Extreme Value Analysis Amir AghaKouchak Email: amir.a@uci.edu - - PowerPoint PPT Presentation

Amir ¡AghaKouchak ¡

¡ Email: ¡amir.a@uci.edu ¡ Web: ¡ ¡ ¡http://amir.eng.uci.edu/ ¡ ¡

Stationary ¡and ¡Non-­‐‒Stationary ¡ Extreme ¡Value ¡Analysis ¡

Nonstationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis: ¡Key ¡issues ¡ ¡ ¡ There ¡are ¡very ¡few ¡observations ¡in ¡the ¡tail ¡of ¡the ¡distribution; ¡ ¡ Estimates ¡are ¡often ¡required ¡beyond ¡the ¡largest ¡observed ¡data ¡ value; ¡ ¡ Standard ¡density ¡estimation ¡techniques ¡fit ¡well ¡where ¡the ¡data ¡ have ¡greatest ¡density, ¡but ¡can ¡be ¡severely ¡biased ¡in ¡estimating ¡ tail ¡probabilities. ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡

Generalized ¡Pareto ¡(GP) ¡Distribution ¡

Generalized ¡Extreme ¡Value ¡(GEV) ¡Distribution ¡

• VS. ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Assume ¡that ¡the ¡below ¡graph ¡is ¡part ¡of ¡a ¡long-­‑term ¡time ¡series ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Assume ¡that ¡the ¡below ¡graph ¡is ¡part ¡of ¡a ¡long-­‑term ¡time ¡series ¡ Annual ¡Maxima ¡ ¡or ¡Annual ¡Block ¡Maxima ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Assume ¡that ¡the ¡below ¡graph ¡is ¡part ¡of ¡a ¡long-­‑term ¡time ¡series ¡ Annual ¡Maxima ¡ ¡or ¡Annual ¡Block ¡Maxima ¡ Generalized ¡Extreme ¡Value ¡(GEV) ¡Distribution ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Assume ¡that ¡the ¡below ¡graph ¡is ¡part ¡of ¡a ¡long-­‑term ¡time ¡series ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Assume ¡that ¡the ¡below ¡graph ¡is ¡part ¡of ¡a ¡long-­‑term ¡time ¡series ¡ Partial ¡Duration ¡Events ¡(or ¡Series) ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Assume ¡that ¡the ¡below ¡graph ¡is ¡part ¡of ¡a ¡long-­‑term ¡time ¡series ¡ Partial ¡Duration ¡Events ¡(or ¡Series) ¡ Generalized ¡Pareto ¡(GP) ¡Distribution ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡

¡ A ¡ sequence ¡ or ¡ other ¡ collection ¡ of ¡ random ¡ variables ¡ is ¡ independent ¡ and ¡ identically ¡ distributed ¡ (i.i.d.) ¡ if ¡ each ¡ random ¡ variable ¡ has ¡ the ¡ same ¡ probability ¡distribution ¡as ¡the ¡others ¡and ¡all ¡are ¡mutually ¡independent. ¡ ¡ ¡ An ¡ independent ¡ and ¡ identically ¡ distributed ¡ (i.i.d.) ¡ random ¡ variables ¡ (r.v.), ¡ defined ¡as ¡Xi, ¡i ¡= ¡1, ¡2, ¡, ¡n ¡has ¡the ¡following ¡properties: ¡ ¡ ¡

• Each ¡Xi ¡is ¡drawn ¡form ¡the ¡same ¡density ¡(f(x)) ¡. ¡
• Xn ¡is ¡independent ¡of ¡Xn-­‑1, ¡Xn-­‑2; ¡, ¡X1. ¡
• Each ¡Xi ¡is ¡uncorrelated ¡from ¡each ¡Xj ¡

independent ¡and ¡identically ¡distributed ¡(i.i.d.) ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Generalized ¡Extreme ¡Value ¡(GEV) ¡Distribution ¡ ¡= ¡location ¡parameter ¡ = ¡scale ¡parameter ¡ ¡ ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Generalized ¡Extreme ¡Value ¡(GEV) ¡Distribution ¡ : ¡shape ¡parameter ¡determining ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡the ¡tail ¡behavior. ¡ >0 ¡ ¡giving ¡the ¡heavy ¡tailed ¡Frecht ¡case ¡ =0 ¡ ¡giving ¡the ¡light-­‑tailed ¡Gumbel ¡case ¡ <0 ¡ ¡giving ¡the ¡short-­‑tailed ¡negative ¡Weibul ¡case ¡ ¡= ¡location ¡parameter ¡ = ¡scale ¡parameter ¡ ¡ ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Generalized ¡Extreme ¡Value ¡(GEV) ¡Distribution ¡

Gumbel ¡ Fréchet ¡ Weibull ¡

¡= ¡location ¡parameter ¡ = ¡scale ¡parameter ¡ ¡ ¡ : ¡shape ¡parameter ¡determining ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡the ¡tail ¡behavior. ¡ >0 ¡ ¡giving ¡the ¡heavy ¡tailed ¡Frecht ¡case ¡ =0 ¡ ¡giving ¡the ¡light-­‑tailed ¡Gumbel ¡case ¡ <0 ¡ ¡giving ¡the ¡short-­‑tailed ¡negative ¡Weibul ¡case ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Generalized ¡Extreme ¡Value ¡(GEV) ¡Distribution ¡ ¡ Quantiles ¡and ¡Return ¡Levels ¡

xp ¡is ¡the ¡return ¡level ¡associated ¡with ¡the ¡return ¡period ¡1/p ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Assessing ¡the ¡GEV ¡fit ¡against ¡observations ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Assume ¡that ¡the ¡below ¡graph ¡is ¡part ¡of ¡a ¡long-­‑term ¡time ¡series ¡ Partial ¡Duration ¡Events ¡(or ¡Series) ¡ Generalized ¡Pareto ¡(GP) ¡Distribution ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Generalized ¡Pareto ¡Distribution ¡(GPD) ¡ GPD ¡has ¡just ¡two ¡parameters, ¡since ¡the ¡model ¡conditions ¡on ¡the ¡exceedance ¡ above ¡a ¡certain ¡threshold. ¡ ¡ The ¡estimate ¡GEV distributions ¡are ¡typically ¡different. ¡ ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Generalized ¡Pareto ¡Distribution ¡(GPD) ¡ GPD ¡has ¡just ¡two ¡parameters, ¡since ¡the ¡model ¡conditions ¡on ¡the ¡exceedance ¡ above ¡a ¡certain ¡threshold. ¡ ¡ The ¡estimate ¡GEV distributions ¡are ¡typically ¡different. ¡ ¡ u: ¡Threshold ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Generalized ¡Pareto ¡Distribution ¡(GPD) ¡ ¡ ¡ ¡ The ¡estimate ¡GEV distributions ¡are ¡typically ¡different. ¡ ¡ u: ¡Threshold ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Generalized ¡Pareto ¡(GP) ¡Distribution ¡ ¡ Quantiles ¡and ¡Return ¡Levels ¡

xp ¡is ¡the ¡return ¡level ¡associated ¡with ¡the ¡return ¡period ¡1/p ¡

If ¡ on ¡ average ¡ nu ¡ maxima ¡ over ¡ the ¡ threshold ¡ are ¡ observed ¡ annually, ¡ the ¡ 1/(T*nu) ¡ quantile ¡ returns ¡ once ¡ every ¡ T ¡ years ¡ on ¡

• average. ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡

NONSTATIONARY ¡ STATIONARITY ¡

• VS. ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡

STATIONARITY ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡

NONSTATIONARY ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡

NONSTATIONARY ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡

NONSTATIONARY ¡

Time-­‑Dependent ¡ Parameters ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡

NONSTATIONARY ¡ STATIONARITY ¡

¡= ¡cte ¡ = ¡cte ¡ ¡ cte ¡ ¡(function ¡of ¡time ¡t) ¡ ¡ function ¡of ¡time ¡t) ¡

Nonstationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡

Non-­‑Stationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡(NEVA) ¡Toolbox ¡

The ¡package ¡includes ¡the ¡following ¡files ¡and ¡folders: ¡ ¡

1-­‑Folder ¡NEVA_GEV: ¡Includes ¡source ¡codes ¡for ¡stationary ¡and ¡nonstationary ¡Generalized ¡ Extreme ¡Value ¡(GEV) ¡distribution ¡for ¡analysis ¡of ¡annual ¡maxima ¡(block ¡maxima). ¡ 2-­‑Folder ¡NEVA_GPD: ¡Includes ¡source ¡codes ¡for ¡stationary ¡and ¡nonstationary ¡Generalized ¡ Pareto ¡Distribution ¡(GPD) ¡for ¡analysis ¡of ¡extremes ¡above ¡a ¡certain ¡threshold ¡(i.e., ¡peak-­‑over-­‑ threshold ¡(POT) ¡approach). ¡ 3-­‑File ¡Disclaimer.txt: ¡ ¡By ¡using ¡NEVA ¡users ¡agree ¡with ¡this ¡disclaimer. ¡Please ¡read ¡the ¡ disclaimer ¡before ¡using ¡NEVA. ¡ 4-­‑NEVA_ReferencePublication.pdf: ¡ ¡Reference ¡publication ¡of ¡NEVA. ¡ ¡ 5-­‑NEVA_User_Guide.pdf: ¡ ¡This ¡document ¡

http://amir.eng.uci.edu/neva.php ¡

Non-­‑Stationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡(NEVA) ¡Toolbox ¡

Note ¡ that ¡ both ¡ NEVA_GEV, ¡ and ¡ NEVA_GPD ¡include ¡NEVA.m. ¡For ¡ annual ¡ maxima ¡ analysis, ¡ select ¡ the ¡one ¡in ¡NEVA_GEV ¡folder. ¡For ¡ POT ¡ analysis, ¡ open ¡ the ¡ one ¡ in ¡ NEVA_GPD ¡ folder ¡ (see ¡ Section ¡ 3). ¡ Run ¡NEVA ¡GEV ¡ ¡ Follow ¡the ¡below ¡steps ¡to ¡run ¡ NEVA: ¡ ¡ Open ¡NEVA.m ¡in ¡MATLAB ¡ ¡

Non-­‑Stationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡(NEVA) ¡Toolbox ¡

Specify ¡the ¡path ¡to ¡the ¡package ¡in ¡NEVA.m ¡ For ¡example: ¡ dirr= ¡'C:\Users\Amir\Google ¡Drive\AMIR\MySoftware\NEVA_GEV'; ¡ ¡ ¡ Navigate ¡to ¡ReadData ¡folder ¡in ¡NEVA_GEV ¡ ¡ Configure ¡NEVA ¡GEV ¡ ¡ You ¡can ¡configure ¡NEVA ¡GEV ¡by ¡editing ¡the ¡files ¡in ¡ReadData ¡folder. ¡ ¡There ¡four ¡files ¡ that ¡can ¡be ¡edited: ¡GEV_sta_nonsta.txt, ¡names.txt, ¡si1.txt, ¡prior.txt ¡ ¡ ¡GEV_sta_nonsta.txt: ¡ ¡ ¡ ¡includes ¡model ¡parameters ¡ names.txt: ¡ ¡includes ¡figure ¡titles ¡and ¡axes ¡labels ¡(they ¡appear ¡in ¡the ¡output ¡figures) ¡ prior.txt: ¡ ¡include ¡prior ¡parameters ¡(ranges ¡of ¡model ¡parameters ¡used ¡for ¡sampling) ¡ si1.txt: ¡ ¡includes ¡input ¡data ¡ ¡

Non-­‑Stationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡(NEVA) ¡Toolbox ¡

In ¡GEV_sta_nonsta.txt ¡ ¡make ¡sure ¡the ¡ ¡stationary ¡ and ¡nonstationary ¡assumptions ¡are ¡correctly ¡ configured: ¡ ¡ Nonsta=0 ¡indicates ¡stationary ¡ ¡ Nosta=1 ¡represents ¡nonstationary ¡with ¡time ¡ varying ¡location ¡parameter ¡ ¡ Nosta=2 ¡represents ¡nonstationary ¡with ¡time ¡ varying ¡location ¡and ¡scale ¡

Non-­‑Stationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡(NEVA) ¡Toolbox ¡ Edit ¡GEV_sta_nonsta.txt ¡to ¡set ¡the ¡model ¡parameters ¡(ReadData ¡folder): ¡ da: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ end ¡year ¡of ¡the ¡observations ¡ evl: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ number ¡of ¡random ¡samples ¡for ¡parameter ¡estimation ¡ bur: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ number ¡of ¡burned ¡samples ¡ cha: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ chain ¡number ¡(5 ¡is ¡reasonable) ¡ sts: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ after ¡burn ¡in, ¡if ¡want ¡to ¡further ¡reduce ¡sample ¡size ¡edit ¡sts ¡ siteNO: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ number ¡of ¡sites/gauges ¡ Nonsta: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 0: ¡stationary ¡simulation; ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 1: ¡nonstationarity ¡in ¡location ¡parameter; ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 2: ¡nonstationarity ¡in ¡location ¡and ¡scale ¡parameters ¡ tt: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Simulation ¡time ¡or ¡return ¡period ¡ done: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Notify ¡by ¡email ¡when ¡simulation ¡is ¡complete: ¡0: ¡No; ¡else: ¡Yes ¡ plottrend: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ plot ¡trend ¡lines; ¡0: ¡No; ¡else: ¡Yes ¡ GEVQQ: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ generate ¡QQ ¡plots ¡to ¡evaluate ¡if ¡data ¡fits ¡GEV; ¡0: ¡No; ¡else: ¡Yes ¡ wait: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Simulation ¡based ¡on ¡the ¡waiting ¡time ¡theory ¡ lir: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ likelihood ¡ratio ¡test; ¡0: ¡No; ¡else: ¡Yes ¡ BF: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Bayes ¡factor ¡calculation; ¡0: ¡No; ¡else: ¡Yes ¡ Quic: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ likelihood ¡profile ¡estimation; ¡0:No; ¡else:Yes ¡ ¡ ¡ (the ¡default ¡parameter ¡estimation ¡(Quic=0) ¡is ¡the ¡maximum ¡likelihood ¡

• method. ¡To ¡obtain ¡uncertainty ¡bounds ¡using ¡the ¡method ¡outlined ¡in ¡Cheng ¡et ¡al., ¡2014, ¡

change ¡Quic=0). ¡

Non-­‑Stationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡(NEVA) ¡Toolbox ¡

Edit ¡input ¡data ¡file ¡si1.txt ¡ ¡(ReadData ¡folder): ¡ ¡ Last ¡column: ¡ year ¡ Other ¡columns: ¡ ¡ ¡Block ¡maxima ¡(annual ¡maxima) ¡from ¡stations/gauges/model ¡ simulations ¡ Edit ¡names.txt ¡ ¡(ReadData ¡folder) ¡ ¡

¡ This ¡file ¡only ¡changes ¡titles ¡and ¡labels ¡in ¡the ¡output ¡figures: ¡ ¡ First ¡line: ¡ ¡ ¡ title ¡that ¡appears ¡in ¡the ¡output ¡figure. ¡Use ¡the ¡first ¡line ¡for ¡stationary ¡ plots ¡ Second ¡line: ¡ ¡ title ¡that ¡appears ¡in ¡the ¡output ¡figure. ¡Use ¡the ¡first ¡line ¡for ¡nonstationary ¡ plots ¡ Third ¡line: ¡ ¡ xlabel ¡(label ¡of ¡x-­‑axis) ¡ Fourth ¡line: ¡ ¡ ylabel ¡(label ¡of ¡y-­‑axis) ¡

Run ¡NEVA ¡GEV ¡

Run ¡NEVA.m ¡in ¡Matlab ¡(NEVA_GEV ¡folder). ¡

Figure . Annual monthly temperature maxima return level vs. return period in the selected point in the central U.S. under stationary (left ), Posterior distribution of GEV distribution parameters (right )

CRU Temperature Data Non-­‑Stationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡(NEVA) ¡Toolbox ¡

Figure . Annual monthly temperature maxima return level vs. return period in the selected point in the central U.S. under stationary (left ), Trends in annual monthly temperature maxima in the central (right )

CRU Temperature Data Non-­‑Stationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡(NEVA) ¡Toolbox ¡

Figure-s tationary GEV framework for extreme value analys is . The model outputs include: (1) s tandard return levels with des ign exceedance probability; (2) s tandard return levels with time varying exceedance probability; (3) effective return levels .

NEVA Bayesian Inference under Non-Stationary Assumption

Non-­‑Stationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡(NEVA) ¡Toolbox ¡

Figure . Annual monthly temperature maxima return level vs. return period in the selected point in the central U.S. under non-stationary during the period of

• bservations 1901-2009 (b), non-stationary based on median of sampled parameters (c), and non-stationary based on the 95 percentile of the sampled

parameters or low risk non-stationary (d).

) ( , ~ ) 1 ) log 1 (( ) 1 (

• p

qp

) ) ( ( )), ( ),..., 2 ( ), 1 ( ( ~

1

• t

t t Quantile

Median, Historical Period Median, Future Period 95%, Future Period

Non-­‑Stationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡(NEVA) ¡Toolbox ¡

Figure -s tationary GEV framework for extreme value analys is . The model outputs include: (1) s tandard return levels with des ign exceedance probability; (2) s tandard return levels with time varying exceedance probability; (3) effective return levels .

Non-­‑Stationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡(NEVA) ¡Toolbox ¡

• Figure. Annual monthly temperature maxima return levels vs. return period under the non-stationary assumption at the selected points in the central

p T

• 1

1

• 1

1 1

) 1 ( ~

max

x t t x x x

q q x T

• 1

)) ( 1 ( exp 1 ) 2 (

t p t

z q

Non-­‑Stationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡(NEVA) ¡Toolbox ¡

Figure-s tationary GEV framework for extreme value analys is . The model outputs include: (1) s tandard return levels with des ign exceedance probability; (2) s tandard return levels with time varying exceedance probability; (3) effective return levels .

Non-­‑Stationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡(NEVA) ¡Toolbox ¡

• Figure. Effective return level under the non-stationary assumption at the selected points in the central

) ( ), ( ) 1 ) log 1 (( ) 3 (

• t

p qp

Non-­‑Stationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡(NEVA) ¡Toolbox ¡

Figure-s tationary GEV framework for extreme value analys is . The model outputs include: (1) s tandard return levels with des ign exceedance probability; (2) s tandard return levels with time varying exceedance probability; (3) effective return levels .

Non-­‑Stationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡(NEVA) ¡Toolbox ¡

• Figure. Effective return level under the non-stationary assumption at the selected points in the central

) ( ), ( ) 1 ) log 1 (( ) 3 (

• t

p qp

Non-­‑Stationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡(NEVA) ¡Toolbox ¡

Nonstationary ¡vs. ¡stationary ¡IDF ¡Curves ¡for ¡different ¡return ¡periods ¡and ¡durations ¡at ¡the ¡selected ¡station ¡in ¡White ¡ Sands ¡National ¡Monument ¡Station, ¡New ¡Mexico. ¡The ¡stationary ¡assumption ¡consistently ¡underestimates ¡the ¡IDF ¡ curves ¡over ¡different ¡durations. ¡The ¡gray ¡area ¡shows ¡the ¡uncertainty ¡bound ¡of ¡nonstationary ¡IDF ¡estimates. ¡

Nonstationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡

Cheng ¡and ¡AghaKouchak, ¡2014, ¡http://www.nature.com/srep/2014/141118/srep07093/full/srep07093.html ¡

Differences ¡ between ¡ the ¡ nonstationary ¡ and ¡ stationary ¡ precipitation ¡ extremes ¡ for ¡ different ¡ return ¡ periods ¡ and ¡ durations ¡in ¡White ¡Sands ¡National ¡Monument ¡Station, ¡New ¡Mexico. ¡The ¡boxplots ¡show ¡the ¡median ¡(center ¡mark), ¡ and ¡the ¡25th ¡(lower ¡edge) ¡and ¡75th ¡(upper ¡edge) ¡percentiles. ¡

Nonstationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡

Cheng ¡and ¡AghaKouchak, ¡2014, ¡http://www.nature.com/srep/2014/141118/srep07093/full/srep07093.html ¡