nearly free electron approxima0on Bloch equa0on E ! ( b p - - PowerPoint PPT Presentation

SLIDE 1

nearly ¡free ¡electron ¡approxima0on ¡

− 2

a

• a

2 a

−

a

E k band gap 1st Brillouin zone

(b ~ p + ~~ k)2 2m + V (b ~ r) ! u~

k(~

r) = ✏~

ku~ k(~

r)

Bloch ¡equa0on ¡

periodic ¡poten0al ¡ u~

k(~

r)~ = X

~ G

c ~

Ge−i ~ G·~ r,

V (~ r) = X

~ G

V ~

Gei ~ G·~ r

periodic ¡Bloch ¡func0on ¡

✓ ~2 2m(~ k − ~ G)2 − ✏~

k

◆ c ~

G +

X

~ G0

V ~

G0− ~ G c ~ G0 = 0

G

1 ¡

SLIDE 2

0ght-­‑binding ¡approxima0on ¡

star0ng ¡point: ¡ ¡atomic ¡limit ¡

Ha(~ R)n(~ r − ~ R) = ✏nn(~ r − ~ R)

Ha(~ R) = ˆ ~ p 2 2m + Va(~ r − ~ R)

atom ¡at ¡posi0on ¡ ~

R

regular ¡array ¡of ¡atoms ¡

H = ˆ ~ p 2 2m + X

~ Rj

Va(~ r − ~ Rj) = Ha(~ R) + ∆V ~

R(~

r)

ΔVR ¡

r ¡ R ¡

∆V ~

Rj(~

r) = X

~ Rj06= ~ R

Va(~ r − ~ Rj0)

V ¡

r ¡ R ¡

2 ¡

SLIDE 3

0ght-­‑binding ¡approxima0on ¡

Linear ¡combina0on ¡of ¡atomic ¡orbitals ¡(LCAO) ¡

˜

n~ k(~

r) = 1 √ N X

~ Rj

ei~

k· ~ Rj˜ n(~

r − ~ Rj) Bloch ¡func0on ¡

h1i˜

n˜ n0(~

k) = Z d3r ˜

n~ k(~

r)⇤ ˜

n0~ k(~

r) = 1 N X

~ Rj, ~ Rj0

Z d3rei~

k·( ~ Rj0 ~ Rj)⇤ ˜ n(~

r ~ Rj)˜

n0(~

r ~ Rj0) = X

~ Rj

Z d3rei~

k· ~ Rj⇤ ˜ n(~

r ~ Rj)˜

n0(~

r) = ˜

n˜ n0 +

X

~ Rj6=0

ei~

k· ~ Rj↵˜ n˜ n0(~

Rj)

norm: ¡

hHi˜

n˜ n0(~

k) = 1 N X

~ Rj, ~ Rj0

Z d3rei~

k·( ~ Rj0 ~ Rj)⇤ ˜ n(~

r ~ Rj){Ha(~ Rj0) + ∆V ~

Rj0 (~

r)}˜

n0(~

r ~ Rj0) = E˜

n0h1i˜ n˜ n0(~

k) + ∆E˜

n˜ n0 +

X

~ Rj6=0

ei~

k· ~ Rj˜ n˜ n0(~

Rj)

Hamiltonian: ¡

∆E˜

n˜ n0 =

Z d3r∗

˜ n(~

r)∆V ~

Rj0=0(~

r)˜

n0(~

r)

˜

n˜ n0(~

Rj) = Z d3r∗

˜ n(~

r − ~ Rj)∆V ~

Rj0=0(~

r)˜

n0(~

r) ↵nn0(~ R) ⌧ 1

3 ¡

SLIDE 4

0ght-­‑binding ¡approxima0on ¡

det h hHi˜

n˜ n0(~

k) ✏~

kh1i˜ n˜ n0(~

k) i = 0 energy ¡spectrum ¡ band ¡structure ¡of ¡s-­‑orbitals ¡in ¡simple ¡cubic ¡laEce ¡

ss(~ Rj) =    −t ~ Rj −t0 ~ Rj

nearest ¡ ¡ neighbors ¡ next-­‑nearest ¡ ¡ neighbors ¡

• ­‑t ¡
• ­‑t ¡
• ­‑t’ ¡

✏~

k

= Es + ∆Es − t

n.n.

X

~ Rj

ei~

k· ~ Rj − t0 n.n.n.

X

~ Rj

ei~

k· ~ Rj

= Es + ∆Es − 2t{cos(kxa) + cos(kya) + cos(kza)} −4t0[cos(kxa) cos(kya) + cos(kya) cos(kza) + cos(kza) cos(kxa)}

s(~ r) = s(r)

4 ¡

SLIDE 5

! - bonding " - bonding

no coupling nearest neighbors next- nearest neighbors

0ght-­‑binding ¡approxima0on ¡

band ¡structure ¡of ¡p-­‑orbitals ¡in ¡simple ¡cubic ¡laEce ¡

x(~ r) = x'(r), y(~ r) = y'(r), z(~ r) = z'(r)

phase ¡structure ¡

• f ¡wave ¡func0on ¡

Important: ¡

+ ¡

• ­‑ ¡

p-­‑orbital ¡

5 ¡

SLIDE 6

0ght-­‑binding ¡approxima0on ¡

band ¡structure ¡of ¡p-­‑orbitals ¡in ¡simple ¡cubic ¡laEce ¡

hHi˜

n˜ n0 =

   Ex(~ k) 4˜ t00 sin(kxa) sin(kya) 4˜ t00 sin(kxa) sin(kza) 4˜ t00 sin(kxa) sin(kya) Ey(~ k) 4˜ t00 sin(kya) sin(kza) 4˜ t00 sin(kxa) sin(kza) 4˜ t00 sin(kya) sin(kza) Ez(~ k)    Ex(~ k) =Ep + ∆Ep + 2t cos(kxa) − 2t0(cos(kya) + cos(kza)) + 4˜ t cos(kxa)(cos(kya) + cos(kza)) − 4˜ t0 cos(kya) cos(kza) hHi˜

n˜ n0 = EΓ +

  Ak2

x + B(k2 y + k2 z)

Ckxky Ckxkz Ckxky Ak2

y + B(k2 z + k2 x)

Ckykz Ckxkz Ckykz Ak2

z + B(k2 x + k2 y)

 

• ­‑ ¡approxima0on ¡at ¡Γ-­‑point ¡(k=0) ¡

~ k · ~ p

6 ¡

SLIDE 7

0ght-­‑binding ¡approxima0on ¡

s-orbitals p-orbitals

energy ¡bands ¡in ¡1st ¡BZ ¡

t0 = 0.2t

t0 = 0.2t

˜ t = 0.1t

˜ t0 = 0.05t

˜ t00 = 0.15t

7 ¡