Schaltfunktionen 1 Teil II.1 Zahlendarstellung 2 b -adische - PowerPoint PPT Presentation

Teil II Schaltfunktionen 1

Teil II.1 Zahlendarstellung 2

b -adische Systeme Sei b ∈ I N mit b > 1 und E b = { 0 , 1 , . . . , b − 1 } (Alphabet). Dann ist jede Fixpunktzahl z (mit n Vorkomma– und k Nachkomma- stellen) mit 0 ≤ z · b k ≤ b n + k − 1 (und n ∈ I N , k ∈ I N 0 ) eindeutig als Wort der L¨ ange n + k ¨ uber E b darstellbar durch n − 1 z i b i = ( z n − 1 z n − 2 . . . z 0 .z − 1 z − 2 . . . z − k ) b , � z = z i ∈ E b . i = − k • Dezimalsystem: E 10 = { 0 , 1 , . . . , 9 } • Dual– oder Bin¨ arsystem: E 2 = { 0 , 1 } • Oktalsystem: E 8 = { 0 , 1 , . . . , 7 } • Hexadezimalsystem: E 16 = { 0 , 1 , . . . , 9 , A, B, C, D, E, F } 3

Umrechnung Dezimal → Basis b Gegeben: d 10 . . . eine Dezimalzahl (ohne Nachkommastellen) Gesucht: ( z n − 1 z n − 2 . . . z 0 ) b = d 10 Algorithmus: i := 0 // Stelle while d != 0 do // solange d ungleich 0 z[i] := d mod b // Rest von d div b d := d div b // ganzzahlige Division i := i+1 // erh¨ ohe Stelle endwhile 4

Nachkommastellen: Dezimal → Basis b Gegeben: d 10 = (0 .x 1 . . . x k ) 10 : k Nachkommastellen Gesucht: (0 .z 1 . . . z j ) b = d 10 Algorithmus: i := 1 // Stelle while d != 0 do // solange d ungleich 0 z[i] := truncate(d * b) // Vorkommastelle (0 <= z[i] <= b-1) d := d * b - z[i] // Nachkommastellen i := i+1 // erh¨ ohe Stelle endwhile 5

Beispiel 25 . 3 10 0 . 3 ∗ 2 = 0 . 6 z 1 = 0 25 2 = 12 Rest : 1 0 . 6 ∗ 2 = 1 . 2 z 2 = 1 div 12 2 = 6 Rest : 0 0 . 2 ∗ 2 = 0 . 4 z 3 = 0 div 6 2 = 3 Rest : 0 0 . 4 ∗ 2 = 0 . 8 z 4 = 0 div 3 2 = 1 Rest : 1 0 . 8 ∗ 2 = 1 . 6 z 5 = 1 div 1 div 2 = 0 Rest : 1 0 . 6 ∗ 2 = 1 . 2 z 6 = 1 = z 2 . . . 25 . 3 10 = 11001 . 010011001 . . . 2 = 11001 . 01001 2 6

Umrechnung Basis b → Dezimal Gegeben: ( z n − 1 z n − 2 . . . z 0 ) b Gesucht: d 10 = ( z n − 1 z n − 2 . . . z 0 ) b Algorithmus: i := n-1 // Stelle d := 0 // Initialisierung while i >= 0 do // solange i gr¨ osser oder gleich 0 d := b*d + z[i] // berechne n¨ achste Stelle i := i-1 // vermindere Index endwhile Basiert auf der ¨ Aquivalenz (Hornerschema): i =0 z i b i = z 0 + b ( � n − 1 � n − 1 i =1 z i b i − 1 ) = = z 0 + b ( z 1 + b ( . . . b ( z n − 2 + bz n − 1 ) . . . )) 7

Beispiel 0 ∗ 2 + 1 = 1 ∗ 2 + 1 = 3 ∗ 2 + 0 = 6 ∗ 2 + 0 = 12 ∗ 2 + 1 = 25 8

Darstellung negativer Zahlen z = ( z n − 1 . . . z 0 .z − 1 . . . z − k ) 2 eine n + k Dualzahl in Fixpunktdarstellung • Einerkomplement: K 1 ( z ) = ( z n − 1 z n − 2 . . . z 0 .z − 1 . . . z − k ) 2 mit z i = 0 ↔ z i = 1, und z i = z i . • Zweierkomplement: K 2 ( z ) = ( K 1 ( z ) + 1 ulp ) modulo 2 n = 2 n − z • b -Komplement f¨ ur n + k Fixpunktzahlen: K b ( z ) = (˜ z z − 1 ˜ z n − 2 . . . ˜ z 0 . ˜ z − 1 . . . ˜ z − k ) b + 1 ulp 9

Beispiel Bei einer Wortl¨ ange von n = 8 Bits lauten die Darstellungen von +92 und -92 im Einer– bzw. Zweierkomplement: Komplement +92 -92 Einer– dual 01011100 dual 10100011 hexadezimal 5C hexadezimal A3 Zweier– dual 01011100 dual 10100100 hexadezimal 5C hexadezimal A4 10

Subtraktion mit Zweier-Komplement x − y = x + K 2 ( y ) F¨ ur n = 8, berechne 45 − 92 45 = 2 5 + 2 3 + 2 2 + 2 0 : (00101101) 2 + K 2 (92): (10100100) 2 (11010001) 2 = K 2 ( z ) Aus K 2 ( z ) = (11010001) 2 folgt: = K 1 ( K 2 ( z ) − 1 ulp ) z = K 1 ((11010001) 2 − 1) = (00101111) 2 2 5 + 2 3 + 2 2 + 2 1 + 2 0 = 47 = 11

Gleitkommazahlen nach IEEE 754/854 Vorzeichen–Bit ↓ Exponent: l Bit Mantisse: m Bit S e l − 1 e l − 2 . . . . . . . . . e 1 e 0 f m − 1 f m − 2 . . . . . . . . . . . . f 1 f 0 Exponentencharakteristik : E = ( e l − 1 e l − 2 . . . . . . e 1 e 0 ) 2 Mantisse : M = ( f m − 1 f m − 2 . . . . . . f 1 f 0 ) DargestellteZahl : ( − 1) S · (1 .M ) 2 · 2 ( E − E Bias ) 1 ≤ E ≤ 2 · E Bias normalisiert ( − 1) S · (0 .M ) 2 · 2 1 − E Bias E = 0 , M � = 0 denormalisiert ( − 1) S · 0 E = 0 , M = 0 Null mit Vorz. ( − 1) S · ∞ E = 2 · E Bias + 1 , M = 0 ∞ mit Vorz. NaN E = 2 · E Bias + 1 , M � = 0 Not a Number 12

Bereich und Genauigkeit • Mantisse m . . . Genauigkeit • Exponent l − E Bias . . . Gr¨ oße des Zahlenbereichs. Genauigkeit Exponent Mantisse E Bias Bereich Stellen 1 . 5 · 10 − 45 . . . 3 . 4 · 10 38 single: 32 Bit l = 8 m = 23 127 7 – 8 5 . 0 · 10 − 324 . . . 1 . 7 · 10 308 double: 64 Bit l = 11 m = 52 1023 15 – 16 Beispiel: 1 . 0 single Exponent Mantisse 1 . 0 ∗ 2 0 = 1 . 0 ∗ 2 127 − 127 � �� � � �� � = ˆ 0 01111111 00000000000000000000000 = $3 F 800000 double Exponent Mantisse 1 . 0 ∗ 2 0 = 1 . 0 ∗ 2 1023 − 1023 � �� � � �� � = ˆ 0 01111111111 00000 ............... 00000 � �� � 52 Nullen = $3 FF 0000000000000 13

Umwandlung Dezimal → Bin¨ ar • Gegeben: z • Schritt 1: Mantisse M = z ∗ 2 y sodass 1 < = M < 2 • Schritt 2: Exponent E = y + E Bias Beispiel: 2 2 · 1 . 625 6 . 5 = � � 1 + 1 2 + 0 2 2 + 1 2 2 · = 2 3 � � 1 + 1 2 + 0 2 2 + 1 2 129 − 127 · = 2 3 2 129 − 127 · (1 . 101) 2 = = ˆ 0 10000001 10100000000000000000000 = $40 D 00000 . 14

Teil II.2 Boolesche Algebra 15

Boolesche Algebra F¨ ur B = { 0 , 1 } , x, y ∈ B seien folgende Verkn¨ upfungen definiert: x ∪ y := Max( x, y ) , x ∩ y := Min( x, y ) , := 1 − x, x ( B, ∪ , ∩ , ) ist eine Boolesche Algebra 16

Gesetze der Booleschen Algebra a) Kommutativgesetze: x ∪ y = y ∪ x, x ∩ y = y ∩ x b) Assoziativgesetze: ( x ∪ y ) ∪ z = x ∪ ( y ∪ z ) , ( x ∩ y ) ∩ z = x ∩ ( y ∩ z ) c) Verschmelzungsgesetz: ( x ∪ y ) ∩ x = x, ( x ∩ y ) ∪ x = x d) Distributivgesetze: x ∩ ( y ∪ z ) = ( x ∩ y ) ∪ ( x ∩ z ) , x ∪ ( y ∩ z ) = ( x ∪ y ) ∩ ( x ∪ z ) e) Komplementgesetz: x ∪ ( y ∩ y ) = x, x ∩ ( y ∪ y ) = x f) x ∪ 0 = x, x ∩ 0 = 0 , x ∩ 1 = x, x ∪ 1 = 1 g) de Morgansche Regeln: x ∪ y = x ∩ y, x ∩ y = x ∪ y h) x = x ∪ x = x ∩ x = x 17

Potenzmenge F¨ ur B = P ( A ) die Menge aller Teilmengen von A ist ( B, ∪ , ∩ , ) ebenfalls eine Boolesche Algebra 18

Teil II.3 Schaltfunktionen 19

Schaltfunktionen • Schaltfunktion: F : B n → B m ur alle 2 n Inputs gibt es einen eindeutigen • Totale Schaltfunktion: f¨ Output, der alle m Bits belegt. • Boolesche Schaltfunktion: f : B n → B • Komponenten Darstellung: F ( x 1 , . . . , x n ) = ( f 1 ( x 1 , . . . , x n ) , f 2 ( x 1 , . . . , x n ) , . . . , f m ( x 1 , . . . , x n )) . • Anzahl verschiedener Boolescher Funktion: 2 2 n 20

Beispiele • Addition zweier 2 Bit Zahlen: A : B 4 → B 3 A ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = ( a 1 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) , a 2 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) , a 3 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )) mit a 1 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x 2 ⊕ x 4 a 2 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x 1 ⊕ x 3 ⊕ ( x 2 ∧ x 4 ) a 3 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = ( x 1 ∧ x 3 ) ∨ ( x 1 ∧ x 2 ∧ x 4 ) ( x 3 ∧ x 2 ∧ x 4 ) ∨ • Sortieren von 30 16 Bit Zahlen: S : B 30 ∗ 16 → B 30 ∗ 16 21

Boolesche Funktionen f¨ ur n = 2 (1) x + y x · x x · y x · y x x · y y ⊕ (2) ≡ 0 Min � = Max > x < y (3) ∧ �→ x �← y �↔ ∨ x y f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 (1) x + y x ⊕ y x + y x + y x · y x + x y x (2) 1 - Max = 1 − y ≥ 1 − x ≤ 1 - Min ≡ 1 (3) ↓ ↔ ¬ y ← ¬ x → ↑ x y f 8 f 9 f 10 f 11 f 12 f 13 f 14 f 15 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 22

Disjunktive Normalform agiger Index zu f : B n → B genau • i = ( i 1 i 2 . . . i n ) 2 ist ein einschl¨ dann wenn f ( i 1 , i 2 , . . . , i n ) 2 = 1 • f¨ ur einen einschl¨ agigen Index i einer Booleschen Funktion f , heißt die Funktion m i ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) := x i 1 1 x i 2 2 . . . x i n der i -te Minterm n von f , wobei � falls i j = 1 x j x i j j := falls i j = 0 x j • Darstellungssatz: F¨ ur jede Boolesche Funktion f gilt (DNF): � f = m i . i ∈ I 23

Beispiel Gegeben sei die folgende Boolesche Funktion f : B 3 → B durch die Wertetabelle f ( x 1 , x 2 , x 3 ) i x 1 x 2 x 3 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 6 1 1 0 0 7 1 1 1 1 Einschl¨ agigen Indizes sind 3, 5, 7. Die zugeh¨ origen Minterme sind: m 3 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 x 2 x 3 m 5 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 x 2 x 3 m 7 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 x 2 x 3 . f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 24

Funktionale Vollst¨ andigkeit Ein System B = { f 1 , . . . , f n } Boolescher Funktionen heißt (funktional) vollst¨ andig, wenn jede Boolesche Funktion allein durch Einsetzungen bzw. Kompositionen von Funktionen aus B dargestellt werden kann. a) { + , · , } ist funktional vollst¨ andig. b) { + , } ist funktional vollst¨ andig. c) {· , } ist funktional vollst¨ andig. d) { NAND } ist funktional vollst¨ andig. e) { NOR } ist funktional vollst¨ andig. 25