t dt = 2 t t dt t t dt 1 erf x e 0 0 - - PowerPoint PPT Presentation

SLIDE 1

1

• G. Ahmadi

ME 639-Turbulence

! ! Special Functions Special Functions ! ! Differential Equations Differential Equations ! ! Fourier Series and Transforms Fourier Series and Transforms ! ! Probability and Random Processes Probability and Random Processes ! ! Linear System Analysis Linear System Analysis

• G. Ahmadi

ME 639-Turbulence

Unit Step Function Unit Step Function

( )

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = − t t t t 1 t t u

u(t-to) to

Dirac Delta Function Dirac Delta Function

( ) ( )

dt t t du t t − = − δ

δ(t-to) to

• G. Ahmadi

ME 639-Turbulence

( ) ( )

1 dt t t dt t t

t t

= − δ = − δ

∫ ∫

ε + ε − +∞ ∞ −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t t

t f dt t t t f dt t t t f = − δ = − δ

∫ ∫

ε + ε − +∞ ∞ −

( ) ( ) ( ) ( )

t 1 1 1

t t u t f dt t t t f − = − δ

∫ ∞

−

( ) [ ] ( )

t t a 1 t t a − δ = − δ

• G. Ahmadi

ME 639-Turbulence

Error Function Error Error Function Function

( )

∫

−

π =

x t dt

e 2 x erf

2

( ) ( )

∫

∞ −

π = − =

x t dt

e 2 x erf 1 x erfc

2

( ) ( )

∞ = = erfc erf

( ) ( )

x erf x erf − = −

( ) ∫

∞ −

=

1 xt n

dt t e x E

Exponential Integrals Exponential Exponential Integrals Integrals

( ) ∫ ∞

−

=

x t i

dt t e x E

SLIDE 2

2

• G. Ahmadi

ME 639-Turbulence

( )

( ) ( )

∫ ∫

∞ + ∞ − ∞ + ∞ − ′ − ω

ω ′ ′ π = d x d x f e 2 1 x f

x x i

( ) ( )

∫

+∞ ∞ − ′ ω −

′ ′ = ω x d x f e f

x i

( ) ( )

∫

∞ + ∞ − ω

ω ω π = d f e 2 1 x f

x i

Fourier Integral Representation Fourier Integral Representation Fourier Integral Representation Fourier Transform (Exponential) Fourier Transform (Exponential) Fourier Transform (Exponential)

• G. Ahmadi

ME 639-Turbulence

( ) ( )

ω ω = = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ℑ

∫

∞ + ∞ − ω −

f i dx dx x df e dx df

x i

( )

ω ω − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ℑ f dx f d

2 2 2

( ) ( )

ω ω = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ℑ f i dx f d

n n n

• G. Ahmadi

ME 639-Turbulence

( )

2 2

x x bf dx df a dx f d − δ = + + +∞ < < ∞ − x

( ) ( ) ( )

x i 2

e f b f ai f

ω −

= ω + ω ω + ω ω −

Taking Fourier Transform Taking Fourier Transform Taking Fourier Transform

( )

ω + ω − = ω

ω −

ia b e f

2 x i

( )

( )

∫

∞ + ∞ − − ω

ω ω + ω − π = d ia b e 2 1 x f

2 x x i

• G. Ahmadi

ME 639-Turbulence

( ) ( ) ( ) ( )

∫

+∞ ∞ −

ξ ξ − ξ = d x f f x f * x f

2 1 2 1

( ) ( )

ω ω

2 1

f f

( )

x x − δ

x i

e

ω −

x

e

α −

2 2

2 α + ω α

x cos ω ( ) ( ) [ ]

ω + ω δ + ω − ω δ π x cos e

x

β

α −

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 ω α + α − β − ω β + α + ω α

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ β β α + β

α −

x sin x cos e

x

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2

4 4 ω α + α − β − ω β + α α

( )

x f ( )

ω f ( )

1

x x f +

( )

ω

ω f

e

x i

SLIDE 3

3

• G. Ahmadi

ME 639-Turbulence

x cos e

2 2x

β

α −

( ) ( )

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ α β − ω − + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ α β + ω − α π

2 2 2 2

4 exp 4 exp 2

( )

x f

( )

ω f

2 2x

e α

−

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ α ω − α π

2 2

4 exp

( )

x dx d

n n

δ

( )

n

iω

( )

x J0

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ω ω − elsewhere 1 1 2

2

• G. Ahmadi

ME 639-Turbulence

FY(y) y 1

( ) { }

y Y P y F

Y

≤ =

( )

1 y F

Y

≤ ≤

• G. Ahmadi

ME 639-Turbulence

fY(y) y

( ) ( )

dy y dF y f

Y Y

=

( ) ( )

∫

+∞ ∞ −

= = ∞ dy y f 1 F

Y Y

{ } ( ) ( ) ( )

1 Y 2 Y y y Y 2 1

y F y F dy y f y Y y P

2 1

− = = ≤ <

∫

• G. Ahmadi

ME 639-Turbulence

{ } ( )

∫

+∞ ∞ −

= = dy y yf Y Y E

Y

( ) { } ( ) ( ) ( )

∫

+∞ ∞ −

= = dy y f y g Y g Y g E

Y

( )

{ }

{ }

2 2 2 2 Y

Y Y E Y Y E − = − = σ

Expected Value Expected Expected Value Value Variance Variance Variance

SLIDE 4

4

• G. Ahmadi

ME 639-Turbulence

X(t) t

( ) { } ( )

∫

+∞ ∞ −

= dx t , x xf t X E

X

• G. Ahmadi

ME 639-Turbulence

( ) ( ) ( ) { }

t X E dt t X T 1 t X

T

≈ = ∫

( ) ( ) ( ) { } ( ) ( )

∫

τ + = τ + = τ

T xx

dt t X t X T 1 t X t X E R

( ) ( )

{ }

( )

t X t X E R

2 2 xx

= = Time Averaging Time Time Averaging Averaging Autocorrelation Autocorrelation Autocorrelation

• G. Ahmadi

ME 639-Turbulence

( ) ( )

∫

+∞ ∞ − ωτ −

τ τ = ω d R e S

xx i xx

( ) ( )

∫

∞ + ∞ − ωτ

ω ω π = τ d S e 2 1 R

xx i xx

( ) ( )

2 xx

X ~ T 1 S ω = ω

( ) ( )

∫

+∞ ∞ − ω −

= ω dt t X e X ~

t i

• G. Ahmadi

ME 639-Turbulence

f(t) X(t)

( ) ( )

ω H t h ( ) ( ) ( )

∫

τ τ τ − =

t

d f t h t X

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t f * t h d f t h t X = τ τ τ − = ∫

+∞ ∞ −

h(t)=Impulse Response h(t)=Impulse Response h(t)=Impulse Response H(ω)=System Function H( H(ω ω)=System Function )=System Function

( ) ( )

∫

+∞ ∞ − ω −

= ω dt t h e H

t i

SLIDE 5

5

• G. Ahmadi

ME 639-Turbulence

( ) ( ) ( )

ω ω = ω f ~ H x ~

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ω ω = ω ω = ω = ω

ff 2 2 2 2 xx

S H f H T 1 x T 1 S

( ) ( ) ( )

ω ω = ω

ff 2 xx

S H S

Fourier Transform Fourier Fourier Transform Transform Spectral Relationship Spectral Spectral Relationship Relationship

• G. Ahmadi

ME 639-Turbulence

( )

t f x x = α + &

( )

t

e t h

α −

=

( )

t f x x 2 x

2

= ω + ζω + & & &

( )

t sin e 1 t h

d t d

ω ω =

ζω −

2 d

1 ζ − ω = ω

• G. Ahmadi

ME 639-Turbulence

( )

t n x x = α + &

i 1 i i 1 i

n x t x x = α + ∆ −

+ +

) t ( x x

i i = i i 1 i

n t 1 t x t 1 1 x ∆ α + ∆ + ∆ α + =

+

Finite difference

1 t for n t x x

i i 1 i

<< ∆ α ∆ + =

+

1 t for n 1 x t 1 x

i i 1 i

>> ∆ α α + ∆ α =

+

• G. Ahmadi

ME 639-Turbulence

• 3
• 2.5
• 2
• 1.5
• 1
• 0.5

0.5 1 1.5 2 2.5 3 White Noise 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 Time (s)