Second quan+za+on 1 Occupa+on number representa+on for - - PowerPoint PPT Presentation

Second ¡quan+za+on ¡

Occupa+on ¡number ¡representa+on ¡for ¡independent ¡indis+nguishable ¡par+cles ¡

H| νi = ✏ν| νi

sta+onary ¡states ¡

¡ ¡

Hilbert ¡space ¡of ¡N ¡par+cles ¡ ¡ ¡ QN

Fock ¡space ¡

F =

∞

M

n=0

Qn

crea+on ¡/ ¡annihila+on ¡operators ¡

|nν1, nν2, . . . , nν, . . . i

N = X

ν

nν

E = X

ν

✏νnν

number ¡of ¡partcles ¡in ¡state ¡ ¡|ψνi

ˆ a†

ν : QN → QN+1

ˆ aν : QN → QN−1 ˆ a†

ν|nν1, . . . , nν, . . . i =

p nν + 1|nν1, . . . , nν + 1, . . . i

ˆ aν|nν1, . . . , nν, . . . i = pnν|nν1, . . . , nν 1, . . . i

1 ¡

Second ¡quan+za+on ¡

crea+on ¡/ ¡annihila+on ¡operators ¡

ˆ a†

ν : QN → QN+1

ˆ aν : QN → QN−1 ˆ a†

ν|nν1, . . . , nν, . . . i =

p nν + 1|nν1, . . . , nν + 1, . . . i

ˆ aν|nν1, . . . , nν, . . . i = pnν|nν1, . . . , nν 1, . . . i

Bosons: ¡ ¡ [ˆ

aν, ˆ a†

ν0] = δνν0

[ˆ aν, ˆ aν0] = [ˆ a†

ν, ˆ

a†

ν0] = 0 |nν1, . . . , nν, . . . i = · · · (ˆ a†

ν)nν · · · (ˆ

a†

ν1)nν1

p nν1! · · · |0i

Fermions: ¡ {ˆ

aν, ˆ a†

ν0} = δνν0

{ˆ aν, ˆ aν0} = {ˆ a†

ν, ˆ

a†

ν0} = 0

|nν1, . . . , nν, . . . i = · · · (ˆ a†

ν)nν · · · (ˆ

a†

ν1)nν1 |0i

2 ¡

Second ¡quan+za+on ¡

ˆ nν = ˆ a†

νˆ

aν

number ¡operator ¡of ¡state ¡|ψνi H = X

ν

✏νˆ nν = X

ν

✏νˆ a†

νˆ

aν ˆ N = X

ν

ˆ nν = X

ν

ˆ a†

νˆ

aν

field ¡operators ¡

ν(~ r) = h~ r| νi

ˆ Ψ(~ r) = X

ν

ν(~ r)ˆ aν ˆ Ψ(~ r)† = X

ν

∗

ν(~

r)ˆ a†

ν

single-­‑par+cle ¡ wavefunc+on ¡ {ˆ Ψ(~ r), ˆ Ψ(~ r 0)†} = (~ r − ~ r0) [ˆ Ψ(~ r), ˆ Ψ(~ r 0)†] = (~ r − ~ r0)

[ˆ Ψ(~ r), ˆ Ψ(~ r 0)] = [ˆ Ψ(~ r)†, ˆ Ψ(~ r 0)†] = 0 {ˆ Ψ(~ r), ˆ Ψ(~ r 0)} = {ˆ Ψ(~ r)†, ˆ Ψ(~ r 0)†} = 0

B ¡ F ¡

3 ¡

Second ¡quan+za+on ¡

|~ r1, . . . ,~ rNi = 1 p N! ˆ Ψ(~ rN)† · · · ˆ Ψ(~ r1)†|0i

real-­‑space ¡state ¡

many-­‑body ¡wave ¡func+on ¡

• perators ¡

ˆ ⇢(~ r) = ˆ Ψ(~ r)† ˆ Ψ(~ r)

ˆ ~ J(~ r) = ~ 2mi n ˆ Ψ(~ r)† ⇣ ~ rˆ Ψ(~ r) ⌘

• ⇣

~ rˆ Ψ(~ r)†⌘ ˆ Ψ(~ r)

• par+cle ¡density ¡

current ¡density ¡

4 ¡

Φ(~ r1, . . . ,~ rN) = h~ r1, . . . ,~ rN|nν1, nν2, . . . i