Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ Pr✐♠♦rs❦❛✱ ❑♦♣❡r ▼❛② ✷✵✶✺ P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s
❚❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ❣r❛♣❤ ♠❛② ❤❛✈❡ ❧♦♦♣s✱ ♠✉❧t✐♣❧❡ ❡❞❣❡s✱ ❤❛❧❢✲❡❞❣❡s ✭✇✐t❤ ♦♥❧② ♦♥❡ ❡♥❞♣♦✐♥t✮✱ ❛♥❞ ❧♦♦s❡ ❡❞❣❡s ✭✇✐t❤ ♥♦ ❡♥❞♣♦✐♥ts✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❤❛❧❢ ❛♥❞ ❧♦♦s❡ ❡❞❣❡s ❞♦ ♥♦t r❡❝❡✐✈❡ s✐❣♥s✳ ■❢ ✐s ❛ ❝②❝❧❡ ✐♥ ✱ t❤❡ s✐❣♥ ♦❢ t❤❡ ✐s t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ ✐ts ❡❞❣❡s s✐❣♥s✳ P♦s✐t✐✈❡ ❡❞❣❡s ❛r❡ ❜♦❧❞ ❧✐♥❡s✱ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❡❞❣❡s ❛r❡ ❞♦tt❡❞ ❧✐♥❡s✳ Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❇❛s✐❝ ♥♦t✐♦♥s ♦♥ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ▼❛tr✐❝❡s ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ❆ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤ Γ ✐s ❛♥ ♦r❞❡r❡❞ ♣❛✐r ( G , σ ) ✱ ✇❤❡r❡ G = ( V ( G ) , E ( G )) ✐s ❛ ❣r❛♣❤ ❛♥❞ σ : E ( G ) → { + , −} ✐s t❤❡ s✐❣♥❛t✉r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ❡❞❣❡s ♦❢ G ✳ P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s
P♦s✐t✐✈❡ ❡❞❣❡s ❛r❡ ❜♦❧❞ ❧✐♥❡s✱ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❡❞❣❡s ❛r❡ ❞♦tt❡❞ ❧✐♥❡s✳ Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❇❛s✐❝ ♥♦t✐♦♥s ♦♥ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ▼❛tr✐❝❡s ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ❆ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤ Γ ✐s ❛♥ ♦r❞❡r❡❞ ♣❛✐r ( G , σ ) ✱ ✇❤❡r❡ G = ( V ( G ) , E ( G )) ✐s ❛ ❣r❛♣❤ ❛♥❞ σ : E ( G ) → { + , −} ✐s t❤❡ s✐❣♥❛t✉r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ❡❞❣❡s ♦❢ G ✳ ❚❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ❣r❛♣❤ G ♠❛② ❤❛✈❡ ❧♦♦♣s✱ ♠✉❧t✐♣❧❡ ❡❞❣❡s✱ ❤❛❧❢✲❡❞❣❡s ✭✇✐t❤ ♦♥❧② ♦♥❡ ❡♥❞♣♦✐♥t✮✱ ❛♥❞ ❧♦♦s❡ ❡❞❣❡s ✭✇✐t❤ ♥♦ ❡♥❞♣♦✐♥ts✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❤❛❧❢ ❛♥❞ ❧♦♦s❡ ❡❞❣❡s ❞♦ ♥♦t r❡❝❡✐✈❡ s✐❣♥s✳ ■❢ C ✐s ❛ ❝②❝❧❡ ✐♥ Γ ✱ t❤❡ s✐❣♥ ♦❢ t❤❡ C ✐s t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ ✐ts ❡❞❣❡s s✐❣♥s✳ P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s
Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❇❛s✐❝ ♥♦t✐♦♥s ♦♥ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ▼❛tr✐❝❡s ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ❆ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤ Γ ✐s ❛♥ ♦r❞❡r❡❞ ♣❛✐r ( G , σ ) ✱ ✇❤❡r❡ G = ( V ( G ) , E ( G )) ✐s ❛ ❣r❛♣❤ ❛♥❞ σ : E ( G ) → { + , −} ✐s t❤❡ s✐❣♥❛t✉r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ❡❞❣❡s ♦❢ G ✳ ❚❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ❣r❛♣❤ G ♠❛② ❤❛✈❡ ❧♦♦♣s✱ ♠✉❧t✐♣❧❡ ❡❞❣❡s✱ ❤❛❧❢✲❡❞❣❡s ✭✇✐t❤ ♦♥❧② ♦♥❡ ❡♥❞♣♦✐♥t✮✱ ❛♥❞ ❧♦♦s❡ ❡❞❣❡s ✭✇✐t❤ ♥♦ ❡♥❞♣♦✐♥ts✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❤❛❧❢ ❛♥❞ ❧♦♦s❡ ❡❞❣❡s ❞♦ ♥♦t r❡❝❡✐✈❡ s✐❣♥s✳ ■❢ C ✐s ❛ ❝②❝❧❡ ✐♥ Γ ✱ t❤❡ s✐❣♥ ♦❢ t❤❡ C ✐s t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ ✐ts ❡❞❣❡s s✐❣♥s✳ ✈ q q q q q q q q q q q q q ✈ ❅ ❅ ❅ P♦s✐t✐✈❡ ❡❞❣❡s ❛r❡ ❜♦❧❞ ❧✐♥❡s✱ ❅ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❡❞❣❡s ❛r❡ ❞♦tt❡❞ ❧✐♥❡s✳ ❅ ❅ ✈ q q q q q q q q q ✈ P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s
Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❇❛s✐❝ ♥♦t✐♦♥s ♦♥ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ▼❛tr✐❝❡s ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❙✐❣♥❛t✉r❡ ❙✇✐t❝❤✐♥❣ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲❡t Γ = ( G , σ ) ❜❡ ❛ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤ ❛♥❞ U ⊆ V ( G ) ✳ ❚❤❡ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤ Γ U ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ♥❡❣❛t✐♥❣ t❤❡ ❡❞❣❡s ✐♥ t❤❡ ❝✉t [ U ; U c ❪ ✐s ❛ ✭s✐❣♥✮ s✇✐t❝❤✐♥❣ ♦❢ Γ ✳ ❲❡ ❛❧s♦ s❛② t❤❛t t❤❡ s✐❣♥❛t✉r❡s ♦❢ Γ U ❛♥❞ Γ ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✳ ❚❤❡ s✐❣♥❛t✉r❡ s✇✐t❝❤✐♥❣ ♣r❡s❡r✈❡s t❤❡ s❡t ♦❢ t❤❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ❝②❝❧❡s✳ ❲❡ s❛② t❤❛t t✇♦ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ❛r❡ s✇✐t❝❤✐♥❣ ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ ✐❢ t❤❡✐r ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ❣r❛♣❤s ❛r❡ ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ ❛♥❞ t❤❡ s✐❣♥❛t✉r❡s ❛r❡ s✇✐t❝❤✐♥❣ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✳ ❚❤❡ s❡t ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s s✇✐t❝❤✐♥❣ ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ t♦ Γ ✐s t❤❡ s✇✐t❝❤✐♥❣ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❝❧❛ss ♦❢ Γ ✱ ✇r✐tt❡♥ [Γ] ✳ P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s
▲❡t ✺ ✳ ✶ ✹ ✹ ✸ ✶ ✷ ✺ ◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ s✇✐t❝❤✐♥❣ ♣r❡s❡r✈❡s t❤❡ s✐❣♥ ♦❢ t❤❡ ❝②❝❧❡s✦ Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❇❛s✐❝ ♥♦t✐♦♥s ♦♥ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ▼❛tr✐❝❡s ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ s✇✐t❝❤✐♥❣ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❣r❛♣❤s v ✹ v ✸ ✉ ✉ � q � q q � q Γ v ✶ ✉ q qqqqqqqqq q q q q ✉ ✉ v ✷ v ✺ P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s
✹ ✸ ✶ ✷ ✺ ◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ s✇✐t❝❤✐♥❣ ♣r❡s❡r✈❡s t❤❡ s✐❣♥ ♦❢ t❤❡ ❝②❝❧❡s✦ Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❇❛s✐❝ ♥♦t✐♦♥s ♦♥ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ▼❛tr✐❝❡s ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ s✇✐t❝❤✐♥❣ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❣r❛♣❤s v ✹ v ✸ ✉ ✉ ✉ � q � q q � q Γ v ✶ ✉ ✉ q qqqqqqqqq q q q q ✉ ✉ ✉ v ✷ v ✺ ▲❡t U = { v ✶ , v ✹ , v ✺ } ✳ P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s
Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❇❛s✐❝ ♥♦t✐♦♥s ♦♥ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❡❞ ❣r❛♣❤s ▼❛tr✐❝❡s ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s ❚❤❡ ❊♥❞ ❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ s✇✐t❝❤✐♥❣ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❣r❛♣❤s v ✹ v ✸ ✉ ✉ ✉ � q � q q � q Γ v ✶ ✉ ✉ q qqqqqqqqq q q q q ✉ ✉ ✉ v ✷ v ✺ ▲❡t U = { v ✶ , v ✹ , v ✺ } ✳ v ✹ v ✸ qqqqqqqq q q q q q q q q q ✉ ✉ q q q Γ U q v ✶ ✉ q ❅ q q ❅ q ❅ q ✉ q q q q q q q q q ✉ v ✷ v ✺ ◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ s✇✐t❝❤✐♥❣ ♣r❡s❡r✈❡s t❤❡ s✐❣♥ ♦❢ t❤❡ ❝②❝❧❡s✦ P❛✇❡➟ P❡t❡❝❦✐ ❙♣❡❝tr❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐❣♥❡❞ ●r❛♣❤s
Recommend
More recommend