rs srs t - - PowerPoint PPT Presentation

r s s r s t r t s
SMART_READER_LITE
LIVE PREVIEW

rs srs t - - PowerPoint PPT Presentation

rs srs t rts r rr r srr Prs


slide-1
SLIDE 1
  • r❛♣❤s ♦♥ s✉r❢❛❝❡s✿ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❛❧❣♦r✐t❤♠s

➱r✐❝ ❈♦❧✐♥ ❞❡ ❱❡r❞✐èr❡

➱❝♦❧❡ ♥♦r♠❛❧❡ s✉♣ér✐❡✉r❡ ✭P❛r✐s✮ ❛♥❞ ❈◆❘❙

➱P■❚ ✷✵✶✻

slide-2
SLIDE 2

▼♦r❡ ❘❡s✉❧ts✳✳✳

slide-3
SLIDE 3

❙❤♦rt❡st ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧ ❝❧♦s❡❞ ❝✉r✈❡s

g✿ ❣❡♥✉s✱ k✿ s✐③❡ ♦❢ ♦✉t♣✉t ✭♥✉♠❜❡r ♦❢ ❡❞❣❡s ♦❢ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧ ❝❧♦s❡❞ ❝✉r✈❡✮

♥♦♥✲❞✐r❡❝t❡❞ ❞✐r❡❝t❡❞ ✇❡✐❣❤t❡❞ ❖(♥✷ ❧♦❣ ♥) ❬❊r✐❝❦s♦♥✕❍❛r✲P❡❧❡❞✬✵✹❪ O(g✸/✷n✸/✷ ❧♦❣ n) ♥♦♥✲s❡♣ gO(g)n✸/✷ ♥♦♥✲❝♦♥tr

  • ❬❈❛❜❡❧❧♦✕▼♦❤❛r✬✵✼❪

gO(g)n ❧♦❣ n ❬❑✉t③✬✵✻❪ O(g✸n ❧♦❣ n) ❬❈❛❜❡❧❧♦✕❈❤❛♠❜❡rs✬✵✼❪ ❖(❣ ✷♥ ❧♦❣ ♥) ❬❈❛❜❡❧❧♦✕❈❤❛♠❜❡rs✕❊r✐❝❦s♦♥✬✶✷❪ ❣ ❖(❣)♥ ❧♦❣ ❧♦❣ ♥ ❬■t❛❧✐❛♥♦ ❡t ❛❧✳✬✶✶❪ O(n✷ ❧♦❣ n) ❬❈❛❜❡❧❧♦✕❈❞❱✕▲❛③❛r✉s✬✶✵❪ ❖(❣ ✶/✷♥✸/✷ ❧♦❣ ♥) ❬❈❛❜✕❈❞❱✕▲❛③❪ ✷O(g)n ❧♦❣ n ♥♦♥✲s❡♣ ❬❊r✐❝❦s♦♥✕◆❛②②❡r✐✬✶✶❪ ❖(❣ ✷♥ ❧♦❣ ♥) ♥♦♥✲s❡♣ gO(g)n ❧♦❣ n ♥♦♥✲❝♦♥tr

  • ❬❊r✐❝❦s♦♥✬✶✶❪

❖(❣ ✸♥ ❧♦❣ ♥) ♥♦♥✲❝♦♥tr ❬❋♦①✬✶✸❪ ✉♥✇❡✐❣❤t❡❞ O(n✸) ❬❚❤♦♠❛ss❡♥✬✾✵❪ ❖(♥✷) ❬❈❛❜❡❧❧♦✕❈❞❱✕▲❛③❛r✉s✬✶✵❪ ❖(❣♥❦) ❬❈❛❜❡❧❧♦✕❈❞❱✕▲❛③❛r✉s✬✶✵❪ O(gn) ❢♦r ✷✲❛♣♣r♦① ❬❊r✐❝❦s♦♥✕❍❛r✲P❡❧❡❞✬✵✹❪ ❖(❣♥/ε) ❢♦r (✶ + ε)✲❛♣♣r♦① ❬❈❛❜❡❧❧♦✕❈❞❱✕▲❛③❛r✉s✬✶✵❪ ❖(♥✷) ❬❈❛❜❡❧❧♦✕❈❞❱✕▲❛③❛r✉s✬✶✵❪ ❖(❣♥❦) ❬❈❛❜❡❧❧♦✕❈❞❱✕▲❛③❛r✉s✬✶✻❪

slide-4
SLIDE 4

❖t❤❡r ♣r♦❜❧❡♠s s♦❧✈❡❞

❈✉r✈❡s ❛♥❞ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥s s❤♦rt❡st ❝✉r✈❡s✿ s❤♦rt❡st s♣❧✐tt✐♥❣ ❝②❝❧❡ ❬❈❤❛♠❜❡rs ❡t ❛❧✳✱ ✷✵✵✻❪✱ s❤♦rt❡st ❡ss❡♥t✐❛❧ ❝②❝❧❡ ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❲♦r❛❤✱ ✷✵✶✵❪✱ s♦♠❡ ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡ ❛s s❤♦rt ❛s ♣♦ss✐❜❧❡ ✐♥ ✐ts ❤♦♠♦t♦♣② ❝❧❛ss ❬❈❛❜❡❧❧♦ ❡t ❛❧✳✱ ✷✵✵✽❪❀ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥s✿ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠ ♦❢ ❧♦♦♣s ❬▲❛③❛r✉s ❡t ❛❧✳✱ ✷✵✵✶❪❀ ❜♦✉♥❞s ♦♥ t❤❡✐r ❧❡♥❣t❤ ❬❈❞❱✱ ❍✉❜❛r❞✱ ❞❡ ▼❡s♠❛②✱ ✷✵✶✺❪✳ ❉❡❝✐s✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s ♦♥ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥s ❉❡❝✐❞✐♥❣ ❤♦♠♦t♦♣② ✴ ✐s♦t♦♣② ❢♦r ♣❛t❤s ✴ ❝❧♦s❡❞ ❝✉r✈❡s ✴ ❣r❛♣❤s ❬▲❛③❛r✉s✱ ❘✐✈❛✉❞✱ ✷✵✶✷❀ ❊r✐❝❦s♦♥✱ ❲❤✐tt❧❡s❡②✱ ✷✵✶✸❀ ❈❞❱✱ ❞❡ ▼❡s♠❛②✱ ✷✵✶✸❀ ✳ ✳ ✳ ❪✳ ❈r♦ss✐♥❣s ❞r❛✇✐♥❣ ❛ ❣r❛♣❤ ✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ✇✐t❤ ≤ k ❝r♦ss✐♥❣s ❬❑❛✇❛r❛❜❛②❛s❤✐✱ ❘❡❡❞✱ ✷✵✵✼❪❀ ♠❛❦✐♥❣ ❝✉r✈❡s ♠✐♥✐♠❛❧❧② ❝r♦ss✐♥❣ ❬▼❛t♦✉➨❡❦ ❡t ❛❧✳✱ ✷✵✶✸❪✳ ❋❧♦✇s✱ ❝✉ts✱ ❝②❝❧❡ ❜❛s❡s✱ ❤♦♠♦❧♦❣② ❜❛s❡s ♠✐♥ ❝✉t ❛♥❞ ♠❛① ✢♦✇ ❬❈❤❛♠❜❡rs ❡t ❛❧✳✱ ✷✵✶✷❪✱ ✳ ✳ ✳ ❀ ❝②❝❧❡ ❛♥❞ ❤♦♠♦❧♦❣② ❜❛s❡s ❬❇♦rr❛❞❛✐❧❡ ❡t ❛❧✳✱ ✷✵✶✻❪✳ ▼❆◆❨ ♦t❤❡r ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❢♦r ❣r❛♣❤s ❡♠❜❡❞❞❛❜❧❡ ♦♥ ❛ ✜①❡❞ s✉r❢❛❝❡✳

slide-5
SLIDE 5

P❛t❤ t✐❣❤t❡♥✐♥❣

slide-6
SLIDE 6

Pr♦❜❧❡♠

▲♦❝❛❧ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❞♦❡s♥✬t ✇♦r❦✦

slide-7
SLIDE 7

Pr♦❜❧❡♠

▲♦❝❛❧ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❞♦❡s♥✬t ✇♦r❦✦

slide-8
SLIDE 8

Pr♦❜❧❡♠

▲♦❝❛❧ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❞♦❡s♥✬t ✇♦r❦✦

slide-9
SLIDE 9

❯♥✐✈❡rs❛❧ ❝♦✈❡r ˜ S ♦❢ t❤❡ t♦r✉s ✭g = ✶ ❤❛♥❞❧❡✮

❊✈❡r② ♣❛t❤ ♦♥ S ❝❛♥ ❜❡ ✏❧✐❢t❡❞✑ t♦ ˜ S ✳ ❚✇♦ ♣❛t❤s ❛r❡ ❤♦♠♦t♦♣✐❝ ✐✛ t❤❡② ❛❞♠✐t ❧✐❢ts ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ ❡♥❞♣♦✐♥ts✳

slide-10
SLIDE 10

❯♥✐✈❡rs❛❧ ❝♦✈❡r ˜ S ♦❢ t❤❡ t♦r✉s ✭g = ✶ ❤❛♥❞❧❡✮

❊✈❡r② ♣❛t❤ ♦♥ S ❝❛♥ ❜❡ ✏❧✐❢t❡❞✑ t♦ ˜ S ✳ ❚✇♦ ♣❛t❤s ❛r❡ ❤♦♠♦t♦♣✐❝ ✐✛ t❤❡② ❛❞♠✐t ❧✐❢ts ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ ❡♥❞♣♦✐♥ts✳

slide-11
SLIDE 11

❯♥✐✈❡rs❛❧ ❝♦✈❡r ˜ S ♦❢ t❤❡ t♦r✉s ✭g = ✶ ❤❛♥❞❧❡✮

❊✈❡r② ♣❛t❤ ♦♥ S ❝❛♥ ❜❡ ✏❧✐❢t❡❞✑ t♦ ˜ S ✳ ❚✇♦ ♣❛t❤s ❛r❡ ❤♦♠♦t♦♣✐❝ ✐✛ t❤❡② ❛❞♠✐t ❧✐❢ts ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ ❡♥❞♣♦✐♥ts✳ ■t ✏s✉✣❝❡s✑ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ s❤♦rt❡st ♣❛t❤s ✐♥ ˜ S ✳

slide-12
SLIDE 12

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝✉t ❣r❛♣❤ ✇✐t❤ ♦♥❡ ✈❡rt❡①

a b a b ▲❡♠♠❛ ■❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❝②❝❧❡s ❢♦r♠ ❛ s❤♦rt❡st ♦♥❡✲✈❡rt❡① ❝✉t ❣r❛♣❤✱ t❤❡♥ t❤❡ ✏❤♦r✐③♦♥t❛❧s✑ ❛♥❞ t❤❡ ✏✈❡rt✐❝❛❧s✑ ❛r❡ s❤♦rt❡st ♣❛t❤s✳ ❈♦r♦❧❧❛r② ❚❤❡ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ ❝♦♥♥❡❝t✐♥❣ a t♦ b ✐♥ ˜ S r❡♠❛✐♥s ✐♥ t❤❡ r❡❝t❛♥❣❧❡ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ a ❛♥❞ b✳

slide-13
SLIDE 13

❆❧❣♦r✐t❤♠ ✭g = ✶ ❤❛♥❞❧❡✮

❈♦♠♣✉t❡ ❛ s❤♦rt❡st ♦♥❡✲✈❡rt❡① ❝✉t ❣r❛♣❤❀

→ O(n✷ ❧♦❣ n) → ❆❝t✉❛❧❧②✱ O(n ❧♦❣ n)✳

❝♦✉♥t t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝r♦ss✐♥❣s p ✇✐t❤ t❤❡ ✏❤♦r✐③♦♥t❛❧✑ ❝②❝❧❡ ❛♥❞ q ✇✐t❤ t❤❡ ✏✈❡rt✐❝❛❧✑ ❝②❝❧❡❀

→ p, q = O(k) ✇❤❡r❡ k❂❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥♣✉t ♣❛t❤✳

❣❧✉❡ p × q ❝♦♣✐❡s ♦❢ t❤❡ sq✉❛r❡❀

→ O(pqn) = O(k✷n)✳ → ❆❝t✉❛❧❧②✱ O(p + q) ❝♦♣✐❡s s✉✣❝❡✿ O(kn)✳

❝♦♠♣✉t❡ ❛ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡ ❣r✐❞✳

→ O(k✷n ❧♦❣(k✷n)) ✭❉✐❥❦str❛✮✳ → ❆❝t✉❛❧❧②✱ O(kn)✳

❚♦t❛❧✿ O(n✷ ❧♦❣ n + k✷n ❧♦❣ kn)✳ ❆❝t✉❛❧❧②✿ O(n ❧♦❣ n + kn) ❬❈❞❱✱ ❊r✐❝❦s♦♥✱ ✷✵✵✻❪✰❬❈❞❱✱ ❏♦✉❤❡t✱ ∞❪✳

slide-14
SLIDE 14

❆❧❣♦r✐t❤♠ ✭g = ✶ ❤❛♥❞❧❡✮

❈♦♠♣✉t❡ ❛ s❤♦rt❡st ♦♥❡✲✈❡rt❡① ❝✉t ❣r❛♣❤❀

→ O(n✷ ❧♦❣ n) → ❆❝t✉❛❧❧②✱ O(n ❧♦❣ n)✳

❝♦✉♥t t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝r♦ss✐♥❣s p ✇✐t❤ t❤❡ ✏❤♦r✐③♦♥t❛❧✑ ❝②❝❧❡ ❛♥❞ q ✇✐t❤ t❤❡ ✏✈❡rt✐❝❛❧✑ ❝②❝❧❡❀

→ p, q = O(k) ✇❤❡r❡ k❂❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥♣✉t ♣❛t❤✳

❣❧✉❡ p × q ❝♦♣✐❡s ♦❢ t❤❡ sq✉❛r❡❀

→ O(pqn) = O(k✷n)✳ → ❆❝t✉❛❧❧②✱ O(p + q) ❝♦♣✐❡s s✉✣❝❡✿ O(kn)✳

❝♦♠♣✉t❡ ❛ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡ ❣r✐❞✳

→ O(k✷n ❧♦❣(k✷n)) ✭❉✐❥❦str❛✮✳ → ❆❝t✉❛❧❧②✱ O(kn)✳

❚♦t❛❧✿ O(n✷ ❧♦❣ n + k✷n ❧♦❣ kn)✳ ❆❝t✉❛❧❧②✿ O(n ❧♦❣ n + kn) ❬❈❞❱✱ ❊r✐❝❦s♦♥✱ ✷✵✵✻❪✰❬❈❞❱✱ ❏♦✉❤❡t✱ ∞❪✳

slide-15
SLIDE 15

❆❧❣♦r✐t❤♠ ✭g = ✶ ❤❛♥❞❧❡✮

❈♦♠♣✉t❡ ❛ s❤♦rt❡st ♦♥❡✲✈❡rt❡① ❝✉t ❣r❛♣❤❀

→ O(n✷ ❧♦❣ n) → ❆❝t✉❛❧❧②✱ O(n ❧♦❣ n)✳

❝♦✉♥t t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝r♦ss✐♥❣s p ✇✐t❤ t❤❡ ✏❤♦r✐③♦♥t❛❧✑ ❝②❝❧❡ ❛♥❞ q ✇✐t❤ t❤❡ ✏✈❡rt✐❝❛❧✑ ❝②❝❧❡❀

→ p, q = O(k) ✇❤❡r❡ k❂❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥♣✉t ♣❛t❤✳

❣❧✉❡ p × q ❝♦♣✐❡s ♦❢ t❤❡ sq✉❛r❡❀

→ O(pqn) = O(k✷n)✳ → ❆❝t✉❛❧❧②✱ O(p + q) ❝♦♣✐❡s s✉✣❝❡✿ O(kn)✳

❝♦♠♣✉t❡ ❛ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡ ❣r✐❞✳

→ O(k✷n ❧♦❣(k✷n)) ✭❉✐❥❦str❛✮✳ → ❆❝t✉❛❧❧②✱ O(kn)✳

❚♦t❛❧✿ O(n✷ ❧♦❣ n + k✷n ❧♦❣ kn)✳ ❆❝t✉❛❧❧②✿ O(n ❧♦❣ n + kn) ❬❈❞❱✱ ❊r✐❝❦s♦♥✱ ✷✵✵✻❪✰❬❈❞❱✱ ❏♦✉❤❡t✱ ∞❪✳

slide-16
SLIDE 16

❖❦❛②✱ ❜✉t ✇❤❛t ❛❜♦✉t g ≥ ✷ ❤❛♥❞❧❡s❄

❚❤❡ ❧✐❢ts ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝✉t ❣r❛♣❤ ❛r❡ ♥♦t s❤♦rt❡st ♣❛t❤s✳ ❲❤❛t ✐s ❛ ❣♦♦❞ r❡♣❧❛❝❡♠❡♥t ❢♦r t❤❡ s❤♦rt❡st ❝✉t ❣r❛♣❤❄ ❲❤❛t ❞♦❡s t❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ❝♦✈❡r ❧♦♦❦ ❧✐❦❡❄

slide-17
SLIDE 17

❖❦❛②✱ ❜✉t ✇❤❛t ❛❜♦✉t g ≥ ✷ ❤❛♥❞❧❡s❄

❚❤❡ ❧✐❢ts ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝✉t ❣r❛♣❤ ❛r❡ ♥♦t s❤♦rt❡st ♣❛t❤s✳ ❲❤❛t ✐s ❛ ❣♦♦❞ r❡♣❧❛❝❡♠❡♥t ❢♦r t❤❡ s❤♦rt❡st ❝✉t ❣r❛♣❤❄ ❲❤❛t ❞♦❡s t❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ❝♦✈❡r ❧♦♦❦ ❧✐❦❡❄

slide-18
SLIDE 18

❖❦❛②✱ ❜✉t ✇❤❛t ❛❜♦✉t g ≥ ✷ ❤❛♥❞❧❡s❄

❚❤❡ ❧✐❢ts ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝✉t ❣r❛♣❤ ❛r❡ ♥♦t s❤♦rt❡st ♣❛t❤s✳ ❲❤❛t ✐s ❛ ❣♦♦❞ r❡♣❧❛❝❡♠❡♥t ❢♦r t❤❡ s❤♦rt❡st ❝✉t ❣r❛♣❤❄ ❲❤❛t ❞♦❡s t❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ❝♦✈❡r ❧♦♦❦ ❧✐❦❡❄ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❡❛❝❤ ♣❛t❤ ❧✐❢ts t♦ ❛ s❤♦rt❡st ♣❛t❤

slide-19
SLIDE 19

❖❦❛②✱ ❜✉t ✇❤❛t ❛❜♦✉t g ≥ ✷ ❤❛♥❞❧❡s❄

❚❤❡ ❧✐❢ts ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝✉t ❣r❛♣❤ ❛r❡ ♥♦t s❤♦rt❡st ♣❛t❤s✳ ❲❤❛t ✐s ❛ ❣♦♦❞ r❡♣❧❛❝❡♠❡♥t ❢♦r t❤❡ s❤♦rt❡st ❝✉t ❣r❛♣❤❄ ❲❤❛t ❞♦❡s t❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ❝♦✈❡r ❧♦♦❦ ❧✐❦❡❄ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❡❛❝❤ ♣❛t❤ ❧✐❢ts t♦ ❛ s❤♦rt❡st ♣❛t❤

slide-20
SLIDE 20

❚❡❝❤♥✐❝❛❧ ▲❡♠♠❛ ❛♥❞ ❈♦♥✈❡①✐t②

▲❡♠♠❛ ▲❡t γ ❜❡ ❛ t✐❣❤t ❝②❝❧❡✱ ❧❡t p ❜❡ ❛ ♣❛t❤ ✏✇r❛♣♣✐♥❣ ❛r♦✉♥❞✑ γ✳ ❚❤❡♥ p ✐s t✐❣❤t✳

slide-21
SLIDE 21

❚❡❝❤♥✐❝❛❧ ▲❡♠♠❛ ❛♥❞ ❈♦♥✈❡①✐t②

▲❡♠♠❛ ▲❡t γ ❜❡ ❛ t✐❣❤t ❝②❝❧❡✱ ❧❡t p ❜❡ ❛ ♣❛t❤ ✏✇r❛♣♣✐♥❣ ❛r♦✉♥❞✑ γ✳ ❚❤❡♥ p ✐s t✐❣❤t✳ ❈♦♥✈❡①✐t② ❧✐♥❡✿ ❧✐❢t ♦❢ ❛ ❝②❝❧❡ ❤❛❧❢✲♣❧❛♥❡✿ ❞❡❧✐♠✐t❡❞ ❜② ❛ ❧✐♥❡ ❝♦♥✈❡①✿ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❤❛❧❢✲♣❧❛♥❡s t❤❡ s❤♦rt❡st ♣♦✐♥t ✇✐t❤ ❡♥❞♣♦✐♥ts ✐♥ ❛ ❝♦♥✈❡① s❡t C st❛②s ✐♥ C✳

slide-22
SLIDE 22

❚❡❝❤♥✐❝❛❧ ▲❡♠♠❛ ❛♥❞ ❈♦♥✈❡①✐t②

▲❡♠♠❛ ▲❡t γ ❜❡ ❛ t✐❣❤t ❝②❝❧❡✱ ❧❡t p ❜❡ ❛ ♣❛t❤ ✏✇r❛♣♣✐♥❣ ❛r♦✉♥❞✑ γ✳ ❚❤❡♥ p ✐s t✐❣❤t✳ ❈♦♥✈❡①✐t② ❧✐♥❡✿ ❧✐❢t ♦❢ ❛ ❝②❝❧❡ ❤❛❧❢✲♣❧❛♥❡✿ ❞❡❧✐♠✐t❡❞ ❜② ❛ ❧✐♥❡ ❝♦♥✈❡①✿ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❤❛❧❢✲♣❧❛♥❡s t❤❡ s❤♦rt❡st ♣♦✐♥t ✇✐t❤ ❡♥❞♣♦✐♥ts ✐♥ ❛ ❝♦♥✈❡① s❡t C st❛②s ✐♥ C✳

slide-23
SLIDE 23

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥ ♦❢ ˜ S

slide-24
SLIDE 24

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥ ♦❢ ˜ S

slide-25
SLIDE 25

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥ ♦❢ ˜ S

slide-26
SLIDE 26

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥ ♦❢ ˜ S

slide-27
SLIDE 27

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥ ♦❢ ˜ S

slide-28
SLIDE 28

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥ ♦❢ ˜ S

slide-29
SLIDE 29

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥ ♦❢ ˜ S

slide-30
SLIDE 30

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥ ♦❢ ˜ S

slide-31
SLIDE 31

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥ ♦❢ ˜ S ✱ ❞❡t❛✐❧s

■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❙t❛rt ✇✐t❤ ❛ ❝♦♣② ♦❢ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ t❤❡ s♦✉r❝❡ ♦❢ ˜ p✳ ❲❤❡♥ ˜ p ❝r♦ss❡s ❛ ♥❡✇ ❧✐♥❡✱ ❛✉❣♠❡♥t t❤❡ ❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥✳ ♦❧❞ ❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥

slide-32
SLIDE 32

❈♦♠♣❧❡①✐t②

❙✐③❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥✿ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝✐t② ■❢ ˜ c ❝r♦ss❡s m ✏❧✐♥❡s✑✱ t❤❡ ❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥ ❝♦♥t❛✐♥s O(m) ♦❝t❛❣♦♥s✳ Pr♦♦❢ ❆r❡❛❂❖✭♣❡r✐♠❡t❡r✮✿ ■♥❞❡❡❞✱ ✐t❡r❛t✐✈❡❧② r❡♠♦✈❡ ❛♥ ♦❝t❛❣♦♥ ❢❛rt❤❡st ❢r♦♠ t❤❡ ✏❝❡♥t❡r✑✳ ❚❤❛t ♦❝t❛❣♦♥ ❤❛s ≥ ✺ s✐❞❡s ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②✱ s♦ ❡❛❝❤ st❡♣ ❞❡❝r❡❛s❡s t❤❡ ♣❡r✐♠❡t❡r❀ ♣❡r✐♠❡t❡r ✐s O(m)✱ ❜❡❝❛✉s❡✿

❛t ♠♦st ✷m ✢❛t ✈❡rt✐❝❡s ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥ ❛t ♠♦st ✻ ❝♦r♥❡r ✈❡rt✐❝❡s ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ✢❛t ✈❡rt✐❝❡s✳

slide-33
SLIDE 33

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✿ t❡❝❤♥✐❝❛❧ ❧❡♠♠❛

❆r❝✿ ♣❛t❤ ✇✐t❤ ❡♥❞♣♦✐♥ts ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ▲❡♠♠❛ ❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡✱ ❧❡t α ❜❡ ❛ t✐❣❤t s✐♠♣❧❡ ❝✉r✈❡ t❤❛t ✐s ❡✐t❤❡r ❛♥ ❛r❝ ♦r ❛ ♥♦♥✲❝♦♥tr❛❝t✐❜❧❡ ❝②❝❧❡✱ β ❜❡ ❛ s✐♠♣❧❡ ♣❛t❤ ♦r ❝②❝❧❡ ❞✐s❥♦✐♥t ❢r♦♠ α✳ ❚❤❡♥ β ✐s t✐❣❤t ♦♥ S ✐✛ ✐t ✐s t✐❣❤t ♦♥ S\ \α✳

slide-34
SLIDE 34

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-35
SLIDE 35

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-36
SLIDE 36

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-37
SLIDE 37

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-38
SLIDE 38

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-39
SLIDE 39

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-40
SLIDE 40

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-41
SLIDE 41

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-42
SLIDE 42

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-43
SLIDE 43

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-44
SLIDE 44

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-45
SLIDE 45

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-46
SLIDE 46

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-47
SLIDE 47

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-48
SLIDE 48

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-49
SLIDE 49

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-50
SLIDE 50

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-51
SLIDE 51

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-52
SLIDE 52

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-53
SLIDE 53

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-54
SLIDE 54

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-55
SLIDE 55

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-56
SLIDE 56

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-57
SLIDE 57

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-58
SLIDE 58

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-59
SLIDE 59

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-60
SLIDE 60

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-61
SLIDE 61

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-62
SLIDE 62

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-63
SLIDE 63

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-64
SLIDE 64

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-65
SLIDE 65

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-66
SLIDE 66

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-67
SLIDE 67

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-68
SLIDE 68

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱

✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-69
SLIDE 69

❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

s❦✐♣

❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿

✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)

❬❉✐❥❦str❛❪

✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿

O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪

✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡

❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱ ✷✵✵✸❪✱

❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪

slide-70
SLIDE 70

❈♦♠♣❧❡①✐t② ❬❈❞❱✱ ❊r✐❝❦s♦♥✱ ✷✵✵✻❪

Pr❡♣r♦❝❡ss✐♥❣ st❡♣✿ ❈♦♠♣✉t✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ O(gn ❧♦❣ n) ✭✐♠♣r♦✈❡♠❡♥t ✉s✐♥❣ ❬❈❛❜❡❧❧♦ ❡t ❛❧✳✱ ✷✵✵✽❪✮✳ ❉❡t❛✐❧s✿ ❝r♦ss✲♠❡tr✐❝ s✉r❢❛❝❡

  • r❛♣❤ G ❝❡❧❧✉❧❛r❧② ❡♠❜❡❞❞❡❞ ♦♥ S

P❛t❤ p ✐♥ G ✇✐t❤ k ❡❞❣❡s ❖❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❝r♦ss✲♠❡tr✐❝ s✉r❢❛❝❡ ✭✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ♣♦s✐t✐♦♥ ✇✳r✳t✳ G ∗✮ ❆❞♠✐tt❡❞✿ ❊❛❝❤ ❝②❝❧❡ ♦❢ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❡♥t❡rs O(✶) t✐♠❡s ❡✈❡r② ❢❛❝❡ ♦❢ G ∗✳ ❚✐❣❤t❡♥✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠ O(gnk)✱ ✇❤❡r❡ k ✐s t❤❡ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥♣✉t ♣❛t❤✱ ❜❡❝❛✉s❡ p ❝r♦ss❡s t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ O(gk) t✐♠❡s✱ ❡❛❝❤ ♦❝t❛❣♦♥ ❤❛s ❝♦♠♣❧❡①✐t② O(n)✳ ❊①t❡♥s✐♦♥✿ ❝❧♦s❡❞ ❝✉r✈❡s ✭❛❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ ❜❛s❡♣♦✐♥t t♦ ♠♦✈❡✮✳

slide-71
SLIDE 71

▼✐♥✐♠✉♠ ❝✉t ❛❧❣♦r✐t❤♠

slide-72
SLIDE 72

Pr♦❜❧❡♠

❚❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ❝✉t ♣r♦❜❧❡♠

  • ✐✈❡♥

G = (V , E)✿ ❛ ✇❡✐❣❤t❡❞✱ ✉♥❞✐r❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤❀ s, t✿ t✇♦ ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ G✱ ❝♦♠♣✉t❡ W ⊂ V ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ s ❜✉t ♥♦t t t❤❛t ♠✐♥✐♠✐③❡s t❤❡ s✉♠ ♦❢ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts ♦❢ t❤❡ ❡❞❣❡s ❜❡t✇❡❡♥ W ❛♥❞ V \ W ✳ ❚❤❡♦r❡♠ ❬❈❤❛♠❜❡rs✱ ❊r✐❝❦s♦♥✱ ◆❛②②❡r✐✱ ✷✵✵✾❪ ■❢ G ✐s ❡♠❜❡❞❞❡❞ ♦♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ♦❢ ❣❡♥✉s g✱ t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ❝❛♥ ❜❡ s♦❧✈❡❞ ✐♥ O(gO(g)n ❧♦❣ n) t✐♠❡✳ ❇❡st r❡s✉❧t ❦♥♦✇♥ ❜❡❢♦r❡ ❆❧❣♦r✐t❤♠s ❢♦r s♣❛rs❡ ❣r❛♣❤s ✐♥ O(n✷ ❧♦❣ n) ❬❙❧❡❛t♦r✱ ❚❛r❥❛♥✱ ✶✾✽✸❪ ❛♥❞ O(n✸/✷ ❧♦❣ n ❧♦❣ C) ❬●♦❧❞❜❡r❣✱ ❘❛♦✱ ✶✾✾✽❪✳

slide-73
SLIDE 73

Pr♦❜❧❡♠

❚❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ❝✉t ♣r♦❜❧❡♠

  • ✐✈❡♥

G = (V , E)✿ ❛ ✇❡✐❣❤t❡❞✱ ✉♥❞✐r❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤❀ s, t✿ t✇♦ ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ G✱ ❝♦♠♣✉t❡ W ⊂ V ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ s ❜✉t ♥♦t t t❤❛t ♠✐♥✐♠✐③❡s t❤❡ s✉♠ ♦❢ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts ♦❢ t❤❡ ❡❞❣❡s ❜❡t✇❡❡♥ W ❛♥❞ V \ W ✳ ❚❤❡♦r❡♠ ❬❈❤❛♠❜❡rs✱ ❊r✐❝❦s♦♥✱ ◆❛②②❡r✐✱ ✷✵✵✾❪ ■❢ G ✐s ❡♠❜❡❞❞❡❞ ♦♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ♦❢ ❣❡♥✉s g✱ t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ❝❛♥ ❜❡ s♦❧✈❡❞ ✐♥ O(gO(g)n ❧♦❣ n) t✐♠❡✳ ❇❡st r❡s✉❧t ❦♥♦✇♥ ❜❡❢♦r❡ ❆❧❣♦r✐t❤♠s ❢♦r s♣❛rs❡ ❣r❛♣❤s ✐♥ O(n✷ ❧♦❣ n) ❬❙❧❡❛t♦r✱ ❚❛r❥❛♥✱ ✶✾✽✸❪ ❛♥❞ O(n✸/✷ ❧♦❣ n ❧♦❣ C) ❬●♦❧❞❜❡r❣✱ ❘❛♦✱ ✶✾✾✽❪✳

slide-74
SLIDE 74

Pr♦❜❧❡♠

❚❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ❝✉t ♣r♦❜❧❡♠

  • ✐✈❡♥

G = (V , E)✿ ❛ ✇❡✐❣❤t❡❞✱ ✉♥❞✐r❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤❀ s, t✿ t✇♦ ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ G✱ ❝♦♠♣✉t❡ W ⊂ V ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ s ❜✉t ♥♦t t t❤❛t ♠✐♥✐♠✐③❡s t❤❡ s✉♠ ♦❢ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts ♦❢ t❤❡ ❡❞❣❡s ❜❡t✇❡❡♥ W ❛♥❞ V \ W ✳ ❚❤❡♦r❡♠ ❬❈❤❛♠❜❡rs✱ ❊r✐❝❦s♦♥✱ ◆❛②②❡r✐✱ ✷✵✵✾❪ ■❢ G ✐s ❡♠❜❡❞❞❡❞ ♦♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ♦❢ ❣❡♥✉s g✱ t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ❝❛♥ ❜❡ s♦❧✈❡❞ ✐♥ O(gO(g)n ❧♦❣ n) t✐♠❡✳ ❇❡st r❡s✉❧t ❦♥♦✇♥ ❜❡❢♦r❡ ❆❧❣♦r✐t❤♠s ❢♦r s♣❛rs❡ ❣r❛♣❤s ✐♥ O(n✷ ❧♦❣ n) ❬❙❧❡❛t♦r✱ ❚❛r❥❛♥✱ ✶✾✽✸❪ ❛♥❞ O(n✸/✷ ❧♦❣ n ❧♦❣ C) ❬●♦❧❞❜❡r❣✱ ❘❛♦✱ ✶✾✾✽❪✳

slide-75
SLIDE 75

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s✿ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ✭❂♦❢ t❤❡ s♣❤❡r❡✮

▼✐♥✐♠✉♠ ❝✉t ✐♥ G ↔ ❝②❝❧❡ γ s❡♣❛r❛t✐♥❣ s ❢r♦♠ t✱ ♦❢ ♠✐♥✐♠✉♠ ❧❡♥❣t❤ ✐♥ G ∗✱ ♦r ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② ✐♥ t❤❡ ❝r♦ss✲♠❡tr✐❝ s✉r❢❛❝❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② G✳ γ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ✐♥ O(n ❧♦❣ n) t✐♠❡ ❬❘❡✐❢ ✶✾✽✸❀ ❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥ ✶✾✽✼❀

❍❡♥③✐♥❣❡r ❡t ❛❧✳ ✶✾✾✼❪✳

slide-76
SLIDE 76

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s✿ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ✭❂♦❢ t❤❡ s♣❤❡r❡✮

▼✐♥✐♠✉♠ ❝✉t ✐♥ G ↔ ❝②❝❧❡ γ s❡♣❛r❛t✐♥❣ s ❢r♦♠ t✱ ♦❢ ♠✐♥✐♠✉♠ ❧❡♥❣t❤ ✐♥ G ∗✱ ♦r ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② ✐♥ t❤❡ ❝r♦ss✲♠❡tr✐❝ s✉r❢❛❝❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② G✳ γ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ✐♥ O(n ❧♦❣ n) t✐♠❡ ❬❘❡✐❢ ✶✾✽✸❀ ❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥ ✶✾✽✼❀

❍❡♥③✐♥❣❡r ❡t ❛❧✳ ✶✾✾✼❪✳

slide-77
SLIDE 77

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s✿ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ✭❂♦❢ t❤❡ s♣❤❡r❡✮

▼✐♥✐♠✉♠ ❝✉t ✐♥ G ↔ ❝②❝❧❡ γ s❡♣❛r❛t✐♥❣ s ❢r♦♠ t✱ ♦❢ ♠✐♥✐♠✉♠ ❧❡♥❣t❤ ✐♥ G ∗✱ ♦r ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② ✐♥ t❤❡ ❝r♦ss✲♠❡tr✐❝ s✉r❢❛❝❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② G✳ γ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ✐♥ O(n ❧♦❣ n) t✐♠❡ ❬❘❡✐❢ ✶✾✽✸❀ ❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥ ✶✾✽✼❀

❍❡♥③✐♥❣❡r ❡t ❛❧✳ ✶✾✾✼❪✳

slide-78
SLIDE 78

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s✿ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ✭❂♦❢ t❤❡ s♣❤❡r❡✮

▼✐♥✐♠✉♠ ❝✉t ✐♥ G ↔ ❝②❝❧❡ γ s❡♣❛r❛t✐♥❣ s ❢r♦♠ t✱ ♦❢ ♠✐♥✐♠✉♠ ❧❡♥❣t❤ ✐♥ G ∗✱ ♦r ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② ✐♥ t❤❡ ❝r♦ss✲♠❡tr✐❝ s✉r❢❛❝❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② G✳ γ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ✐♥ O(n ❧♦❣ n) t✐♠❡ ❬❘❡✐❢ ✶✾✽✸❀ ❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥ ✶✾✽✼❀

❍❡♥③✐♥❣❡r ❡t ❛❧✳ ✶✾✾✼❪✳

slide-79
SLIDE 79

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s✿ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ✭❂♦❢ t❤❡ s♣❤❡r❡✮

▼✐♥✐♠✉♠ ❝✉t ✐♥ G ↔ ❝②❝❧❡ γ s❡♣❛r❛t✐♥❣ s ❢r♦♠ t✱ ♦❢ ♠✐♥✐♠✉♠ ❧❡♥❣t❤ ✐♥ G ∗✱ ♦r ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② ✐♥ t❤❡ ❝r♦ss✲♠❡tr✐❝ s✉r❢❛❝❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② G✳ γ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ✐♥ O(n ❧♦❣ n) t✐♠❡ ❬❘❡✐❢ ✶✾✽✸❀ ❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥ ✶✾✽✼❀

❍❡♥③✐♥❣❡r ❡t ❛❧✳ ✶✾✾✼❪✳

slide-80
SLIDE 80

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s✿ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ✭❂♦❢ t❤❡ s♣❤❡r❡✮

▼✐♥✐♠✉♠ ❝✉t ✐♥ G ↔ ❝②❝❧❡ γ s❡♣❛r❛t✐♥❣ s ❢r♦♠ t✱ ♦❢ ♠✐♥✐♠✉♠ ❧❡♥❣t❤ ✐♥ G ∗✱ ♦r ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② ✐♥ t❤❡ ❝r♦ss✲♠❡tr✐❝ s✉r❢❛❝❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② G✳ γ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ✐♥ O(n ❧♦❣ n) t✐♠❡ ❬❘❡✐❢ ✶✾✽✸❀ ❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥ ✶✾✽✼❀

❍❡♥③✐♥❣❡r ❡t ❛❧✳ ✶✾✾✼❪✳

slide-81
SLIDE 81

❈❛s❡ ♦❢ s✉r❢❛❝❡s

t s ❈✉t ✐♥ G → ❢❛♠✐❧② Γ ♦❢ ❞✐s❥♦✐♥t ❝②❝❧❡s ✐♥ t❤❡ ❝r♦ss✲♠❡tr✐❝ s✉r❢❛❝❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② G✳ ❈♦♠♣✉t❡ ❛ ❝✉t ❣r❛♣❤ ❜❛s❡❞ ❛t s✱ ♦❜t❛✐♥✐♥❣ ❧♦♦♣s ℓ✶, . . . , ℓ✷g✳ ▲❡t p ❜❡ ❛ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ ❢r♦♠ s t♦ t✳ Γ ✐s ❛ ❝✉t ✐✛ ✐t ❝r♦ss❡s ❡✈❡r② ℓi ❛♥ ❡✈❡♥ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t✐♠❡s ❛♥❞ p ❛♥ ♦❞❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t✐♠❡s✳

slide-82
SLIDE 82

❈❛s❡ ♦❢ s✉r❢❛❝❡s

t s ❈✉t ✐♥ G → ❢❛♠✐❧② Γ ♦❢ ❞✐s❥♦✐♥t ❝②❝❧❡s ✐♥ t❤❡ ❝r♦ss✲♠❡tr✐❝ s✉r❢❛❝❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② G✳ ❈♦♠♣✉t❡ ❛ ❝✉t ❣r❛♣❤ ❜❛s❡❞ ❛t s✱ ♦❜t❛✐♥✐♥❣ ❧♦♦♣s ℓ✶, . . . , ℓ✷g✳ ▲❡t p ❜❡ ❛ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ ❢r♦♠ s t♦ t✳ Γ ✐s ❛ ❝✉t ✐✛ ✐t ❝r♦ss❡s ❡✈❡r② ℓi ❛♥ ❡✈❡♥ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t✐♠❡s ❛♥❞ p ❛♥ ♦❞❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t✐♠❡s✳

slide-83
SLIDE 83

❈❛s❡ ♦❢ s✉r❢❛❝❡s

ℓ✶ ℓ✷ t s ❈✉t ✐♥ G → ❢❛♠✐❧② Γ ♦❢ ❞✐s❥♦✐♥t ❝②❝❧❡s ✐♥ t❤❡ ❝r♦ss✲♠❡tr✐❝ s✉r❢❛❝❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② G✳ ❈♦♠♣✉t❡ ❛ ❝✉t ❣r❛♣❤ ❜❛s❡❞ ❛t s✱ ♦❜t❛✐♥✐♥❣ ❧♦♦♣s ℓ✶, . . . , ℓ✷g✳ ▲❡t p ❜❡ ❛ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ ❢r♦♠ s t♦ t✳ Γ ✐s ❛ ❝✉t ✐✛ ✐t ❝r♦ss❡s ❡✈❡r② ℓi ❛♥ ❡✈❡♥ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t✐♠❡s ❛♥❞ p ❛♥ ♦❞❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t✐♠❡s✳

slide-84
SLIDE 84

❈❛s❡ ♦❢ s✉r❢❛❝❡s

ℓ✶ p ℓ✷ t s ❈✉t ✐♥ G → ❢❛♠✐❧② Γ ♦❢ ❞✐s❥♦✐♥t ❝②❝❧❡s ✐♥ t❤❡ ❝r♦ss✲♠❡tr✐❝ s✉r❢❛❝❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② G✳ ❈♦♠♣✉t❡ ❛ ❝✉t ❣r❛♣❤ ❜❛s❡❞ ❛t s✱ ♦❜t❛✐♥✐♥❣ ❧♦♦♣s ℓ✶, . . . , ℓ✷g✳ ▲❡t p ❜❡ ❛ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ ❢r♦♠ s t♦ t✳ Γ ✐s ❛ ❝✉t ✐✛ ✐t ❝r♦ss❡s ❡✈❡r② ℓi ❛♥ ❡✈❡♥ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t✐♠❡s ❛♥❞ p ❛♥ ♦❞❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t✐♠❡s✳

slide-85
SLIDE 85

❈❛s❡ ♦❢ s✉r❢❛❝❡s

ℓ✶ p ℓ✷ t s ❈✉t ✐♥ G → ❢❛♠✐❧② Γ ♦❢ ❞✐s❥♦✐♥t ❝②❝❧❡s ✐♥ t❤❡ ❝r♦ss✲♠❡tr✐❝ s✉r❢❛❝❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② G✳ ❈♦♠♣✉t❡ ❛ ❝✉t ❣r❛♣❤ ❜❛s❡❞ ❛t s✱ ♦❜t❛✐♥✐♥❣ ❧♦♦♣s ℓ✶, . . . , ℓ✷g✳ ▲❡t p ❜❡ ❛ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ ❢r♦♠ s t♦ t✳ Γ ✐s ❛ ❝✉t ✐✛ ✐t ❝r♦ss❡s ❡✈❡r② ℓi ❛♥ ❡✈❡♥ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t✐♠❡s ❛♥❞ p ❛♥ ♦❞❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t✐♠❡s✳

slide-86
SLIDE 86

❈❛s❡ ♦❢ s✉r❢❛❝❡s

ℓ✶ p ℓ✷ t s ℓ✶ ℓ✷ ℓ✶ ℓ✷ p p ❈✉t ✐♥ G → ❢❛♠✐❧② Γ ♦❢ ❞✐s❥♦✐♥t ❝②❝❧❡s ✐♥ t❤❡ ❝r♦ss✲♠❡tr✐❝ s✉r❢❛❝❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② G✳ ❈♦♠♣✉t❡ ❛ ❝✉t ❣r❛♣❤ ❜❛s❡❞ ❛t s✱ ♦❜t❛✐♥✐♥❣ ❧♦♦♣s ℓ✶, . . . , ℓ✷g✳ ▲❡t p ❜❡ ❛ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ ❢r♦♠ s t♦ t✳ Γ ✐s ❛ ❝✉t ✐✛ ✐t ❝r♦ss❡s ❡✈❡r② ℓi ❛♥ ❡✈❡♥ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t✐♠❡s ❛♥❞ p ❛♥ ♦❞❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t✐♠❡s✳

slide-87
SLIDE 87

❈❛s❡ ♦❢ s✉r❢❛❝❡s

ℓ✶ p ℓ✷ t s ℓ✶ ℓ✷ ℓ✶ ℓ✷ p p ❈✉t ✐♥ G → ❢❛♠✐❧② Γ ♦❢ ❞✐s❥♦✐♥t ❝②❝❧❡s ✐♥ t❤❡ ❝r♦ss✲♠❡tr✐❝ s✉r❢❛❝❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② G✳ ❈♦♠♣✉t❡ ❛ ❝✉t ❣r❛♣❤ ❜❛s❡❞ ❛t s✱ ♦❜t❛✐♥✐♥❣ ❧♦♦♣s ℓ✶, . . . , ℓ✷g✳ ▲❡t p ❜❡ ❛ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ ❢r♦♠ s t♦ t✳ Γ ✐s ❛ ❝✉t ✐✛ ✐t ❝r♦ss❡s ❡✈❡r② ℓi ❛♥ ❡✈❡♥ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t✐♠❡s ❛♥❞ p ❛♥ ♦❞❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t✐♠❡s✳

slide-88
SLIDE 88

❆❧❣♦r✐t❤♠

ℓ✶ ℓ✷ ℓ✶ ℓ✷ p p ▲❡♠♠❛✳ ■❢ Γ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ♠✐♥✐♠✉♠ ❝✉t✱ t❤❡♥ ✐t ❝r♦ss❡s O(g) t✐♠❡s p ❛♥❞ ❡❛❝❤ ℓi✳ ❊♥✉♠❡r❛t❡ ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ♣❛tt❡r♥s t❤❛t ❢♦r♠ ❞✐s❥♦✐♥t ❝②❝❧❡s✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ gO(g) ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♣❛tt❡r♥✱ ❛♥❞ ❡❛❝❤ ❝②❝❧❡ ❛♣♣❡❛r✐♥❣ ✐♥ t❤✐s ♣❛tt❡r♥✱ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡ t❤❛t ❝r♦ss❡s p ❛♥❞ t❤❡ ℓi ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ♦r❞❡r✳ ❚❤✐s ❜♦✐❧s ❞♦✇♥ t♦ t❤❡ ♣❧❛♥❛r ❝❛s❡✦ ❈♦♠♣❧❡①✐t② O(g✷n ❧♦❣ n)✳ ❚♦t❛❧ r✉♥♥✐♥❣ t✐♠❡✿ O(gO(g)n ❧♦❣ n)✳

slide-89
SLIDE 89

❆❧❣♦r✐t❤♠

ℓ✶ ℓ✷ ℓ✶ ℓ✷ p p ▲❡♠♠❛✳ ■❢ Γ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ♠✐♥✐♠✉♠ ❝✉t✱ t❤❡♥ ✐t ❝r♦ss❡s O(g) t✐♠❡s p ❛♥❞ ❡❛❝❤ ℓi✳ ❊♥✉♠❡r❛t❡ ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ♣❛tt❡r♥s t❤❛t ❢♦r♠ ❞✐s❥♦✐♥t ❝②❝❧❡s✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ gO(g) ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♣❛tt❡r♥✱ ❛♥❞ ❡❛❝❤ ❝②❝❧❡ ❛♣♣❡❛r✐♥❣ ✐♥ t❤✐s ♣❛tt❡r♥✱ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡ t❤❛t ❝r♦ss❡s p ❛♥❞ t❤❡ ℓi ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ♦r❞❡r✳ ❚❤✐s ❜♦✐❧s ❞♦✇♥ t♦ t❤❡ ♣❧❛♥❛r ❝❛s❡✦ ❈♦♠♣❧❡①✐t② O(g✷n ❧♦❣ n)✳ ❚♦t❛❧ r✉♥♥✐♥❣ t✐♠❡✿ O(gO(g)n ❧♦❣ n)✳

slide-90
SLIDE 90

❆❧❣♦r✐t❤♠

ℓ✶ ℓ✷ ℓ✶ ℓ✷ p p ▲❡♠♠❛✳ ■❢ Γ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ♠✐♥✐♠✉♠ ❝✉t✱ t❤❡♥ ✐t ❝r♦ss❡s O(g) t✐♠❡s p ❛♥❞ ❡❛❝❤ ℓi✳ ❊♥✉♠❡r❛t❡ ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ♣❛tt❡r♥s t❤❛t ❢♦r♠ ❞✐s❥♦✐♥t ❝②❝❧❡s✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ gO(g) ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♣❛tt❡r♥✱ ❛♥❞ ❡❛❝❤ ❝②❝❧❡ ❛♣♣❡❛r✐♥❣ ✐♥ t❤✐s ♣❛tt❡r♥✱ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡ t❤❛t ❝r♦ss❡s p ❛♥❞ t❤❡ ℓi ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ♦r❞❡r✳ ❚❤✐s ❜♦✐❧s ❞♦✇♥ t♦ t❤❡ ♣❧❛♥❛r ❝❛s❡✦ ❈♦♠♣❧❡①✐t② O(g✷n ❧♦❣ n)✳ ❚♦t❛❧ r✉♥♥✐♥❣ t✐♠❡✿ O(gO(g)n ❧♦❣ n)✳

slide-91
SLIDE 91

❆❧❣♦r✐t❤♠

ℓ✶ ℓ✷ ℓ✶ ℓ✷ p p ▲❡♠♠❛✳ ■❢ Γ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ♠✐♥✐♠✉♠ ❝✉t✱ t❤❡♥ ✐t ❝r♦ss❡s O(g) t✐♠❡s p ❛♥❞ ❡❛❝❤ ℓi✳ ❊♥✉♠❡r❛t❡ ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ♣❛tt❡r♥s t❤❛t ❢♦r♠ ❞✐s❥♦✐♥t ❝②❝❧❡s✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ gO(g) ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♣❛tt❡r♥✱ ❛♥❞ ❡❛❝❤ ❝②❝❧❡ ❛♣♣❡❛r✐♥❣ ✐♥ t❤✐s ♣❛tt❡r♥✱ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡ t❤❛t ❝r♦ss❡s p ❛♥❞ t❤❡ ℓi ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ♦r❞❡r✳ ❚❤✐s ❜♦✐❧s ❞♦✇♥ t♦ t❤❡ ♣❧❛♥❛r ❝❛s❡✦ ❈♦♠♣❧❡①✐t② O(g✷n ❧♦❣ n)✳ ❚♦t❛❧ r✉♥♥✐♥❣ t✐♠❡✿ O(gO(g)n ❧♦❣ n)✳

slide-92
SLIDE 92

❆❧❣♦r✐t❤♠

ℓ✶ ℓ✷ ℓ✶ ℓ✷ p p ▲❡♠♠❛✳ ■❢ Γ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ♠✐♥✐♠✉♠ ❝✉t✱ t❤❡♥ ✐t ❝r♦ss❡s O(g) t✐♠❡s p ❛♥❞ ❡❛❝❤ ℓi✳ ❊♥✉♠❡r❛t❡ ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ♣❛tt❡r♥s t❤❛t ❢♦r♠ ❞✐s❥♦✐♥t ❝②❝❧❡s✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ gO(g) ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♣❛tt❡r♥✱ ❛♥❞ ❡❛❝❤ ❝②❝❧❡ ❛♣♣❡❛r✐♥❣ ✐♥ t❤✐s ♣❛tt❡r♥✱ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡ t❤❛t ❝r♦ss❡s p ❛♥❞ t❤❡ ℓi ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ♦r❞❡r✳ ❚❤✐s ❜♦✐❧s ❞♦✇♥ t♦ t❤❡ ♣❧❛♥❛r ❝❛s❡✦ ❈♦♠♣❧❡①✐t② O(g✷n ❧♦❣ n)✳ ❚♦t❛❧ r✉♥♥✐♥❣ t✐♠❡✿ O(gO(g)n ❧♦❣ n)✳

slide-93
SLIDE 93

❆❧❣♦r✐t❤♠

ℓ✶ ℓ✷ ℓ✶ ℓ✷ p p ▲❡♠♠❛✳ ■❢ Γ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ♠✐♥✐♠✉♠ ❝✉t✱ t❤❡♥ ✐t ❝r♦ss❡s O(g) t✐♠❡s p ❛♥❞ ❡❛❝❤ ℓi✳ ❊♥✉♠❡r❛t❡ ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ♣❛tt❡r♥s t❤❛t ❢♦r♠ ❞✐s❥♦✐♥t ❝②❝❧❡s✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ gO(g) ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♣❛tt❡r♥✱ ❛♥❞ ❡❛❝❤ ❝②❝❧❡ ❛♣♣❡❛r✐♥❣ ✐♥ t❤✐s ♣❛tt❡r♥✱ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡ t❤❛t ❝r♦ss❡s p ❛♥❞ t❤❡ ℓi ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ♦r❞❡r✳ ❚❤✐s ❜♦✐❧s ❞♦✇♥ t♦ t❤❡ ♣❧❛♥❛r ❝❛s❡✦ ❈♦♠♣❧❡①✐t② O(g✷n ❧♦❣ n)✳ ❚♦t❛❧ r✉♥♥✐♥❣ t✐♠❡✿ O(gO(g)n ❧♦❣ n)✳

slide-94
SLIDE 94

❆❧❣♦r✐t❤♠

ℓ✶ ℓ✷ ℓ✶ ℓ✷ p p ℓ✶ ℓ✶ ▲❡♠♠❛✳ ■❢ Γ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ♠✐♥✐♠✉♠ ❝✉t✱ t❤❡♥ ✐t ❝r♦ss❡s O(g) t✐♠❡s p ❛♥❞ ❡❛❝❤ ℓi✳ ❊♥✉♠❡r❛t❡ ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ♣❛tt❡r♥s t❤❛t ❢♦r♠ ❞✐s❥♦✐♥t ❝②❝❧❡s✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ gO(g) ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♣❛tt❡r♥✱ ❛♥❞ ❡❛❝❤ ❝②❝❧❡ ❛♣♣❡❛r✐♥❣ ✐♥ t❤✐s ♣❛tt❡r♥✱ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡ t❤❛t ❝r♦ss❡s p ❛♥❞ t❤❡ ℓi ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ♦r❞❡r✳ ❚❤✐s ❜♦✐❧s ❞♦✇♥ t♦ t❤❡ ♣❧❛♥❛r ❝❛s❡✦ ❈♦♠♣❧❡①✐t② O(g✷n ❧♦❣ n)✳ ❚♦t❛❧ r✉♥♥✐♥❣ t✐♠❡✿ O(gO(g)n ❧♦❣ n)✳

slide-95
SLIDE 95

❆❧❣♦r✐t❤♠

ℓ✶ ℓ✷ ℓ✶ ℓ✷ p p ℓ✶ ℓ✶ ℓ✶ ▲❡♠♠❛✳ ■❢ Γ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ♠✐♥✐♠✉♠ ❝✉t✱ t❤❡♥ ✐t ❝r♦ss❡s O(g) t✐♠❡s p ❛♥❞ ❡❛❝❤ ℓi✳ ❊♥✉♠❡r❛t❡ ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ♣❛tt❡r♥s t❤❛t ❢♦r♠ ❞✐s❥♦✐♥t ❝②❝❧❡s✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ gO(g) ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♣❛tt❡r♥✱ ❛♥❞ ❡❛❝❤ ❝②❝❧❡ ❛♣♣❡❛r✐♥❣ ✐♥ t❤✐s ♣❛tt❡r♥✱ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡ t❤❛t ❝r♦ss❡s p ❛♥❞ t❤❡ ℓi ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ♦r❞❡r✳ ❚❤✐s ❜♦✐❧s ❞♦✇♥ t♦ t❤❡ ♣❧❛♥❛r ❝❛s❡✦ ❈♦♠♣❧❡①✐t② O(g✷n ❧♦❣ n)✳ ❚♦t❛❧ r✉♥♥✐♥❣ t✐♠❡✿ O(gO(g)n ❧♦❣ n)✳

slide-96
SLIDE 96

❆❧❣♦r✐t❤♠

ℓ✶ ℓ✷ ℓ✶ ℓ✷ p p ℓ✶ ℓ✷ ℓ✶ ℓ✶ ▲❡♠♠❛✳ ■❢ Γ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ♠✐♥✐♠✉♠ ❝✉t✱ t❤❡♥ ✐t ❝r♦ss❡s O(g) t✐♠❡s p ❛♥❞ ❡❛❝❤ ℓi✳ ❊♥✉♠❡r❛t❡ ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ♣❛tt❡r♥s t❤❛t ❢♦r♠ ❞✐s❥♦✐♥t ❝②❝❧❡s✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ gO(g) ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♣❛tt❡r♥✱ ❛♥❞ ❡❛❝❤ ❝②❝❧❡ ❛♣♣❡❛r✐♥❣ ✐♥ t❤✐s ♣❛tt❡r♥✱ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡ t❤❛t ❝r♦ss❡s p ❛♥❞ t❤❡ ℓi ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ♦r❞❡r✳ ❚❤✐s ❜♦✐❧s ❞♦✇♥ t♦ t❤❡ ♣❧❛♥❛r ❝❛s❡✦ ❈♦♠♣❧❡①✐t② O(g✷n ❧♦❣ n)✳ ❚♦t❛❧ r✉♥♥✐♥❣ t✐♠❡✿ O(gO(g)n ❧♦❣ n)✳

slide-97
SLIDE 97

❆❧❣♦r✐t❤♠

ℓ✶ ℓ✷ ℓ✶ ℓ✷ p p ℓ✶ ℓ✷ ℓ✶ ℓ✶ ▲❡♠♠❛✳ ■❢ Γ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ♠✐♥✐♠✉♠ ❝✉t✱ t❤❡♥ ✐t ❝r♦ss❡s O(g) t✐♠❡s p ❛♥❞ ❡❛❝❤ ℓi✳ ❊♥✉♠❡r❛t❡ ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ♣❛tt❡r♥s t❤❛t ❢♦r♠ ❞✐s❥♦✐♥t ❝②❝❧❡s✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ gO(g) ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♣❛tt❡r♥✱ ❛♥❞ ❡❛❝❤ ❝②❝❧❡ ❛♣♣❡❛r✐♥❣ ✐♥ t❤✐s ♣❛tt❡r♥✱ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡ t❤❛t ❝r♦ss❡s p ❛♥❞ t❤❡ ℓi ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ♦r❞❡r✳ ❚❤✐s ❜♦✐❧s ❞♦✇♥ t♦ t❤❡ ♣❧❛♥❛r ❝❛s❡✦ ❈♦♠♣❧❡①✐t② O(g✷n ❧♦❣ n)✳ ❚♦t❛❧ r✉♥♥✐♥❣ t✐♠❡✿ O(gO(g)n ❧♦❣ n)✳

slide-98
SLIDE 98

Pr♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ❧❡♠♠❛

▲❡♠♠❛ Γ ❤❛s O(g) ❝r♦ss✐♥❣s ✇✐t❤ p ❛♥❞ ✇✐t❤ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ ℓi✳ t∗ s∗ ▲❡t ✉s s❤r✐♥❦ t❤❡ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ t♦ ❛ s✐♥❣❧❡ ✈❡rt❡① v✿ Γ ❜❡❝♦♠❡s ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ❧♦♦♣s ❜❛s❡❞ ❛t v✱ s✉❝❤ t❤❛t ♥♦ ❢❛❝❡ ♦❢ t❤✐s ❣r❛♣❤ ✐s ❛ ❞✐s❦ ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② ♦♥❡ ♦r t✇♦ ❧♦♦♣s✳

slide-99
SLIDE 99

Pr♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ❧❡♠♠❛

▲❡♠♠❛ Γ ❤❛s O(g) ❝r♦ss✐♥❣s ✇✐t❤ p ❛♥❞ ✇✐t❤ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ ℓi✳ t∗ s∗ ▲❡t ✉s s❤r✐♥❦ t❤❡ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ t♦ ❛ s✐♥❣❧❡ ✈❡rt❡① v✿ Γ ❜❡❝♦♠❡s ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ❧♦♦♣s ❜❛s❡❞ ❛t v✱ s✉❝❤ t❤❛t ♥♦ ❢❛❝❡ ♦❢ t❤✐s ❣r❛♣❤ ✐s ❛ ❞✐s❦ ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② ♦♥❡ ♦r t✇♦ ❧♦♦♣s✳

slide-100
SLIDE 100

Pr♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ❧❡♠♠❛

▲❡♠♠❛ Γ ❤❛s O(g) ❝r♦ss✐♥❣s ✇✐t❤ p ❛♥❞ ✇✐t❤ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ ℓi✳ t∗ s∗ ▲❡t ✉s s❤r✐♥❦ t❤❡ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ t♦ ❛ s✐♥❣❧❡ ✈❡rt❡① v✿ Γ ❜❡❝♦♠❡s ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ❧♦♦♣s ❜❛s❡❞ ❛t v✱ s✉❝❤ t❤❛t ♥♦ ❢❛❝❡ ♦❢ t❤✐s ❣r❛♣❤ ✐s ❛ ❞✐s❦ ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② ♦♥❡ ♦r t✇♦ ❧♦♦♣s✳

slide-101
SLIDE 101

Pr♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ❧❡♠♠❛

▲❡♠♠❛ Γ ❤❛s O(g) ❝r♦ss✐♥❣s ✇✐t❤ p ❛♥❞ ✇✐t❤ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ ℓi✳ t∗ s∗ ▲❡t ✉s s❤r✐♥❦ t❤❡ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ t♦ ❛ s✐♥❣❧❡ ✈❡rt❡① v✿ Γ ❜❡❝♦♠❡s ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ❧♦♦♣s ❜❛s❡❞ ❛t v✱ s✉❝❤ t❤❛t ♥♦ ❢❛❝❡ ♦❢ t❤✐s ❣r❛♣❤ ✐s ❛ ❞✐s❦ ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② ♦♥❡ ♦r t✇♦ ❧♦♦♣s✳

slide-102
SLIDE 102

Pr♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ❧❡♠♠❛

▲❡♠♠❛ Γ ❤❛s O(g) ❝r♦ss✐♥❣s ✇✐t❤ p ❛♥❞ ✇✐t❤ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ ℓi✳ t∗ s∗ ▲❡t ✉s s❤r✐♥❦ t❤❡ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ t♦ ❛ s✐♥❣❧❡ ✈❡rt❡① v✿ Γ ❜❡❝♦♠❡s ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ❧♦♦♣s ❜❛s❡❞ ❛t v✱ s✉❝❤ t❤❛t ♥♦ ❢❛❝❡ ♦❢ t❤✐s ❣r❛♣❤ ✐s ❛ ❞✐s❦ ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② ♦♥❡ ♦r t✇♦ ❧♦♦♣s✳

slide-103
SLIDE 103

Pr♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ❧❡♠♠❛

▲❡♠♠❛ Γ ❤❛s O(g) ❝r♦ss✐♥❣s ✇✐t❤ p ❛♥❞ ✇✐t❤ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ ℓi✳ t∗ s∗ ▲❡t ✉s s❤r✐♥❦ t❤❡ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ t♦ ❛ s✐♥❣❧❡ ✈❡rt❡① v✿ Γ ❜❡❝♦♠❡s ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ❧♦♦♣s ❜❛s❡❞ ❛t v✱ s✉❝❤ t❤❛t ♥♦ ❢❛❝❡ ♦❢ t❤✐s ❣r❛♣❤ ✐s ❛ ❞✐s❦ ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② ♦♥❡ ♦r t✇♦ ❧♦♦♣s✳

slide-104
SLIDE 104

Pr♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ❧❡♠♠❛

▲❡♠♠❛ Γ ❤❛s O(g) ❝r♦ss✐♥❣s ✇✐t❤ p ❛♥❞ ✇✐t❤ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ ℓi✳ t∗ s∗ ▲❡t ✉s s❤r✐♥❦ t❤❡ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ t♦ ❛ s✐♥❣❧❡ ✈❡rt❡① v✿ Γ ❜❡❝♦♠❡s ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ❧♦♦♣s ❜❛s❡❞ ❛t v✱ s✉❝❤ t❤❛t ♥♦ ❢❛❝❡ ♦❢ t❤✐s ❣r❛♣❤ ✐s ❛ ❞✐s❦ ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② ♦♥❡ ♦r t✇♦ ❧♦♦♣s✳

slide-105
SLIDE 105

Pr♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ❧❡♠♠❛

▲❡♠♠❛ Γ ❤❛s O(g) ❝r♦ss✐♥❣s ✇✐t❤ p ❛♥❞ ✇✐t❤ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ ℓi✳ t∗ s∗ ▲❡t ✉s s❤r✐♥❦ t❤❡ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ t♦ ❛ s✐♥❣❧❡ ✈❡rt❡① v✿ Γ ❜❡❝♦♠❡s ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ❧♦♦♣s ❜❛s❡❞ ❛t v✱ s✉❝❤ t❤❛t ♥♦ ❢❛❝❡ ♦❢ t❤✐s ❣r❛♣❤ ✐s ❛ ❞✐s❦ ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② ♦♥❡ ♦r t✇♦ ❧♦♦♣s✳

slide-106
SLIDE 106

Pr♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ❧❡♠♠❛

▲❡♠♠❛ Γ ❤❛s O(g) ❝r♦ss✐♥❣s ✇✐t❤ p ❛♥❞ ✇✐t❤ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ ℓi✳ t∗ s∗ ▲❡t ✉s s❤r✐♥❦ t❤❡ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ t♦ ❛ s✐♥❣❧❡ ✈❡rt❡① v✿ Γ ❜❡❝♦♠❡s ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ❧♦♦♣s ❜❛s❡❞ ❛t v✱ s✉❝❤ t❤❛t ♥♦ ❢❛❝❡ ♦❢ t❤✐s ❣r❛♣❤ ✐s ❛ ❞✐s❦ ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② ♦♥❡ ♦r t✇♦ ❧♦♦♣s✳

slide-107
SLIDE 107

Pr♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ❧❡♠♠❛

▲❡♠♠❛ Γ ❤❛s O(g) ❝r♦ss✐♥❣s ✇✐t❤ p ❛♥❞ ✇✐t❤ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ ℓi✳ t∗ s∗ ▲❡t ✉s s❤r✐♥❦ t❤❡ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ t♦ ❛ s✐♥❣❧❡ ✈❡rt❡① v✿ Γ ❜❡❝♦♠❡s ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ❧♦♦♣s ❜❛s❡❞ ❛t v✱ s✉❝❤ t❤❛t ♥♦ ❢❛❝❡ ♦❢ t❤✐s ❣r❛♣❤ ✐s ❛ ❞✐s❦ ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② ♦♥❡ ♦r t✇♦ ❧♦♦♣s✳

slide-108
SLIDE 108

❚❤❛♥❦s✦

slide-109
SLIDE 109

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❝♦♥t❡♥ts

▼♦r❡ ❘❡s✉❧ts✳ ✳ ✳

P❛t❤ t✐❣❤t❡♥✐♥❣

▼✐♥✐♠✉♠ ❝✉t ❛❧❣♦r✐t❤♠

❚❤❛♥❦s✦