Topological Data Analysis with applica2ons to porous and - - PowerPoint PPT Presentation

Topological ¡Data ¡Analysis ¡

with ¡applica2ons ¡to ¡ ¡ porous ¡and ¡granular ¡materials ¡

Vanessa ¡Robins ¡ Applied ¡Mathema2cs, ¡RSPE, ¡ANU ¡

ARC ¡Future ¡Fellowship ¡ FT140100604 ¡ ¡ ARC ¡Discovery ¡Projects ¡ DP1101028, ¡DP0666442 ¡

granular ¡and ¡porous ¡materials ¡

OMawa ¡sand ¡ Clashach ¡sandstone ¡

1mm ¡scale ¡bars ¡

Mt ¡Gambier ¡limestone ¡ Want ¡accurate ¡geometric ¡and ¡topological ¡characterisa2on ¡from ¡x-­‑ray ¡micro-­‑CT ¡images ¡

• pore ¡and ¡grain ¡size ¡distribu2ons, ¡structure ¡of ¡immiscible ¡fluid ¡distribu2ons ¡
• adjacencies ¡between ¡elements, ¡network ¡models ¡ ¡ ¡ ¡

Understand ¡how ¡these ¡quan22es ¡correlate ¡with ¡physical ¡proper2es ¡such ¡as ¡

• diffusion, ¡permeability, ¡mechanical ¡response ¡to ¡load. ¡ ¡ ¡ ¡

figures ¡obtained ¡at ¡the ¡ANU ¡micro ¡CT ¡facility ¡

Topology ¡from ¡data? ¡ ¡

• Challenge: ¡compute ¡topological ¡invariants ¡from ¡finite ¡noisy ¡data ¡

with ¡structure ¡on ¡different ¡length-­‑scales. ¡ ¡

– e.g. ¡connected ¡components ¡(clustering) ¡ – Euler ¡characteris2c, ¡ ¡Be_ ¡numbers, ¡homology ¡groups. ¡ ¡

• Requirements: ¡ ¡

– a ¡cell ¡complex ¡ – efficient ¡algorithms ¡ – sta2s2cal ¡methods ¡for ¡the ¡analysis ¡of ¡topological ¡invariants ¡

• Applica2ons: ¡

– Spherical ¡bead ¡packings ¡and ¡other ¡granular ¡and ¡porous ¡materials ¡ ¡ – Glass ¡transi2on, ¡Materials ¡informa2cs ¡(for ¡MOFs, ¡etc.) ¡ ¡ ¡ – Histology ¡image ¡analysis, ¡protein ¡structure, ¡distribu2on ¡of ¡galaxies ¡in ¡the ¡ universe, ¡dynamical ¡systems/ ¡2me ¡series ¡analysis, ¡….. ¡

Persistent ¡homology ¡for ¡func2ons ¡

Suppose ¡f: ¡M ¡ ¡R ¡is ¡a ¡real ¡valued ¡func2on ¡on ¡a ¡manifold, ¡M. ¡ ¡ ¡ A ¡filtra2on ¡of ¡M ¡is ¡defined ¡by ¡the ¡lower-­‑level ¡sets ¡of ¡f: ¡ ¡ ¡Mh ¡= ¡{ ¡x ¡in ¡ ¡M ¡such ¡that ¡f(x) ¡≤ ¡h ¡} ¡ ¡ ¡ Morse ¡theory ¡tells ¡us ¡that ¡the ¡topology ¡of ¡Mh ¡can ¡change ¡only ¡ when ¡h ¡is ¡a ¡cri2cal ¡value ¡of ¡f. ¡ ¡ ¡ ¡ If ¡the ¡cri2cal ¡points ¡of ¡f ¡are ¡isolated ¡and ¡non-­‑degenerate, ¡then ¡ the ¡topological ¡change ¡is ¡dictated ¡by ¡the ¡index ¡of ¡the ¡cri2cal ¡ point, ¡i.e. ¡the ¡number ¡of ¡nega2ve ¡eigenvalues ¡of ¡the ¡Hessian ¡

• matrix. ¡ ¡

¡

• 1. ¡Morse ¡theory ¡for ¡smooth ¡manifolds ¡and ¡func2ons ¡

Let’s ¡start ¡simple: ¡ ¡ f ¡is ¡a ¡smooth ¡(i.e. ¡infinitely ¡differen2able) ¡real ¡valued ¡func2on ¡of ¡one ¡variable ¡ A ¡cri2cal ¡point ¡x0 ¡of ¡f ¡is ¡where ¡the ¡deriva2ve ¡f’(x0) ¡= ¡0. ¡ The ¡number ¡c ¡is ¡a ¡cri2cal ¡value ¡if ¡f(x0) ¡= ¡c. ¡ The ¡cri2cal ¡point ¡is ¡degenerate ¡if ¡the ¡second ¡deriva2ve ¡f’’(x0) ¡= ¡0. ¡ Otherwise, ¡the ¡cri2cal ¡point ¡is ¡non-­‑degenerate ¡ ¡

• 1.6
• 0.8

0.8 1.6

• 0.8

0.8 1.6 2.4

f(x) ¡= ¡x2 ¡ x0 ¡= ¡0 ¡

• 1.6
• 0.8

0.8 1.6

• 0.8

0.8 1.6 2.4

f(x) ¡= ¡x3 ¡ x0 ¡= ¡0 ¡

• 1.6
• 0.8

0.8 1.6

• 0.8

0.8 1.6 2.4

f(x) ¡= ¡x3-­‑ax ¡

• 1.6
• 0.8

0.8 1.6

• 0.8

0.8 1.6 2.4

f(x) ¡= ¡x2-­‑ax ¡

• 1.6
• 0.8

0.8 1.6

• 0.8

0.8 1.6 2.4

f(x) ¡≈ ¡f(x0) ¡+ ¡½f’’(x0)(x-­‑x0)2 ¡ Key ¡points: ¡ non-­‑degenerate ¡cri2cal ¡points ¡ ¡ are ¡stable ¡ ¡ in ¡the ¡neighbourhood ¡of ¡a ¡ ¡ non-­‑degenerate ¡cri2cal ¡point, ¡ ¡ f ¡is ¡well ¡approximated ¡by ¡a ¡ ¡ quadra2c ¡func2on ¡

• 1. ¡Morse ¡theory ¡for ¡smooth ¡manifolds ¡and ¡func2ons ¡

Now ¡for ¡any ¡finite ¡dimension: ¡ ¡ f ¡is ¡a ¡smooth ¡real ¡valued ¡func2on ¡on ¡a ¡closed ¡smooth ¡m-­‑dimensional ¡manifold ¡M. ¡ ¡ ¡ ¡ A ¡cri2cal ¡point ¡p0 ¡of ¡f ¡is ¡where ¡the ¡deriva2ves ¡Dxif(p0) ¡= ¡0, ¡i=1,…,m. ¡ ¡ ¡ If ¡p0 ¡is ¡a ¡cri2cal ¡point, ¡we ¡define ¡the ¡Hessian ¡Hf(p0) ¡= ¡(Dxixj ¡f(p0)) ¡ ¡as ¡the ¡matrix ¡of ¡second ¡deriva2ves ¡evaluated ¡at ¡p0 ¡

¡

The ¡cri2cal ¡point ¡is ¡degenerate ¡if ¡the ¡matrix ¡of ¡second ¡deriva2ves ¡has ¡det ¡Hf(p0) ¡= ¡0 ¡. ¡ ¡Otherwise, ¡the ¡cri2cal ¡point ¡is ¡non-­‑degenerate. ¡ ¡ A ¡Morse ¡func2on ¡ is ¡one ¡with ¡only ¡non-­‑degenerate ¡cri2cal ¡points ¡

• it ¡follows ¡that ¡these ¡are ¡isolated ¡
• it ¡also ¡follows ¡that ¡if ¡M ¡is ¡compact, ¡then ¡the ¡

¡Morse ¡func2on ¡f ¡has ¡finitely ¡many ¡cri2cal ¡points ¡

• near ¡a ¡cri2cal ¡point, ¡f ¡has ¡a ¡quadra2c ¡form: ¡

¡f(p0) ¡≈ ¡c ¡+ ¡X1

2 ¡+ ¡X2 2 ¡+… ¡-­‑ ¡Xj 2 ¡-­‑ ¡… ¡-­‑ ¡Xm 2 ¡ ¡

f : M → R Morse ¡func2ons ¡are ¡dense ¡in ¡the ¡ ¡ space ¡of ¡all ¡smooth ¡func2ons ¡on ¡M ¡

A ¡topologist’s ¡favourite ¡Morse ¡ ¡ func2on ¡is ¡a ¡height ¡func2on ¡

• 1. ¡Morse ¡theory ¡for ¡smooth ¡manifolds ¡and ¡func2ons ¡

And ¡next: ¡ ¡ ¡ The ¡index ¡of ¡a ¡non-­‑degenerate ¡cri2cal ¡point ¡is ¡the ¡ ¡ ¡number ¡of ¡nega2ve ¡eigenvalues ¡of ¡the ¡Hessian ¡Hf(p0) ¡ ¡

index ¡= ¡0 ¡ f ¡= ¡X2 ¡+ ¡Y2 ¡ index ¡= ¡1 ¡ f ¡= ¡X2 ¡-­‑ ¡Y2 ¡ index ¡= ¡2 ¡ f ¡= ¡-­‑ ¡X2 ¡-­‑ ¡Y2 ¡

Key ¡insight: ¡ ¡The ¡topology ¡of ¡lower ¡level ¡sets ¡ ¡ changes ¡only ¡when ¡t ¡passes ¡through ¡a ¡cri2cal ¡value ¡of ¡f ¡

Mt = {p ∈ M | f(p) ≤ t}

Theorem: ¡ ¡If ¡the ¡Morse ¡func2on ¡f ¡has ¡no ¡cri2cal ¡values ¡in ¡the ¡interval ¡[a,b] ¡ ¡ then ¡Mb ¡is ¡homotopy ¡equivalent ¡to ¡Ma. ¡ ¡In ¡fact ¡M[a,b] ¡is ¡diffeomorphic ¡to ¡ ¡f-­‑1(a) ¡x ¡[0,1]. ¡ ¡

in ¡a ¡contour ¡plot: ¡

• 1. ¡Morse ¡theory ¡for ¡smooth ¡manifolds ¡and ¡func2ons ¡

An ¡m-­‑dimensional ¡k-­‑handle ¡is ¡the ¡cross ¡product ¡of ¡two ¡closed ¡disks: ¡ ¡Dk ¡x ¡Dm-­‑k. ¡ ¡ ¡ ¡ “aMaching ¡a ¡handle ¡to ¡Mt” ¡means ¡gluing ¡ ¡Dk ¡x ¡Dm-­‑k ¡ ¡along ¡ ¡ [-­‑1]xDm-­‑k ¡U ¡ ¡[1]xDm-­‑k ¡ ¡to ¡Lt ¡= ¡bdry(Mt) ¡ ¡ When ¡the ¡level ¡sets ¡pass ¡through ¡an ¡isolated ¡non-­‑degenerate ¡cri2cal ¡point, ¡ ¡ the ¡type ¡of ¡topological ¡change ¡depends ¡on ¡the ¡index ¡of ¡the ¡cri2cal ¡point. ¡ ¡ ¡ Theorem: ¡If ¡p0 ¡is ¡a ¡cri2cal ¡point ¡of ¡index ¡k ¡and ¡c ¡= ¡f(p0) ¡is ¡the ¡cri2cal ¡value, ¡ ¡ then ¡Mc+ε ¡is ¡diffeomorphic ¡to ¡the ¡manifold ¡obtained ¡by ¡aMaching ¡a ¡k-­‑handle ¡to ¡Mc-­‑ε ¡. ¡

Height ¡func2on ¡

• n ¡a ¡2-­‑dim’l ¡

manifold ¡ 3-­‑dimensional ¡ k-­‑handles ¡ index ¡0 ¡ index ¡1 ¡ index ¡2 ¡

• 1. ¡Morse ¡theory ¡for ¡smooth ¡manifolds ¡and ¡func2ons ¡

The ¡previous ¡two ¡theorems ¡imply ¡that ¡ ¡ if ¡f ¡is ¡a ¡Morse ¡func2on ¡on ¡a ¡manifold, ¡M, ¡without ¡boundary ¡and ¡ ¡ if ¡f ¡has ¡ck ¡cri2cal ¡points ¡of ¡index ¡k, ¡ ¡ then ¡M ¡has ¡the ¡homotopy ¡type ¡of ¡some ¡CW ¡complex ¡with ¡ck ¡cells ¡of ¡dimension ¡k. ¡ ¡ ¡ Results ¡about ¡the ¡topology ¡of ¡CW ¡complexes ¡imply ¡the ¡Euler-­‑Poincare ¡result: ¡

ck ≥ bk

The ¡weak ¡Morse ¡inequali2es ¡rela2ng ¡ck ¡to ¡bk, ¡the ¡Be_ ¡numbers ¡of ¡M: ¡

χ(M) = b0 − b1 + b2 − · · · + (−1)mbm = c0 − c1 + c2 − · · · + (−1)mcm

And ¡the ¡strong ¡Morse ¡inequali2es: ¡ ¡for ¡d ¡= ¡0,1,2,…,m ¡ ¡

cd − cd−1 + cd−2 − · · · + (−1)dc0 ≥ bd − bd−1 + bd−2 − · · · + (−1)db0

The ¡Morse ¡chain ¡complex ¡

f: ¡ ¡M ¡ ¡R ¡ ¡is ¡a ¡Morse ¡funcNon ¡on ¡M ¡ ¡ Ci ¡is ¡the ¡set ¡of ¡index-­‑i ¡cri2cal ¡points. ¡ ¡ ¡ Gradient ¡flow ¡lines ¡determine ¡ adjacencies ¡and ¡the ¡boundary ¡

• perator: ¡

¡ ¡ ¡ This ¡(abstract) ¡chain ¡complex ¡has ¡the ¡ same ¡homology ¡as ¡the ¡underlying ¡ manifold, ¡M. ¡ ¡ ¡

¡ min: ¡0-­‑cell ¡ ¡ saddle: ¡1-­‑cell ¡ ¡ max: ¡2-­‑cell ¡ ¡ + ¡

• ­‑ ¡

+ ¡

• ­‑ ¡

PD0 ¡ ¡(b,d) ¡= ¡(1.1,1.5) ¡ PD1 ¡ ¡(b,d) ¡= ¡(3.6, ¡4.5) ¡

∂k : Ck − → Ck−1 ∂k−1∂k = 0

Persistent ¡homology ¡

• Input: ¡ ¡A ¡filtra2on: ¡ ¡
• i.e. ¡an ¡ordering ¡of ¡the ¡cells ¡in ¡the ¡complex. ¡ ¡
• cells ¡are ¡added ¡sequen2ally ¡(never ¡removed). ¡ ¡
• each ¡k-­‑cell ¡either ¡creates ¡a ¡k-­‑cycle ¡or ¡destroys ¡a ¡(k-­‑1)-­‑cycle. ¡
• a ¡destroyer ¡is ¡paired ¡with ¡the ¡youngest ¡cycle ¡that ¡is ¡homologous ¡to ¡

its ¡boundary. ¡ ¡

• Output: ¡(birth, ¡death) ¡pairs ¡that ¡define ¡the ¡parameter ¡interval ¡over ¡

which ¡each ¡k-­‑cycle ¡exists. ¡ ¡

image ¡from ¡Zomorodian ¡(2009) ¡Computa2onal ¡Topology ¡

K0 ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ · · · ⊂ Kn

Persistent ¡homology ¡for ¡func2ons ¡

Figure 2: Left: two close functions, one with many and the other with just four critical values. Right: the persistence diagrams of the two functions, and the bijection between them.

The ¡connec2on ¡between ¡Morse ¡theory ¡and ¡persistent ¡homology ¡ helped ¡establish ¡the ¡stability ¡of ¡persistence ¡diagrams ¡ ¡ [Cohen-­‑Steiner, ¡Edelsbrunner, ¡Harer ¡(2007)] ¡ ¡ PD0 ¡ dH( ¡PD(X), ¡PD(Y) ¡) ¡≤ ¡ ¡|| ¡fX ¡– ¡fY ¡||∞ ¡

• 3. ¡Morse ¡theory ¡and ¡persistent ¡homology ¡

The ¡connec2on ¡between ¡persistent ¡homology ¡and ¡Morse ¡theory ¡was ¡made ¡in ¡ ¡

• H. ¡Edelsbrunner, ¡J. ¡Harer, ¡and ¡A. ¡Zomorodian, ¡ ¡

“Hierarchical ¡Morse-­‑Smale ¡Complexes ¡for ¡Piecewise ¡Linear ¡2-­‑Manifolds,” ¡ ¡ Discrete ¡Comp ¡Geom, ¡30, ¡pp.87–107 ¡(2003). ¡

¡ They ¡use ¡a ¡PL ¡func2on ¡on ¡a ¡triangulated ¡surface ¡to ¡define ¡the ¡“lower ¡star ¡filtra2on” ¡ ¡ ¡ (at ¡each ¡step ¡add ¡a ¡single ¡vertex ¡and ¡edges ¡and ¡triangles ¡that ¡have ¡lower ¡f-­‑values) ¡

maximum regular saddle monkey saddle

Result: ¡the ¡persistence ¡pairing ¡of ¡cri2cal ¡ points ¡defines ¡a ¡nested ¡sequence ¡of ¡pairs ¡ ¡ that ¡can ¡be ¡cancelled. ¡ ¡ ¡

saddle maximum minimum

The ¡cancella2on ¡works ¡on ¡the ¡ “Morse-­‑Smale ¡complex” ¡defined ¡by ¡ regions ¡of ¡uniform ¡gradient ¡flow. ¡ ¡ In ¡2D ¡these ¡are ¡quadrangles ¡ But: ¡in ¡3D ¡there ¡is ¡no ¡guarantee ¡of ¡simple ¡topology ¡for ¡these ¡regions. ¡ ¡(Kass ¡Hingee’s ¡honours ¡thesis ¡ANU, ¡2008). ¡ ¡ ¡

The ¡brute ¡force ¡approach ¡would ¡be: ¡ ¡ ¡ Build ¡a ¡cubical ¡(or ¡even ¡triangulated) ¡complex. ¡ ¡ ¡ Create ¡a ¡lower ¡star ¡filtra2on ¡(i.e. ¡order ¡cells ¡by ¡their ¡grey ¡scale ¡values). ¡ ¡ Feed ¡to ¡persistent ¡homology ¡code. ¡ ¡ First ¡problem: ¡ ¡Images ¡were ¡too ¡big ¡to ¡feed ¡to ¡into ¡persistent ¡homology ¡codes. ¡ ¡ ¡ Our ¡“great ¡idea” ¡was ¡to ¡use ¡fast ¡digital ¡image ¡processing ¡rou2nes ¡ ¡ (i.e. ¡watershed ¡par22oning) ¡to ¡build ¡an ¡irregular ¡cell ¡complex ¡with ¡many ¡fewer ¡cells. ¡ ¡ ¡ ¡ More ¡problems: ¡digital ¡adjacencies ¡couldn’t ¡give ¡topologically ¡correct ¡cell ¡complexes. ¡ ¡ There ¡was ¡no ¡good ¡definiton ¡of ¡cri2cal ¡saddle ¡point ¡in ¡3D ¡digital ¡topology. ¡ ¡ ¡ ¡ Solu2on ¡was ¡cubical ¡complexes ¡(not ¡digital ¡adjacencies) ¡and ¡discrete ¡Morse ¡theory! ¡ ¡

• 4. ¡Applica2on ¡to ¡digital ¡image ¡analysis ¡ ¡

Circa ¡2005, ¡Adrian ¡Sheppard ¡and ¡I ¡wanted ¡to ¡compute ¡persistent ¡homology ¡from ¡CT ¡data. ¡ ¡ ¡ Such ¡images ¡are ¡effec2vely ¡(noisy) ¡real-­‑valued ¡func2ons ¡on ¡a ¡3D ¡cubical ¡voxel ¡grid. ¡ ¡ ¡

2D example – limestone slice

Goal: quantify the geometry and topology of segmented image data e.g. identify individual pores and grains and their size, shape, connectivity. Geometry quantified by the Euclidean distance transform. Connec2vity ¡quan2fied ¡ by ¡persistent ¡homology. ¡

Euclidean Distance Transform f(x) = dist(x, bdry) White is negative dist in pore space. Black is positive dist in grain phase. Imagine this function as a landscape of “Hills and Dales” (JC Maxwell 1870). Apply Morse theory to obtain topology of lower level sets. Discretization creates problems.

2D example – limestone slice

Tologically ¡consistent ¡ skeletonisa2on ¡and ¡ ¡ par22oning ¡ ¡ Solid ¡phase ¡shown ¡in ¡grey ¡ ¡ Pore ¡space ¡divided ¡into ¡ ¡ coloured ¡pores ¡by ¡the ¡ ¡ watershed ¡basins ¡ ¡ White ¡lines ¡are ¡the ¡ ¡ ¡Morse ¡Skeleton ¡ ¡ ¡ ¡ Delgado-­‑Friedrichs, ¡Robins, ¡ Sheppard ¡ IEEE ¡TPAMI ¡ ¡(2015) ¡ ¡ ¡

2D example – limestone slice

• ur IEEE papers show how

Forman’s Discrete Morse theory can be applied to 3D greyscale image data to give:

• a good definition of critical

point for functions on a 3D grid

• generalization of watershed

basins and medial axis skeletons

• topologically consistent

region merging and simplification

• a cell complex for persistent

homology computations.

Code package diamorse now on github.

2D example – limestone slice

Skeleton derived from void phase

• f silica sphere

packing. Dark blue 2D patches show that the porespace is not well-modeled by a line skeleton.

Image by Olaf D-F using Voluminous (a web-based version of Drishti).

• Fig. 3. Persistence diagrams (represented as 2D histograms
• f persistence pairs) for 1D cycles in the pore-space of four

samples: (a) mono-disperse spherical bead pack, (b) polydis- perse unconsolidated sand, (c) well-consolidated Castlegate sandstone, (d) fossiliferous Mt Gambier limestone.

PD1 ¡of ¡3D ¡granular ¡materials ¡

PD1 ¡diagrams ¡show ¡us ¡the ¡degree ¡

• f ¡consolida2on ¡of ¡a ¡sandstone ¡

Delgado-­‑Friedrichs, ¡Robins, ¡Sheppard. ¡IEEE ¡ICIP ¡(2014) ¡

consolidated ¡ grains ¡

PDs ¡for ¡1283^3 ¡voxel ¡sandstone ¡

Topological ¡image ¡analysis ¡

Robins, ¡Wood, ¡Sheppard. ¡“Theory ¡and ¡algorithms ¡… ¡” ¡IEEE ¡TPAMI ¡ ¡vol.33 ¡(2011) ¡ Delgado-­‑Friedrichs, ¡Robins, ¡Sheppard. ¡“Skeletoniza2on ¡and ¡par22oning ¡… ¡” ¡IEEE ¡TPAMI ¡(2014) ¡

hMps://github.com/AppliedMathema2csANU/diamorse ¡ ¡ ¡ ¡

Recent ¡Applica2ons ¡

Connec2ons ¡between ¡persistent ¡homology ¡and ¡percola2on: ¡ ¡

Robins, ¡Saada~ar, ¡Delgado-­‑Friedrichs, ¡Sheppard ¡“Percola2ng ¡length ¡scales… ¡” ¡WRR ¡(2016) ¡ ¡

Sta2s2cal ¡techniques ¡(eg ¡func2onal ¡PCA) ¡for ¡persistent ¡homology ¡of ¡point ¡paMerns: ¡ ¡

Robins, ¡Turner ¡ ¡“Principle ¡component ¡analysis ¡of ¡persistent ¡homology ¡rank ¡func2ons” ¡Physica ¡D ¡(2016) ¡

Crystalliza2on ¡in ¡mono-­‑sized ¡sphere ¡packings: ¡ ¡

Saada~ar, ¡Takeuchi, ¡Robins, ¡Francois, ¡Hiraoka ¡ ¡(2017) ¡ ¡Nature ¡Communica2ons ¡ “Pore ¡configura2on ¡landscape ¡of ¡granular ¡crystalliza2on” ¡ ¡