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t sst rs r r ss r


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SLIDE 1

❖♥ ▼♦❞❛❧ ❘❡✜♥❡♠❡♥t ❛♥❞ ❈♦♥s✐st❡♥❝②

❑✐♠ ●✳ ▲❛rs❡♥✱ ❯❧r✐❦ ◆②♠❛♥ ❛♥❞ ❆♥❞r③❡❥ ❲→s♦✇s❦✐ ❆❛❧❜♦r❣ ❯♥✐✈❡rs✐t②

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SLIDE 2

▼♦❞❛❧ ❚r❛♥s✐t✐♦♥ ❙②st❡♠s

❝♦✛❡❡ ❝♦✐♥ t❡❛

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SLIDE 3

▼♦❞❛❧ ❚r❛♥s✐t✐♦♥ ❙②st❡♠s

❝♦✛❡❡ ❝♦✐♥ t❡❛

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SLIDE 4

▼♦❞❛❧ ❚r❛♥s✐t✐♦♥ ❙②st❡♠s

❝♦✛❡❡ ❝♦✐♥

❆♥ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥✳

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SLIDE 5

❖✉t❧✐♥❡

❼ ▼♦❞❛❧ ❚r❛♥s✐t✐♦♥ ❙②st❡♠s ❼ P❛rt ■✿ ❘❡✜♥❡♠❡♥t ✈s

■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥s

❼ P❛rt ■■✿ ❈♦♥s✐st❡♥❝② ❼ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s ✫ ❙✉♠♠❛r②

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SLIDE 6

P❛rt ■ ❘❡✜♥❡♠❡♥t ✈s ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ■♥❝❧✉s✐♦♥

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SLIDE 7

❉❡❢✳ ▼♦❞❛❧ tr❛♥s✐t✐♦♥ s②st❡♠ S = (st❛t❡sS, Σ, − →S, S)

❼ Σ✿ ❛♥ ❛❧♣❤❛❜❡t ♦❢ ❛❝t✐♦♥s ❼ st❛t❡sS✿ ❛ ✜♥✐t❡ s❡t ♦❢ st❛t❡s ❼ −

→S ⊆ st❛t❡sS × Σ × st❛t❡sS ✭♠✉st✮

❼ S ⊆ st❛t❡sS × Σ × st❛t❡sS ✭♠❛②✮

❚r❛♥s✐t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥s ❛r❡ ✜♥✐t❡✳

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SLIDE 8

❉❡❢✳ ▼♦❞❛❧ tr❛♥s✐t✐♦♥ s②st❡♠ S = (st❛t❡sS, Σ, − →S, S)

❼ Σ✿ ❛♥ ❛❧♣❤❛❜❡t ♦❢ ❛❝t✐♦♥s ❼ st❛t❡sS✿ ❛ ✜♥✐t❡ s❡t ♦❢ st❛t❡s ❼ −

→S ⊆ st❛t❡sS × Σ × st❛t❡sS ✭♠✉st✮

❼ S ⊆ st❛t❡sS × Σ × st❛t❡sS ✭♠❛②✮

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SLIDE 9

❉❡❢✳ ▼♦❞❛❧ ❘❡✜♥❡♠❡♥t S ≤♠ T ✐✛ ❢♦r ❛♥② a ∈ Σ✿ ✇❤❡♥❡✈❡r S a S′ ❢♦r s♦♠❡ S′ t❤❡♥ ❢♦r s♦♠❡ T ′✿ T

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T ′ ❛♥❞ S′ ≤♠ T ′ ✇❤❡♥❡✈❡r T a − →T ′ ❢♦r s♦♠❡ T ′ t❤❡♥ ❢♦r s♦♠❡ S′✿ S a − →S′ ❛♥❞ S′ ≤♠ T ′

  • ❡♥❡r❛❧✐③❡s s✐♠✉❧❛t✐♦♥✴❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥
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SLIDE 10

❉❡❢✳ ▼♦❞❛❧ ❘❡✜♥❡♠❡♥t S ≤♠ T ✐✛ ❢♦r ❛♥② a ∈ Σ✿ ✇❤❡♥❡✈❡r S a S′ ❢♦r s♦♠❡ S′ t❤❡♥ ❢♦r s♦♠❡ T ′✿ T

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SLIDE 11

■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥s

❉❡❢✳ ❆ ♠♦❞❛❧ tr❛♥s✐t✐♦♥ s②st❡♠ I ✐s ❛♥ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐✛ − →I = I✳ ◆♦t❡✿ r❡✜♥❡♠❡♥ts ♦❢ I ❛r❡ ❜✐s✐♠✐❧❛r✳ ❉❡❢✳ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ■♥❝❧✉s✐♦♥ S ⊆m T ✐✛ ∀ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥s I. I ≤♠ S ✐♠♣❧✐❡s I ≤♠ T✳

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SLIDE 12

■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥s

❉❡❢✳ ❆ ♠♦❞❛❧ tr❛♥s✐t✐♦♥ s②st❡♠ I ✐s ❛♥ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐✛ − →I = I✳ ◆♦t❡✿ r❡✜♥❡♠❡♥ts ♦❢ I ❛r❡ ❜✐s✐♠✐❧❛r✳ ❉❡❢✳ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ■♥❝❧✉s✐♦♥ S ⊆m T ✐✛ ∀ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥s I. I ≤♠ S ✐♠♣❧✐❡s I ≤♠ T✳

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SLIDE 13

❉❡❢✳ ❆ r❡✜♥❡♠❡♥t R ✐s s♦✉♥❞ ❛♥❞ ❝♦♠♣❧❡t❡ ✇rt ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ✐❢ SRT ✐✛ S ⊆m T . ❚❤♠✳ ▼♦❞❛❧ r❡✜♥❡♠❡♥t ✐s s♦✉♥❞✿ S ≤♠ T ✐♠♣❧✐❡s S ⊆m T . Pr♦♦❢✳ ❙✐♠♣❧❡✳

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SLIDE 14

❉❡❢✳ ❆ r❡✜♥❡♠❡♥t R ✐s s♦✉♥❞ ❛♥❞ ❝♦♠♣❧❡t❡ ✇rt ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ✐❢ SRT ✐✛ S ⊆m T . ❚❤♠✳ ▼♦❞❛❧ r❡✜♥❡♠❡♥t ✐s s♦✉♥❞✿ S ≤♠ T ✐♠♣❧✐❡s S ⊆m T . Pr♦♦❢✳ ❙✐♠♣❧❡✳

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SLIDE 15

❚❤♠✳ ▼♦❞❛❧ r❡✜♥❡♠❡♥t ✐s ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ Pr♦♦❢✳

s a b t a b b a

s ≤♠ t, ✇❤✐❧❡ ∀i.i ≤♠ s ✐✛ i ≤♠ t

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SLIDE 16

❚❤❡♦r❡♠✳

❼ ❊st❛❜❧✐s❤✐♥❣ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

✐♥❝❧✉s✐♦♥ ✐s ❝♦✲◆P ❤❛r❞

❼ ❡✈❡♥ ❢♦r s②♥t❛❝t✐❝❛❧❧② ❝♦♥s✐st❡♥t

s②st❡♠s ✭S = − →S✮✳ ❙✐❞❡ ♥♦t❡✳ ▼♦❞❛❧ r❡✜♥❡♠❡♥t ✐s ✐♥ P✳ Pr♦♦❢✳ ❜② r❡❞✉❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ✈❛❧✐❞✐t② ❝❤❡❝❦✐♥❣ ✭✸✲❉◆❋✲❚❆❯❚❖▲❖●❨✮✳

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SLIDE 17

❘❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ xi ❘❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ xi

xi xi x1 x2 xn ✳ ✳ ✳

¬xi x1 xi−1 xi+1 xn ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❈♦♠❜✐♥❡ t♦ r❡♣r❡s❡♥t ❛♥② s❛t✐s✜❛❜❧❡ t❡r♠✳

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SLIDE 18

❆ ❉◆❋ ❢♦r♠✉❧❛✿ c1 ∨ c2 ∨ . . . ∨ cm−1 ∨ cm✳

ϕ c1 c2 cm−1 cm a a a a ✳ ✳ ✳

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SLIDE 19

❆ tr✉❡ ❢♦r♠✉❧❛ ♦✈❡r t❤❡ s❛♠❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s✳

tr✉❡ t a a x1 x2 xn−1 xn ✳ ✳ ✳

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SLIDE 20

■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐♥❝❧✉s✐♦♥ → φ ✐s ✈❛❧✐❞✳

tr✉❡ t a a x1 x2 xn−1 xn ✳ ✳ ✳

ϕ c1 c2 cm−1 cm a a a a ✳ ✳ ✳

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SLIDE 21

P❛rt ■■ ❈♦♥s✐st❡♥❝②

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SLIDE 22

(∗) ❙②♥t❛❝t✐❝ ❝♦♥s✐st❡♥❝②✿ − →⊆

❼ ◆♦ s✉♣♣♦rt ❢♦r ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥s✳ ❼ ▲♦❣✐❝✿ ❝♦♥s✐st❡♥❝② ≡ ❡①✐st❡♥❝❡

♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s ✉♥❞❡r ❛ s❛t✐s❢❛❝t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥✳ ❍❡r❡✿

◮ r❡✜♥❡♠❡♥t ✐s s❛t✐s❢❛❝t✐♦♥ ◮ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥s ❛r❡ s♦❧✉t✐♦♥s✳ ◮ ❝♦♥s✐st❡♥❝②✿ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢

✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ❼ ❈❤❛r❛❝t❡r✐③❡ ❝♦♥s✐st❡♥❝② ✉s✐♥❣

❛ ❝♦♠♣✉t❛❜❧❡ ❝r✐t❡r✐♦♥✱ ❧✐❦❡ (∗)

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SLIDE 23

(∗) ❙②♥t❛❝t✐❝ ❝♦♥s✐st❡♥❝②✿ − →⊆

❼ ◆♦ s✉♣♣♦rt ❢♦r ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥s✳ ❼ ▲♦❣✐❝✿ ❝♦♥s✐st❡♥❝② ≡ ❡①✐st❡♥❝❡

♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s ✉♥❞❡r ❛ s❛t✐s❢❛❝t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥✳ ❍❡r❡✿

◮ r❡✜♥❡♠❡♥t ✐s s❛t✐s❢❛❝t✐♦♥ ◮ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥s ❛r❡ s♦❧✉t✐♦♥s✳ ◮ ❝♦♥s✐st❡♥❝②✿ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢

✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ❼ ❈❤❛r❛❝t❡r✐③❡ ❝♦♥s✐st❡♥❝② ✉s✐♥❣

❛ ❝♦♠♣✉t❛❜❧❡ ❝r✐t❡r✐♦♥✱ ❧✐❦❡ (∗)

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SLIDE 24

❉❡❢✳ ❙tr♦♥❣ ❈♦♥s✐st❡♥❝② ❆ st❛t❡ S ✐s str♦♥❣❧② ❝♦♥s✐st❡♥t ✐✛ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ I s✉❝❤ t❤❛t I ≤♠ S .

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SLIDE 25

❈♦♠♣✉t✐♥❣ ❈♦♥s✐st❡♥❝②

❋♦r σ, σ′ ⊆ st❛t❡sS ✇❡ ✇r✐t❡✿ σ a − →

⌊S⌋σ′

✐✛ ∃s∈σ. ∃s′∈σ′. s a − →s′ σ a

  • ⌊S⌋σ′

✐✛ ∀s∈σ. ∃s′∈σ′. s a s′ ✭st❛t❡ s❡ts ❛r❡ ❝♦♥❥✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ ❝♦♥str❛✐♥ts✮

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SLIDE 26

❈♦♠♣✉t✐♥❣ ❈♦♥s✐st❡♥❝②

❉❡❢✳ B ⊆ P(st❛t❡sS) ✐s ❛ str♦♥❣ ❝♦♥s✐st❡♥❝② r❡❧❛t✐♦♥ ✐✛ ❢♦r ❛❧❧ a ∈ ❛❝t ❛♥❞ σ∈B✿ ∀s∈σ✳ s a − →s′ ∃σ′∈B. σ a − →

⌊S⌋σ′ ❛♥❞ σ a

  • ⌊S⌋σ′ ❛♥❞ s′∈σ′✳
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SLIDE 27

❚❤♠✳ ❆ st❛t❡ S ✐s ✭str♦♥❣❧②✮ ❝♦♥s✐st❡♥t ✐✛ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♥s✐st❡♥❝② r❡❧❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❛ ❝❧❛ss σs s✉❝❤ t❤❛t S ∈ σs✳ ❚❤♠✳ ❊st❛❜❧✐s❤✐♥❣ str♦♥❣ ❝♦♥s✐st❡♥❝② ✐s ◆P✲❤❛r❞✳ Pr♦♦❢✳ ❘❡❞✉❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ✸✲❈♥❢✲❙❛t✳

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SLIDE 28

❚❤♠✳ ❆ st❛t❡ S ✐s ✭str♦♥❣❧②✮ ❝♦♥s✐st❡♥t ✐✛ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♥s✐st❡♥❝② r❡❧❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❛ ❝❧❛ss σs s✉❝❤ t❤❛t S ∈ σs✳ ❚❤♠✳ ❊st❛❜❧✐s❤✐♥❣ str♦♥❣ ❝♦♥s✐st❡♥❝② ✐s ◆P✲❤❛r❞✳ Pr♦♦❢✳ ❘❡❞✉❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ✸✲❈♥❢✲❙❛t✳

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SLIDE 29

❈♦♥s✐st❡♥❝② ❘❡s✉❧ts

❘❡✜♥❡♠❡♥t ▲♦✇❡r ❜♦✉♥❞ ❯♣♣❡r ❜♦✉♥❞ s②♥t❛❝t✐❝ ❧✐♥❡❛r ❧✐♥❡❛r str♦♥❣ ◆P✲❤❛r❞ ❡①♣✲t✐♠❡ ✇❡❛❦ ◆P✲❤❛r❞ ❡①♣✲t✐♠❡ ♠❛②✲✇❡❛❦ ◆P✲❤❛r❞ ❡①♣✲t✐♠❡

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SLIDE 30

❊♣✐❧♦❣✉❡

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SLIDE 31

❈♦♥❥❡❝t✉r❡s

❼ ❆❧❧ ❝♦♥s✐st❡♥❝✐❡s ❛r❡ ♠♦st ❧✐❦❡❧②

P❙P❆❈❊✲❝♦♠♣❧❡t❡ ✭✇❡ ❤❛✈❡ ❛ ♣r♦♦❢ s❦❡t❝❤ ❢♦r t❤❡ str♦♥❣ ♦♥❡✮✳

❼ ❊st❛❜❧✐s❤✐♥❣ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

✐♥❝❧✉s✐♦♥ ✐s P❙P❆❈❊✲❝♦♠♣❧❡t❡ ✭❝✉rr❡♥t❧② ✇♦r❦✐♥❣ ♦♥ t❤✐s✮✳

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SLIDE 32

❙✉♠♠❛r②

❼ ▼♦❞❛❧ r❡✜♥❡♠❡♥t ✐s ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡

✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐♥❝❧✉s✐♦♥✳

❼ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ✐s

❝♦✲◆P ❤❛r❞ t♦ ❡st❛❜❧✐s❤✳

❼ ❈❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ✹ ❝♦♥s✐st❡♥❝✐❡s ❼ ❆❧❧✱ ❜✉t t❤❡ s②♥t❛❝t✐❝ ♦♥❡✱ ❛r❡

◆P✲❤❛r❞✳