Uniformly distributed sequences of partitions Aljoa Vol ci c - - PowerPoint PPT Presentation

Uniformly distributed sequences of partitions

Aljoša Volˇ ciˇ c

Università della Calabria

Uniform distribution and QMC methods

• A. Volˇ

ciˇ c (Università della Calabria) U.d. sequences of partitions Linz, October 14-18, 2013 1 / 30

α-refinement In 1976 S. Kakutani introduced the following nice geometric construction. Definition (α-refinement) If α ∈]0, 1[ and π ≡ {0 = t0 < t1 < · · · < tk = 1} is any partition of [0, 1], the α-refinement of π (denoted by απ) is the partition obtained subdividing the interval(s) of π having maximal length in two parts in proportion α / 1 − α. We can iterate the α-refinement. The α-refinement of απ will be denoted by α2π and for the successive α-refinements we will use the notation αnπ, for n ∈ I N. If π = ω = {[0, 1]}, the trivial partition, the sequence of partitions {αnω} is called the Kakutani sequence of partitions of [0, 1] of parameter α.

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α - Kakutani-sequence {κn} for α = 3/4

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α - Kakutani-sequence {κn} for α = 3/4

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α - Kakutani-sequence {κn} for α = 3/4

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α - Kakutani-sequence {κn} for α = 3/4

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α - Kakutani-sequence {κn} for α = 3/4

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• A. Volˇ

ciˇ c (Università della Calabria) U.d. sequences of partitions Linz, October 14-18, 2013 3 / 30

α - Kakutani-sequence {κn} for α = 3/4

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• A. Volˇ

ciˇ c (Università della Calabria) U.d. sequences of partitions Linz, October 14-18, 2013 3 / 30

If α = 1/2, we get the well-known sequence of binary partitions. Definition (Uniform distribution) A sequence of partitions {πn}, πn ≡ {0 = tn

0 < tn 1 < · · · < tn k(n) = 1} is

said to be uniformly ditributed (u.d.) if for any continuous real valued function f on [0, 1] we have lim

n→∞

1 k(n)

k(n)

• i=1

f(tn

i ) =

1 f(x) dx . Theorem (S. Kakutani) The sequence of partitions {αnω} is uniformly distributed for any α ∈]0, 1[.

• A. Volˇ

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Few years after Kakutani’s paper R.L. Adler and L. Flatto provided a simpler proof. Other authors, also in recent times, studied probabilistic variants of the construction (Lootgieter, van Zwet, Brennan & Durrett, Pyke & van Zwet). In the meanwhile the deterministic result has been almost forgotten, except for a paper in 1992 (F . Chersi, A.V.) which extended the notion

• f u.d sequence of partitions to complete separable metric spaces.

In the last years Kakutani’s idea has been revitalized putting it in a more general context and connecting it to other active areas of uniform distribution.

• A. Volˇ

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ρ-refinements Definition (ρ-refinement) Let ρ be a fixed finite non trivial partition of [0, 1] and π any partition of [0, 1]. The ρ-refinement of π (denoted by ρπ) is obtained splitting its interval(s) of maximal length directly homothetically to ρ. If ρ = {[0, α], [α, 1]} we get Kakutani’s α-refinement. We can iterate the ρ-refinement. The ρ-refinement of ρπ will be denoted by ρ2π and for the successive ρ-refinements we will use the notation ρnπ, for n ∈ I N. Theorem (A.V. 2011) The sequence of partitions {ρnω} is uniformly distributed. When is {ρnπ} u.d.? ( C. Aistlaitner, M. Hofer).

• A. Volˇ

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ρnω with ρ = {[0, 1/2], [1/2, 3/4], [3/4, 1]}

¡ ¡ ¡ω ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|________________________________________________________________________________________________________________________| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

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• A. Volˇ

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ρnω with ρ = {[0, 1/2], [1/2, 3/4], [3/4, 1]}

¡ ¡ ¡ω ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|________________________________________________________________________________________________________________________| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

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• A. Volˇ

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ρnω with ρ = {[0, 1/2], [1/2, 3/4], [3/4, 1]}

¡ ¡ ¡ω ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|________________________________________________________________________________________________________________________| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

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ρ1,2

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ρ1,2

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• A. Volˇ

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ρnω with ρ = {[0, 1/2], [1/2, 3/4], [3/4, 1]}

¡ ¡ ¡ω ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|________________________________________________________________________________________________________________________| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

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ρ1,2

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• A. Volˇ

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Definition (Discrepancy) If {πn} is a sequence of partitions, each defined by the points {0 = tn

0 < tn 1 < . . . tn k(n) = 1}, its discrepancy is defined as

D(πn) = sup

0≤a<b≤1

• 1

k(n)

k(n)

• i=1

χ[a,b](tn

i ) − (b − a)

• .

A sequence of partitions {πn} is u.d. if and only if lim

n→∞ D(πn) = 0 .

and it is said to have low discrepancy if and only if D(πn) = O

• 1

k(n)

• .
• A. Volˇ

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• M. Drmota & M. Infusino (2012) provided estimates for discrepancy of

the Kakutani’s sequence of partitions. They are particularly efficient when log α log(1 − α) is rational. They also gave estimates for the discrepancy of ρnω. The results are significant specially in the case when the lengths of the intervals of ρ, l1, l2, . . . , lm, are rationally related, i.e. the ratios log li log lj are all rational numbers.

• A. Volˇ

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U.d. sequences of partitions and of points When we want to evaluate an integral, sequences of partitions have two drawbacks, when compared to sequences of points. The first shows up when πn and πn+k do not have significantly many points in common. If, in estimating 1

0 f(t) dt with the average of the values of f in the

points determining πn , it is necessary to increase the number of points, one has to recalculate the f in the points of πn+k losing all the work already done.

• A. Volˇ

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We do not face this problem when, for any n, πn+1 is a refinement of πn, as in the case of ρ-refinements. But another problem remains: when calculating the values of f we are not allowed to use the number of points we may consider convenient. This is illustrated in an exemplary way by the sequence of dyadic

• partitions. Passing from n to n + 1 we have to double the number of

points! But we know, in this specific case, that there is an elegant way of getting around the problem: we can order in an appropriate way the points of the partitions to obtain the van der Corput sequence of points.

• A. Volˇ

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Definition (Sequential ordering) If {πn} is a sequence of partitions, each defined by the points {0 = tn

0 < tn 1 < . . . tn k(n) = 1}, we say that an ordering of the points tn i is

sequential if we first reorder all the points defining π1, then those defining π2, and so on. The following result provides a connection between uniformly distributed sequences of partitions and uniformly distributed sequences of points. Theorem (A.V. 2011) A random sequential ordering of the points of a u.d. sequence of partitions {πn} is, with probability 1, a u.d. sequence of points .

• A. Volˇ

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LS-sequences Definition (LS-sequences of partitions) Let L and S be two natural numbers with L ≥ 1, S ≥ 0 and L + S ≥ 2. Let ρLS be the partition having L “long" intervals of length γ and S “short" intervals of length γ2, where γ is the positive (characteristic) root of the characteristic polynomial Sγ2 + Lγ − 1. The LS-sequence of partitions is defined as {ρn

LSω} .

Special case: If S = 0 then L has to be at least 2 and the order of the characteristic polynomial is 1. In this case we get the L-adic partitions, i.e. the partitions of [0, 1] into Ln equal parts.

• A. Volˇ

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Theorem (I. Carbone, 2011) The sequence of partitions {ρn

LSω} has low discrepancy if and only if

L ≥ S. If L = S + 1 the discrepancy is of the order log k(n) k(n) and for L < S + 1 the discrepancy is of the order 1 k(n)c where c = 1 + log Sγ

log γ < 1.

• A. Volˇ

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From sequences of partitions to sequences of points In the same paper I. Carbone constructed an algorithm which sequentially orders the points defining the partitions {ρn

LSω}.

When S = 0 and L ≥ 2, the algorithm produces the van der Corput sequence in base L. The sequences obtained with this algorithm are called the LS-sequences of points. The most interesting aspect is that the algorithm (improved in a paper submitted recently) turns low discrepancy sequences of partitions into low discrepancy sequences of points. Let us recall that this is the case when L ≥ S.

• A. Volˇ

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The Kakutani-Fibonacci sequence

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• A. Volˇ

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The Kakutani-Fibonacci sequence

¡|_______________________________________________________________________________________________________________| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡ ¡1° ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡2° ¡ ¡|__________________________________________________________________|____________________________________________| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ β ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡

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• A. Volˇ

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The Kakutani-Fibonacci sequence

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• A. Volˇ

ciˇ c (Università della Calabria) U.d. sequences of partitions Linz, October 14-18, 2013 16 / 30

The Kakutani-Fibonacci sequence

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• A. Volˇ

ciˇ c (Università della Calabria) U.d. sequences of partitions Linz, October 14-18, 2013 16 / 30

The Kakutani-Fibonacci sequence

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• A. Volˇ

ciˇ c (Università della Calabria) U.d. sequences of partitions Linz, October 14-18, 2013 16 / 30

The Kakutani-Fibonacci sequence of points is particularly interesting, since it connects various areas of uniform distribution: * It is the LS-sequence of points with L = S = 1. * It is a sequential reordering of the sequence of Kakutani’s α-refinements, corresponding to the inverse of the golden ratio γ = √ 5 − 1 2 . * it coincides with the β-adic generalized van der Corput sequence for β = Φ, the golden ratio. * It is the orbit T n(0) of an appropriate (Kakutani-Fibonacci) ergodic transformation T constructed by the cutting-stacking method.

• A. Volˇ

ciˇ c (Università della Calabria) U.d. sequences of partitions Linz, October 14-18, 2013 17 / 30

γ γ 1 γ γ 1 γ2 γ3 γ2 γ γ + γ31 γ2 γ

• A. Volˇ

ciˇ c (Università della Calabria) U.d. sequences of partitions Linz, October 14-18, 2013 18 / 30

Theorem (I. Carbone, M.R. Iacò, A. V. 2013) The Kakutani-Fibonacci transformation T constructed with the cutting-stacking method described above is ergodic and measure

• preserving. Moreover the orbit {T n(0)} coincides with the

LS-sequence of points with L = S = 1. Theorem (M. Hofer, M.R. Iacò, R. Tichy 2013) The Kakutani-Fibonacci transformation is uniquely ergodic.

• A. Volˇ

ciˇ c (Università della Calabria) U.d. sequences of partitions Linz, October 14-18, 2013 19 / 30

1 γ

T1 T3 T2 T4

γ γ2 γ2 + γ4 γ + γ3 γ + γ3 + γ5 γ2 γ3 γ4

Figure: Partial graph of the Kakutani-Fibonacci transformation

• A. Volˇ

ciˇ c (Università della Calabria) U.d. sequences of partitions Linz, October 14-18, 2013 20 / 30

Higher dimension I We extended Kakutani’s splitting procedure (and also ρ-refinements) to higher dimension. By IN = [0, 1]N we denote the unit cube of I

• RN. By a cartesian

N-rectangle (or simply a rectangle) contained in IN we always mean a set of the type R = N

j=1[aj, bj].

A partition of IN is a finite collection of cartesian rectangles {Ri, 1 ≤ i ≤ k}, which cover IN and have disjoint interiors.

• A. Volˇ

ciˇ c (Università della Calabria) U.d. sequences of partitions Linz, October 14-18, 2013 21 / 30

The definition of uniformly distributed sequence of partitions extends naturally to higher dimension. Definition (Uniform distribution of partitions of [0, 1]N) Given a sequence of partitions {πn} of IN, with πn = {Rn

i , 1 ≤ i ≤ k(n)}, we say that it is uniformly distributed, if for

any continuous real valued function f on IN, we have lim

n→∞

1 k(n)

k(n)

• i=1

f(vn

i ) =

• IN f(t) dt ,

where vn

i is any point belonging to Rn i .

• A. Volˇ

ciˇ c (Università della Calabria) U.d. sequences of partitions Linz, October 14-18, 2013 22 / 30

Definition Fix α ∈]0, 1[. If π = {Ri, 1 ≤ i ≤ k} is any partition of [0, 1]N, its Kakutani α-refinement απ is obtained by splitting all the rectangles of π having maximal N-dimensional measure λN in two rectangles, dividing in two segments their longest side such that the left and right part have length proportional to α and 1 − α, respectively. If the rectangle Ri has several sides with the same length, we split the side with the smallest coordinate index j.

• A. Volˇ

ciˇ c (Università della Calabria) U.d. sequences of partitions Linz, October 14-18, 2013 23 / 30

Let us denote again by ω the trivial partition of IN. By αnω we indicate the n-th α-partition of ω. The following theorem extends Kakutani’s theorem to higher dimension. Theorem (I. Carbone, A.V. , 2007) The sequence of partitions {αnω} is uniformly distributed. The construction of {αnω} and the proof are intrinsically higher-dimensional.

• A. Volˇ

ciˇ c (Università della Calabria) U.d. sequences of partitions Linz, October 14-18, 2013 24 / 30

Kakutani’s partition of [0, 1]2 for α = 2/3

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• A. Volˇ

ciˇ c (Università della Calabria) U.d. sequences of partitions Linz, October 14-18, 2013 25 / 30

Kakutani’s partition of [0, 1]2 for α = 2/3

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• A. Volˇ

ciˇ c (Università della Calabria) U.d. sequences of partitions Linz, October 14-18, 2013 25 / 30

Kakutani’s partition of [0, 1]2 for α = 2/3

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• A. Volˇ

ciˇ c (Università della Calabria) U.d. sequences of partitions Linz, October 14-18, 2013 25 / 30

Kakutani’s partition of [0, 1]2 for α = 2/3

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• A. Volˇ

ciˇ c (Università della Calabria) U.d. sequences of partitions Linz, October 14-18, 2013 25 / 30

Higher dimension II If {xn} and {yn} are an (L1, S1)- and (L2, S2)-sequence, respectively, then it is natural to ask how does the “Halton LS-sequence" {(xn, yn)} behave in [0, 1]2. Of course the question becomes even more interesting in higher dimensions. We made some experiments which gave interesting results.

• A. Volˇ

ciˇ c (Università della Calabria) U.d. sequences of partitions Linz, October 14-18, 2013 26 / 30

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 L=3, S=1 L=1, S=3 5000 points

• A. Volˇ

ciˇ c (Università della Calabria) U.d. sequences of partitions Linz, October 14-18, 2013 27 / 30

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 L=S=1 L=4, S=1 5000 points

• A. Volˇ

ciˇ c (Università della Calabria) U.d. sequences of partitions Linz, October 14-18, 2013 28 / 30

It is not known when are the Halton-LS sequences u.d. There are just two nice and interesting negative results due to C. Aistleitner, M. Hofer and V. Ziegler. Assume in both theorems that {xn} and {yn} are an (L1, S1)- and (L2, S2)-sequence, respectively. Theorem 1 If Li ≥ Si for i = 1, 2 and there exist integers r and s such that γr

1

γs

2 ∈ Q,

then {(xn, yn)} is not dense in [0, 1]2. Theorem 2 If gcd(L1, S1, L2, S2) > 1 then {(xn, yn)} is not dense in [0, 1]2.

• A. Volˇ

ciˇ c (Università della Calabria) U.d. sequences of partitions Linz, October 14-18, 2013 29 / 30

Thank you!

• A. Volˇ

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