tr ss - - PowerPoint PPT Presentation

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▲❡t n ∈ N✱ ✵ k < n − ✶

▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠

(−✶)ny (✷n) = λδ(k)(x − a), yδ(k)(x − a), x, a ∈ (✵, ✶) y (j)(✵) = y (j)(✶) = ✵, j = ✵, ✶, . . . , n − ✶

◗✉❡st✐♦♥✿ ❢♦r ✇❤❛t a t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ✐s ♠✐♥✐♠❛❧❄

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▲❡t n ∈ N✱ ✵ k < n − ✶

▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠

(−✶)ny (✷n) = λδ(k)(x − a), yδ(k)(x − a), x, a ∈ (✵, ✶) y (j)(✵) = y (j)(✶) = ✵, j = ✵, ✶, . . . , n − ✶

◗✉❡st✐♦♥✿ ❢♦r ✇❤❛t a t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ✐s ♠✐♥✐♠❛❧❄

✷ ✴ ✷✹

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❆♥♦t❤❡r q✉❡st✐♦♥

❋♦r ✇❤❛t a t❤❡ ❡✐❣❡♥❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s s②♠♠❡tr✐❝ ♦✈❡r ✐♥t❡r✈❛❧ [✵; ✶]❄

❚❤❡ ❛♥s✇❡rs ❝❧♦s❡❧② ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡♦r② ♦❢ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ❝♦♥st❛♥ts ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳

✸ ✴ ✷✹

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▲❡t

• W n

✷[−✶; ✶]✖ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡ ✇✐t❤ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s

y (j)(−✶) = y (j)(✶) = ✵✱ j = ✵, ✶, . . . , n − ✶✳ ❚❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ♣r♦❜❧❡♠ ♦♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ❝♦♥st❛♥ts ❢♦r ❉✐r✐❝❤❧❡t ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s Λn,k,p,q := sup f ˚

W k

q [−✶;✶]

f ˚

W n

p [−✶;✶]

, f ∈

• W n

p[−✶; ✶]

• Λn,k,p,q ✐s t❤❡ ♥♦r♠ ♦❢ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ♦♣❡r❛t♦r J :
• W n

p[−✶; ✶] ֒

→

• W k

q[−✶; ✶]✳

✹ ✴ ✷✹

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✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

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▲❡t

• W n

✷[−✶; ✶]✖ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡ ✇✐t❤ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s

y (j)(−✶) = y (j)(✶) = ✵✱ j = ✵, ✶, . . . , n − ✶✳ ❚❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ♣r♦❜❧❡♠ ♦♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ❝♦♥st❛♥ts ❢♦r ❉✐r✐❝❤❧❡t ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s Λn,k,p,q := sup f ˚

W k

q [−✶;✶]

f ˚

W n

p [−✶;✶]

, f ∈

• W n

p[−✶; ✶]

• Λn,k,p,q ✐s t❤❡ ♥♦r♠ ♦❢ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ♦♣❡r❛t♦r J :
• W n

p[−✶; ✶] ֒

→

• W k

q[−✶; ✶]✳

✹ ✴ ✷✹

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▲❡t

• W n

✷[−✶; ✶]✖ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡ ✇✐t❤ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s

y (j)(−✶) = y (j)(✶) = ✵✱ j = ✵, ✶, . . . , n − ✶✳ ❚❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ♣r♦❜❧❡♠ ♦♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ❝♦♥st❛♥ts ❢♦r ❉✐r✐❝❤❧❡t ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s Λn,k,p,q := sup f ˚

W k

q [−✶;✶]

f ˚

W n

p [−✶;✶]

, f ∈

• W n

p[−✶; ✶]

• Λn,k,p,q ✐s t❤❡ ♥♦r♠ ♦❢ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ♦♣❡r❛t♦r J :
• W n

p[−✶; ✶] ֒

→

• W k

q[−✶; ✶]✳

✹ ✴ ✷✹

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❘❡♠❛r❦s ♦♥ ❍✐st♦r②✿ n = ✶✱ k = ✵

p = q = ✷ ❱✳❆✳❙t❡❦❧♦✛✱ ✶✾✵✶ ❆r❜✐tr❛r② p = q✱ ❱✳■✳▲❡✈✐♥✱ ✶✾✸✽ ❆r❜✐tr❛r② p✱ q✱ ❊✳❙❝♠✐❞t✱ ✶✾✹✵

Λ✶,✵,p,q = ✶ ✷ G( ✶

q + ✶ p′)

G( ✶

q)G( ✶ p′), G(s) = Γ(s + ✶)

ss , p′ = p p − ✶ Λ✶,✵,p,q = ✶ ✷ (✶/q)✶/q(✶/p′)✶/p′ (✶/q + ✶/p′)✶/q+✶/p′ Γ(✶/q + ✶/p′ + ✶) Γ(✶/q + ✶)Γ(✶/p′ + ✶)

✺ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

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❘❡♠❛r❦s ♦♥ ❍✐st♦r②✿ n = ✶✱ k = ✵

p = q = ✷ ❱✳❆✳❙t❡❦❧♦✛✱ ✶✾✵✶ ❆r❜✐tr❛r② p = q✱ ❱✳■✳▲❡✈✐♥✱ ✶✾✸✽ ❆r❜✐tr❛r② p✱ q✱ ❊✳❙❝♠✐❞t✱ ✶✾✹✵

Λ✶,✵,p,q = ✶ ✷ G( ✶

q + ✶ p′)

G( ✶

q)G( ✶ p′), G(s) = Γ(s + ✶)

ss , p′ = p p − ✶ Λ✶,✵,p,q = ✶ ✷ (✶/q)✶/q(✶/p′)✶/p′ (✶/q + ✶/p′)✶/q+✶/p′ Γ(✶/q + ✶/p′ + ✶) Γ(✶/q + ✶)Γ(✶/p′ + ✶)

✺ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

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❘❡♠❛r❦s ♦♥ ❍✐st♦r②✿ n = ✶✱ k = ✵

p = q = ✷ ❱✳❆✳❙t❡❦❧♦✛✱ ✶✾✵✶ ❆r❜✐tr❛r② p = q✱ ❱✳■✳▲❡✈✐♥✱ ✶✾✸✽ ❆r❜✐tr❛r② p✱ q✱ ❊✳❙❝♠✐❞t✱ ✶✾✹✵

Λ✶,✵,p,q = ✶ ✷ G( ✶

q + ✶ p′)

G( ✶

q)G( ✶ p′), G(s) = Γ(s + ✶)

ss , p′ = p p − ✶ Λ✶,✵,p,q = ✶ ✷ (✶/q)✶/q(✶/p′)✶/p′ (✶/q + ✶/p′)✶/q+✶/p′ Γ(✶/q + ✶/p′ + ✶) Γ(✶/q + ✶)Γ(✶/p′ + ✶)

✺ ✴ ✷✹

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✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

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❘❡♠❛r❦s ♦♥ ❍✐st♦r②✿ n = ✶✱ k = ✵

p = q = ✷ ❱✳❆✳❙t❡❦❧♦✛✱ ✶✾✵✶ ❆r❜✐tr❛r② p = q✱ ❱✳■✳▲❡✈✐♥✱ ✶✾✸✽ ❆r❜✐tr❛r② p✱ q✱ ❊✳❙❝♠✐❞t✱ ✶✾✹✵

Λ✶,✵,p,q = ✶ ✷ G( ✶

q + ✶ p′)

G( ✶

q)G( ✶ p′), G(s) = Γ(s + ✶)

ss , p′ = p p − ✶ Λ✶,✵,p,q = ✶ ✷ (✶/q)✶/q(✶/p′)✶/p′ (✶/q + ✶/p′)✶/q+✶/p′ Γ(✶/q + ✶/p′ + ✶) Γ(✶/q + ✶)Γ(✶/p′ + ✶)

✺ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

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✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

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❘❡♠❛r❦s ♦♥ ❍✐st♦r②✿ n = ✶✱ k = ✵

p = q = ✷ ❱✳❆✳❙t❡❦❧♦✛✱ ✶✾✵✶ ❆r❜✐tr❛r② p = q✱ ❱✳■✳▲❡✈✐♥✱ ✶✾✸✽ ❆r❜✐tr❛r② p✱ q✱ ❊✳❙❝♠✐❞t✱ ✶✾✹✵

Λ✶,✵,p,q = ✶ ✷ G( ✶

q + ✶ p′)

G( ✶

q)G( ✶ p′), G(s) = Γ(s + ✶)

ss , p′ = p p − ✶ Λ✶,✵,p,q = ✶ ✷ (✶/q)✶/q(✶/p′)✶/p′ (✶/q + ✶/p′)✶/q+✶/p′ Γ(✶/q + ✶/p′ + ✶) Γ(✶/q + ✶)Γ(✶/p′ + ✶)

✺ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

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✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

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❈♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ♦❢ ❤✐st♦r②✿ n = ✷✱ k = ✶

❆✳■✳◆❛③❛r♦✈✱ ✷✵✵✷

Λ✷,✶,p,q = Λ✶,✵,p,q ✷ , q ✸p

✻ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

❙♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡✿ ✵ k n − ✶✱ p = ✷✱ q = ∞✳

❲❡ st✉❞② ❢✉♥❝t✐♦♥s An,k(x) ✖ t❤❡ ❜❡st ✈❛❧✉❡s ✐♥ t❤❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s |f (k)(x)| An,k(x)f ˚

W n

✷ [−✶;✶].

❚❤❡ ❜❡st ❡st✐♠❛t✐♦♥s✿

Λn,k := sup

x∈[−✶;✶]

An,k(x)

✼ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

❙♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡✿ ✵ k n − ✶✱ p = ✷✱ q = ∞✳

❲❡ st✉❞② ❢✉♥❝t✐♦♥s An,k(x) ✖ t❤❡ ❜❡st ✈❛❧✉❡s ✐♥ t❤❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s |f (k)(x)| An,k(x)f ˚

W n

✷ [−✶;✶].

❚❤❡ ❜❡st ❡st✐♠❛t✐♦♥s✿

Λn,k := sup

x∈[−✶;✶]

An,k(x)

✼ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

❙♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡✿ ✵ k n − ✶✱ p = ✷✱ q = ∞✳

❲❡ st✉❞② ❢✉♥❝t✐♦♥s An,k(x) ✖ t❤❡ ❜❡st ✈❛❧✉❡s ✐♥ t❤❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s |f (k)(x)| An,k(x)f ˚

W n

✷ [−✶;✶].

❚❤❡ ❜❡st ❡st✐♠❛t✐♦♥s✿

Λn,k := sup

x∈[−✶;✶]

An,k(x)

✼ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

• ✳ ❑❛❧②❛❜✐♥✱ ✷✵✶✵✳ A✷

n,✵ A✷

n,✵(x) =

(✶ − x✷)✷n−✶ ✷✷n−✶(✷n − ✶)Γ✷(n).

♠❛① ❛t ♣♦✐♥t x = ✵

Λ✷

n,✵ = A✷ n,✵(✵) =

✶ ✷✷n−✶(✷n − ✶)Γ✷(n).

✽ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

• ✳ ❑❛❧②❛❜✐♥✱ ✷✵✶✵✳ A✷

n,✵ A✷

n,✵(x) =

(✶ − x✷)✷n−✶ ✷✷n−✶(✷n − ✶)Γ✷(n).

♠❛① ❛t ♣♦✐♥t x = ✵

Λ✷

n,✵ = A✷ n,✵(✵) =

✶ ✷✷n−✶(✷n − ✶)Γ✷(n).

✽ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

• ✳ ❑❛❧②❛❜✐♥✱ ✷✵✶✵✳ A✷

n,✵ A✷

n,✵(x) =

(✶ − x✷)✷n−✶ ✷✷n−✶(✷n − ✶)Γ✷(n).

♠❛① ❛t ♣♦✐♥t x = ✵

Λ✷

n,✵ = A✷ n,✵(✵) =

✶ ✷✷n−✶(✷n − ✶)Γ✷(n).

✽ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

• ✳ ❑❛❧②❛❜✐♥✱ ✷✵✶✵✳ A✷

n,✶ A✷

n,✶(x) = A✷ n−✶,✵(✶ − x✷)✷n−✸

✹(n − ✶)✷ (✶ + x✷(✷n − ✶)(✷n − ✸)).

♠❛① ❛t ♣♦✐♥ts x = ±

✶ √✷n−✶

Λ✷

n,✶ =

✷n − ✷ ✷n − ✶ ✷n−✸ · ✶ ✷✷n−✸(✷n − ✸)(✷n − ✷)Γ✷(n − ✶).

✾ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

• ✳ ❑❛❧②❛❜✐♥✱ ✷✵✶✵✳ A✷

n,✶ A✷

n,✶(x) = A✷ n−✶,✵(✶ − x✷)✷n−✸

✹(n − ✶)✷ (✶ + x✷(✷n − ✶)(✷n − ✸)).

♠❛① ❛t ♣♦✐♥ts x = ±

✶ √✷n−✶

Λ✷

n,✶ =

✷n − ✷ ✷n − ✶ ✷n−✸ · ✶ ✷✷n−✸(✷n − ✸)(✷n − ✷)Γ✷(n − ✶).

✾ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

• ✳ ❑❛❧②❛❜✐♥✱ ✷✵✶✵✳ A✷

n,✶ A✷

n,✶(x) = A✷ n−✶,✵(✶ − x✷)✷n−✸

✹(n − ✶)✷ (✶ + x✷(✷n − ✶)(✷n − ✸)).

♠❛① ❛t ♣♦✐♥ts x = ±

✶ √✷n−✶

Λ✷

n,✶ =

✷n − ✷ ✷n − ✶ ✷n−✸ · ✶ ✷✷n−✸(✷n − ✸)(✷n − ✷)Γ✷(n − ✶).

✾ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

• ✳ ❑❛❧②❛❜✐♥✱ ✷✵✶✵✳ A✷

n,✷ A✷

n,✷(x) =

(✶ − x✷)✷n−✺ ✷✷n−✺((n − ✸)!)✷·

• ✶

✷n − ✺ − (✶ − x✷)(n − ✶.✺) + x✷(n − ✵.✺)) ✷(n − ✷)✷

• ♠❛① ❛t ♣♦✐♥t x = ✵

Λ✷

n,✷ = A✷ n,✷(✵) =

✶ ✷✷n−✸(✷n − ✺)((n − ✷)!)✷

✶✵ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

• ✳ ❑❛❧②❛❜✐♥✱ ✷✵✶✵✳ A✷

n,✷ A✷

n,✷(x) =

(✶ − x✷)✷n−✺ ✷✷n−✺((n − ✸)!)✷·

• ✶

✷n − ✺ − (✶ − x✷)(n − ✶.✺) + x✷(n − ✵.✺)) ✷(n − ✷)✷

• ♠❛① ❛t ♣♦✐♥t x = ✵

Λ✷

n,✷ = A✷ n,✷(✵) =

✶ ✷✷n−✸(✷n − ✺)((n − ✷)!)✷

✶✵ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

▲❡❣❡♥❞r❡ ♣♦❧✐♥♦♠✐❛❧s

❘♦❞r✐❣✉❡s✬ ❢♦r♠✉❧❛

Pn(x) = ✶

n! ✶ ✷n ((x✷ − ✶)n)(n)

P(−m)

n

(x) = ✶

n! ✶ ✷n ((x✷ − ✶)n)(n−m)

❑❛❧②❛❜✐♥✱ ✷✵✶✵

A✷

n,k(x) = A✷ n−k,✵ − n−✶

• j=n−k

(P(k−n)

j

(x))✷(j + ✵.✺)

✶✶ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

▲❡❣❡♥❞r❡ ♣♦❧✐♥♦♠✐❛❧s

❘♦❞r✐❣✉❡s✬ ❢♦r♠✉❧❛

Pn(x) = ✶

n! ✶ ✷n ((x✷ − ✶)n)(n)

P(−m)

n

(x) = ✶

n! ✶ ✷n ((x✷ − ✶)n)(n−m)

❑❛❧②❛❜✐♥✱ ✷✵✶✵

A✷

n,k(x) = A✷ n−k,✵ − n−✶

• j=n−k

(P(k−n)

j

(x))✷(j + ✵.✺)

✶✶ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

▲❡❣❡♥❞r❡ ♣♦❧✐♥♦♠✐❛❧s

❘♦❞r✐❣✉❡s✬ ❢♦r♠✉❧❛

Pn(x) = ✶

n! ✶ ✷n ((x✷ − ✶)n)(n)

P(−m)

n

(x) = ✶

n! ✶ ✷n ((x✷ − ✶)n)(n−m)

❑❛❧②❛❜✐♥✱ ✷✵✶✵

A✷

n,k(x) = A✷ n−k,✵ − n−✶

• j=n−k

(P(k−n)

j

(x))✷(j + ✵.✺)

✶✶ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

❊✳❱✳▼✉❦♦s❡❡✈❛✱ ❆✳■✳◆❛③❛r♦✈✱ ✷✵✶✹✳ A✷

n,✹✱ A✷ n,✻❄❄❄ Λ✷

n,✹ =

✶ ✷✷n−✹((n − ✸)!)✷ ✸(✹n✷ − ✷✹n + ✸✾) ✷(✷n − ✾) Λ✷

n,✻ =

✶ ✷✷n−✹((n − ✹)!)✷· ✶✾✷n✹ − ✸✹✺✻n✸ + ✷✸✸✼✷n✷ − ✼✵✷✹✵n + ✼✾✵✻✺) ✷(✷n − ✶✸)

✶✷ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

❊✳❱✳▼✉❦♦s❡❡✈❛✱ ❆✳■✳◆❛③❛r♦✈✱ ✷✵✶✹✳ A✷

n,✹✱ A✷ n,✻❄❄❄ Λ✷

n,✹ =

✶ ✷✷n−✹((n − ✸)!)✷ ✸(✹n✷ − ✷✹n + ✸✾) ✷(✷n − ✾) Λ✷

n,✻ =

✶ ✷✷n−✹((n − ✹)!)✷· ✶✾✷n✹ − ✸✹✺✻n✸ + ✷✸✸✼✷n✷ − ✼✵✷✹✵n + ✼✾✵✻✺) ✷(✷n − ✶✸)

✶✷ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

▼♦❞✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❑❛❧②❛❜✐♥✬s ❢♦r♠✉❧❛✱ ●❛r♠❛♥♦✈❛✱ ✷✵✶✽

A✷

n,k(x) = A✷ n−✶,k−✶(x) − (P(k−n) n−✶ (x))✷(n − ✵.✺)

A✷

n,k(x) =

= A✷

n−✷,k−✷(x) − (P(k−n) n−✷ (x))✷(n − ✶.✺) − (P(k−n) n−✶ (x))✷(n − ✵.✺)

✶✸ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

▼♦❞✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❑❛❧②❛❜✐♥✬s ❢♦r♠✉❧❛✱ ●❛r♠❛♥♦✈❛✱ ✷✵✶✽

A✷

n,k(x) = A✷ n−✶,k−✶(x) − (P(k−n) n−✶ (x))✷(n − ✵.✺)

A✷

n,k(x) =

= A✷

n−✷,k−✷(x) − (P(k−n) n−✷ (x))✷(n − ✶.✺) − (P(k−n) n−✶ (x))✷(n − ✵.✺)

✶✸ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

A✷

n,✸✱ [✵; ✶]❀ t = x✷ − x✱ ❙❤✱ ✷✵✶✾ A✷

n,✸(t) =

−t✷n−✼ ((n − ✷)!)✷(✷n − ✼)· (✹(✷n − ✶)(✷n − ✸)✷(✷n − ✼)t✸+ + ✶✷(n − ✶)(n − ✷)(✷n − ✸)(✷n − ✼)t✷+ + ✸(n − ✷)✷(✷n − ✸)(✷n − ✼)t + (n − ✷)✷(n − ✸)✷).

♠❛① ❛t ♣♦✐♥t t = −(n − ✷)(✷n − ✸) −

• ✸(n − ✷)(✷n − ✸)

✷(✷n − ✶)(✷n − ✸)

✶✹ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

A✷

n,✸✱ [✵; ✶]❀ t = x✷ − x✱ ❙❤✱ ✷✵✶✾ A✷

n,✸(t) =

−t✷n−✼ ((n − ✷)!)✷(✷n − ✼)· (✹(✷n − ✶)(✷n − ✸)✷(✷n − ✼)t✸+ + ✶✷(n − ✶)(n − ✷)(✷n − ✸)(✷n − ✼)t✷+ + ✸(n − ✷)✷(✷n − ✸)(✷n − ✼)t + (n − ✷)✷(n − ✸)✷).

♠❛① ❛t ♣♦✐♥t t = −(n − ✷)(✷n − ✸) −

• ✸(n − ✷)(✷n − ✸)

✷(✷n − ✶)(✷n − ✸)

✶✹ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

❈♦♥st❛♥t Λ✷

n,✸

• (n − ✷)(✷n − ✸) +
• (n − ✷)(✷n − ✸)

(✷n − ✶)(✷n − ✸) ✷n−✼ · (n − ✷)

• ✸(n − ✷)(✷n − ✺) −

√ ✸(✷n − ✼)

• (n − ✷)(✷n − ✸)
• ✹n−✸((n − ✷)!)✷(✷n − ✶)✷(✷n − ✼)

.

✶✺ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

A✷

n,✺✱ [✵; ✶]❀ t = x✷ − x✱ ●❛r♠❛♥♦✈❛✱ ❙❤✱ ✷✵✶✾ A✷

n,✺ =

−t✷n−✶✶ ((n − ✸)!)✷(✷n − ✶✶)·

• ✶✻(✷n − ✶)(✷n − ✸)✷(✷n − ✺)✷(✷n − ✶✶)t✺+

+ ✽✵(n − ✶)(n − ✸)(✷n − ✸)(✷n − ✺)✷(✷n − ✶✶)t✹+ + ✹✵(n − ✷)(n − ✸)(✷n − ✸)(✷n − ✺)(✷n − ✼)(✷n − ✶✶)t✸+ + ✹✵(n − ✷)(n − ✸)✷(n − ✹)(✷n − ✺)(✷n − ✶✶)t✷+ +✺(n − ✸)✷(n − ✹)✷(✷n − ✺)(✷n − ✶✶)t + (n − ✸)✷(n − ✹)✷(n − ✺)✷ .

✶✻ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

A✷

n,✺✱ [✵; ✶]❀ t = x✷ − x✱ ●❛r♠❛♥♦✈❛✱ ❙❤✱ ✷✵✶✾ A✷

n,✺ =

−t✷n−✶✶ ((n − ✸)!)✷(✷n − ✶✶)·

• ✶✻(✷n − ✶)(✷n − ✸)✷(✷n − ✺)✷(✷n − ✶✶)t✺+

+ ✽✵(n − ✶)(n − ✸)(✷n − ✸)(✷n − ✺)✷(✷n − ✶✶)t✹+ + ✹✵(n − ✷)(n − ✸)(✷n − ✸)(✷n − ✺)(✷n − ✼)(✷n − ✶✶)t✸+ + ✹✵(n − ✷)(n − ✸)✷(n − ✹)(✷n − ✺)(✷n − ✶✶)t✷+ +✺(n − ✸)✷(n − ✹)✷(✷n − ✺)(✷n − ✶✶)t + (n − ✸)✷(n − ✹)✷(n − ✺)✷ .

✶✻ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

♠❛① ❛t ♣♦✐♥t t✶

t✶ = − n − ✸ ✷(✷n − ✶) −

• ✺(n − ✸)

(✷n − ✶)√✷n − ✸ cos ϕ ✸ − π ✸

• cos ϕ = ✷n − ✶✶

✷n − ✺ √✷n − ✸

• ✺(n − ✸)

, sin ϕ = ✷n − ✶ ✷n − ✺

• ✸(n − ✹)
• ✺(n − ✸)

.

✶✼ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

♠❛① ❛t ♣♦✐♥t t✶

t✶ = − n − ✸ ✷(✷n − ✶) −

• ✺(n − ✸)

(✷n − ✶)√✷n − ✸ cos ϕ ✸ − π ✸

• cos ϕ = ✷n − ✶✶

✷n − ✺ √✷n − ✸

• ✺(n − ✸)

, sin ϕ = ✷n − ✶ ✷n − ✺

• ✸(n − ✹)
• ✺(n − ✸)

.

✶✼ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶

❈♦♥st❛♥t Λ✷

n,✺✱

B := ✷

• ✺(n − ✸) cos ϕ✶ + (n − ✸)√✷n − ✸✳

✶ ✷✷n−✶✶

• B

(✷n − ✶)√✷n − ✸ ✷n−✶✶ (n − ✸)✷(n − ✹)✷(n − ✺)✷+ + ✺(n − ✸)✷(n − ✹)✷(✷n − ✺)(✷n − ✶✶) · B ✷(✷n − ✶)√✷n − ✸ − − ✶✵(n − ✷)(n − ✸)✷(n − ✹)(✷n − ✺)(✷n − ✶✶) · B✷ (✷n − ✶)✷(✷n − ✸) + + ✶✵(n − ✷)✷(n − ✸)(✷n − ✺)(✷n − ✼)(✷n − ✶✶) · B✸ (✷n − ✶)✸(✷n − ✸)√✷n − ✸ − − ✺(n − ✶)(n − ✸)(✷n − ✺)✷(✷n − ✶✶) · B✹ (✷n − ✶)✹(✷n − ✸) + (✷n − ✺)✷ · B✺ ✷(✷n − ✶)✹√✷n − ✸

• .

✶✽ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

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✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

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❋♦r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥ A✷

n,k(x) t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉❛❧✐t② ✐s ✈❛❧✐❞

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n,k) = −P(k−n+✶) n−✶

· P(k−n+✶)

n

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❚❤❡♦r❡♠✱ ●❛r♠❛♥♦✈❛✱ ❙❤✱ ✷✵✶✾

❚❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ A✷

n,k ❛t t❤❡ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❧♦❝❛❧ ♠❛①✐♠✉♠s ❧②✐♥❣ ♦♥

t❤❡ s❡❣♠❡♥t [−✶, ✵] ❢♦r♠ ❛ ♥♦♥✲❞❡❝r❡❛s✐♥❣ s❡q✉❡♥❝❡✱ ❛♥❞ ❛t t❤❡ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❧♦❝❛❧ ♠❛①✐♠✉♠s ❧②✐♥❣ ♦♥ t❤❡ s❡❣♠❡♥t [✵, ✶] ✖ ❛ ♥♦♥✲❣r♦✇✐♥❣ s❡q✉❡♥❝❡ ✭s❡❡ ❋✐❣✳✮✳

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✻,✹

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y −✶ ✶ ✵ A✷

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✷✵ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

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✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

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❚❤❡♦r❡♠✱ ●❛r♠❛♥♦✈❛✱ ❙❤✱ ✷✵✶✾

❋♦r ❡✈❡♥ k t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ♠❛①✐♠✉♠ ♦❢ A✷

n,k(x) ♦♥ ✐♥t❡r✈❛❧ [−✶; ✶] ✐s

❛t ♣♦✐♥t x = ✵ ✭t = −✶✮✳ ❋♦r ♦❞❞ k ♣♦✐♥t x = ✵ ✐s ❧♦❝❛❧ ♠✐♥✐♠✉♠✳

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❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

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Λ✷

n,k✱ ❛r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ k

❚❤❡♦r❡♠

❚❤❡ ♣r❡❝✐s❡ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ❝♦♥st❛♥ts ♦♥ ✐♥t❡r✈❛❧ [−✶; ✶] ✇❤✐❧❡ k = ✷l✱ l = ✵, ✶, . . . ❛r❡ Λ✷

n,k = A✷ n,k(✵) =

((k − ✶)!!)✷ ✷✷n−k−✶((n − (k/✷) − ✶)!)✷(✷n − ✷k − ✶).

✷✷ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

• ❛r♠❛♥♦✈❛✮

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

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❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s

A−✷

n,k,✷,∞(a) ❝♦✐♥❝✐❞❡s ✇✐t❤ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠

(−✶)ny (✷n) = λ(−✶)ky (k)(a)δ(k)(x − a) = λδ(k)(x − a), yδ(k)(x − a) y (j)(−✶) = y (j)(✶) = ✵, j = ✵, ✶, . . . , n − ✶ Λ−✷

n,k,✷,∞ ✐s ♠✐♥✐♠❛❧ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ❢♦r ♣❛r❛♠❡t❡r a✳

✷✸ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

✷

✶ ❆r❜✐tr❛r② ❡✈❡♥ ✱ ✶ ✶ ❀

✷

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❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s

A−✷

n,k,✷,∞(a) ❝♦✐♥❝✐❞❡s ✇✐t❤ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠

(−✶)ny (✷n) = λ(−✶)ky (k)(a)δ(k)(x − a) = λδ(k)(x − a), yδ(k)(x − a) y (j)(−✶) = y (j)(✶) = ✵, j = ✵, ✶, . . . , n − ✶ Λ−✷

n,k,✷,∞ ✐s ♠✐♥✐♠❛❧ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ❢♦r ♣❛r❛♠❡t❡r a✳

✷✸ ✴ ✷✹

❖♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r② ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ s♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■❣♦r ❙❤❡✐♣❛❦ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❚❛t✐❛♥❛

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆❡✇ r❡s✉❧ts✱ ✸✱ ✺ ❆r❜✐tr❛r②✱ ✶ ✶ ❀

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