r r ts r - - PowerPoint PPT Presentation

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s

◆❣✉②❡♥ ❚❤✐ ❍♦❛✐ ❚❤✉♦♥❣✱ ❆❜r❛❤❛♠ ❙②❧❧❛✱ ❙é❜❛st✐❡♥ ❚r❛♥ ❚✐❡♥ ❙✉♣❡r✈✐s♦rs✿ ❇❡♥❥❛♠✐♥ ❇♦✉t✐♥ ❛♥❞ ❏❡❛♥✲❋r❛♥ç♦✐s ❈♦✉❧♦♠❜❡❧

❈❡♠r❛❝s ✷✵✶✾

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

✷

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❖✉t✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②✿ ◆❡✉♠❛♥♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ■♥✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r② ❚❤❡ ♠❛✐♥ r❡s✉❧t

✸

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ■♥✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r② tr❡❛t♠❡♥t ❇♦✉♥❞❛r② ❧❛②❡r ❛t t❤❡ ♦✉t✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②

✹

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

✷

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❖✉t✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②✿ ◆❡✉♠❛♥♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ■♥✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r② ❚❤❡ ♠❛✐♥ r❡s✉❧t

✸

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ■♥✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r② tr❡❛t♠❡♥t ❇♦✉♥❞❛r② ❧❛②❡r ❛t t❤❡ ♦✉t✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②

✹

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❚r❛♥s♣♦rt ■❇❱P✿ ✩ ✫ ✪ ❇tu a❇xu ✏ ✵ t ➙ ✵ x P ♣✵, Lq u♣✵, xq ✏ u✵♣xq x P ♣✵, Lq u♣t, ✵q ✏ h♣tq t ➙ ✵ ❊①♣❧✐❝✐t s♦❧✉t✐♦♥✿ u♣t, xq ✏ ★ u✵♣x ✁ atq, ✐❢ x ➙ at, h ✁ t ✁ x a ✠ , ✐❢ x ↕ at, ✇❤✐❝❤ ✐s ✐♥ Hk✶♣♣✵, Lq ✂ ♣✵, ✽qq ♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❛t u✵ P Hk✶♣♣✵, Lqq✱ h P Hk✶♣♣✵, ✽qq s❛t✐s❢②✿ ❅m ✏ ✵, . . . , k, u♣mq

✵

♣✵q ✏ ♣✁aq✁mh♣mq♣✵q.

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❘❡❣✉❧❛r ❣r✐❞✿ ∆x :✏ L④J, xj :✏ j∆x ♣j P Zq, ∆t :✏ λ∆x ❚✇♦✲t✐♠❡ st❡♣ ✜♥✐t❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ s❝❤❡♠❡ ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r✐♦r ❞♦♠❛✐♥✿ un✶

j

✏

p

➳

ℓ✏✁r

aℓun

jℓ,

n P N, j ✏ ✶, . . . , J. ❆ss✉♠♣t✐♦♥ ❋♦r s♦♠❡ ✐♥t❡❣❡r k ➙ ✶✱ t❤❡r❡ ❤♦❧❞s✿ ❅m ✏ ✵ . . . k,

p

➳

ℓ✏✁r

ℓmaℓ ✏ ♣✁λaqm, ♣❝♦♥s✐st❡♥❝② ♦❢ ♦r❞❡r kq sup

θPr✵,✷πs

✞ ✞ ✞ ✞ ✞

p

➳

l✏✁r

aℓeiℓθ ✞ ✞ ✞ ✞ ✞ ↕ ✶, ♣ℓ✷ ✁ st❛❜✐❧✐t②q. ❊①❛♠♣❧❡s✿

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡s

✌ ▲❛①✲❲❡♥❞r♦✛ s❝❤❡♠❡ ✭r ✏ ✶✱ p ✏ ✶✮✳ un✶

j

✏ ν♣ν ✶q ✷ un

j✁✶

• ✶ ✁ ν✷✟

un

j ν♣ν ✁ ✶q

✷ un

j✶;

✌ ❖✸ s❝❤❡♠❡ ✭r ✏ ✷✱ p ✏ ✶✮✳ un✶

j

✏ ✁ν♣ν ✶q♣✶ ✁ νq ✻ un

j✁✷ ν♣ν ✶q♣✷ ✁ νq

✷ un

j✁✶

♣ν ✶q♣✶ ✁ νq♣✷ ✁ νq ✷ un

j ✁ν♣✶ ✁ νq♣✷ ✁ νq

✻ un

j✶,

✇❤❡r❡ ν ✏ aλ.

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❲❤❛t ✈❛❧✉❡s s❤♦✉❧❞ ✇❡ ♣r❡s❝r✐❜❡ ❢♦r un

j ✱ ❢♦r ✶ ✁ r ↕ j ↕ ✵ ❛♥❞

J ✶ ↕ j ↕ J p❄ ■♥✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②✿ ❚❛②❧♦r ❡①♣❛♥s✐♦♥ ❖✉t✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②✿ ◆❡✉♠❛♥♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ♦❢ ♦r❞❡r kb ➙ ✵

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❚❤❡♦r❡♠ ❚❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♣un

j q✶↕j↕J,✵↕n↕N t♦ t❤❡ s❝❤❡♠❡ ❛❧♦♥❣ ✇✐t❤ s✉✐t❛❜❧❡

♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛♥❞ ✐♥✐t✐❛❧ ❞❛t✉♠ s❛t✐s✜❡s✿ sup

✵↕n↕N

☎ ✆

J

➳

j✏✶

✞ ✞ ✞ ✞ ✞un

j ✁ ✶

∆x ➺ xj

xj✁✶

u♣tn, yqdy ✞ ✞ ✞ ✞ ✞

✷

∆x ☞ ✌

✶④✷

↕ C∆x♠✐♥♣k,kbq ✁ ⑥u✵⑥Hk✶♣♣✵,Lqq ⑥h⑥Hk✶♣♣✵,✽qq ✠ ❛♥❞ sup

✵↕n↕N

sup

✶↕j↕J

✞ ✞ ✞ ✞ ✞un

j ✁ ✶

∆x ➺ xj

xj✁✶

u♣tn, yqdy ✞ ✞ ✞ ✞ ✞ ↕ C∆x♠✐♥♣k,kbq✁✶④✷ ✁ ⑥u✵⑥Hk✶♣♣✵,Lqq ⑥h⑥Hk✶♣♣✵,✽qq ✠

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❖✉t✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②✿ ◆❡✉♠❛♥♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ■♥✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r② ❚❤❡ ♠❛✐♥ r❡s✉❧t

✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

✷

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❖✉t✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②✿ ◆❡✉♠❛♥♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ■♥✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r② ❚❤❡ ♠❛✐♥ r❡s✉❧t

✸

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ■♥✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r② tr❡❛t♠❡♥t ❇♦✉♥❞❛r② ❧❛②❡r ❛t t❤❡ ♦✉t✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②

✹

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❖✉t✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②✿ ◆❡✉♠❛♥♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ■♥✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r② ❚❤❡ ♠❛✐♥ r❡s✉❧t

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❛t t❤❡ ♦✉t✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r② ✭✶ ↕ ℓ ↕ p✮✿ ♣Dkb

✁ unqJℓ ✏ ✵,

✇❤❡r❡ ♣D✁vqj :✏ vj ✁ vj✁✶ ❯s✐♥❣ ❛♥ ❡♥❡r❣② ♠❡t❤♦❞ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ st❛❜✐❧✐t② ❡st✐♠❛t❡✿

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❚❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♣un

j qj↕J,✵↕n↕N t♦✿

✩ ✫ ✪ u✵

j ✏ fj

j ↕ J ♣Dkb

✁ unqJℓ ✏ g n Jℓ

✶ ↕ ℓ ↕ p ✵ ↕ n ↕ N ✁ ✶ un✶

j

✏ ➦p

l✏✁r alun jl ∆tF n✶ j

j ↕ J ✵ ↕ n ↕ N ✁ ✶ s❛t✐s✜❡s✿ sup

✵↕n↕N

➳

j↕J

∆x♣un

j q✷ ↕ C

✒ ➳

j↕J

∆x♣fjq✷ ♣N∆tq✷ sup

✶↕n↕N

➳

j↕J

∆x♣F n

j q✷ N✁✶

➳

n✏✵

∆t

p

➳

ℓ✏✶

♣g n

Jℓq✷

✚

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❖✉t✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②✿ ◆❡✉♠❛♥♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ■♥✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r② ❚❤❡ ♠❛✐♥ r❡s✉❧t

❚❤❡♦r❡♠ ❚❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♣un

j qj↕J, ✵↕n↕N t♦

✩ ✬ ✬ ✫ ✬ ✬ ✪ u✵

j ✏

✶ ∆x ➩xj

xj✁✶ u✵♣yqdy

j ↕ J ♣Dkb

✁ unqJℓ ✏ ✵

✶ ↕ ℓ ↕ p ✵ ↕ n ↕ N ✁ ✶ un✶

j

✏ ➦p

l✏✁r alun jl

j ↕ J ✵ ↕ n ↕ N ✁ ✶ s❛t✐s✜❡s✱ ✇✐t❤ k✵ :✏ ♠✐♥ ♣k, kbq sup

✵↕n↕N

☎ ✆➳

j↕J

✞ ✞ ✞ ✞ ✞un

j ✁ ✶

∆x ➺ xj

xj✁✶

u♣tn, yqdy ✞ ✞ ✞ ✞ ✞

✷

∆x ☞ ✌

✶④✷

↕ C∆xk✵⑥u✵⑥Hk✵✶♣♣✁✽,Lqq

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❖✉t✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②✿ ◆❡✉♠❛♥♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ■♥✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r② ❚❤❡ ♠❛✐♥ r❡s✉❧t

❋r♦♠ ❛ ❚❛②❧♦r ❡①♣❛♥s✐♦♥✿ ➺ xℓ

xℓ✁✶

h ✁ tn ✁ y a ✠ dy ✏ ➺ xℓ

xℓ✁✶ k✁✶

➳

s✏✵

✁ ✁y a ✠s h♣sq♣tnq s! dy O♣∆xk✶q ✏

k✁✶

➳

s✏✵

♣ℓ∆xqs✶ ✁ ♣♣ℓ ✁ ✶q∆xqs✶ ♣✁aqs♣s ✶q! h♣sq♣tnq O♣∆xk✶q ❲❡ ❞❡r✐✈❡ t❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❛t t❤❡ ✐♥✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②✿ un

ℓ ✏ k✁✶

➳

s✏✵

ℓs✶ ✁ ♣ℓ ✁ ✶qs✶ ♣✁aqs♣s ✶q! ∆xsh♣sq♣tnq, ✶ ✁ r ↕ ℓ ↕ ✵ ❢♦r ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❣❡t t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❡st✐♠❛t❡✿

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❖✉t✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②✿ ◆❡✉♠❛♥♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ■♥✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r② ❚❤❡ ♠❛✐♥ r❡s✉❧t

❚❤❡♦r❡♠ ❚❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♣un

j qj➙✶, ✵↕n↕N t♦ t❤❡ s❝❤❡♠❡

✩ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✫ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✪ u✵

j ✏

✶ ∆x ➩xj

xj✁✶ u✵♣yqdy

j ➙ ✶ un

ℓ ✏ k✁✶

➳

s✏✵

ℓs✶ ✁ ♣ℓ ✁ ✶qs✶ ♣✁aqs♣s ✶q! ∆xsh♣sq♣tnq ✶ ✁ r ↕ ℓ ↕ ✵ ✵ ↕ n ↕ N ✁ ✶ un✶

j

✏

p

➳

l✏✁r

alun

jl

j ➙ ✶ ✵ ↕ n ↕ N ✁ ✶ s❛t✐s✜❡s sup

✵↕n↕N

✄➳

j➙✶

✞ ✞ ✞ ✞ ✞un

j ✁

✶ ∆x ➺ xj

xj✁✶

u♣tn, yqdy ✞ ✞ ✞ ✞ ✞

✷

∆x ☛✶④✷ ↕ C∆xk ⑥u✵⑥Hk✶♣♣✵,✽qq ⑥h⑥Hk✶♣♣✵,✽qq ✟

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❖✉t✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②✿ ◆❡✉♠❛♥♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ■♥✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r② ❚❤❡ ♠❛✐♥ r❡s✉❧t

❙✉♣❡r♣♦s✐t✐♦♥ ❛r❣✉♠❡♥t ❛❧♦♥❣ ✇✐t❤ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s❧② ♦❜t❛✐♥❡❞ ❡st✐♠❛t❡s t♦ ②✐❡❧❞✿ ❚❤❡♦r❡♠ ❚❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♣un

j q✶↕j↕J, ✵↕n↕N t♦ t❤❡ s❝❤❡♠❡

✩ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✫ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✪ u✵

j ✏

✶ ∆x ➩xj

xj✁✶ u✵♣yqdy

✶ ↕ j ↕ J ♣Dkb

✁ unqJℓ ✏ ✵

✶ ↕ ℓ ↕ p ✵ ↕ n ↕ N ✁ ✶ un

ℓ ✏ k✁✶

➳

s✏✵

ℓs✶ ✁ ♣ℓ ✁ ✶qs✶ ♣✁aqs♣s ✶q! ∆xsh♣sq♣tnq ✶ ✁ r ↕ ℓ ↕ ✵ ✵ ↕ n ↕ N ✁ ✶ un✶

j

✏

p

➳

l✏✁r

alun

jl

✶ ↕ j ↕ J ✵ ↕ n ↕ N ✁ ✶ s❛t✐s✜❡s✱ ✇✐t❤ k✵ ✏ ♠✐♥♣k, kbq✿ sup

✵↕n↕N

✄ J ➳

j✏✶

✞ ✞ ✞ ✞ ✞un

j ✁

✶ ∆x ➺ xj

xj✁✶

u♣tn, yqdy ✞ ✞ ✞ ✞ ✞

✷

∆x ☛✶④✷ ↕ C∆xk✵ ⑥u✵⑥Hk✶♣♣✵,Lqq ⑥h⑥Hk✶♣♣✵,✽qq ✟

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ■♥✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r② tr❡❛t♠❡♥t ❇♦✉♥❞❛r② ❧❛②❡r ❛t t❤❡ ♦✉t✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②

✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

✷

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❖✉t✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②✿ ◆❡✉♠❛♥♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ■♥✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r② ❚❤❡ ♠❛✐♥ r❡s✉❧t

✸

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ■♥✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r② tr❡❛t♠❡♥t ❇♦✉♥❞❛r② ❧❛②❡r ❛t t❤❡ ♦✉t✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②

✹

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ■♥✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r② tr❡❛t♠❡♥t ❇♦✉♥❞❛r② ❧❛②❡r ❛t t❤❡ ♦✉t✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②

◆❛✐✈❡

◆❛✐✈❡ tr❡❛t♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ❧❡❢t ❜♦✉♥❞❛r② ✐♥ t❤❡ ▲❛①✲❲❡♥❞r♦✛ s❝❤❡♠❡✿ un

✵ ✏ h♣tnq, n P ◆.

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ■♥✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r② tr❡❛t♠❡♥t ❇♦✉♥❞❛r② ❧❛②❡r ❛t t❤❡ ♦✉t✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②

❙♠❛rt❡r ❝❤♦✐❝❡

❚❛②❧♦r ❡①♣❛♥s✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ▲❛①✲❲❡♥❞r♦✛ s❝❤❡♠❡✿ un

✵ ✏ h♣tnq ∆x

✷a h✶♣tnq, n P ◆.

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ■♥✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r② tr❡❛t♠❡♥t ❇♦✉♥❞❛r② ❧❛②❡r ❛t t❤❡ ♦✉t✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②

❲✐t❤ t❤❡ ❖✸ s❝❤❡♠❡

❚❛②❧♦r ❡①♣❛♥s✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❖✸ s❝❤❡♠❡✿ ✩ ✬ ✬ ✬ ✫ ✬ ✬ ✬ ✪ un

✵ ✏ h♣tnq ✶

✷ ✂∆x a ✡ h✶♣tnq ✶ ✻ ✂∆x a ✡✷ h♣✷q♣tnq, un

✁✶ ✏ h♣tnq ✸

✷ ✂∆x a ✡ h✶♣tnq ✼ ✻ ✂∆x a ✡✷ h♣✷q♣tnq

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ■♥✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r② tr❡❛t♠❡♥t ❇♦✉♥❞❛r② ❧❛②❡r ❛t t❤❡ ♦✉t✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②

❍♦✇ t♦ ❡①♣❧❛✐♥ t❤❡ ♦r❞❡r min♣k, kb ✶④✷q ✐♥ ℓ✽

t ℓ✷ x ♥♦r♠❄

❉❡♥♦t❡ ♣ρ♣✶q

j

qj↕Jp, . . . , ♣ρ♣pq

j

qj↕Jp t❤❡ p st❡❛❞② st❛t❡s ♦❢ t❤❡ s❝❤❡♠❡ ❜❡❧♦♥❣✐♥❣ t♦ ℓ✷ ❛♥❞ ❧❡t✿ wn

j :✏ un j ✁ un ❡①❛❝t,j p

➳

i✏✶

zn

i ☎ ρ♣iq j

✇❤❡r❡ ♣zn

✶ qn, . . . , ♣zn pqn ❛r❡ t♦ ❜❡ ❢♦✉♥❞ s♦ t❤❛t✿

❅✵ ↕ n ↕ N, ❅✶ ↕ ℓ ↕ p, ♣Dkb

✁ wnqJℓ ✏ ✵

❚❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❧❛②❡r t❡r♠ ➦p

i✏✶ zn i ☎ ρ♣iq j

✐s ♦❢ s✐③❡ ∆xkb✶④✷✳ ❲r✐t✐♥❣ ⑥un

j ✁ un ❡①❛❝t,j⑥ ↕ ⑥wn j ⑥ ⑥ ➦p i✏✶ zn i ☎ ρ♣iq j ⑥ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡

❡st✐♠❛t❡✿

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ■♥✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r② tr❡❛t♠❡♥t ❇♦✉♥❞❛r② ❧❛②❡r ❛t t❤❡ ♦✉t✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❚❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♣un

j qj↕J,✵↕n↕N t♦✿

✩ ✬ ✫ ✬ ✪ u✵

j ✏ ✶ ∆x

➩xj

xj✁✶ u✵♣yq❞y

j ↕ J ♣Dkb

✁ unqJℓ ✏ ✵

✶ ↕ ℓ ↕ p ✵ ↕ n ↕ N ✁ ✶ un✶

j

✏ ➦p

l✏✁r alun jl

j ↕ J ✵ ↕ n ↕ N ✁ ✶ s❛t✐s✜❡s✿ sup

✵↕n↕N

☎ ✆➳

j↕J

✞ ✞ ✞ ✞ ✞un

j ✁ ✶

∆x ➺ xj

xj✁✶

u♣tn, yqdy ✞ ✞ ✞ ✞ ✞

✷

∆x ☞ ✌

✶④✷

↕ C ✑ ∆xk⑥u✵⑥Hk✶ ∆xkb✶④✷⑥u✵⑥Hkb✷ ✙

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

✷

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❖✉t✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②✿ ◆❡✉♠❛♥♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ■♥✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r② ❚❤❡ ♠❛✐♥ r❡s✉❧t

✸

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ■♥✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r② tr❡❛t♠❡♥t ❇♦✉♥❞❛r② ❧❛②❡r ❛t t❤❡ ♦✉t✢♦✇ ❜♦✉♥❞❛r②

✹

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥✿ ❉❡✈❡❧♦♣♠❡♥t ♦❢ ❛ s②st❡♠❛t✐❝ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❛♥❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❢♦r ❤✐❣❤ ♦r❞❡r ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❧✐♥❡❛r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s ✇✐t❤ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✳ P♦ss✐❜❧❡ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡s✿ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ k ✏ kb✱ ❤♦✇ t♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦r❞❡r ❢♦r t❤❡ ℓ✽

t ℓ✽ x

♥♦r♠ ✐s k❄ ❚❛❝❦❧❡ t❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❝❛s❡ ✩ ✫ ✪ ❇tu ❇xf ♣uq ✏ ✵ t ➙ ✵ x P ♣✵, Lq u♣✵, xq ✏ u✵♣xq x P ♣✵, Lq u♣t, ✵q ✏ h♣tq t ➙ ✵ ❚❛❝❦❧❡ t❤❡ ♠✉❧t✐✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❝❛s❡ ✩ ✫ ✪ ❇tu a ☎ ∇u ✏ ✵ t ➙ ✵ x P Ω ⑨ ❘n u♣✵, xq ✏ u✵♣xq x P Ω u♣t, σq ✏ h♣t, σq t ➙ ✵ σ P ❇Ω.

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❘❡❢❡r❡♥❝❡s

❏✳✲❋✳ ❈♦✉❧♦♠❜❡❧✱ ❋✳ ▲❛❣♦✉t✐èr❡✳ ❚❤❡ ◆❡✉♠❛♥♥ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✷✵✶✽✮ ❋✳ ❋✐❧❜❡t✱ ❈✳ ❨❛♥❣✳ ❆♥ ✐♥✈❡rs❡ ▲❛①✲❲❡♥❞r♦✛ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ ❇♦❧t③♠❛♥♥ t②♣❡ ♠♦❞❡❧s ✭✷✵✶✸✮ ❙✳ ❚❛♥✱ ❈✳✲❲✳ ❙❤✉✳ ■♥✈❡rs❡ ▲❛①✲❲❡♥❞r♦✛ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❢♦r ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦❢ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s ✭✷✵✶✵✮

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s