❇é③✐❡r s✉r❢❛❝❡

❖♥❧② ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✭❇é③✐❡r✮ ❜♦✉♥❞❛r✐❡s ❚r✐♠♠✐♥❣ ❝✉r✈❡s ⇒ ❧✐♥❡s ✐♥ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥

◆❛t✐✈❡ n✲s✐❞❡❞ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

❙✲♣❛t❝❤

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❇é③✐❡r ❝✉r✈❡s ✫ tr✐❛♥❣❧❡s

❙✉✐t❛❜❧❡ ❢♦r G ✶ ❤♦❧❡ ✜❧❧✐♥❣ ❬✶❪

❬✶❪ P✳ ❙❛❧✈✐✱ G ✶ ❤♦❧❡ ✜❧❧✐♥❣ ✇✐t❤ ❙✲♣❛t❝❤❡s ♠❛❞❡ ❡❛s②✳ ■♥✿ Pr♦❝❡❡❞✐♥❣s ♦❢ t❤❡ ✶✷t❤ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❍✉♥❣❛r✐❛♥ ❆ss♦❝✐❛t✐♦♥ ❢♦r ■♠❛❣❡ Pr♦❝❡ss✐♥❣ ❛♥❞ P❛tt❡r♥ ❘❡❝♦❣♥✐t✐♦♥✱ ✷✵✶✾ ✭❛❝❝❡♣t❡❞✮✳

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ Pr❡✈✐♦✉s ✇♦r❦

❙✲♣❛t❝❤❡s ✫ s✐♠♣❧❡①❡s

❬✶✾✽✾✱ ▲♦♦♣ ✫ ❉❡❘♦s❡❪ ❆ ♠✉❧t✐✲s✐❞❡❞ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❇é③✐❡r s✉r❢❛❝❡s

❚❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❙✲♣❛t❝❤ ♣✉❜❧✐❝❛t✐♦♥ ❈♦♥t❛✐♥s t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ r❡s✉❧ts ♦♥ t❤❡ t❡♥s♦r ♣r♦❞✉❝t ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ▼✐ss✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠✿

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ r❛t✐♦♥❛❧ ❇é③✐❡r s✐♠♣❧❡①❡s ❇❧♦ss♦♠ ♦❢ ❲❛❝❤s♣r❡ss ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s

❬✶✾✽✼✱ ❘❛♠s❤❛✇❪ ❇❧♦ss♦♠✐♥❣✿ ❆ ❝♦♥♥❡❝t✲t❤❡✲❞♦ts ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ s♣❧✐♥❡s ❬✶✾✽✽✱ ❉❡❘♦s❡❪ ❈♦♠♣♦s✐♥❣ ❇é③✐❡r s✐♠♣❧❡①❡s ❬✶✾✾✸✱ ❉❡❘♦s❡ ❡t ❛❧✳❪ ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ✈✐❛ ❜❧♦ss♦♠✐♥❣

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s

❙✐♠♣❧❡① ✐♥ n❉

(n + ✶) ♣♦✐♥ts ✐♥ n❉ ▲❡t Vi ❞❡♥♦t❡ t❤❡s❡ ♣♦✐♥ts ❆♥② n❉ ♣♦✐♥t ✐s ✉♥✐q✉❡❧② ❡①♣r❡ss❡❞ ❜② t❤❡ ❛✣♥❡ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ Vi✿ p =

n

• i=✶

λiVi ✇✐t❤

n

• i=✶

λi = ✶ λi ❛r❡ t❤❡ ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ♦❢ p r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ s✐♠♣❧❡① ✭✐♠❛❣❡s ❢r♦♠ ❲✐❦✐♣❡❞✐❛✮

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s

❇é③✐❡r ❝✉r✈❡

▲❡t✬s ❧♦♦❦ ❛t t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❇é③✐❡r ❝✉r✈❡✿ C(u) =

d

• i=✵

PiBd

i (u) ✵

✶ ▲❡t s ❛♥❞ ✶ ✳ ❚❤❡♥

s s ✶ ✷

✶

✶

✷

✷

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s

❇é③✐❡r ❝✉r✈❡

▲❡t✬s ❧♦♦❦ ❛t t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❇é③✐❡r ❝✉r✈❡✿ C(u) =

d

• i=✵

PiBd

i (u) = d

• i=✵

Pi d! i!(d − i)!ui(✶ − u)d−i ▲❡t s ❛♥❞ ✶ ✳ ❚❤❡♥

s s ✶ ✷

✶

✶

✷

✷

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s

❇é③✐❡r ❝✉r✈❡

▲❡t✬s ❧♦♦❦ ❛t t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❇é③✐❡r ❝✉r✈❡✿ C(u) =

d

• i=✵

PiBd

i (u) = d

• i=✵

Pi d! i!(d − i)!ui(✶ − u)d−i ▲❡t s = (i, d − i) ❛♥❞ λ = (u, ✶ − u)✳ ❚❤❡♥

s s ✶ ✷

✶

✶

✷

✷

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s

❇é③✐❡r ❝✉r✈❡

▲❡t✬s ❧♦♦❦ ❛t t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❇é③✐❡r ❝✉r✈❡✿ C(u) =

d

• i=✵

PiBd

i (u) = d

• i=✵

Pi d! i!(d − i)!ui(✶ − u)d−i ▲❡t s = (i, d − i) ❛♥❞ λ = (u, ✶ − u)✳ ❚❤❡♥ C(λ) =

• s

Ps d! s✶!s✷!λs✶

✶ λs✷ ✷

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s

❇é③✐❡r tr✐❛♥❣❧❡

◆♦✇ ❧❡t✬s ❧♦♦❦ ❛t t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❇é③✐❡r tr✐❛♥❣❧❡✿ T(λ) =

• s

Ps d! s✶!s✷!s✸!λs✶

✶ λs✷ ✷ λs✸ ✸ =

• s

PsBd

s (λ)

s = (s✶, s✷, s✸) ✇✐t❤ si ≥ ✵ ❛♥❞ s✶ + s✷ + s✸ = d λ = (λ✶, λ✷, λ✸) ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ♦❢ ❛ ✷❉ ♣♦✐♥t r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ tr✐❛♥❣❧❡ ✭s✐♠♣❧❡①✮ ❉✐❞ ②♦✉ ❦♥♦✇❄ ❚❤✐s ✇❛s P❛✉❧ ❞❡ ❈❛st❡❧❥❛✉✬s ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❇é③✐❡r ❝✉r✈❡s✳ ✏❇é③✐❡r✑ ❝✉r✈❡s ✇❡r❡ ❛❧s♦ ❤✐s ✐♥✈❡♥t✐♦♥ ❚❡♥s♦r ♣r♦❞✉❝t s✉r❢❛❝❡s ✇❡r❡ ✐♥✈❡♥t❡❞ ❜② P✐❡rr❡ ❇é③✐❡r ❞❡ ❈❛st❡❧❥❛✉ ✇♦r❦❡❞ ❛t ❈✐tr♦ë♥✱ ✇❤✐❧❡ ❇é③✐❡r ❛t ❘❡♥❛✉❧t

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s

❇é③✐❡r s✐♠♣❧❡①

❚❤❡ ❧♦❣✐❝❛❧ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ t♦ (n − ✶) ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✿ S(λ) =

• s

Ps d! n

i=✶ si! n

• i=✶

λsi

i =

• s

PsBd

s (λ)

s = (s✶, s✷, . . . , sn) ✇✐t❤ si ≥ ✵ ❛♥❞ n

i=✶ si = d

λ = (λ✶, λ✷, . . . , λn) ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ♦❢ ❛♥ (n − ✶)❉ ♣♦✐♥t r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ s✐♠♣❧❡① ◆♦t❡ ❇é③✐❡r s✐♠♣❧❡①❡s ❛r❡ ♠❛♣♣✐♥❣s✱ ♥♦t ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❡♥t✐t✐❡s✦

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❙✲♣❛t❝❤❡s

❙✲♣❛t❝❤❡s ❛s ❇é③✐❡r s✐♠♣❧❡①❡s

❙✲♣❛t❝❤ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭n s✐❞❡s✱ ❞❡♣t❤ d✮✿ S(λ) =

• s

Ps d! n

i=✶ si! n

• i=✶

λsi

i =

• s

PsBd

s (λ)

❉♦♠❛✐♥ ❢♦r ❛♥ n✲s✐❞❡❞ ❙✲♣❛t❝❤✿

❘❡❣✉❧❛r n✲s✐❞❡❞ ♣♦❧②❣♦♥ ✭✐♥ ✷❉✮

❉♦♠❛✐♥ ❢♦r ❛♥ (n − ✶)✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❇é③✐❡r s✐♠♣❧❡①✿

❆♥ (n − ✶)✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s✐♠♣❧❡① ✭n ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s✮

◆❡❡❞❡❞✿

▼❛♣♣✐♥❣ ❢r♦♠ ❛♥ n✲s✐❞❡❞ ♣♦❧②❣♦♥ t♦ n ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s

• ❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s

❊✳❣✳ ❲❛❝❤s♣r❡ss✱ ♠❡❛♥ ✈❛❧✉❡✱ ❡t❝✳

❉❡✜♥❡s ❛♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ✐♥ t❤❡ (n − ✶)✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s✐♠♣❧❡①

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❙✲♣❛t❝❤❡s

❈♦♥tr♦❧ str✉❝t✉r❡

❱❡r② ❝♦♠♣❧❡① ✕ ♠❛♥② ❝♦♥tr♦❧ ♣♦✐♥ts✱ ❤❛r❞ t♦ ✉s❡ ♠❛♥✉❛❧❧② ❇♦✉♥❞❛r② ❝♦♥tr♦❧ ♣♦✐♥ts ❞❡✜♥❡ ❞❡❣r❡❡ d ❇é③✐❡r ❝✉r✈❡s ❆❞❥❛❝❡♥t ❝♦♥tr♦❧ ♣♦✐♥ts ❤❛✈❡ s❤✐❢t❡❞ ❧❛❜❡❧s✱ ❡✳❣✳ ✷✶✵✵✵ → ✸✵✵✵✵✱ ✶✶✵✵✶✱ ✷✵✶✵✵✱ ✶✷✵✵✵

30000 21000 12000 03000 02100 11100 02001 20100 11001 20001 20010 11010 02010 01200 10200 01101 10101 01002 10002 10011 01011 10110 01110 00300 00201 00102 00003 10020 01020 00210 00012 00111 00021 00120 00030

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖✈❡r✈✐❡✇

❈❧❛✐♠ ✻✳✹ ✐♥ ❬✶✾✽✾✱ ▲♦♦♣ ✫ ❉❡❘♦s❡❪ ❋♦r ❡✈❡r② m✲s✐❞❡❞ r❡❣✉❧❛r ❙✲♣❛t❝❤ ♦❢ ❞❡♣t❤ d✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t n✲s✐❞❡❞ r❡❣✉❧❛r ❙✲♣❛t❝❤ ♦❢ ❞❡♣t❤ d(m − ✷)✳ ▲❡♠♠❛ ✻✳✷ ✐♥ ❬✶✾✽✾✱ ▲♦♦♣ ✫ ❉❡❘♦s❡❪ ❋♦r ❡✈❡r② ✹✲s✐❞❡❞ r❡❣✉❧❛r ❙✲♣❛t❝❤ ♦❢ ❞❡♣t❤ d✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t❡♥s♦r ♣r♦❞✉❝t ❇é③✐❡r ♣❛t❝❤ ♦❢ ❞❡❣r❡❡ d✳

✶ ❈♦♥✈❡rt t❤❡ n✲s✐❞❡❞ ❙✲♣❛t❝❤ ♦❢ ❞❡♣t❤ d

t♦ ❛ q✉❛❞r✐❧❛t❡r❛❧ ❙✲♣❛t❝❤ ♦❢ ❞❡♣t❤ d(n − ✷)✳

✷ ❈♦♥✈❡rt t❤❡ q✉❛❞r✐❧❛t❡r❛❧ ❙✲♣❛t❝❤

t♦ ❛ t❡♥s♦r ♣r♦❞✉❝t ❇é③✐❡r ♣❛t❝❤ ♦❢ ❞❡❣r❡❡ d(n − ✷)✳

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ t♦ q✉❛❞r✐❧❛t❡r❛❧ ❙✲♣❛t❝❤

❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❛s s✐♠♣❧❡① ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

❲❛❝❤s♣r❡ss ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ♦♥ ❛♥ n✲s✐❞❡❞ ♣♦❧②❣♦♥

. . . ❤❛✈❡ ❛ ❇é③✐❡r s✐♠♣❧❡① ❢♦r♠ ✭❞❡♥♦t❡❞ ❜② Wn✮ . . . ❛r❡ ♣s❡✉❞♦❛✣♥❡ ✭❤❛✈❡ ❛♥ ❛✣♥❡ ❧❡❢t ✐♥✈❡rs❡ W −✶

n

✮

▼❛♣♣✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ♣♦❧②❣♦♥ t♦ ❛ ✸❉ ♣♦✐♥t✿ S ◦ Wn

✶ ✹ ✹ ✶ ✹ ✹

❚❤❡ ✹✲s✐❞❡❞ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ✐s t❤❡ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ✸ s✐♠♣❧❡①❡s✿

✶ ✹

✿ ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ t❤❡ r❡❝t❛♥❣✉❧❛r ❞♦♠❛✐♥ ✿ t❤❡ ❙✲♣❛t❝❤ ✭✇✐t❤ ❤♦♠♦❣❡♥✐③❡❞ ❝♦♥tr♦❧ ♣♦✐♥ts✮ ✿ ❄❄❄ ❬❛ r❛t✐♦♥❛❧ ❇é③✐❡r s✐♠♣❧❡① ♦❢ ❞❡❣r❡❡ ✷❪

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥✿

❚✇♦ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ✭s✐♠♣❧❡ ✈s✳ ❡✣❝✐❡♥t✮ ❬s❡❡ t❤❡ ♣❛♣❡r❪

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ t♦ q✉❛❞r✐❧❛t❡r❛❧ ❙✲♣❛t❝❤

❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❛s s✐♠♣❧❡① ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

❲❛❝❤s♣r❡ss ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ♦♥ ❛♥ n✲s✐❞❡❞ ♣♦❧②❣♦♥

. . . ❤❛✈❡ ❛ ❇é③✐❡r s✐♠♣❧❡① ❢♦r♠ ✭❞❡♥♦t❡❞ ❜② Wn✮ . . . ❛r❡ ♣s❡✉❞♦❛✣♥❡ ✭❤❛✈❡ ❛♥ ❛✣♥❡ ❧❡❢t ✐♥✈❡rs❡ W −✶

n

✮

▼❛♣♣✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ♣♦❧②❣♦♥ t♦ ❛ ✸❉ ♣♦✐♥t✿ S ◦ Wn = S ◦ Wn ◦ (W −✶

✹

• W✹)

✶ ✹ ✹

❚❤❡ ✹✲s✐❞❡❞ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ✐s t❤❡ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ✸ s✐♠♣❧❡①❡s✿

✶ ✹

✿ ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ t❤❡ r❡❝t❛♥❣✉❧❛r ❞♦♠❛✐♥ ✿ t❤❡ ❙✲♣❛t❝❤ ✭✇✐t❤ ❤♦♠♦❣❡♥✐③❡❞ ❝♦♥tr♦❧ ♣♦✐♥ts✮ ✿ ❄❄❄ ❬❛ r❛t✐♦♥❛❧ ❇é③✐❡r s✐♠♣❧❡① ♦❢ ❞❡❣r❡❡ ✷❪

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥✿

❚✇♦ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ✭s✐♠♣❧❡ ✈s✳ ❡✣❝✐❡♥t✮ ❬s❡❡ t❤❡ ♣❛♣❡r❪

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ t♦ q✉❛❞r✐❧❛t❡r❛❧ ❙✲♣❛t❝❤

❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❛s s✐♠♣❧❡① ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

❲❛❝❤s♣r❡ss ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ♦♥ ❛♥ n✲s✐❞❡❞ ♣♦❧②❣♦♥

. . . ❤❛✈❡ ❛ ❇é③✐❡r s✐♠♣❧❡① ❢♦r♠ ✭❞❡♥♦t❡❞ ❜② Wn✮ . . . ❛r❡ ♣s❡✉❞♦❛✣♥❡ ✭❤❛✈❡ ❛♥ ❛✣♥❡ ❧❡❢t ✐♥✈❡rs❡ W −✶

n

✮

▼❛♣♣✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ♣♦❧②❣♦♥ t♦ ❛ ✸❉ ♣♦✐♥t✿ S ◦ Wn = S ◦ Wn ◦ (W −✶

✹

• W✹) = (S ◦ Wn ◦ W −✶

✹

) ◦ W✹ ❚❤❡ ✹✲s✐❞❡❞ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ✐s t❤❡ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ✸ s✐♠♣❧❡①❡s✿

✶ ✹

✿ ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ t❤❡ r❡❝t❛♥❣✉❧❛r ❞♦♠❛✐♥ ✿ t❤❡ ❙✲♣❛t❝❤ ✭✇✐t❤ ❤♦♠♦❣❡♥✐③❡❞ ❝♦♥tr♦❧ ♣♦✐♥ts✮ ✿ ❄❄❄ ❬❛ r❛t✐♦♥❛❧ ❇é③✐❡r s✐♠♣❧❡① ♦❢ ❞❡❣r❡❡ ✷❪

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥✿

❚✇♦ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ✭s✐♠♣❧❡ ✈s✳ ❡✣❝✐❡♥t✮ ❬s❡❡ t❤❡ ♣❛♣❡r❪

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ t♦ q✉❛❞r✐❧❛t❡r❛❧ ❙✲♣❛t❝❤

❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❛s s✐♠♣❧❡① ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

❲❛❝❤s♣r❡ss ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ♦♥ ❛♥ n✲s✐❞❡❞ ♣♦❧②❣♦♥

. . . ❤❛✈❡ ❛ ❇é③✐❡r s✐♠♣❧❡① ❢♦r♠ ✭❞❡♥♦t❡❞ ❜② Wn✮ . . . ❛r❡ ♣s❡✉❞♦❛✣♥❡ ✭❤❛✈❡ ❛♥ ❛✣♥❡ ❧❡❢t ✐♥✈❡rs❡ W −✶

n

✮

▼❛♣♣✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ♣♦❧②❣♦♥ t♦ ❛ ✸❉ ♣♦✐♥t✿ S ◦ Wn = S ◦ Wn ◦ (W −✶

✹

• W✹) = (S ◦ Wn ◦ W −✶

✹

) ◦ W✹ ❚❤❡ ✹✲s✐❞❡❞ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ✐s t❤❡ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ✸ s✐♠♣❧❡①❡s✿

W −✶

✹

✿ ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ t❤❡ r❡❝t❛♥❣✉❧❛r ❞♦♠❛✐♥ S✿ t❤❡ ❙✲♣❛t❝❤ ✭✇✐t❤ ❤♦♠♦❣❡♥✐③❡❞ ❝♦♥tr♦❧ ♣♦✐♥ts✮ Wn✿ ❄❄❄ ❬❛ r❛t✐♦♥❛❧ ❇é③✐❡r s✐♠♣❧❡① ♦❢ ❞❡❣r❡❡ n − ✷❪

❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥✿

❚✇♦ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ✭s✐♠♣❧❡ ✈s✳ ❡✣❝✐❡♥t✮ ❬s❡❡ t❤❡ ♣❛♣❡r❪

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ t♦ q✉❛❞r✐❧❛t❡r❛❧ ❙✲♣❛t❝❤

❉❡t❡r♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧ ♣♦✐♥ts ♦❢ Wn ✕ ❤♦♠♦❣❡♥✐③❛t✐♦♥

λi(p) =

• j=i−✶,i Dj(p)

n

k=✶

• j=k−✶,k Dj(p)

Dj(p) ✐s t❤❡ s✐❣♥❡❞ ❞✐st❛♥❝❡ ♦❢ p ❢r♦♠ t❤❡ j✲t❤ s✐❞❡ ❘❛t✐♦♥❛❧ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ⇒ ❤♦♠♦❣❡♥✐③❡❞ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s

❯s❡ t❤❡ ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ❛s ✏♥♦r♠❛❧✑ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s (x, y, z) ≡ (wx, wy, wz, w(✶ − x − y − z))

❍♦♠♦❣❡♥✐③❡❞ ❢♦r♠ ♦❢ Wn✿   

• j=i−✶,i

Dj(p)   

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ t♦ q✉❛❞r✐❧❛t❡r❛❧ ❙✲♣❛t❝❤

❉❡t❡r♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧ ♣♦✐♥ts ♦❢ Wn ✕ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥

❋♦r ❛♥② ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ Q(u) ♦❢ ❞❡❣r❡❡ d✱ ∃q s✳t✳ q(u✶, . . . , ud) = q(uπ✶, . . . , uπd), q(u✶, . . . , αuk✶ + βuk✷, . . . , ud) = αq(u✶, . . . , uk✶, . . . , ud) + βq(u✶, . . . , uk✷, . . . , ud), q(u, . . . , u) = Q(u). ❚❤❡♥ q ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❜❧♦ss♦♠ ♦❢ Q✳ ❚❤❡ ❝♦♥tr♦❧ ♣♦✐♥ts ♦❢ ✐ts ❇é③✐❡r s✐♠♣❧❡① ❢♦r♠ ❛r❡ PQ

s = q(V✶, . . . , V✶

• s✶

, V✷, . . . , V✷

• s✷

, . . . , Vn, . . . , Vn

• sn

), ✇❤❡r❡ Vi ❛r❡ t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ t❤❡ s✐♠♣❧❡①✳

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ t♦ q✉❛❞r✐❧❛t❡r❛❧ ❙✲♣❛t❝❤

❉❡t❡r♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧ ♣♦✐♥ts ♦❢ Wn ✕ ❜❧♦ss♦♠

❚❤❡ ❜❧♦ss♦♠ ♦❢ Wn ✐s q(p✶, . . . , pn−✷)i = ✶ (n − ✷)! ·

• π∈Π(n−✷)

n−✷

• k=✶

j=i−✶,i

Dj(pπk)

Π(n − ✷) ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥s ♦❢ {✶, . . . , n − ✷} k r✉♥s ❢r♦♠ ✶ t♦ n − ✷ ✇❤✐❧❡ j ❢r♦♠ ✶ t♦ n s❦✐♣♣✐♥❣ i − ✶ ❛♥❞ i

❲✐t❤ t❤✐s✱ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧ ♣♦✐♥ts ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❙✐♠♣❧❡① ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❣✐✈❡s t❤❡ q✉❛❞r✐❧❛t❡r❛❧ ❙✲♣❛t❝❤ ❈♦♥✈❡rt t♦ ✏♥♦r♠❛❧✑ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s (wx, wy, wz, w)

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ t♦ t❡♥s♦r ♣r♦❞✉❝t ❢♦r♠

❊①♣❧✐❝✐t ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r t❡♥s♦r ♣r♦❞✉❝t ❝♦♥tr♦❧ ♣♦✐♥ts

❆♥ ✹✲s✐❞❡❞ ❙✲♣❛t❝❤ ♦❢ ❞❡♣t❤ d ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❛s ˆ S(u, v) =

d

• i=✵

d

• j=✵

CijBd

i (u)Bd j (v),

✇❤❡r❡ Cij =

• s

s✷+s✸=i s✸+s✹=j

d

s

• d

i

d

j

Ps.

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❊①❛♠♣❧❡

❈♦♥✈❡rt✐♥❣ ❛ ✺✲s✐❞❡❞ ♣❛t❝❤ ✕ ❝♦♥tr♦❧ ♥❡t

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❊①❛♠♣❧❡

❈♦♥✈❡rt✐♥❣ ❛ ✺✲s✐❞❡❞ ♣❛t❝❤ ✕ ❝♦♥t♦✉rs

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❊①❛♠♣❧❡

❈♦♥✈❡rt✐♥❣ ❛ ✺✲s✐❞❡❞ ♣❛t❝❤ ✕ tr✐♠♠❡❞ t❡♥s♦r ♣r♦❞✉❝t

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❊①❛♠♣❧❡

❈♦♥✈❡rt✐♥❣ ❛ ✺✲s✐❞❡❞ ♣❛t❝❤ ✕ ✉♥tr✐♠♠❡❞ t❡♥s♦r ♣r♦❞✉❝t

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❉✐s❝✉ss✐♦♥

▲✐♠✐t❛t✐♦♥s

❊✣❝✐❡♥❝②

n = ✺✱ d = ✽ t♦♦❦ > ✺ ♠✐♥✉t❡s ♦♥ ❛ ♠♦❞❡r♥ ♠❛❝❤✐♥❡ ✭❍♦✇ ❧♦♥❣ ✇♦✉❧❞ ✐t ❤❛✈❡ t❛❦❡♥ ✐♥ ✶✾✽✾❄✮ ▼✉❝❤ ❢❛st❡r ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ✭s❡❡ ♦✉r ✉♣❝♦♠✐♥❣ ♣❛♣❡r✮

✸✲s✐❞❡❞ ♣❛t❝❤❡s

❋♦r ❇é③✐❡r tr✐❛♥❣❧❡s✱ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ♣❛t❝❤ ✐s ♥♦t r❛t✐♦♥❛❧ ❇✉t t❤❡r❡ ❛r❡ s✐♠♣❧❡ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ♠❡t❤♦❞s✱ ❡✳❣✳ ❬✶✾✾✷✱ ❲❛rr❡♥❪

❈♦♥tr♦❧ ♥❡t q✉❛❧✐t②

❙✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ♦♥ ❛ ❝✐r❝❧❡ ❛r♦✉♥❞ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥

❉❡♥♦♠✐♥❛t♦r ♦❢ ❲❛❝❤s♣r❡ss ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ✈❛♥✐s❤❡s

❯♥st❛❜❧❡ ❝♦♥tr♦❧ ♣♦✐♥ts ♥❡❛r t❤❡ ❝♦r♥❡rs

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❚❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✇♦r❦s✱ ❜✉t ✐t ✐s ♥♦t ♣r❛❝t✐❝❛❧

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✐♠♣❧❡①❡s ✫ ❙✲♣❛t❝❤❡s ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❚❤❡ ❊♥❞

❆♥② q✉❡st✐♦♥s❄ ❚❤❛♥❦ ②♦✉ ❢♦r ②♦✉r ❛tt❡♥t✐♦♥✳

P✳ ❙❛❧✈✐ ❇▼❊ ❖♥ t❤❡ ❈❆❉✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✲♣❛t❝❤❡s