[PDF] - F * - e + ( 6 5 ) ( 6 7 ) 2 ( 1 - 2 P ) i = 1 PDF Document

SLIDE 1

i コ

1 1 4

S I M O N A N D J E N K I N S

C 3 ( 2 ･ ) I

g

F 2 3 . 号F O 2 , ' 5 4 )

w h e r e S i s t h e n

n

d i m e n s i

n

a l s h e a r r a t e ,

S =

f l ( r ) d

C l ≡ 3 αs I ' n 2 X ,

( , _ 6 e * ( 2

e

* )

C 2 ≡

C 3 =

q 3 / 2

5 汀I / 2 ( I

t r ( A ) ,

2

β) ( 5

4

β)

( 2

6

* ) M z l '

c

s

2 X

5

α

3 ( 1 + β) ' . ∨書房

α = =

2 ' β主壁

1 4 '

( 5 5 ) ( 5 8 ) ( 5 9 ) ( 6 )

a n d w i t h a n d

t r ( A 璃( 7 . 7 α2 + 2 ' ･ P 2

2

α恒i ) I ( 6 1 ,

U p

n

i n t e g r a t i n g ( 5 4 )

v

e r t h e r i n g t h i c k n e . s s , w e

b

t a i n

C 2 1

S =

C

I J '

J

)

. S F O 2 d f ( l

"

F 2 3 d E ) : )

w h e r e

( 6 2 ) ( 6 3 )

W i t h ( 6 3 ) , w e m a y e m p l

y

E q . ( 3 6 ) t

s
l

v e T

r

s i n t e r m s

f

J a n d t

w

r i t e ( 5 4 ) a s

㊥〝=

2

( ㊥′) 2

十B J F ( J F ㊥

I

) ,

( 6 4 ) ( 6 5 )

w h e r e

F I G . 1 ･ D i m e n s i

n

) e s s t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i

n

v e r s u s n

n

d i n e n

s

i

n

a l a x i a l d i s t a n c e i f

r

d i f f e r e n t v a l u e s

f

c * . A s e *

.

3 6 8 i , ⑳→1 .

i s p

s

i t i v e f

r

a H v a l u e s

f

e * ･ T h e I ･ n t r

d

u c t i

n
f

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L ' n t e g r a l p a r a m e t e r J p e r m i t s u s t

e

a s i l y i m p

s

e t h e c

n

d i

t

i

n

t h a t t h e h e a t 触x v a n i s h e s a t l a r g e i a n d a l s

,

e m

v

e s

t h e q u a n t i t y S f r

m

t h e e q u a t i

n

s I T h i s i s a n a d v a n t a g e

b e c a u s e J r e m a i n s 触i t e f

r

a J 】 v a l u e s

f

S * , W h i l e S i n ･

c r e a s e s w i t h

u

t b

u

n d a s c * a p p r

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c h e s t h e v a l u e a t

w h i c h s i n 2 X

･

I n t h e c

u

r s e

f

s

l

v i n g f

r

t h e d e n s i t y

a n d t e m p e r a t u r e p r

触S

, ∫ i s d e t e r m i n e d i t e r a t i v e l y .

T h e b

u

n d a r y c

n

d i t i

n

s a t t h e m i d p l a n e a r e

㊥( ) = 7 , ㊥' ( )

,

a n d F ( )

)

I ( 6 6 ) E q u a t i

n

s ( 5 3 ) a n d ( 6 4 ) h a v e b e e n s

l

v e d s u b j e c t t

t

h e

b

u

n d a r y c

n

d i t i

n

s ( 6 6 ) u s i n g a R u m g e

K

u t t a m e t h

d

b e g l n n J n g w i t h a n i n l ･ t l ･ a l g u e s s f

r

J ･ O n c e t h e p r

n

e i s

d

e t e r m i n e d , J i s r e c a J c u l a t e d u s i n g ( 6 3 ) a n d t h e ) ･ n t e g r a

t

i

n

s

f

( 5 3 ) a n d ( 6 4 ) a r e r e p e a t e d ･ T h i s p r

c

e d u r e r e q u i r e s

n

l y a f e w i t e r a t i

n

s t

c
n

v e r g e .

T y p i c a l p r

f

i I e s f

r

㊨ a n d F a r e s h

w

n i n F i g s . 1 a n d

2 f

r

d i f f e r e n t v a l u e s

f

S * ･ I n a l l c a s e s , t h e t e m p e r a t u r e

i n c r e a s e s w i t h d i s t a n c e f r

m

t h e m i d p 7 a n e , r e a c h i n g a

c

n

s t a n t v a l u e a s i b e c

m

e s v e r y J a r g e ･ T h e l a r g e s t s u c h t e m p e r a t u r e

c

c u r s i n t h e m a t h e m a t i c a l , b u t n

t

p h y s i c a l ,

l i m i t

f

p e r f e c t l y e l a s t i c c

l

l i s i

n

s ; i t I ･ s a b

u

t 1 5 % l a r g e r

t h a n t h e t e m p e r a t u r e

n

t h e m i d p J a n e ･ F

r

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t h e t e m p e r a t u r e i s c

n

s t a n t t h r

u

g h

u

t ･ F r

m

F i g ･ 2 i t

m i b e s e e n t h a t t h e d e n s l t y P r O m e S d

n
t

v a r y a p p r e c i a

b

) y f わr d i f f e r e n t e * a n d a r e c )

s

e t

t

h e i s

t

h e r m a l p r

触:

F *

e

+

2 ( 1

2

P )

ノ

( 6 7 )

SLIDE 2

i = 1

◆●

O N T H E V E R T I C A L S T R U C T U R E O F D I L U T E P L A N E T A R Y R I N G S

F I G ･ 2 ･ D i m e n s i

n

l e s s d e n s i t y d i s t r i b u t i

n

F v e r s u s n

n

d i m e n s i

n

a J

a x ( . a Z d i s t a n c e f f

r

d L f f e E W 【 v a l u e s

f

e * ･ T h e j s

f

h e r m a L d e n s i t y p r

蝕

c

r

r e s p

n

d s t

C

事- . 3 6 8 8 .

F i n a l I y , F i g ･ 3 s h

w

s a d e t a i l e d e n e r g y b a l a n c e f

r

8 * = ･ 1 , w i t h p r

d

u c t i

n

( p ) , d i s s i p a t i

n

( D ) , a n d c

n
d

u c t i

n

( C ) d e 触e d b y

P = B J F O 2 , D

B

J 2 F 2 ㊥3 , a n d

C

㊥2

㊥〝 + 2 ⑳( ㊥' ) 2 . ( 6 8 )

/

l t i s s e e n t h a t p r

d

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n

a s w e u a s d j s s J P a t j

n
f

k j n e f J ･ C .

■

e n e r g y i s h i g h e s t a t t h e m i d p l a n e ･ T h e d i s s i p a t i

n
f

e n ､ e r g y n e a r t h e c e n t r a l p l a n e d

m

i n a t e s t h e p r

d

u c t i

n

,

w h e r e a s f

r

l a r g e a x i a l d i s t a n c e s m

r

e e n e r g y l S g e n e r a t e d

t

h a n c a n b e d i s s i p a t e d ; t h e r e f

r

e , h e a t i s c

n

d u c t e d f r

m
l

a r g e a x i a l d i s t a n t e s t

t

h e c e n t r a l p l a n e .

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d

u c l i

n

( P ) , d i s s i p a t i

n

( D ) , a n d

c

n

d u c t i

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( C ) f

r

e +

･

l v e r s u s n

n

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n

a J a L X i a l d i s t a n c e i .

1 1 5 O f c

u

r s e , t h e v a r i a t i

n

s

f

t h e v

l

u m e f r a c t i

n

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t h e g r a n u l a r t e m p e r a t u r e a r e d e t e r m i n e d

n

l y r e 一a t i v e t

t

h e i r v a l u e s

n

t h e m i d p t a n e

f

t h e r J n g . I n

r

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d

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■

m i n e t h e i r m i d p l a n e v a l u 9 S , a d d i t i

n

a l i n f

r

m a t i

n

i s r e

q

u i r e d ･ I n t h e n e x t s e c t i

n

, w e i n t r

d

u c e a d d i t i

n

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m

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n

a n d s

l

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r

t h e s e m i d p J a n e v a l u e s a n d t h e

p a r t i c l e d i a m e t e r .

S A T U R N ' s A

R

I N G

W e n

w

g w e r

u

g h e s t i m a t e s

f

t h e g r a n u l a r t e m p e r a

t

u r e a n d t h e s

l

i d v

l

u m e f r a c t i

n
n

t h e m i d p l a n e a n d

t h e p a r t i c l e d i a m e t e r i n S a t u m , s A

T

i n g . A s a r e s u l t

f

t h e 6 / 7 L i n d b l a d r e s

n

a n c e T t h e r e i s a t

r

q u e T 6 / 7 e x e r t e d a t t h e

u

t e r e d g e

f

t h e A

r

i n g ･ W e G r s t e q u a t e t h i s t

r

q u e

t

t

h e m

m

e n t

r

t h e i n t e g r a t e d s h e a r s t r e s s , T 6 ′7

4

q R i I . G p K , p d z , ( 6 9 ) w h e r e R A i s t h e

u

t e r r a d i u s

f

t h e A

r

L ･ n g , R A

1

. 3 7 x

l

g

m ･ w e d e 触e t h e s u r f a c e m a s s d e n s i t y ∑ b y

∑

2

( . T p d z , ( 7 )

a n d u s e t h e f a c t t h a t ∑主3 k g m

2

a n d T 6 / 7 / ∑主1 . 1 3

× l

l

l m 4 s e e

2

( c u z z i e t a l ･ , 1 9 8 4 ) . T h e n , u p

n

w r i t i n g K , p ≡ T α s i n 2 x a n d u s i n g t h e v a r i a b l e s

f

t h e p r e v i

u

s s e c t i

n

i n ( 6 9 ) a n d ( 7 ) , w e h a v e

t h a t t h e m i d p J a n e t e m p e r a t u r e a n d t h e L n J ･ d p J a n e v

l

u m e

f r a c t i

n

a r e g J V e n b y

T
=

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㌔/ 7 1 2 打∑R 2 ^ α s i n 2 X ∑f l

l

T

F d f ( ( . X F 2 d f T . ' 7 . '

( ( . I F d f )

l

･ ' 7 2 '

R e c a J 】i n g t h e d e 点n J ' t j

n

( 5 5 ) , t h e p a T t j c Z e d i a m e t e r J ･ s g i v e n

i n t e r m s

f

t h e s e b y

d =

S l '

( 7 3 )

w h e r e S i s g ･ i v e n i n t e r m s

f

J b y ( 6 2 ) ･ W h e n t h e s e q u a n t i

t

i e s a r e e v a l u a t e d

n

t h e n u m e r i C a l s

J

u t i

n

s f

r

F a n d

㊥･ t h e i r v a l u e s a r e d e t e r m i n e d a s f u n c t i

n

s

f

e * .

. I t i s ･ p e r h a p s , m

r

e c

n

v e n i e h t t

h

a v e t h e s e q u a h t i l i e s

g J V e n a S f u n c t i

n

s

f

t h e

p

t i c a l d e p t h T d e 丘n e d b y

＼

･

狛d

z

言)

. x F d f

3

琵J l . * F d f ･ ( 7 4 '

SLIDE 3

i : ヨ

S I M O N A N D J E N K t N S ( 2 3 T 4

F f G ･ 4 ･ T h e q u a n l i t i e S ヽ塙( m s e c l t ) , v

,

a ( m ) , a n d e * , e r s u s T .

B e c a u s e ( 7 4 ) r e l a t e s T a n d S *

n

s

l

u t i

n

s , t h i s i s e a s y t

d
･

T h e g r a p h s

f

T

,

u

,

d , a n d e * v e r s u s T ･ a r e S h

w

n

i n F i g . 4 . T h e r e l a t i

n

s h i p b e t w e e n S * a n d T t h a t r e s u l t s i s e s s e n _ t i a l l y i d e n t i c a l t

t

h e r e l a t i

n

s h i p s b e t w e e n S * a n d T d e t e r

m

i n e d b y G

l

d r e i c h a n d T r e m a i n e ( 1 9 7 8 ) a n d A r a k i ( 1 9 9 1 ) . T h a t i s ･ t h e v a r i a t i

n
f

t e m p e r a t u r e n

r

m a l t

t

h e p l a n e

f

t h e r i n g d

e

s n

t

h a v e a d i s c e m i b ) e e f f e c t

n

t h e r e l a .

t

i

n

s h ) r p b e t w e e n t h e

p

t i c a l d e p t h a n d t h e c

e

f R c i e n t

f
r

e s t i t u t i

n

･ W e c a n t a k e a d v a n t a g e

f

t h i s l a c k

f

s e n S i t i v ･

l

t y t O t h e v a r i a t i

n
f

t h e g r a n u l a r t e m p e r a t u r e n

r

m a l t

t

h e r l ' n B t O O b t a i n s i m p l e a p p r

x

. i m a t e f

r

m s

f

( 7 1 )

(

7 3 ) t h a t a r e m

r

e a m e n a b l e t

p

h y s i c a l i n t e T P r C t a t i

n

. t f w e t a k e t h e t e m p e r a t u r e t

b

e u t l i f

r

m a n d u s e t h e i s

t

h e r m a l d e n s i t y d i s t r i b u t i

n

( 6 7 ) i n t h e i n t e g r a l s ( 7 1 ) a n d ( . 7 2 ) , t h e r e l a t i

n

c

r

r e s p

n

d i n g t

(

7 1 ) i s c l e a r l y a

d e t e r m i n a t i

n
f

t h e m i d p l a n e v a l u e

f

K , p t h a t h a s b e e n

s

l

v e d f

r

も:

T

㌔/

7 1 2 町∑R 左α s i n 2 X

(

7 5 ) T h e q u a n t i t y α s i n 2 x i s t h e k i n e m a t i c v i s c

s

i t y i n t r

d

u c e d

b y G

l

d r e i c h a n d T r e m a i n e ( 1 9 7 8 ) , n

r

m a l i z e d b y 2 T

/

3 f i ･ A s t h e y s h

w

, t h i s n

r

m a J i z e d k i n e m a t i c v i s c

s

i t y

丘r s t i n c r e a s e s w i t h T a n d t h e n d e c r e a s e s . T h e m i n I ･ m u m

i n t h e c u r v e

f

T

v

e r s u s T i n F i g ･ 4 I ･ s a c

n

s e q u e n c e

f

t h i s ･ l n t h e s a m e l i m i t , ( 7 2 ) b e c

m

e s a r e l a t i

n

b e t w e e n

t h e m i d p l a n e v a l u e

f

K z z a n d 7 , :

＼

∑f l 1

Z /

=p

s V 諒解面●

( 7 6 ) B e c a u s e β i s a m

n
t
n

e i n c r e a s i n g f u n c t i

n
f

S * , t h e

m a x i m u m i n t h e c u r v e

f

z ,

v

e r s u s T i s i n h e n ･ t e d f r

m

t h e m i n i m u m i n t h e c u r v e

f

T D V e r s u s T ･ T h e p a r t i c l e d i a m e t e r

t h e n f

l

l

w

s f r

m

( 7 3 ) w i t h J = ∨亨, a n d t h e

p

t i c a l d e p t h

i s

3 q 2 α s i n

丁 =

2 ㌔( 2

8

* ) t r ( A )V

r 二面. ( 7 7 )

U p

n

e m p l

y

i n g ( 5 9 )

(

6 1 ) , t h e s e 山a y b e e x p r e s s e d i n t e r m s

f

8 * a l

n

e . l t i s i n t e r e s t l n g t h a t t h e i n t r

d

u c t i

n
f

s

m
d

e s t a n

■

a r r l O u n t O f i n f

r

m a t i

n

p e r m i t s s u c h e x p l L ' C i t p r e d i c t i

n

s

t

b

e m a d e

f

t h e m i d p l a n e v

J

u m e f r a c t i

n

, t h e m i d p l a n e

g r a n u l a r t e m p e r a t u r e , a n d t h e p a r t i c l e d i a m e t e r i n t h e c

n

t e x t

f

t h i s s i m p l e m

d

e J

f

t h e r l n g ･

A

C K N O W L E D G M E N T S

T h e a u t h

r

s h a v e b e n e 触e d f r

m

c

n

v e r s a t i

n

s w i t h I . A . B u r n s .

T h e y a r e a l s

i

n d e b t e d t

C

･ Z h a n g f

r

h i s a s s i s t a n c e w i t h t h e e n e r g y n u x ･ F i n a l l y . t h e y a r e g r a t e f u l t

S

･ A r a k i f

r

s u g g e s t i

n

s t h a t l e d t

t

h e ) . m p r

v

e m e n L

f

t h e m a n u s c n p t ･ T h i s w

r

k w a s b e g u n w h e n V

l

k e r S J ' r n

n

w a s a n e x c h a n g e s t u d e n t a t C

r

n e J

U

n i v e r s i t y ･ H e i s p l e a s e d

t

t

h a n k F ･ G ･ K

l

l m a n n a n d W ･ H ･ S a c h s e . w h

i

n i t i a t e d t h i s e 入C h a n g e

p r

g

r a m a n d t h e r e b y l a i d t h e f

u

n d a t i

n

f

r

t h e c u n ･ e n t c

l

l a b

r

a l I ･

n

.

H e i s a ) s

a

p p r e c i a t i v e

f

t h e h

s

p i t a l i t y s h

w

n l

h

i m d u r i n g v i s i t s t

t

h e D e p a r t m e n t

f

T h e

r

e t i c a l a n d A p p l i e d M e c h a n i c s , C

m

e l l U n i v e r

s

l t y , i n t h e s u m m e r s

f

1 9 8 8 a n d 1 9 8 9 ･ T h e s e v i s i t s w e r e s u p p

r

t e d b y

t h e U ･ S ･ A r m y R e s e a r c h O f G c e t h r

u

g h t h e M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s I n s t i t u t e a t C

r

n e l = J n i v e r s i t y .

R E F E R E N C E S

A R A K l , S ･ , A N D S ･ T R E M A J 帖1 9 8 6 ･ T h e d y n a m i c s

f

d e n s e p a r t i c l e d i s k s ･ I c a r L L S 6 5 , 8 3

I
g

.

A R A K I ･ S ･ 1 9 8 8 ･ T h e d y n a m i c s

f

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