using bayes theorem to infer the material parameters of
play

Using Bayes theorem to infer the material parameters of human - PowerPoint PPT Presentation


  1. ������������������� ��������������� �������������������������������������������������������������������� ���������������� ����������������������������� ������������������������������������������������������������ ��������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������ �������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������� ������������ ������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������ ��������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� �������������������������������� ������������ � ������������������ ����������� ������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ��������������������������������������������������������������� ������������������� ��������������� ������������������� ����������������� ����������������������������������������������������� ������������������������ ���������������������� ���������������������� ������������ ���������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� �������� ���������� � � ����� ����������� ������������ ������������������������� �������������������� � ������������ ��������� ���������� ������ ����������������� ������������� ������������������������������� ���� ������������ ������� ���������� ��� ���������� ���������� �������� ���������� ����������� �������������������������������� ��������������������� University of Ghent, Bayesian Afternoon Seminar Using Bayes’ theorem to infer the material parameters of human tissue Jack S. Hale Collaborators: Patrick E. Farrell, Stéphane P. A. Bordas 1

  2. Overview • Motivation. • Bayesian approach to inversion. • Relate classical optimisation techniques to the Bayesian inversion approach. • Using a domain specific language for variational forms to solve the equations. • Low-rank updates to deal with high-dimensional posterior covariance. • Example problem: sparse surface observations of a solid block. 2

  3. Motivation. 3

  4. Source: Phillips 4

  5. 5

  6. 6

  7. Q: What can we infer about the parameters inside the domain, just from displacement observations on the outside? Q: Which parameters am I most uncertain about? 7

  8. Framework 8

  9. X ∼ N (¯ x, Γ prior ) E ∼ N (0 , Γ noise ) Parameter Map y obs y x G + Inference π posterior ( x | y ) ∝ π likelihood ( y | x ) π prior ( x ) � � − 1 − 1 2 || y − G ( u ) || 2 π posterior ( x | y ) ∝ exp 2 || x − ¯ x || Γ − 1 Γ − 1 prior noise 9

  10. G : X → Y Inverse Problems: A Bayesian perspective. Stuart, Acta Numerica (2010). Contribution: Bayesian inverse problems in an infinite- dimensional setting. When is a Bayesian inverse problem well-posed? 10

  11. B 0 B φ The displacements y for a given material parameter x are defined by a the minimum point of the following Lagrangian: � � L ( y, x ) = Ω ψ ( y, x ) dx � Γ t · y ds where the energy density functional ψ is defined through the following equations: ψ ( u, x ) = x 2( I c � d ) � x ln( J ) + λ 2 ln( J ) 2 , F = ∂φ ∂ X = I + � y, C = F T F , I C = tr( C ) , J = det F . 11

  12. Even once discretised (Finite Element Method) G h : R n → R m Colin27 brain atlas 20% extension test, 16 Core Xeon, 1.12 million cells, ~29 secs. n = 1 , 112 , 000 12

  13. Problems • Evaluating parameter-to-observable map is very expensive. • Discretised parameter space can be very large. • Outcome: Exploring posterior with ‘traditional sampling’ is not going to work. 13

  14. Solutions 1. Connect Bayesian approach to ideas from classical optimisation. Using derivatives of posterior in parameter-space (Girolami). 2. Exploiting low-rank structure of prior to posterior covariance updates (Flath 2012, Spantini 2015). 14

  15. π posterior ( x | y ) ∝ π likelihood ( y | x ) π prior ( x ) x MAP = arg max x ∈ R n π posterior ( x | y ) x MAP cov( x | y ) x CM 15

  16. Linearise y = Ax − ln π posterior ( x | y ) = 1 + 1 2 || y − Ax || 2 2 || x − x 0 || Γ − 1 Γ − 1 prior noise 16

  17. Take the derivative � � � 1 + 1 � 2 � y � A x � 2 2 � x � x 0 � 2 g ( x MAP ) := � x � Γ � 1 Γ � 1 � noise prior � x = x map = A T Γ � 1 noise ( y � A x map ) + Γ � 1 prior ( x map � x 0 ) = 0 � − 1 ( A T Γ noise y + Γ prior x 0 ) � Γ − 1 prior − A T Γ − 1 x MAP = noise A 17

  18. MAP estimate. Bound-constrained Quasi-Newton BLMVM with More-Thuente line search and ‘correct’ Riesz map. 18

  19. and the second derivative… H := ∇ x g = Γ − 1 prior − A T Γ − 1 noise A � − 1 ( A T Γ noise y + Γ prior x 0 ) � Γ − 1 prior − A T Γ − 1 x MAP = noise A (After a fair bit of manipulation…) π posterior ∼ N ( x MAP , H − 1 ) 19

  20. MAP estimate x MAP cov( x | y ) x CM 20

  21. x MAP H − 1 ( x MAP ) cov( x | y ) x CM 21

  22. π posterior ∼ N ( x MAP , H − 1 ) π approx posterior ∼ N ( x MAP , H − 1 ( x MAP )) x MAP H − 1 ( x MAP ) cov( x | y ) x CM 22

  23. Tools • The FEniCS Project is collection of free software for the automated, efficient solution of differential equations using the finite element method. http://fenicsproject.org • dolfin-adjoint automatically Wells, Logg, Rognes, Kirby and many, many others… derives the discrete adjoint, tangent linear and higher- order adjoint models from a high-level description of the http://www.dolfin-adjoint.org forward model. Farrell, Funke, Ham and Rognes. 2015 Wilkinson Prize for Numerical Software. 23

  24. B 0 B φ The displacements y for a given material parameter x are defined by a the minimum point of the following Lagrangian: � � L ( y, x ) = Ω ψ ( y, x ) dx � Γ t · y ds where the energy density functional ψ is defined through the following equations: ψ ( u, x ) = x 2( I c � d ) � x ln( J ) + λ 2 ln( J ) 2 , F = ∂φ ∂ X = I + � y, C = F T F , I C = tr( C ) , J = det F . 24

Download Presentation
Download Policy: The content available on the website is offered to you 'AS IS' for your personal information and use only. It cannot be commercialized, licensed, or distributed on other websites without prior consent from the author. To download a presentation, simply click this link. If you encounter any difficulties during the download process, it's possible that the publisher has removed the file from their server.

Recommend


More recommend