Automates Cellulaires P . Guillon et G. Theyssier quipe GDAC, I2M - - PowerPoint PPT Presentation

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Automates Cellulaires P . Guillon et G. Theyssier quipe GDAC, I2M nov. 2017 Plan de lexpos Introduction / dfinitions 1 Dcidabilit et complexit 2 Rsistance au bruit 3 Mlange, ala, dynamique ergodique 4 Universalit

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SLIDE 1

Automates Cellulaires

P . Guillon et G. Theyssier

équipe GDAC, I2M

  • nov. 2017
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SLIDE 2

Plan de l’exposé

1

Introduction / définitions

2

Décidabilité et complexité

3

Résistance au bruit

4

Mélange, aléa, dynamique ergodique

5

Universalité

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SLIDE 3

Plan de l’exposé

1

Introduction / définitions

2

Décidabilité et complexité

3

Résistance au bruit

4

Mélange, aléa, dynamique ergodique

5

Universalité

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SLIDE 4

Qu’est-ce que c’est ?

1 espace discret

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SLIDE 5

Qu’est-ce que c’est ?

1 espace discret 2 ensemble fini d’états

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SLIDE 6

Qu’est-ce que c’est ?

1 espace discret 2 ensemble fini d’états 3 loi d’évolution locale,

uniforme, à temps discrets

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SLIDE 7

Exemple 1 : majorité

13 13 états : 0 and 1 règle : prendre l’état majoritaire du voisinage

DEMO

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SLIDE 8

Exemple 2: le Jeu de la Vie

states: dead / alive n = nb of alive cells in neighb. birth: n = 3 survival: n = 3 or 4

  • therwise death

DEMO

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SLIDE 9

Can you guess the global behavior?

rule: change to next state in the cycle if seen ≥ 3 times in neighborhood, otherwise do not change

DEMO

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SLIDE 10

Théorie

Symbolic spaces

Q L

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SLIDE 11

Théorie

Symbolic spaces

finite set (alphabet or states or colors...)

Q L

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SLIDE 12

Théorie

Symbolic spaces

finite set (alphabet or states or colors...)

Q L

the “lattice”

a monoid or a group law denoted ’+’ finitely generated typically: Zd

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SLIDE 13

Théorie

Cellular automata

Syntactical object (given)

neighborhood: a finite domain D local rule: f : QD → Q

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SLIDE 14

Théorie

Cellular automata

Syntactical object (given)

neighborhood: a finite domain D local rule: f : QD → Q

Dynamical system (studied)

global function : F : QL → QL s.t. F(c)z = f(c[D,z]) where c[D,z] is the finite pattern : z′ ∈ D → c(z + z′)

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SLIDE 15

Théorie

Example: local sum mod 2

L = Z/20Z Q = {0, 1} D = {−1, 0, 1} f(x, y, z) = x + y + z mod 2 time

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SLIDE 16

Théorie

Pro-discrete topology

configuration c : L → Q

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SLIDE 17

Théorie

Pro-discrete topology

configuration c : L → Q finite pattern ρ : D ⊆ L → Q cylinder set (basis of the topology) Cρ =

  • c : ∀z ∈ D, c(z) = ρ(z)
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SLIDE 18

Théorie

Pro-discrete topology

configuration c : L → Q finite pattern ρ : D ⊆ L → Q cylinder set (basis of the topology) Cρ =

  • c : ∀z ∈ D, c(z) = ρ(z)
  • distance giving the same topology

d(c, c′) = 2− min{|z|:c(z)=c′(z)}

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SLIDE 19

Théorie

Pro-discrete topology

configuration c : L → Q finite pattern ρ : D ⊆ L → Q cylinder set (basis of the topology) Cρ =

  • c : ∀z ∈ D, c(z) = ρ(z)
  • distance giving the same topology

d(c, c′) = 2− min{|z|:c(z)=c′(z)} Key fact

QL is compact

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SLIDE 20

Théorie

Topological characterization

action of L on configurations: shift σz σz(c) = z′ → c(z + z′)

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SLIDE 21

Théorie

Topological characterization

action of L on configurations: shift σz σz(c) = z′ → c(z + z′) CA are shift-invariant: σz ◦ F = F ◦ σz CA are continuous

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SLIDE 22

Théorie

Topological characterization

action of L on configurations: shift σz σz(c) = z′ → c(z + z′) CA are shift-invariant: σz ◦ F = F ◦ σz CA are continuous Hedlund’s Theorem F is a cellular automaton iff it is continuous and shift-invariant.

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SLIDE 23

Théorie

Topological characterization

action of L on configurations: shift σz σz(c) = z′ → c(z + z′) CA are shift-invariant: σz ◦ F = F ◦ σz CA are continuous Hedlund’s Theorem F is a cellular automaton iff it is continuous and shift-invariant. Corollary: if a CA is bijective then its inverse is also a CA.

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SLIDE 24

Théorie

AC comme systèmes dynamiques

dynamique orbitale étude du graphe de la relation x → y ≡ F(x) = y dynamique topologique idem + distance entre configurations dynamique mesurée idem en remplaçant l’espace QL par l’espace des mesures de proba sur QL

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SLIDE 25

Plan de l’exposé

1

Introduction / définitions

2

Décidabilité et complexité

3

Résistance au bruit

4

Mélange, aléa, dynamique ergodique

5

Universalité

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SLIDE 26

Quelques problèmes standards

avoir un point fixe ∃x : F(x) = x réversibilité ∀x, y : F(x) = F(y) ⇒ x = y surjectivité ∀y, ∃x : F(x) = y ensemble limite Ω =

  • t

F t QZd ensemble µ-limite u ∈ L

  • Ωµ
  • ⇔ F tµ([u]) → 0

sensibilité aux conditions initiales ∃ǫ, ∀x, ∀δ, ∃y, ∃t, d(x, y) ≤ δ and d

  • F t(x), F t(y)) > ǫ
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SLIDE 27

1D, temps borné : le royaume des automates

Automates de Büchi

un automate fini A =

  • Σ, Q, δ, i, F
  • qui lit des mots infinis: Σω

u ∈ LA ⇔ A peut lire u en visitant une infinité de fois F

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SLIDE 28

1D, temps borné : le royaume des automates

Automates de Büchi

un automate fini A =

  • Σ, Q, δ, i, F
  • qui lit des mots infinis: Σω

u ∈ LA ⇔ A peut lire u en visitant une infinité de fois F

  • J. R. Büchi, 1962

stables par union, intersection et complémentation

  • n peut décider si au moins un mot est accepté
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SLIDE 29

1D, temps borné : le royaume des automates

Automates de Büchi

un automate fini A =

  • Σ, Q, δ, i, F
  • qui lit des mots infinis: Σω

u ∈ LA ⇔ A peut lire u en visitant une infinité de fois F

  • J. R. Büchi, 1962

stables par union, intersection et complémentation

  • n peut décider si au moins un mot est accepté

si Σ = X × Y, un langage L ⊆ Σω peut être vu comme une relation entre X ω et Y ω notion de relation reconnaissable par automate de Büchi

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SLIDE 30

1D, temps borné : le royaume des automates

structure ω-automatique

  • bjets des mots infinis

relations relations Büchi-reconnaissables

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SLIDE 31

1D, temps borné : le royaume des automates

structure ω-automatique

  • bjets des mots infinis

relations relations Büchi-reconnaissables Model checking La théorie du premier ordre d’une structure ω-automatique est décidable.

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SLIDE 32

1D, temps borné : le royaume des automates

structure ω-automatique

  • bjets des mots infinis

relations relations Büchi-reconnaissables Model checking La théorie du premier ordre d’une structure ω-automatique est décidable. si F est un AC 1D, alors F(x) = y est Büchi-reconnaissable.

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SLIDE 33

1D, temps borné : le royaume des automates

structure ω-automatique

  • bjets des mots infinis

relations relations Büchi-reconnaissables Model checking La théorie du premier ordre d’une structure ω-automatique est décidable. si F est un AC 1D, alors F(x) = y est Büchi-reconnaissable. Théorème Toute formule utilisant F, =, ¬, ∧, ∨, et des quantifications sur les configurations est décidable pour les AC 1D. exemples : point fixe, surjectivité, réversibilité, etc. . .

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SLIDE 34

2D : the realm of tilings

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SLIDE 35

2D : the realm of tilings

Theorem In 2D, it is undecidable to know whether a CA has a fixed point.

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SLIDE 36

2D : the realm of tilings

Theorem In 2D, it is undecidable to know whether a CA has a fixed point. Proof: the domino problem is undecidable (Berger, 1966)

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SLIDE 37

2D : the realm of tilings

Theorem In 2D, it is undecidable to know whether a CA has a fixed point. Proof: the domino problem is undecidable (Berger, 1966) Theorem (Kari, 1990, 1994) In 2D, both injectivity and surjectivity are undecidable.

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SLIDE 38

1D, dynamique asymptotique ∼ 2D

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SLIDE 39

1D, dynamique asymptotique ∼ 2D

Théorème (J. Kari, 1992) Toute propriété non-triviale de Ω est indécidable. nilpotence ≡ Ω est un singleton

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SLIDE 40

1D, dynamique asymptotique ∼ 2D

Théorème (J. Kari, 1992) Toute propriété non-triviale de Ω est indécidable. nilpotence ≡ Ω est un singleton Théorème (M. Delacourt, 2011) En 1D, toute propriété non-triviale de Ωµ est indécidable. µ-nilpotence ≡ Ωµ est un singleton

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SLIDE 41

Complexité de la prédiction

Problème de la prédiction Connaissant l’état de toutes les cellules dans un rayon t, quel est l’état de la cellule centrale après t étapes ?

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SLIDE 42

Complexité de la prédiction

Problème de la prédiction Connaissant l’état de toutes les cellules dans un rayon t, quel est l’état de la cellule centrale après t étapes ? problème décidable en temps polynomial P-complet en général

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SLIDE 43

Complexité de la prédiction

Problème de la prédiction Connaissant l’état de toutes les cellules dans un rayon t, quel est l’état de la cellule centrale après t étapes ? problème décidable en temps polynomial P-complet en général pour l’automate majorité (plus proches voisins) c’est :

très facile en 1D (classe NC)

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SLIDE 44

Complexité de la prédiction

Problème de la prédiction Connaissant l’état de toutes les cellules dans un rayon t, quel est l’état de la cellule centrale après t étapes ? problème décidable en temps polynomial P-complet en général pour l’automate majorité (plus proches voisins) c’est :

très facile en 1D (classe NC) P-complet en 3D (C. Moore, 1997)

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SLIDE 45

Complexité de la prédiction

Problème de la prédiction Connaissant l’état de toutes les cellules dans un rayon t, quel est l’état de la cellule centrale après t étapes ? problème décidable en temps polynomial P-complet en général pour l’automate majorité (plus proches voisins) c’est :

très facile en 1D (classe NC) P-complet en 3D (C. Moore, 1997)

  • uvert en 2D !!
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SLIDE 46

Problèmes ouverts

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SLIDE 47

Problèmes ouverts

frontière décidable/indécidable en 1D ? haute indécidabilité et dépendance en la dimension ?

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SLIDE 48

Plan de l’exposé

1

Introduction / définitions

2

Décidabilité et complexité

3

Résistance au bruit

4

Mélange, aléa, dynamique ergodique

5

Universalité

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SLIDE 49

The Problem

choose some CA with evolution rule φ

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SLIDE 50

The Problem

choose some CA with evolution rule φ ǫ-perturbation: At each step,

either choose a state at random

  • r apply φ
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SLIDE 51

The Problem

choose some CA with evolution rule φ ǫ-perturbation: At each step,

either choose a state at random (proba ǫ)

  • r apply φ (proba 1 − ǫ)
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SLIDE 52

The Problem

choose some CA with evolution rule φ ǫ-perturbation: At each step,

either choose a state at random (proba ǫ)

  • r apply φ (proba 1 − ǫ)

what we want to study: Starting from initial configuration x, what is the distribution µt(x)

  • f configurations at time t?
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SLIDE 53

The Problem

choose some CA with evolution rule φ ǫ-perturbation: At each step,

either choose a state at random (proba ǫ)

  • r apply φ (proba 1 − ǫ)

what we want to study: Starting from initial configuration x, what is the distribution µt(x)

  • f configurations at time t?

1

does limt→∞ µt(x) depend on x?

2

can we do something useful with an ǫ-pertubated rule?

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SLIDE 54

Experiments

ǫ-perturbations with ǫ = 0.05

Game of Life

DEMO

Majority

DEMO

Toom’s majority rule: change to majoritary state as seen in neighborhood

DEMO

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SLIDE 55

Formal setting

invariant distribution: µ = Fµ for every lattice, there is always (at least) one invariant distribution (compactness) ergodicity:

1

there exists an invariant distribution µ

2

for all x µt(x) → µ

intuition: all information about x is ultimately lost

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SLIDE 56

Formal setting

invariant distribution: µ = Fµ for every lattice, there is always (at least) one invariant distribution (compactness) ergodicity:

1

there exists an invariant distribution µ

2

for all x µt(x) → µ

intuition: all information about x is ultimately lost finite lattice

ǫ-perturbation is a finite irreducible Markov chain Theorem: it is always ergodic

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SLIDE 57

Formal setting

invariant distribution: µ = Fµ for every lattice, there is always (at least) one invariant distribution (compactness) ergodicity:

1

there exists an invariant distribution µ

2

for all x µt(x) → µ

intuition: all information about x is ultimately lost finite lattice

ǫ-perturbation is a finite irreducible Markov chain Theorem: it is always ergodic

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SLIDE 58

Theorems

Toom’s majority Toom’s rule is not ergodic. Reliable computation For any 1D CA F, there is a 3D CA G that can simulate F even with ǫ-perturbation

(for ǫ small enough)

  • P. Gács et. al.

http://www.cs.bu.edu/~gacs/recent-publ.html

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SLIDE 59

Problèmes ouverts

majorité symétrique non-ergodique AC 1D bruité non-ergodique, exemple élémentaire ?

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SLIDE 60

Plan de l’exposé

1

Introduction / définitions

2

Décidabilité et complexité

3

Résistance au bruit

4

Mélange, aléa, dynamique ergodique

5

Universalité

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SLIDE 61

Problem statement

fix a deterministic CA rule fix a random distribution µ0

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SLIDE 62

Problem statement

fix a deterministic CA rule fix a random distribution µ0 what we want to study: Starting from a µ0-random initial configuration, what is the distribution µt

  • f configurations at time t?
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SLIDE 63

Problem statement

fix a deterministic CA rule fix a random distribution µ0 what we want to study: Starting from a µ0-random initial configuration, what is the distribution µt

  • f configurations at time t?

1

what is limt→∞ µt?

2

what kind of convergence?

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SLIDE 64

Experiments

The sum modulo rule

p a prime number states: {0, . . . , p − 1} rule: φ(x) = xi mod p

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SLIDE 65

Experiments

The sum modulo rule

p a prime number states: {0, . . . , p − 1} rule: φ(x) = xi mod p (p=2) power of p time steps

DEMO

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SLIDE 66

Experiments

The sum modulo rule

p a prime number states: {0, . . . , p − 1} rule: φ(x) = xi mod p (p=2) power of p time steps

DEMO

(p=7) looking at µt when starting with many 0s

DEMO

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SLIDE 67

Theorem

Cesarò mean: Mt = 1 t

  • i≤t

µi .

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SLIDE 68

Theorem

Cesarò mean: Mt = 1 t

  • i≤t

µi . Averaging Starting from any distribution of states∗, Mt converges to uniform distribution. a kind of second law of thermodynamics

  • M. Pivato et. al

http://euclid.trentu.ca/pivato/Research/research.html

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SLIDE 69

Problèmes ouverts

comprendre la convergence simple ? mélangeant ⇒ facilement prédictible ?

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SLIDE 70

Plan de l’exposé

1

Introduction / définitions

2

Décidabilité et complexité

3

Résistance au bruit

4

Mélange, aléa, dynamique ergodique

5

Universalité

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SLIDE 71

Different Notions of Universality

Cellular Automata can be simulated on a computer.

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SLIDE 72

Different Notions of Universality

Cellular Automata can be simulated on a computer. Converse also true: CA can simulate computers example: Game of Life!

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SLIDE 73

Different Notions of Universality

Cellular Automata can be simulated on a computer. Converse also true: CA can simulate computers example: Game of Life! Difficulty: how to define “can simulate”?

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SLIDE 74

Simulation of a CA by another CA

intuition:

simulated / simulator 1 cell ↔ m × n block of cells 1 state ↔ m × n pattern of states 1 time step ↔ a constant number of steps

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SLIDE 75

Simulation of a CA by another CA

intuition:

simulated / simulator 1 cell ↔ m × n block of cells 1 state ↔ m × n pattern of states 1 time step ↔ a constant number of steps

example: Diagonal shift T=0 Game of Life T=0

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SLIDE 76

Simulation of a CA by another CA

intuition:

simulated / simulator 1 cell ↔ m × n block of cells 1 state ↔ m × n pattern of states 1 time step ↔ a constant number of steps

example: Diagonal shift T=1 Game of Life T=12

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SLIDE 77

Théorie des pré-ordre de simulation

  • M. Delorme et. al.

Bulking II: Classifications of Cellular Automata

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SLIDE 78

Intrinsic Universality

Definition: a CA is intrinsically universal if it can simulate any CA

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SLIDE 79

Intrinsic Universality

Definition: a CA is intrinsically universal if it can simulate any CA Game of Life is intrinsically universal!

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SLIDE 80

Intrinsic Universality

Definition: a CA is intrinsically universal if it can simulate any CA Game of Life is intrinsically universal! Theorem: There is no algorithm to decide intrinsic universality.

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SLIDE 81

Intrinsic Universality

Definition: a CA is intrinsically universal if it can simulate any CA Game of Life is intrinsically universal! Theorem: There is no algorithm to decide intrinsic universality.

  • N. Ollinger

Universalities in Cellular Automata (Handbook of Natural Computing)

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SLIDE 82

How Common is Universality?

partial answer: symmetry is almost surely enough

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SLIDE 83

How Common is Universality?

partial answer: symmetry is almost surely enough what symmetry?

1

“hyper-locality”: φ(x1, . . . , xk) ∈ {x1, . . . , xk}

2

“hyper-isotropy”: φ invariant under any permutation of neighbors (xi)

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SLIDE 84

How Common is Universality?

partial answer: symmetry is almost surely enough what symmetry?

1

“hyper-locality”: φ(x1, . . . , xk) ∈ {x1, . . . , xk}

2

“hyper-isotropy”: φ invariant under any permutation of neighbors (xi)

Theorem For symmetric CA, the proportion of universal CA goes to 1 when size (states or neighborhood) goes to ∞

DEMO

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SLIDE 85

Problèmes ouverts

un universel complet ? densité de l’universalité ?

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SLIDE 86

Anti-plan de l’exposé

1 AC comme modèle de calcul

reconnaissance “parallèle” de langage classes de complexité algorithmique sur AC

2 AC et paradigmes inspirés de la physique

conservation de quantités systèmes de particules calcul et réversibilité

3 AC et modélisation

zoologie de la modélisation de phénomènes naturels relations avec les EDP simulations numériques

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SLIDE 87

Merci !