SLIDE 1
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SLIDE 2
SLIDE 3
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SLIDE 4
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SLIDE 5
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SLIDE 6
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SLIDE 7
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❙✉♠♠❛r② ✫ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
SLIDE 8
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ■♥✜♠✐③❡rs ❙✉♣r❡♠✐③❡rs ❙✉♠♠❛r② ✫ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
❋r♦♠ ❛ ❉✐s❝r❡t❡ ❣r❛♣❤ t♦ ❛ ◗✉❛♥t✉♠ ❣r❛♣❤
G ❛ ❞✐s❝r❡t❡ ❣r❛♣❤ ✇✐t❤ E < ∞ ❡❞❣❡s ❛♥❞ V < ∞ ✈❡rt✐❝❡s✳ ❙♣❛❝❡ ♦❢ ❡❞❣❡ ❧❡♥❣t❤s✿ LG :=
- (l✶, . . . , lE ) ∈ RE
- E
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- Γ(G; l) ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ♠❡tr✐❝ ❣r❛♣❤ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ G ✇✐t❤ ❡❞❣❡ ❧❡♥❣t❤s l ∈ LG✳
◆❛♠❡❧②✱ t❤❡ et❤ ❡❞❣❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧ [✵, le] ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦♥ ❡❛❝❤ [✵, le]✿ − ❞✷
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- e = k✷f
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✵ = k✵ < k✶ ≤ k✷ ≤ . . . ❲❡ ❝❛❧❧ k✶ t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ♦❢ t❤❡ ❣r❛♣❤✳
SLIDE 9
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G ❛ ❞✐s❝r❡t❡ ❣r❛♣❤ ✇✐t❤ E < ∞ ❡❞❣❡s ❛♥❞ V < ∞ ✈❡rt✐❝❡s✳ ❙♣❛❝❡ ♦❢ ❡❞❣❡ ❧❡♥❣t❤s✿ LG :=
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✵ = k✵ < k✶ ≤ k✷ ≤ . . . ❲❡ ❝❛❧❧ k✶ t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ♦❢ t❤❡ ❣r❛♣❤✳
SLIDE 10
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✵ = k✵ < k✶ ≤ k✷ ≤ . . . ❲❡ ❝❛❧❧ k✶ t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ♦❢ t❤❡ ❣r❛♣❤✳
SLIDE 11
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❙♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦♥ ❡❞❣❡ ❧❡♥❣t❤s
LG :=
- (l✶, . . . , lE ) ∈ RE
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e=✶ le = ✶ ❛♥❞ ∀e, le > ✵
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Γ(G; l) ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ♠❡tr✐❝ ❣r❛♣❤ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ G ✇✐t❤ ❡❞❣❡ ❧❡♥❣t❤s l ∈ LG✳ ❙♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ✐s ❞❡♥♦t❡❞ k✶ [Γ(G; l)]✳ ◆♦t❡✿ k✶ [Γ(G; l)] ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✐♥ l✱ ✇❤✐❝❤ ❧❡❛❞s t♦ ❝♦♥s✐❞❡r ❛❧s♦ l ∈ ∂L G ✭s♦♠❡ ❡❞❣❡ ❧❡♥❣t❤s ✈❛♥✐s❤✮✱ ♣♦ss✐❜❧② ❝❤❛♥❣✐♥❣ t❤❡ t♦♣♦❧♦❣② ♦❢ Γ(G; l)✳
❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳
- Γ(G; l∗) ❛ ♠❛①✐♠✐③❡r ♦❢ G ✐❢ l∗ ∈ LG ❛♥❞ k✶ [Γ (G; l∗)] ≥ k✶ [Γ (G; l)] , ∀l ∈ LG✳
- Γ(G; l∗) ❛ s✉♣r❡♠✐③❡r ♦❢ G ✐❢ l∗ ∈ L G ❛♥❞ k✶ [Γ (G; l∗)] ≥ k✶ [Γ (G; l)] , ∀l ∈ L G✳
- ❙❛♠❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ❢♦r ♠✐♥✐♠✐③❡r ❛♥❞ ✐♥✜♠✐③❡r✳
- ❙✉♣r❡♠✐③❡r ❛♥❞ ✐♥✜♠✐③❡r ❛❧✇❛②s ❡①✐st✳
❲❤❛t ❛❜♦✉t ♠❛①✐♠✐③❡r❭♠✐♥✐♠✐③❡r❄
- ❲❤✐❝❤ ❣r❛♣❤s ❛r❡ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ♦♣t✐♠✐③❡rs❄
❄
SLIDE 12
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❙♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦♥ ❡❞❣❡ ❧❡♥❣t❤s
LG :=
- (l✶, . . . , lE ) ∈ RE
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e=✶ le = ✶ ❛♥❞ ∀e, le > ✵
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Γ(G; l) ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ♠❡tr✐❝ ❣r❛♣❤ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ G ✇✐t❤ ❡❞❣❡ ❧❡♥❣t❤s l ∈ LG✳ ❙♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ✐s ❞❡♥♦t❡❞ k✶ [Γ(G; l)]✳ ◆♦t❡✿ k✶ [Γ(G; l)] ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✐♥ l✱ ✇❤✐❝❤ ❧❡❛❞s t♦ ❝♦♥s✐❞❡r ❛❧s♦ l ∈ ∂L G ✭s♦♠❡ ❡❞❣❡ ❧❡♥❣t❤s ✈❛♥✐s❤✮✱ ♣♦ss✐❜❧② ❝❤❛♥❣✐♥❣ t❤❡ t♦♣♦❧♦❣② ♦❢ Γ(G; l)✳
❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳
- Γ(G; l∗) ❛ ♠❛①✐♠✐③❡r ♦❢ G ✐❢ l∗ ∈ LG ❛♥❞ k✶ [Γ (G; l∗)] ≥ k✶ [Γ (G; l)] , ∀l ∈ LG✳
- Γ(G; l∗) ❛ s✉♣r❡♠✐③❡r ♦❢ G ✐❢ l∗ ∈ L G ❛♥❞ k✶ [Γ (G; l∗)] ≥ k✶ [Γ (G; l)] , ∀l ∈ L G✳
- ❙❛♠❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ❢♦r ♠✐♥✐♠✐③❡r ❛♥❞ ✐♥✜♠✐③❡r✳
- ❙✉♣r❡♠✐③❡r ❛♥❞ ✐♥✜♠✐③❡r ❛❧✇❛②s ❡①✐st✳
❲❤❛t ❛❜♦✉t ♠❛①✐♠✐③❡r❭♠✐♥✐♠✐③❡r❄
- ❲❤✐❝❤ ❣r❛♣❤s ❛r❡ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ♦♣t✐♠✐③❡rs❄
❄
SLIDE 13
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❙♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦♥ ❡❞❣❡ ❧❡♥❣t❤s
LG :=
- (l✶, . . . , lE ) ∈ RE
- E
e=✶ le = ✶ ❛♥❞ ∀e, le > ✵
- ✳
Γ(G; l) ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ♠❡tr✐❝ ❣r❛♣❤ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ G ✇✐t❤ ❡❞❣❡ ❧❡♥❣t❤s l ∈ LG✳ ❙♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ✐s ❞❡♥♦t❡❞ k✶ [Γ(G; l)]✳ ◆♦t❡✿ k✶ [Γ(G; l)] ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✐♥ l✱ ✇❤✐❝❤ ❧❡❛❞s t♦ ❝♦♥s✐❞❡r ❛❧s♦ l ∈ ∂L G ✭s♦♠❡ ❡❞❣❡ ❧❡♥❣t❤s ✈❛♥✐s❤✮✱ ♣♦ss✐❜❧② ❝❤❛♥❣✐♥❣ t❤❡ t♦♣♦❧♦❣② ♦❢ Γ(G; l)✳
❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳
- Γ(G; l∗) ❛ ♠❛①✐♠✐③❡r ♦❢ G ✐❢ l∗ ∈ LG ❛♥❞ k✶ [Γ (G; l∗)] ≥ k✶ [Γ (G; l)] , ∀l ∈ LG✳
- Γ(G; l∗) ❛ s✉♣r❡♠✐③❡r ♦❢ G ✐❢ l∗ ∈ L G ❛♥❞ k✶ [Γ (G; l∗)] ≥ k✶ [Γ (G; l)] , ∀l ∈ L G✳
- ❙❛♠❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ❢♦r ♠✐♥✐♠✐③❡r ❛♥❞ ✐♥✜♠✐③❡r✳
- ❙✉♣r❡♠✐③❡r ❛♥❞ ✐♥✜♠✐③❡r ❛❧✇❛②s ❡①✐st✳
❲❤❛t ❛❜♦✉t ♠❛①✐♠✐③❡r❭♠✐♥✐♠✐③❡r❄
- ❲❤✐❝❤ ❣r❛♣❤s ❛r❡ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ♦♣t✐♠✐③❡rs❄
❄
SLIDE 14
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ■♥✜♠✐③❡rs ❙✉♣r❡♠✐③❡rs ❙✉♠♠❛r② ✫ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
❙♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦♥ ❡❞❣❡ ❧❡♥❣t❤s
LG :=
- (l✶, . . . , lE ) ∈ RE
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- ✳
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- Γ(G; l∗) ❛ ♠❛①✐♠✐③❡r ♦❢ G ✐❢ l∗ ∈ LG ❛♥❞ k✶ [Γ (G; l∗)] ≥ k✶ [Γ (G; l)] , ∀l ∈ LG✳
- Γ(G; l∗) ❛ s✉♣r❡♠✐③❡r ♦❢ G ✐❢ l∗ ∈ L G ❛♥❞ k✶ [Γ (G; l∗)] ≥ k✶ [Γ (G; l)] , ∀l ∈ L G✳
- ❙❛♠❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ❢♦r ♠✐♥✐♠✐③❡r ❛♥❞ ✐♥✜♠✐③❡r✳
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❄
SLIDE 15
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SLIDE 16
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SLIDE 17
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✷ π ✭❡q✉✐❧❛t❡r❛❧ st❛r✮
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k✶(l✶, l✷, l✸) ❋❧♦✇❡r ❣r❛♣❤ ✇✐t❤ E ≥ ✷ ❡❞❣❡s ■♥✜♠✉♠ ✭♥♦ ♠✐♥✐♠✉♠✮✿ k✶(✶, ✵, . . . ✵) = ✷π✱ ▼❛①✐♠✉♠✿ k✶(✶/E, . . . , ✶/E) = Eπ ✭❡q✉✐❧❛t❡r❛❧ ✢♦✇❡r✮ ❬❑❡♥♥❡❞②✱ ❑✉r❛s♦✈✱ ▼❛❧❡♥♦✈á✱ ▼✉❣♥♦❧♦ ✬✶✻❪
SLIDE 18
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ■♥✜♠✐③❡rs ❙✉♣r❡♠✐③❡rs ❙✉♠♠❛r② ✫ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
◗✉❛♥t✉♠ ●r❛♣❤s ✇❤✐❝❤ ❖♣t✐♠✐③❡ t❤❡ ❙♣❡❝tr❛❧ ●❛♣
❆ ❢❡✇ ❡①❛♠♣❧❡s ✭❝♦♥t✐♥✉❡❞✮
1 8 1 4 1 8 1 4 1 4
❙t♦✇❡r ✭❋❧ét♦✐❧❡✮ ❣r❛♣❤ ✇✐t❤ Ep ♣❡t❛❧s✱ El ❧❡❛✈❡s ■♥✜♠✉♠ ✭♥♦ ♠✐♥✐♠✉♠✮✿ k✶(✵ . . . , ✵, ✶) = π✱ ▼❛①✐♠✉♠✿ k✶(l) = (Ep + El
✷ )π✱
✇❤❡r❡ l =
✶ ✷Ep+El (✷, . . . , ✷ Ep
, ✶, . . . , ✶
El
) ✭✏❡q✉✐❧❛t❡r❛❧✑ st♦✇❡r✮✱ ❛ss✉♠✐♥❣ Ep + El ≥ ✷ ❛♥❞ (Ep, El) / ∈ (✶, ✶)✳ ❬❙❤♦✇♥ ✐♥ ❢✉t✉r❡ s❧✐❞❡❪✳ ❚❤✐s ❣❡♥❡r❛❧❡s st❛rs ❛♥❞ ✢♦✇❡rs r❡s✉❧ts✳ ✷ ✶ ■♥✜♠✉♠✿
✶ ✵ ✵ ✶
✱ ▼❛①✐♠✉♠✿
✶ ✷ ✺ ✷ ✺ ✶ ✺
✷ ✶
✷
✶ ✷ ❈♦♥t✐♥✉♦✉s ❢❛♠✐❧② ♦❢ ✐♥✜♠❛✿
✶ ✵
✶ ✱ ❈♦♥t✐♥✉♦✉s ❢❛♠✐❧② ♦❢ ♠❛①✐♠❛✿
✶ ✶
✷ ✷
SLIDE 19
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ■♥✜♠✐③❡rs ❙✉♣r❡♠✐③❡rs ❙✉♠♠❛r② ✫ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
◗✉❛♥t✉♠ ●r❛♣❤s ✇❤✐❝❤ ❖♣t✐♠✐③❡ t❤❡ ❙♣❡❝tr❛❧ ●❛♣
❆ ❢❡✇ ❡①❛♠♣❧❡s ✭❝♦♥t✐♥✉❡❞✮
1 8 1 4 1 8 1 4 1 4
❙t♦✇❡r ✭❋❧ét♦✐❧❡✮ ❣r❛♣❤ ✇✐t❤ Ep ♣❡t❛❧s✱ El ❧❡❛✈❡s ■♥✜♠✉♠ ✭♥♦ ♠✐♥✐♠✉♠✮✿ k✶(✵ . . . , ✵, ✶) = π✱ ▼❛①✐♠✉♠✿ k✶(l) = (Ep + El
✷ )π✱
✇❤❡r❡ l =
✶ ✷Ep+El (✷, . . . , ✷ Ep
, ✶, . . . , ✶
El
) ✭✏❡q✉✐❧❛t❡r❛❧✑ st♦✇❡r✮✱ ❛ss✉♠✐♥❣ Ep + El ≥ ✷ ❛♥❞ (Ep, El) / ∈ (✶, ✶)✳ ❬❙❤♦✇♥ ✐♥ ❢✉t✉r❡ s❧✐❞❡❪✳ ❚❤✐s ❣❡♥❡r❛❧❡s st❛rs ❛♥❞ ✢♦✇❡rs r❡s✉❧ts✳ Ep = ✷ El = ✶ ■♥✜♠✉♠✿ k✶(✵, ✵, ✶) = π✱ ▼❛①✐♠✉♠✿ k✶( ✷
✺, ✷ ✺, ✶ ✺) = ✷ ✶ ✷π
✶ ✷ ❈♦♥t✐♥✉♦✉s ❢❛♠✐❧② ♦❢ ✐♥✜♠❛✿
✶ ✵
✶ ✱ ❈♦♥t✐♥✉♦✉s ❢❛♠✐❧② ♦❢ ♠❛①✐♠❛✿
✶ ✶
✷ ✷
SLIDE 20
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ■♥✜♠✐③❡rs ❙✉♣r❡♠✐③❡rs ❙✉♠♠❛r② ✫ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
◗✉❛♥t✉♠ ●r❛♣❤s ✇❤✐❝❤ ❖♣t✐♠✐③❡ t❤❡ ❙♣❡❝tr❛❧ ●❛♣
❆ ❢❡✇ ❡①❛♠♣❧❡s ✭❝♦♥t✐♥✉❡❞✮
1 8 1 4 1 8 1 4 1 4
❙t♦✇❡r ✭❋❧ét♦✐❧❡✮ ❣r❛♣❤ ✇✐t❤ Ep ♣❡t❛❧s✱ El ❧❡❛✈❡s ■♥✜♠✉♠ ✭♥♦ ♠✐♥✐♠✉♠✮✿ k✶(✵ . . . , ✵, ✶) = π✱ ▼❛①✐♠✉♠✿ k✶(l) = (Ep + El
✷ )π✱
✇❤❡r❡ l =
✶ ✷Ep+El (✷, . . . , ✷ Ep
, ✶, . . . , ✶
El
) ✭✏❡q✉✐❧❛t❡r❛❧✑ st♦✇❡r✮✱ ❛ss✉♠✐♥❣ Ep + El ≥ ✷ ❛♥❞ (Ep, El) / ∈ (✶, ✶)✳ ❬❙❤♦✇♥ ✐♥ ❢✉t✉r❡ s❧✐❞❡❪✳ ❚❤✐s ❣❡♥❡r❛❧❡s st❛rs ❛♥❞ ✢♦✇❡rs r❡s✉❧ts✳ Ep = ✷ El = ✶ ■♥✜♠✉♠✿ k✶(✵, ✵, ✶) = π✱ ▼❛①✐♠✉♠✿ k✶( ✷
✺, ✷ ✺, ✶ ✺) = ✷ ✶ ✷π
Ep = ✶ El = ✷ ❈♦♥t✐♥✉♦✉s ❢❛♠✐❧② ♦❢ ✐♥✜♠❛✿ k✶(✵, t, ✶ − t) = π✱ ❈♦♥t✐♥✉♦✉s ❢❛♠✐❧② ♦❢ ♠❛①✐♠❛✿ k✶(✶ − ✷t, t, t) = ✷π
SLIDE 21
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ■♥✜♠✐③❡rs ❙✉♣r❡♠✐③❡rs ❙✉♠♠❛r② ✫ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
◗✉❛♥t✉♠ ●r❛♣❤s ✇❤✐❝❤ ❖♣t✐♠✐③❡ t❤❡ ❙♣❡❝tr❛❧ ●❛♣
❆ ❢❡✇ ❡①❛♠♣❧❡s ✭❝♦♥t✐♥✉❡❞✮
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k✶(l✶, l✷, l✸) ▼❛♥❞❛r✐♥ ❣r❛♣❤ ✇✐t❤ E ❡❞❣❡s ■♥✜♠✉♠ ✭♥♦ ♠✐♥✐♠✉♠✮✿ k✶(✶, ✵, . . . , ✵) = ✷π✱ ▼❛①✐♠✉♠✿ k✶(✶/E, . . . , ✶/E) = Eπ✳ ❬❑❡♥♥❡❞②✱ ❑✉r❛s♦✈✱ ▼❛❧❡♥♦✈á✱ ▼✉❣♥♦❧♦ ✬✶✻❪ ▲❡♥❣t❤ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✜❣✉r❡s ✲ ❝♦✉rt❡s② ♦❢ ▲✐♦r ❆❧♦♥
- ❲❤✐❝❤ ❣r❛♣❤s ❤❛✈❡ ♥♦t ♦♥❧② s✉♣r❡♠✐③❡r❭✐♥✜♠✐③❡r✱ ❜✉t ❛❧s♦ ♠❛①✐♠✐③❡r❭♠✐♥✐♠✐③❡r❄
- ❲❤✐❝❤ ❣r❛♣❤s ❛r❡ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ♦♣t✐♠✐③❡rs❄
SLIDE 22
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ■♥✜♠✐③❡rs ❙✉♣r❡♠✐③❡rs ❙✉♠♠❛r② ✫ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
◗✉❛♥t✉♠ ●r❛♣❤s ✇❤✐❝❤ ❖♣t✐♠✐③❡ t❤❡ ❙♣❡❝tr❛❧ ●❛♣
❆ ❢❡✇ ❡①❛♠♣❧❡s ✭❝♦♥t✐♥✉❡❞✮
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k✶(l✶, l✷, l✸) ▼❛♥❞❛r✐♥ ❣r❛♣❤ ✇✐t❤ E ❡❞❣❡s ■♥✜♠✉♠ ✭♥♦ ♠✐♥✐♠✉♠✮✿ k✶(✶, ✵, . . . , ✵) = ✷π✱ ▼❛①✐♠✉♠✿ k✶(✶/E, . . . , ✶/E) = Eπ✳ ❬❑❡♥♥❡❞②✱ ❑✉r❛s♦✈✱ ▼❛❧❡♥♦✈á✱ ▼✉❣♥♦❧♦ ✬✶✻❪ ▲❡♥❣t❤ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✜❣✉r❡s ✲ ❝♦✉rt❡s② ♦❢ ▲✐♦r ❆❧♦♥
- ❲❤✐❝❤ ❣r❛♣❤s ❤❛✈❡ ♥♦t ♦♥❧② s✉♣r❡♠✐③❡r❭✐♥✜♠✐③❡r✱ ❜✉t ❛❧s♦ ♠❛①✐♠✐③❡r❭♠✐♥✐♠✐③❡r❄
- ❲❤✐❝❤ ❣r❛♣❤s ❛r❡ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ♦♣t✐♠✐③❡rs❄
SLIDE 23
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ■♥✜♠✐③❡rs ❙✉♣r❡♠✐③❡rs ❙✉♠♠❛r② ✫ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
▲♦✇❡r ❜♦✉♥❞s ✲ ❑♥♦✇♥ r❡s✉❧ts
k✶ [Γ] ≥ π ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t② ✐✛ Γ ✐s ❛ s✐♥❣❧❡ ❡❞❣❡ ❬◆✐❝❛✐s❡ ✬✽✼❀ ❋r✐❡❞❧❛♥❞❡r ✬✵✺❀ ❑✉r❛s♦✈✱ ◆❛❜♦❦♦ ✬✶✹❪✳ ■❢ Γ ❤❛s ❛❧❧ ✈❡rt❡① ❞❡❣r❡❡s ❡✈❡♥ t❤❡♥ k✶ [Γ] ≥ ✷π, ❬❑✉r❛s♦✈✱ ◆❛❜♦❦♦ ✬✶✹❪ ✇✐t❤ ❛ s✐♥❣❧❡ ❧♦♦♣ ❛❝❤✐❡✈✐♥❣ ❡q✉❛❧✐t② ✭❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✮✳ ❘❡♠❛✐♥✐♥❣ q✉❡st✐♦♥s✿
- ❲❤❛t ❛❜♦✉t ♦t❤❡r t♦♣♦❧♦❣✐❡s❄
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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ■♥✜♠✐③❡rs ❙✉♣r❡♠✐③❡rs ❙✉♠♠❛r② ✫ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
▲♦✇❡r ❜♦✉♥❞s ✲ ❑♥♦✇♥ r❡s✉❧ts
k✶ [Γ] ≥ π ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t② ✐✛ Γ ✐s ❛ s✐♥❣❧❡ ❡❞❣❡ ❬◆✐❝❛✐s❡ ✬✽✼❀ ❋r✐❡❞❧❛♥❞❡r ✬✵✺❀ ❑✉r❛s♦✈✱ ◆❛❜♦❦♦ ✬✶✹❪✳ ■❢ Γ ❤❛s ❛❧❧ ✈❡rt❡① ❞❡❣r❡❡s ❡✈❡♥ t❤❡♥ k✶ [Γ] ≥ ✷π, ❬❑✉r❛s♦✈✱ ◆❛❜♦❦♦ ✬✶✹❪ ✇✐t❤ ❛ s✐♥❣❧❡ ❧♦♦♣ ❛❝❤✐❡✈✐♥❣ ❡q✉❛❧✐t② ✭❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✮✳ ❘❡♠❛✐♥✐♥❣ q✉❡st✐♦♥s✿
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SLIDE 30
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k✶ [Γ] ≤ Eπ, ❡q✉❛❧✐t② ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ Γ ✐s ❛♥ ❡q✉✐❧❛t❡r❛❧ ♠❛♥❞❛r✐♥ ♦r ❡q✉✐❧❛t❡r❛❧ ✢♦✇❡r ❬❑❡♥♥❡❞②✱ ❑✉r❛s♦✈✱ ▼❛❧❡♥♦✈á✱ ▼✉❣♥♦❧♦ ✬✶✻❪✳ ❚❤✐s ❢✉❧❧② ❛♥s✇❡rs ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❢♦r ✢♦✇❡rs ❛♥❞ ♠❛♥❞❛r✐♥s✿ s✉♣r❡♠✐③❡rs ✭❛❧s♦ ♠❛①✐♠✐③❡rs✮ ❛r❡ ❡q✉✐❧❛t❡r❛❧✳
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k✶ [Γ] ≤ E ✷ π, ❡q✉❛❧✐t② ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ Γ ✐s ❛♥ ❡q✉✐❧❛t❡r❛❧ st❛r ❬❘♦❤❧❡❞❡r ✬✶✻❪✳ ❚❤✐s ❢✉❧❧② ❛♥s✇❡rs ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❢♦r tr❡❡s✿ s✉♣r❡♠✐③❡rs ❛r❡ st❛rs✳
SLIDE 31
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SLIDE 32
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Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✹ ✭❇❛♥❞✱ ▲é✈②✮✳ ▲❡t G ❜❡ ❛ ❣r❛♣❤ ✇✐t❤ E ❡❞❣❡s✱ ♦✉t ♦❢ ✇❤✐❝❤ El ❛r❡ ❧❡❛✈❡s✳ ■❢ (E, El) / ∈ {(✶, ✶) , (✶, ✵) , (✷, ✶)} t❤❡♥ ∀ l ∈ LG, k✶ [Γ (G; l)] ≤ π
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- ✳
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❚❛❦❡ ❛♥❞ ❛tt❛❝❤ t✇♦ ✈❡rt✐❝❡s t♦ ♦❜t❛✐♥ ✭✐❧❧❡❣❛❧ ♠♦✈❡ ✐♥ ♦✉r ❣❛♠❡✮✳ ●❡t
✶ ✶
✳ ❘❡♣❡❛t❡❞❧② ❛tt❛❝❤ ❛❧❧ ✐♥♥❡r ✈❡rt✐❝❡s t♦ ♦❜t❛✐♥ ❛ st♦✇❡r ✇✐t❤ ❧❡❛✈❡s ❛♥❞ ♣❡t❛❧s✳ ❯s❡ ❜♦✉♥❞ ♦♥ st♦✇❡rs✿
✶ ✷
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SLIDE 33
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❚❛❦❡ Γ ❛♥❞ ❛tt❛❝❤ t✇♦ ✈❡rt✐❝❡s t♦ ♦❜t❛✐♥ Γ′ ✭✐❧❧❡❣❛❧ ♠♦✈❡ ✐♥ ♦✉r ❣❛♠❡✮✳ ●❡t k✶(Γ) ≤ k✶(Γ′)✳ ❘❡♣❡❛t❡❞❧② ❛tt❛❝❤ ❛❧❧ ✐♥♥❡r ✈❡rt✐❝❡s t♦ ♦❜t❛✐♥ ❛ st♦✇❡r ✇✐t❤ El ❧❡❛✈❡s ❛♥❞ E − El ♣❡t❛❧s✳ ❯s❡ ❜♦✉♥❞ ♦♥ st♦✇❡rs✿ k✶ [Γ] ≤ π
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SLIDE 34
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Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✹ ✭❇❛♥❞✱ ▲é✈②✮✳ ▲❡t G ❜❡ ❛ ❣r❛♣❤ ✇✐t❤ E ❡❞❣❡s✱ ♦✉t ♦❢ ✇❤✐❝❤ El ❛r❡ ❧❡❛✈❡s✳ ■❢ (E, El) / ∈ {(✶, ✶) , (✶, ✵) , (✷, ✶)} t❤❡♥ ∀ l ∈ LG, k✶ [Γ (G; l)] ≤ π
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❚❛❦❡ Γ ❛♥❞ ❛tt❛❝❤ t✇♦ ✈❡rt✐❝❡s t♦ ♦❜t❛✐♥ Γ′ ✭✐❧❧❡❣❛❧ ♠♦✈❡ ✐♥ ♦✉r ❣❛♠❡✮✳ ●❡t k✶(Γ) ≤ k✶(Γ′)✳ ❘❡♣❡❛t❡❞❧② ❛tt❛❝❤ ❛❧❧ ✐♥♥❡r ✈❡rt✐❝❡s t♦ ♦❜t❛✐♥ ❛ st♦✇❡r ✇✐t❤ El ❧❡❛✈❡s ❛♥❞ E − El ♣❡t❛❧s✳ ❯s❡ ❜♦✉♥❞ ♦♥ st♦✇❡rs✿ k✶ [Γ] ≤ π
- E − El
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SLIDE 35
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❚❤❡♦r❡♠ ✺ ✭❇❛♥❞✱ ▲é✈②✮✳ ▲❡t G ❜❡ ❛ ❞✐s❝r❡t❡ ❣r❛♣❤ ❛♥❞ l ∈ LG✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t Γ(G; l) ✐s ❛ s✉♣r❡♠✐③❡r ♦❢ G ✇✐t❤ s✐♠♣❧❡ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ k✶ [Γ(G; l)]✳ ❚❤❡♥ Γ(G; l) ✐s ♥♦t ❛ ✉♥✐q✉❡ s✉♣r❡♠✐③❡r✿ t❤❡r❡ ❡①✐sts l∗ ∈ L G s✳t✳ Γ (G; l∗) ✐s ❛♥ ❡q✉✐❧❛t❡r❛❧ ♠❛♥❞❛r✐♥ ❛♥❞ k✶ [Γ(G; l)] = k✶ [Γ(G; l∗)] . Pr♦♦❢ ✐♥❣r❡❞✐❡♥ts✳
- ❆ s✉♣r❡♠✐③❡r ✐s ❛ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥t ♦❢ s♦♠❡ Lˆ
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G ♠❛②❜❡ ❞✐✛❡r❡♥t t❤❛♥ G✮✳
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- f ′✷ + k✷f ✷
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- ❈♦✉r❛♥t ♥♦❞❛❧ ❞♦♠❛✐♥ t❤❡♦r❡♠ ✲ f ❤❛s ❡①❛❝t❧② t✇♦ ♥♦❞❛❧ ❞♦♠❛✐♥s✳
SLIDE 36
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❚❤❡♦r❡♠ ✺ ✭❇❛♥❞✱ ▲é✈②✮✳ ▲❡t G ❜❡ ❛ ❞✐s❝r❡t❡ ❣r❛♣❤ ❛♥❞ l ∈ LG✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t Γ(G; l) ✐s ❛ s✉♣r❡♠✐③❡r ♦❢ G ✇✐t❤ s✐♠♣❧❡ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ k✶ [Γ(G; l)]✳ ❚❤❡♥ Γ(G; l) ✐s ♥♦t ❛ ✉♥✐q✉❡ s✉♣r❡♠✐③❡r✿ t❤❡r❡ ❡①✐sts l∗ ∈ L G s✳t✳ Γ (G; l∗) ✐s ❛♥ ❡q✉✐❧❛t❡r❛❧ ♠❛♥❞❛r✐♥ ❛♥❞ k✶ [Γ(G; l)] = k✶ [Γ(G; l∗)] . Pr♦♦❢ ✐♥❣r❡❞✐❡♥ts✳
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SLIDE 37
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- ❆ s✉♣r❡♠✐③❡r ✐s ❛ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥t ♦❢ s♦♠❡ Lˆ
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- ∀e
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- ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s r❡str✐❝t✐♦♥s ♦♥ ❡✐❣❡♥❢✉♥❝t✐♦♥ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✳
- ❈♦✉r❛♥t ♥♦❞❛❧ ❞♦♠❛✐♥ t❤❡♦r❡♠ ✲ f ❤❛s ❡①❛❝t❧② t✇♦ ♥♦❞❛❧ ❞♦♠❛✐♥s✳
SLIDE 38
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ■♥✜♠✐③❡rs ❙✉♣r❡♠✐③❡rs ❙✉♠♠❛r② ✫ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
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▲❡t G✶, G✷ ❜❡ ❞✐s❝r❡t❡ ❣r❛♣❤s✱ ❛♥❞ vi ✭i = ✶, ✷✮ ❜❡ ❛ ✈❡rt❡① ♦❢ Gi✳ ▲❡t G ❜❡ t❤❡ ❣r❛♣❤ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ✭❣❧✉✐♥❣✮ v✶ ❛♥❞ v✷✳ ■❢ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❡ s✉♣r❡♠✐③❡rs Γ✶, Γ✷ ♦❢ G✶, G✷✱ ❝❛♥ ✇❡ t❡❧❧ t❤❡ s✉♣r❡♠✐③❡r ♦❢ G❄
G1 G2 v1 v2
❨❡s ✭✉♥❞❡r s♦♠❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦♥
✶ ✶ ✶ ✷ ✮
❋♦r ❜r❡✈✐t②✱ s❦✐♣ ❤❡r❡ t❤❡ t❤❡♦r❡♠ ❛♥❞ ♠♦✈❡ ♦♥ t♦ ✐ts ❝♦r♦❧❧❛r✐❡s✳
❈♦r♦❧❧❛r② ✻✳ ▲❡t G✶, G✷ ❜❡ ❞✐s❝r❡t❡ ❣r❛♣❤s✳ ▲❡t G ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ t✇♦ ♥♦♥✲❧❡❛❢ ✈❡rt✐❝❡s v✶ ❛♥❞ v✷✳ ■❢ t❤❡ ✭✉♥✐q✉❡✮ s✉♣r❡♠✐③❡r ♦❢ Gi ✐s t❤❡ ✏❡q✉✐❧❛t❡r❛❧✑ st♦✇❡r ✇✐t❤ E (i)
p
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p
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♣❡t❛❧s ❛♥❞ E (✶)
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+ E (✷)
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SLIDE 39
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▲❡t G✶, G✷ ❜❡ ❞✐s❝r❡t❡ ❣r❛♣❤s✱ ❛♥❞ vi ✭i = ✶, ✷✮ ❜❡ ❛ ✈❡rt❡① ♦❢ Gi✳ ▲❡t G ❜❡ t❤❡ ❣r❛♣❤ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ✭❣❧✉✐♥❣✮ v✶ ❛♥❞ v✷✳ ■❢ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❡ s✉♣r❡♠✐③❡rs Γ✶, Γ✷ ♦❢ G✶, G✷✱ ❝❛♥ ✇❡ t❡❧❧ t❤❡ s✉♣r❡♠✐③❡r ♦❢ G❄
G1 G2 v1 v2
❨❡s ✭✉♥❞❡r s♦♠❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦♥
✶ ✶ ✶ ✷ ✮
❋♦r ❜r❡✈✐t②✱ s❦✐♣ ❤❡r❡ t❤❡ t❤❡♦r❡♠ ❛♥❞ ♠♦✈❡ ♦♥ t♦ ✐ts ❝♦r♦❧❧❛r✐❡s✳
❈♦r♦❧❧❛r② ✻✳ ▲❡t G✶, G✷ ❜❡ ❞✐s❝r❡t❡ ❣r❛♣❤s✳ ▲❡t G ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ t✇♦ ♥♦♥✲❧❡❛❢ ✈❡rt✐❝❡s v✶ ❛♥❞ v✷✳ ■❢ t❤❡ ✭✉♥✐q✉❡✮ s✉♣r❡♠✐③❡r ♦❢ Gi ✐s t❤❡ ✏❡q✉✐❧❛t❡r❛❧✑ st♦✇❡r ✇✐t❤ E (i)
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p
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SLIDE 40
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▲❡t G✶, G✷ ❜❡ ❞✐s❝r❡t❡ ❣r❛♣❤s✱ ❛♥❞ vi ✭i = ✶, ✷✮ ❜❡ ❛ ✈❡rt❡① ♦❢ Gi✳ ▲❡t G ❜❡ t❤❡ ❣r❛♣❤ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ✭❣❧✉✐♥❣✮ v✶ ❛♥❞ v✷✳ ■❢ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❡ s✉♣r❡♠✐③❡rs Γ✶, Γ✷ ♦❢ G✶, G✷✱ ❝❛♥ ✇❡ t❡❧❧ t❤❡ s✉♣r❡♠✐③❡r ♦❢ G❄
G1 G2 v1 v2
❨❡s ✭✉♥❞❡r s♦♠❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦♥ k✶(Γ✶), k✶(Γ✷) ✮ ❋♦r ❜r❡✈✐t②✱ s❦✐♣ ❤❡r❡ t❤❡ t❤❡♦r❡♠ ❛♥❞ ♠♦✈❡ ♦♥ t♦ ✐ts ❝♦r♦❧❧❛r✐❡s✳
❈♦r♦❧❧❛r② ✻✳ ▲❡t G✶, G✷ ❜❡ ❞✐s❝r❡t❡ ❣r❛♣❤s✳ ▲❡t G ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ t✇♦ ♥♦♥✲❧❡❛❢ ✈❡rt✐❝❡s v✶ ❛♥❞ v✷✳ ■❢ t❤❡ ✭✉♥✐q✉❡✮ s✉♣r❡♠✐③❡r ♦❢ Gi ✐s t❤❡ ✏❡q✉✐❧❛t❡r❛❧✑ st♦✇❡r ✇✐t❤ E (i)
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p + E (i) l
≥ ✷✱ t❤❡♥ t❤❡ ✭✉♥✐q✉❡✮ s✉♣r❡♠✐③❡r ♦❢ G ✐s ❛♥ ✏❡q✉✐❧❛t❡r❛❧✑ st♦✇❡r ✇✐t❤ E (✶)
p
+ E (✷)
p
♣❡t❛❧s ❛♥❞ E (✶)
l
+ E (✷)
l
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SLIDE 41
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ■♥✜♠✐③❡rs ❙✉♣r❡♠✐③❡rs ❙✉♠♠❛r② ✫ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
- ❧✉✐♥❣ ❣r❛♣❤s ✲ ❱❡rt❡① ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ♦♥❡
▲❡t G✶, G✷ ❜❡ ❞✐s❝r❡t❡ ❣r❛♣❤s✱ ❛♥❞ vi ✭i = ✶, ✷✮ ❜❡ ❛ ✈❡rt❡① ♦❢ Gi✳ ▲❡t G ❜❡ t❤❡ ❣r❛♣❤ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ✭❣❧✉✐♥❣✮ v✶ ❛♥❞ v✷✳ ■❢ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❡ s✉♣r❡♠✐③❡rs Γ✶, Γ✷ ♦❢ G✶, G✷✱ ❝❛♥ ✇❡ t❡❧❧ t❤❡ s✉♣r❡♠✐③❡r ♦❢ G❄
G1 G2 v1 v2
❨❡s ✭✉♥❞❡r s♦♠❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦♥ k✶(Γ✶), k✶(Γ✷) ✮ ❋♦r ❜r❡✈✐t②✱ s❦✐♣ ❤❡r❡ t❤❡ t❤❡♦r❡♠ ❛♥❞ ♠♦✈❡ ♦♥ t♦ ✐ts ❝♦r♦❧❧❛r✐❡s✳
❈♦r♦❧❧❛r② ✻✳ ▲❡t G✶, G✷ ❜❡ ❞✐s❝r❡t❡ ❣r❛♣❤s✳ ▲❡t G ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ t✇♦ ♥♦♥✲❧❡❛❢ ✈❡rt✐❝❡s v✶ ❛♥❞ v✷✳ ■❢ t❤❡ ✭✉♥✐q✉❡✮ s✉♣r❡♠✐③❡r ♦❢ Gi ✐s t❤❡ ✏❡q✉✐❧❛t❡r❛❧✑ st♦✇❡r ✇✐t❤ E (i)
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p + E (i) l
≥ ✷✱ t❤❡♥ t❤❡ ✭✉♥✐q✉❡✮ s✉♣r❡♠✐③❡r ♦❢ G ✐s ❛♥ ✏❡q✉✐❧❛t❡r❛❧✑ st♦✇❡r ✇✐t❤ E (✶)
p
+ E (✷)
p
♣❡t❛❧s ❛♥❞ E (✶)
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+ E (✷)
l
❧❡❛✈❡s✳
SLIDE 42
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ■♥✜♠✐③❡rs ❙✉♣r❡♠✐③❡rs ❙✉♠♠❛r② ✫ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
- ❧✉✐♥❣ ❣r❛♣❤s ✲ ❈♦r♦❧❧❛r✐❡s
❈♦r♦❧❧❛r② ✼✳ ▲❡t G ❜❡ ❛ st♦✇❡r ✇✐t❤ Ep + El ≥ ✷ ❛♥❞ (Ep, El) = (✶, ✶)✳ ❚❤❡♥ ❛ ♠❛①✐♠✐③❡r ✐s t❤❡ ✏❡q✉✐❧❛t❡r❛❧✑ st♦✇❡r ❣r❛♣❤ ✇✐t❤ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ π
- Ep + El
✷
- ✳
❚❤✐s ♠❛①✐♠✐③❡r ✐s ✉♥✐q✉❡ ❢♦r
- Ep, El
- /
∈ {(✷, ✵) , (✶, ✷)}✳ Pr♦♦❢ ✐❞❡❛✳
Pr♦✈❡ t❤❡ st❛t❡♠❡♥t ❢♦r ✏s♠❛❧❧✑ st♦✇❡rs✳ ❚❤❡♥ ❣❧✉❡ t❤❡♠ t♦ ❝♦♥str✉❝t ❛♥② st♦✇❡r✳ ❘❡❝❛❧❧ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✹✿ ▲❡t G ❜❡ ❛ ❣r❛♣❤ ✇✐t❤ E ❡❞❣❡s✱ ♦✉t ♦❢ ✇❤✐❝❤ El ❛r❡ ❧❡❛✈❡s✳ ■❢ (E, El) / ∈ {(✶, ✶) , (✶, ✵) , (✷, ✶)} t❤❡♥ ∀ l ∈ LG, k✶ [Γ (G; l)] ≤ π
- E − El
✷
- ✳
❆ss✉♠✐♥❣ (E, El) / ∈ {(✷, ✵) , (✸, ✷)} ❡q✉❛❧✐t② ❛❜♦✈❡ ✐♠♣❧✐❡s Γ (G; l) ✐s ❡✐t❤❡r ❛♥ ❡q✉✐❧❛t❡r❛❧ ♠❛♥❞❛r✐♥ ✭El = ✵✮ ♦r ❛♥ ❡q✉✐❧❛t❡r❛❧ st♦✇❡r ✭El ≥ ✵✮✳ ❲❡ ✉s❡ ❈♦r♦❧❧❛r② ✼ ✐♥ ✐ts ♣r♦♦❢✳
SLIDE 43
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ■♥✜♠✐③❡rs ❙✉♣r❡♠✐③❡rs ❙✉♠♠❛r② ✫ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
- ❧✉✐♥❣ ❣r❛♣❤s ✲ ❈♦r♦❧❧❛r✐❡s
❈♦r♦❧❧❛r② ✼✳ ▲❡t G ❜❡ ❛ st♦✇❡r ✇✐t❤ Ep + El ≥ ✷ ❛♥❞ (Ep, El) = (✶, ✶)✳ ❚❤❡♥ ❛ ♠❛①✐♠✐③❡r ✐s t❤❡ ✏❡q✉✐❧❛t❡r❛❧✑ st♦✇❡r ❣r❛♣❤ ✇✐t❤ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ π
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- E − El
✷
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❆ss✉♠✐♥❣ (E, El) / ∈ {(✷, ✵) , (✸, ✷)} ❡q✉❛❧✐t② ❛❜♦✈❡ ✐♠♣❧✐❡s Γ (G; l) ✐s ❡✐t❤❡r ❛♥ ❡q✉✐❧❛t❡r❛❧ ♠❛♥❞❛r✐♥ ✭El = ✵✮ ♦r ❛♥ ❡q✉✐❧❛t❡r❛❧ st♦✇❡r ✭El ≥ ✵✮✳ ❲❡ ✉s❡ ❈♦r♦❧❧❛r② ✼ ✐♥ ✐ts ♣r♦♦❢✳
SLIDE 44
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✷
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SLIDE 45
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❙✉♠♠❛r②
- ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ❢✉❧❧② s♦❧✈❡❞ ❢♦r ✐♥✜♠✐③❡rs❭♠✐♥✐♠✐③❡rs✳
- ❙✉♣r❡♠✐③❡rs
◮ ■♠♣r♦✈❡❞ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞s ❜② ❝♦♥❞✐t✐♦♥✐♥❣ ♦♥ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❧❡❛✈❡s✱
k✶ ≤ π
- E − El
✷
- ✭❣❧♦❜❛❧✮ ❛♥❞ k✶ ≤ π El
✷ ✭❢♦r tr❡❡s✮✳
◮ ❙✐♠♣❧❡ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣s ❛r❡ ♥❡✈❡r ❜❡tt❡r t❤❛♥ t❤❛t ♦❢ t❤❡ ♠❛♥❞❛r✐♥✳ ◮ ❈♦♥str✉❝t s✉♣r❡♠✐③❡r ❜② ❣❧✉✐♥❣ ❦♥♦✇♥ s✉♣r❡♠✐③❡rs✳
SLIDE 46
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ■♥✜♠✐③❡rs ❙✉♣r❡♠✐③❡rs ❙✉♠♠❛r② ✫ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
❙✉♠♠❛r②
- ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ❢✉❧❧② s♦❧✈❡❞ ❢♦r ✐♥✜♠✐③❡rs❭♠✐♥✐♠✐③❡rs✳
- ❙✉♣r❡♠✐③❡rs
◮ ■♠♣r♦✈❡❞ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞s ❜② ❝♦♥❞✐t✐♦♥✐♥❣ ♦♥ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❧❡❛✈❡s✱
k✶ ≤ π
- E − El
✷
- ✭❣❧♦❜❛❧✮ ❛♥❞ k✶ ≤ π El
✷ ✭❢♦r tr❡❡s✮✳
◮ ❙✐♠♣❧❡ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣s ❛r❡ ♥❡✈❡r ❜❡tt❡r t❤❛♥ t❤❛t ♦❢ t❤❡ ♠❛♥❞❛r✐♥✳ ◮ ❈♦♥str✉❝t s✉♣r❡♠✐③❡r ❜② ❣❧✉✐♥❣ ❦♥♦✇♥ s✉♣r❡♠✐③❡rs✳
SLIDE 47
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❙✉♠♠❛r②
- ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ❢✉❧❧② s♦❧✈❡❞ ❢♦r ✐♥✜♠✐③❡rs❭♠✐♥✐♠✐③❡rs✳
- ❙✉♣r❡♠✐③❡rs
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k✶ ≤ π
- E − El
✷
- ✭❣❧♦❜❛❧✮ ❛♥❞ k✶ ≤ π El
✷ ✭❢♦r tr❡❡s✮✳
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SLIDE 48
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❙✉♠♠❛r②
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k✶ ≤ π
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✷
- ✭❣❧♦❜❛❧✮ ❛♥❞ k✶ ≤ π El
✷ ✭❢♦r tr❡❡s✮✳
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SLIDE 49
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❙✉♠♠❛r②
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k✶ ≤ π
- E − El
✷
- ✭❣❧♦❜❛❧✮ ❛♥❞ k✶ ≤ π El
✷ ✭❢♦r tr❡❡s✮✳
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SLIDE 50
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❙✉♠♠❛r②
❙✉♣r❡♠✐③❡r ❝❛♥❞✐❞❛t❡s ❛r❡ st♦✇❡rs ❛♥❞ ♠❛♥❞❛r✐♥s ✭❛r❡ t❤❡r❡ ❛♥② ♦t❤❡rs❄✮ ⇒ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s ♦♥ s✉♣r❡♠❛❧ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣
- ❡tt✐♥❣ t♦ ❛ st♦✇❡r ❣✐✈❡s π
- β + El
✷
- ✱
✇❤❡r❡ β := E − V + ✶ ✐s t❤❡ ❣r❛♣❤✬s ✜rst ❇❡tt✐ ♥✉♠❜❡r✳
✺ ✸
- ❡tt✐♥❣ t♦ ❛ ♠❛♥❞❛r✐♥✿
P❛rt✐t✐♦♥ ✈❡rt✐❝❡s V = V✶ ∪ V✷✳ E(V✶, V✷) := ★ ♦❢ ❡❞❣❡s ❝♦♥♥❡❝t✐♥❣V✶ t♦ V✷✳ ▼❛①✐♠❛❧ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ❛♠♦♥❣ ❛❧❧ ♠❛♥❞❛r✐♥s ✐s π · ♠❛①V✶,V✷ E(V✶, V✷)✳ ✭❈❤❡❡❣❡r✲❧✐❦❡ ❝♦♥st❛♥t✮
✶ ✷
✹
✶ ✷
✺
❈♦♠♣❛r❡ π
- β + El
✷
- ✭st♦✇❡r✮ ✇✐t❤ π · ♠❛①V✶,V✷ E(V✶, V✷) ✭♠❛♥❞❛r✐♥✮✳
E(V✶, V✷) = β + ✶ − (β✶ + β✷)✱ ✇❤❡r❡ βi ✐s t❤❡ ❇❡tt✐ ♥✉♠❜❡r ♦❢ Vi ❣r❛♣❤✳ ■❢ El ≤ ✶ t❤❡♥ ♠❛♥❞❛r✐♥ ✇✐♥s ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✇❡ ✜♥❞ β✶ = β✷ = ✵✳ ■❢ El ≥ ✷ t❤❡♥ ♠❛♥❞❛r✐♥ ♥❡✈❡r ✇✐♥s ✭♣♦ss✐❜✐❧✐t② ❢♦r ❛ t✐❡✮✳ ▲❡❛❞s t♦ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡s✳✳✳✳
SLIDE 51
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ■♥✜♠✐③❡rs ❙✉♣r❡♠✐③❡rs ❙✉♠♠❛r② ✫ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
❙✉♠♠❛r②
❙✉♣r❡♠✐③❡r ❝❛♥❞✐❞❛t❡s ❛r❡ st♦✇❡rs ❛♥❞ ♠❛♥❞❛r✐♥s ✭❛r❡ t❤❡r❡ ❛♥② ♦t❤❡rs❄✮ ⇒ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s ♦♥ s✉♣r❡♠❛❧ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣
- ❡tt✐♥❣ t♦ ❛ st♦✇❡r ❣✐✈❡s π
- β + El
✷
- ✱
✇❤❡r❡ β := E − V + ✶ ✐s t❤❡ ❣r❛♣❤✬s ✜rst ❇❡tt✐ ♥✉♠❜❡r✳ − →
β = ✺ El = ✸
- ❡tt✐♥❣ t♦ ❛ ♠❛♥❞❛r✐♥✿
P❛rt✐t✐♦♥ ✈❡rt✐❝❡s V = V✶ ∪ V✷✳ E(V✶, V✷) := ★ ♦❢ ❡❞❣❡s ❝♦♥♥❡❝t✐♥❣V✶ t♦ V✷✳ ▼❛①✐♠❛❧ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ❛♠♦♥❣ ❛❧❧ ♠❛♥❞❛r✐♥s ✐s π · ♠❛①V✶,V✷ E(V✶, V✷)✳ ✭❈❤❡❡❣❡r✲❧✐❦❡ ❝♦♥st❛♥t✮
✶ ✷
✹
✶ ✷
✺
❈♦♠♣❛r❡ π
- β + El
✷
- ✭st♦✇❡r✮ ✇✐t❤ π · ♠❛①V✶,V✷ E(V✶, V✷) ✭♠❛♥❞❛r✐♥✮✳
E(V✶, V✷) = β + ✶ − (β✶ + β✷)✱ ✇❤❡r❡ βi ✐s t❤❡ ❇❡tt✐ ♥✉♠❜❡r ♦❢ Vi ❣r❛♣❤✳ ■❢ El ≤ ✶ t❤❡♥ ♠❛♥❞❛r✐♥ ✇✐♥s ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✇❡ ✜♥❞ β✶ = β✷ = ✵✳ ■❢ El ≥ ✷ t❤❡♥ ♠❛♥❞❛r✐♥ ♥❡✈❡r ✇✐♥s ✭♣♦ss✐❜✐❧✐t② ❢♦r ❛ t✐❡✮✳ ▲❡❛❞s t♦ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡s✳✳✳✳
SLIDE 52
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ■♥✜♠✐③❡rs ❙✉♣r❡♠✐③❡rs ❙✉♠♠❛r② ✫ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
❙✉♠♠❛r②
❙✉♣r❡♠✐③❡r ❝❛♥❞✐❞❛t❡s ❛r❡ st♦✇❡rs ❛♥❞ ♠❛♥❞❛r✐♥s ✭❛r❡ t❤❡r❡ ❛♥② ♦t❤❡rs❄✮ ⇒ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s ♦♥ s✉♣r❡♠❛❧ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣
- ❡tt✐♥❣ t♦ ❛ st♦✇❡r ❣✐✈❡s π
- β + El
✷
- ✱
✇❤❡r❡ β := E − V + ✶ ✐s t❤❡ ❣r❛♣❤✬s ✜rst ❇❡tt✐ ♥✉♠❜❡r✳ − →
β = ✺ El = ✸
- ❡tt✐♥❣ t♦ ❛ ♠❛♥❞❛r✐♥✿
P❛rt✐t✐♦♥ ✈❡rt✐❝❡s V = V✶ ∪ V✷✳ E(V✶, V✷) := ★ ♦❢ ❡❞❣❡s ❝♦♥♥❡❝t✐♥❣V✶ t♦ V✷✳ ▼❛①✐♠❛❧ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ❛♠♦♥❣ ❛❧❧ ♠❛♥❞❛r✐♥s ✐s π · ♠❛①V✶,V✷ E(V✶, V✷)✳ ✭❈❤❡❡❣❡r✲❧✐❦❡ ❝♦♥st❛♥t✮ − →
E(V✶, V✷) = ✹
− →
E(V✶, V✷) = ✺
❈♦♠♣❛r❡ π
- β + El
✷
- ✭st♦✇❡r✮ ✇✐t❤ π · ♠❛①V✶,V✷ E(V✶, V✷) ✭♠❛♥❞❛r✐♥✮✳
E(V✶, V✷) = β + ✶ − (β✶ + β✷)✱ ✇❤❡r❡ βi ✐s t❤❡ ❇❡tt✐ ♥✉♠❜❡r ♦❢ Vi ❣r❛♣❤✳ ■❢ El ≤ ✶ t❤❡♥ ♠❛♥❞❛r✐♥ ✇✐♥s ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✇❡ ✜♥❞ β✶ = β✷ = ✵✳ ■❢ El ≥ ✷ t❤❡♥ ♠❛♥❞❛r✐♥ ♥❡✈❡r ✇✐♥s ✭♣♦ss✐❜✐❧✐t② ❢♦r ❛ t✐❡✮✳ ▲❡❛❞s t♦ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡s✳✳✳✳
SLIDE 53
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ■♥✜♠✐③❡rs ❙✉♣r❡♠✐③❡rs ❙✉♠♠❛r② ✫ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
❙✉♠♠❛r②
❙✉♣r❡♠✐③❡r ❝❛♥❞✐❞❛t❡s ❛r❡ st♦✇❡rs ❛♥❞ ♠❛♥❞❛r✐♥s ✭❛r❡ t❤❡r❡ ❛♥② ♦t❤❡rs❄✮ ⇒ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s ♦♥ s✉♣r❡♠❛❧ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣
- ❡tt✐♥❣ t♦ ❛ st♦✇❡r ❣✐✈❡s π
- β + El
✷
- ✱
✇❤❡r❡ β := E − V + ✶ ✐s t❤❡ ❣r❛♣❤✬s ✜rst ❇❡tt✐ ♥✉♠❜❡r✳ − →
β = ✺ El = ✸
- ❡tt✐♥❣ t♦ ❛ ♠❛♥❞❛r✐♥✿
P❛rt✐t✐♦♥ ✈❡rt✐❝❡s V = V✶ ∪ V✷✳ E(V✶, V✷) := ★ ♦❢ ❡❞❣❡s ❝♦♥♥❡❝t✐♥❣V✶ t♦ V✷✳ ▼❛①✐♠❛❧ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ❛♠♦♥❣ ❛❧❧ ♠❛♥❞❛r✐♥s ✐s π · ♠❛①V✶,V✷ E(V✶, V✷)✳ ✭❈❤❡❡❣❡r✲❧✐❦❡ ❝♦♥st❛♥t✮ − →
E(V✶, V✷) = ✹
− →
E(V✶, V✷) = ✺
❈♦♠♣❛r❡ π
- β + El
✷
- ✭st♦✇❡r✮ ✇✐t❤ π · ♠❛①V✶,V✷ E(V✶, V✷) ✭♠❛♥❞❛r✐♥✮✳
E(V✶, V✷) = β + ✶ − (β✶ + β✷)✱ ✇❤❡r❡ βi ✐s t❤❡ ❇❡tt✐ ♥✉♠❜❡r ♦❢ Vi ❣r❛♣❤✳ ■❢ El ≤ ✶ t❤❡♥ ♠❛♥❞❛r✐♥ ✇✐♥s ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✇❡ ✜♥❞ β✶ = β✷ = ✵✳ ■❢ El ≥ ✷ t❤❡♥ ♠❛♥❞❛r✐♥ ♥❡✈❡r ✇✐♥s ✭♣♦ss✐❜✐❧✐t② ❢♦r ❛ t✐❡✮✳ ▲❡❛❞s t♦ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡s✳✳✳✳
SLIDE 54
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ■♥✜♠✐③❡rs ❙✉♣r❡♠✐③❡rs ❙✉♠♠❛r② ✫ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
❙✉♠♠❛r②
- ❡tt✐♥❣ t♦ ❛ st♦✇❡r ❣✐✈❡s π
- β + El
✷
- ✱
✇❤❡r❡ β := E − V + ✶ ✐s t❤❡ ❣r❛♣❤✬s ✜rst ❇❡tt✐ ♥✉♠❜❡r✳ − →
β = ✺ El = ✸
- ❡tt✐♥❣ t♦ ❛ ♠❛♥❞❛r✐♥✿
P❛rt✐t✐♦♥ ✈❡rt✐❝❡s V = V✶ ∪ V✷✳ E(V✶, V✷) := ★ ♦❢ ❡❞❣❡s ❝♦♥♥❡❝t✐♥❣V✶ t♦ V✷✳ ▼❛①✐♠❛❧ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ❛♠♦♥❣ ❛❧❧ ♠❛♥❞❛r✐♥s ✐s π · ♠❛①V✶,V✷ E(V✶, V✷)✳ ✭❈❤❡❡❣❡r✲❧✐❦❡ ❝♦♥st❛♥t✮ − →
E(V✶, V✷) = ✹
− →
E(V✶, V✷) = ✺
❈♦♠♣❛r❡ π
- β + El
✷
- ✭st♦✇❡r✮ ✇✐t❤ π · ♠❛①V✶,V✷ E(V✶, V✷) ✭♠❛♥❞❛r✐♥✮✳
E(V✶, V✷) = β + ✶ − (β✶ + β✷)✱ ✇❤❡r❡ βi ✐s t❤❡ ❇❡tt✐ ♥✉♠❜❡r ♦❢ Vi ❣r❛♣❤✳ ■❢ El ≤ ✶ t❤❡♥ ♠❛♥❞❛r✐♥ ✇✐♥s ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✇❡ ✜♥❞ β✶ = β✷ = ✵✳ ■❢ El ≥ ✷ t❤❡♥ ♠❛♥❞❛r✐♥ ♥❡✈❡r ✇✐♥s ✭♣♦ss✐❜✐❧✐t② ❢♦r ❛ t✐❡✮✳ ▲❡❛❞s t♦ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡s✳✳✳✳
SLIDE 55
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ■♥✜♠✐③❡rs ❙✉♣r❡♠✐③❡rs ❙✉♠♠❛r② ✫ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
- ❙✉♣r❡♠✐③❡r ✐s ❡✐t❤❡r ❛ ♠❛♥❞❛r✐♥ ♦r ❛ st♦✇❡r✳
- ❙✉♣r❡♠✉♠ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇❤❡♥ ♦r❞❡r ♦❢ s②♠♠❡tr② ❣r♦✉♣ ✐s ♠❛①✐♠✐③❡❞✳
- ❙✉♣r❡♠✉♠ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇❤❡♥ ♠✉❧t✐♣❧✐❝✐t② ♦❢ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ✐s ♠❛①✐♠✐③❡❞✳
SLIDE 56
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ■♥✜♠✐③❡rs ❙✉♣r❡♠✐③❡rs ❙✉♠♠❛r② ✫ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
- ❙✉♣r❡♠✐③❡r ✐s ❡✐t❤❡r ❛ ♠❛♥❞❛r✐♥ ♦r ❛ st♦✇❡r✳
- ❙✉♣r❡♠✉♠ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇❤❡♥ ♦r❞❡r ♦❢ s②♠♠❡tr② ❣r♦✉♣ ✐s ♠❛①✐♠✐③❡❞✳
- ❙✉♣r❡♠✉♠ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇❤❡♥ ♠✉❧t✐♣❧✐❝✐t② ♦❢ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ✐s ♠❛①✐♠✐③❡❞✳
SLIDE 57
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ■♥✜♠✐③❡rs ❙✉♣r❡♠✐③❡rs ❙✉♠♠❛r② ✫ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
❈♦♥❥❡❝t✉r❡s
- ❙✉♣r❡♠✐③❡r ✐s ❡✐t❤❡r ❛ ♠❛♥❞❛r✐♥ ♦r ❛ st♦✇❡r✳
- ❙✉♣r❡♠✉♠ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇❤❡♥ ♦r❞❡r ♦❢ s②♠♠❡tr② ❣r♦✉♣ ✐s ♠❛①✐♠✐③❡❞✳
- ❙✉♣r❡♠✉♠ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇❤❡♥ ♠✉❧t✐♣❧✐❝✐t② ♦❢ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ✐s ♠❛①✐♠✐③❡❞✳
SLIDE 58
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ■♥✜♠✐③❡rs ❙✉♣r❡♠✐③❡rs ❙✉♠♠❛r② ✫ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡s