SLIDE 1
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SLIDE 2
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SLIDE 3 ❙❤♦rt❡st ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧ ❝❧♦s❡❞ ❝✉r✈❡s
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SLIDE 4 ❖t❤❡r ♣r♦❜❧❡♠s s♦❧✈❡❞
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SLIDE 5
P❛t❤ t✐❣❤t❡♥✐♥❣
SLIDE 6
Pr♦❜❧❡♠
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SLIDE 7
Pr♦❜❧❡♠
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SLIDE 8
Pr♦❜❧❡♠
▲♦❝❛❧ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❞♦❡s♥✬t ✇♦r❦✦
SLIDE 9
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❊✈❡r② ♣❛t❤ ♦♥ S ❝❛♥ ❜❡ ✏❧✐❢t❡❞✑ t♦ ˜ S ✳ ❚✇♦ ♣❛t❤s ❛r❡ ❤♦♠♦t♦♣✐❝ ✐✛ t❤❡② ❛❞♠✐t ❧✐❢ts ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ ❡♥❞♣♦✐♥ts✳
SLIDE 10
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❊✈❡r② ♣❛t❤ ♦♥ S ❝❛♥ ❜❡ ✏❧✐❢t❡❞✑ t♦ ˜ S ✳ ❚✇♦ ♣❛t❤s ❛r❡ ❤♦♠♦t♦♣✐❝ ✐✛ t❤❡② ❛❞♠✐t ❧✐❢ts ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ ❡♥❞♣♦✐♥ts✳
SLIDE 11
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❊✈❡r② ♣❛t❤ ♦♥ S ❝❛♥ ❜❡ ✏❧✐❢t❡❞✑ t♦ ˜ S ✳ ❚✇♦ ♣❛t❤s ❛r❡ ❤♦♠♦t♦♣✐❝ ✐✛ t❤❡② ❛❞♠✐t ❧✐❢ts ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ ❡♥❞♣♦✐♥ts✳ ■t ✏s✉✣❝❡s✑ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ s❤♦rt❡st ♣❛t❤s ✐♥ ˜ S ✳
SLIDE 12
Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝✉t ❣r❛♣❤ ✇✐t❤ ♦♥❡ ✈❡rt❡①
a b a b ▲❡♠♠❛ ■❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❝②❝❧❡s ❢♦r♠ ❛ s❤♦rt❡st ♦♥❡✲✈❡rt❡① ❝✉t ❣r❛♣❤✱ t❤❡♥ t❤❡ ✏❤♦r✐③♦♥t❛❧s✑ ❛♥❞ t❤❡ ✏✈❡rt✐❝❛❧s✑ ❛r❡ s❤♦rt❡st ♣❛t❤s✳ ❈♦r♦❧❧❛r② ❚❤❡ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ ❝♦♥♥❡❝t✐♥❣ a t♦ b ✐♥ ˜ S r❡♠❛✐♥s ✐♥ t❤❡ r❡❝t❛♥❣❧❡ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ a ❛♥❞ b✳
SLIDE 13 ❆❧❣♦r✐t❤♠ ✭g = ✶ ❤❛♥❞❧❡✮
❈♦♠♣✉t❡ ❛ s❤♦rt❡st ♦♥❡✲✈❡rt❡① ❝✉t ❣r❛♣❤❀
→ O(n✷ ❧♦❣ n) → ❆❝t✉❛❧❧②✱ O(n ❧♦❣ n)✳
❝♦✉♥t t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝r♦ss✐♥❣s p ✇✐t❤ t❤❡ ✏❤♦r✐③♦♥t❛❧✑ ❝②❝❧❡ ❛♥❞ q ✇✐t❤ t❤❡ ✏✈❡rt✐❝❛❧✑ ❝②❝❧❡❀
→ p, q = O(k) ✇❤❡r❡ k❂❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥♣✉t ♣❛t❤✳
❣❧✉❡ p × q ❝♦♣✐❡s ♦❢ t❤❡ sq✉❛r❡❀
→ O(pqn) = O(k✷n)✳ → ❆❝t✉❛❧❧②✱ O(p + q) ❝♦♣✐❡s s✉✣❝❡✿ O(kn)✳
❝♦♠♣✉t❡ ❛ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡ ❣r✐❞✳
→ O(k✷n ❧♦❣(k✷n)) ✭❉✐❥❦str❛✮✳ → ❆❝t✉❛❧❧②✱ O(kn)✳
❚♦t❛❧✿ O(n✷ ❧♦❣ n + k✷n ❧♦❣ kn)✳ ❆❝t✉❛❧❧②✿ O(n ❧♦❣ n + kn) ❬❈❞❱✱ ❊r✐❝❦s♦♥✱ ✷✵✵✻❪✰❬❈❞❱✱ ❏♦✉❤❡t✱ ∞❪✳
SLIDE 14 ❆❧❣♦r✐t❤♠ ✭g = ✶ ❤❛♥❞❧❡✮
❈♦♠♣✉t❡ ❛ s❤♦rt❡st ♦♥❡✲✈❡rt❡① ❝✉t ❣r❛♣❤❀
→ O(n✷ ❧♦❣ n) → ❆❝t✉❛❧❧②✱ O(n ❧♦❣ n)✳
❝♦✉♥t t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝r♦ss✐♥❣s p ✇✐t❤ t❤❡ ✏❤♦r✐③♦♥t❛❧✑ ❝②❝❧❡ ❛♥❞ q ✇✐t❤ t❤❡ ✏✈❡rt✐❝❛❧✑ ❝②❝❧❡❀
→ p, q = O(k) ✇❤❡r❡ k❂❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥♣✉t ♣❛t❤✳
❣❧✉❡ p × q ❝♦♣✐❡s ♦❢ t❤❡ sq✉❛r❡❀
→ O(pqn) = O(k✷n)✳ → ❆❝t✉❛❧❧②✱ O(p + q) ❝♦♣✐❡s s✉✣❝❡✿ O(kn)✳
❝♦♠♣✉t❡ ❛ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡ ❣r✐❞✳
→ O(k✷n ❧♦❣(k✷n)) ✭❉✐❥❦str❛✮✳ → ❆❝t✉❛❧❧②✱ O(kn)✳
❚♦t❛❧✿ O(n✷ ❧♦❣ n + k✷n ❧♦❣ kn)✳ ❆❝t✉❛❧❧②✿ O(n ❧♦❣ n + kn) ❬❈❞❱✱ ❊r✐❝❦s♦♥✱ ✷✵✵✻❪✰❬❈❞❱✱ ❏♦✉❤❡t✱ ∞❪✳
SLIDE 15 ❆❧❣♦r✐t❤♠ ✭g = ✶ ❤❛♥❞❧❡✮
❈♦♠♣✉t❡ ❛ s❤♦rt❡st ♦♥❡✲✈❡rt❡① ❝✉t ❣r❛♣❤❀
→ O(n✷ ❧♦❣ n) → ❆❝t✉❛❧❧②✱ O(n ❧♦❣ n)✳
❝♦✉♥t t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝r♦ss✐♥❣s p ✇✐t❤ t❤❡ ✏❤♦r✐③♦♥t❛❧✑ ❝②❝❧❡ ❛♥❞ q ✇✐t❤ t❤❡ ✏✈❡rt✐❝❛❧✑ ❝②❝❧❡❀
→ p, q = O(k) ✇❤❡r❡ k❂❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥♣✉t ♣❛t❤✳
❣❧✉❡ p × q ❝♦♣✐❡s ♦❢ t❤❡ sq✉❛r❡❀
→ O(pqn) = O(k✷n)✳ → ❆❝t✉❛❧❧②✱ O(p + q) ❝♦♣✐❡s s✉✣❝❡✿ O(kn)✳
❝♦♠♣✉t❡ ❛ s❤♦rt❡st ♣❛t❤ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡ ❣r✐❞✳
→ O(k✷n ❧♦❣(k✷n)) ✭❉✐❥❦str❛✮✳ → ❆❝t✉❛❧❧②✱ O(kn)✳
❚♦t❛❧✿ O(n✷ ❧♦❣ n + k✷n ❧♦❣ kn)✳ ❆❝t✉❛❧❧②✿ O(n ❧♦❣ n + kn) ❬❈❞❱✱ ❊r✐❝❦s♦♥✱ ✷✵✵✻❪✰❬❈❞❱✱ ❏♦✉❤❡t✱ ∞❪✳
SLIDE 16
❖❦❛②✱ ❜✉t ✇❤❛t ❛❜♦✉t g ≥ ✷ ❤❛♥❞❧❡s❄
❚❤❡ ❧✐❢ts ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝✉t ❣r❛♣❤ ❛r❡ ♥♦t s❤♦rt❡st ♣❛t❤s✳ ❲❤❛t ✐s ❛ ❣♦♦❞ r❡♣❧❛❝❡♠❡♥t ❢♦r t❤❡ s❤♦rt❡st ❝✉t ❣r❛♣❤❄ ❲❤❛t ❞♦❡s t❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ❝♦✈❡r ❧♦♦❦ ❧✐❦❡❄
SLIDE 17
❖❦❛②✱ ❜✉t ✇❤❛t ❛❜♦✉t g ≥ ✷ ❤❛♥❞❧❡s❄
❚❤❡ ❧✐❢ts ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝✉t ❣r❛♣❤ ❛r❡ ♥♦t s❤♦rt❡st ♣❛t❤s✳ ❲❤❛t ✐s ❛ ❣♦♦❞ r❡♣❧❛❝❡♠❡♥t ❢♦r t❤❡ s❤♦rt❡st ❝✉t ❣r❛♣❤❄ ❲❤❛t ❞♦❡s t❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ❝♦✈❡r ❧♦♦❦ ❧✐❦❡❄
SLIDE 18
❖❦❛②✱ ❜✉t ✇❤❛t ❛❜♦✉t g ≥ ✷ ❤❛♥❞❧❡s❄
❚❤❡ ❧✐❢ts ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝✉t ❣r❛♣❤ ❛r❡ ♥♦t s❤♦rt❡st ♣❛t❤s✳ ❲❤❛t ✐s ❛ ❣♦♦❞ r❡♣❧❛❝❡♠❡♥t ❢♦r t❤❡ s❤♦rt❡st ❝✉t ❣r❛♣❤❄ ❲❤❛t ❞♦❡s t❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ❝♦✈❡r ❧♦♦❦ ❧✐❦❡❄ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❡❛❝❤ ♣❛t❤ ❧✐❢ts t♦ ❛ s❤♦rt❡st ♣❛t❤
SLIDE 19
❖❦❛②✱ ❜✉t ✇❤❛t ❛❜♦✉t g ≥ ✷ ❤❛♥❞❧❡s❄
❚❤❡ ❧✐❢ts ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝✉t ❣r❛♣❤ ❛r❡ ♥♦t s❤♦rt❡st ♣❛t❤s✳ ❲❤❛t ✐s ❛ ❣♦♦❞ r❡♣❧❛❝❡♠❡♥t ❢♦r t❤❡ s❤♦rt❡st ❝✉t ❣r❛♣❤❄ ❲❤❛t ❞♦❡s t❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ❝♦✈❡r ❧♦♦❦ ❧✐❦❡❄ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❡❛❝❤ ♣❛t❤ ❧✐❢ts t♦ ❛ s❤♦rt❡st ♣❛t❤
SLIDE 20
❚❡❝❤♥✐❝❛❧ ▲❡♠♠❛ ❛♥❞ ❈♦♥✈❡①✐t②
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SLIDE 21
❚❡❝❤♥✐❝❛❧ ▲❡♠♠❛ ❛♥❞ ❈♦♥✈❡①✐t②
▲❡♠♠❛ ▲❡t γ ❜❡ ❛ t✐❣❤t ❝②❝❧❡✱ ❧❡t p ❜❡ ❛ ♣❛t❤ ✏✇r❛♣♣✐♥❣ ❛r♦✉♥❞✑ γ✳ ❚❤❡♥ p ✐s t✐❣❤t✳ ❈♦♥✈❡①✐t② ❧✐♥❡✿ ❧✐❢t ♦❢ ❛ ❝②❝❧❡ ❤❛❧❢✲♣❧❛♥❡✿ ❞❡❧✐♠✐t❡❞ ❜② ❛ ❧✐♥❡ ❝♦♥✈❡①✿ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❤❛❧❢✲♣❧❛♥❡s t❤❡ s❤♦rt❡st ♣♦✐♥t ✇✐t❤ ❡♥❞♣♦✐♥ts ✐♥ ❛ ❝♦♥✈❡① s❡t C st❛②s ✐♥ C✳
SLIDE 22
❚❡❝❤♥✐❝❛❧ ▲❡♠♠❛ ❛♥❞ ❈♦♥✈❡①✐t②
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SLIDE 23
❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥ ♦❢ ˜ S
SLIDE 24
❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥ ♦❢ ˜ S
SLIDE 25
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SLIDE 26
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SLIDE 27
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SLIDE 28
❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥ ♦❢ ˜ S
SLIDE 29
❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥ ♦❢ ˜ S
SLIDE 30
❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥ ♦❢ ˜ S
SLIDE 31
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SLIDE 32 ❈♦♠♣❧❡①✐t②
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❛t ♠♦st ✷m ✢❛t ✈❡rt✐❝❡s ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥ ❛t ♠♦st ✻ ❝♦r♥❡r ✈❡rt✐❝❡s ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ✢❛t ✈❡rt✐❝❡s✳
SLIDE 33
❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✿ t❡❝❤♥✐❝❛❧ ❧❡♠♠❛
❆r❝✿ ♣❛t❤ ✇✐t❤ ❡♥❞♣♦✐♥ts ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ▲❡♠♠❛ ❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡✱ ❧❡t α ❜❡ ❛ t✐❣❤t s✐♠♣❧❡ ❝✉r✈❡ t❤❛t ✐s ❡✐t❤❡r ❛♥ ❛r❝ ♦r ❛ ♥♦♥✲❝♦♥tr❛❝t✐❜❧❡ ❝②❝❧❡✱ β ❜❡ ❛ s✐♠♣❧❡ ♣❛t❤ ♦r ❝②❝❧❡ ❞✐s❥♦✐♥t ❢r♦♠ α✳ ❚❤❡♥ β ✐s t✐❣❤t ♦♥ S ✐✛ ✐t ✐s t✐❣❤t ♦♥ S\ \α✳
SLIDE 34 ❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥
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❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿
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❬❉✐❥❦str❛❪
✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿
O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪
✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡
❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱
✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪
SLIDE 35 ❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥
s❦✐♣
❖♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡①✐t② n✱ ❣❡♥✉s g✱ ❛♥❞ b ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✿
✶ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❝②❝❧❡✿ O(n✷ ❧♦❣ n) ✷ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❛r❝ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡
❜♦✉♥❞❛r② ✭♦r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✮✿ O(n ❧♦❣ n)
❬❉✐❥❦str❛❪
✸ ✐❢ b ≥ ✶✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ♥♦♥✲s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❛r❝✿
O(n ❧♦❣ n) ❬❊r✐❝❦s♦♥✱ ❍❛r✲P❡❧❡❞✱ ✷✵✵✷❪
✹ ✐❢ g = ✵ ❛♥❞ b ∈ {✷, ✸}✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❤♦rt❡st ❝②❝❧❡
❤♦♠♦t♦♣✐❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r②✿ O(n ❧♦❣ n) ❬❈❞❱✱ ▲❛③❛r✉s✱
✷✵✵✸❪✱❬❋r❡❞❡r✐❝❦s♦♥✱ ✶✾✽✼❪
SLIDE 36 ❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥
s❦✐♣
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SLIDE 44 ❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥
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SLIDE 45 ❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥
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SLIDE 46 ❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥
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SLIDE 47 ❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥
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SLIDE 48 ❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥
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SLIDE 49 ❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥
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SLIDE 50 ❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥
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SLIDE 51 ❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥
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SLIDE 52 ❇✉✐❧❞✐♥❣ t❤❡ ♦❝t❛❣♦♥❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥
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SLIDE 71
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SLIDE 72 Pr♦❜❧❡♠
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SLIDE 73 Pr♦❜❧❡♠
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SLIDE 74 Pr♦❜❧❡♠
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SLIDE 75 Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s✿ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ✭❂♦❢ t❤❡ s♣❤❡r❡✮
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SLIDE 77 Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s✿ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ✭❂♦❢ t❤❡ s♣❤❡r❡✮
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SLIDE 78 Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s✿ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ✭❂♦❢ t❤❡ s♣❤❡r❡✮
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SLIDE 80 Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s✿ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ✭❂♦❢ t❤❡ s♣❤❡r❡✮
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SLIDE 81
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SLIDE 82
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SLIDE 99
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