SLIDE 1
Teoria dos Grafos
Introdu¸ c˜ ao
SLIDE 2 Referˆ encias
- P. O. Boaventura Netto, Grafos: Teoria, Modelos e
Algoritmos, S˜ ao Paulo, E. Blucher 2001;
- R. J. Trudeau, Introduction to Graph Theory, New
York, Dover Publications, 1993; Kaufmann, Arnold. Exercices de combinatorique avec
- solutions. Paris: Dunod, 1969-1972 3v.
Harary, Frank. Graph theory. Reading, Mass.: Addison-Wesley, c1969. 274 p.: il. West, Douglas B.. Introduction to graph theory. 2nd
- ed. Upper Saddle River: Prentice Hall, c2001. 588 p.
SLIDE 3 Motiva¸ c˜ ao
Qual a rota mais r´ apida entre cidades de um mapa? Em que ordem cidades devem ser visitadas para minimizar
Como cabear uma rede de telefones com custo m´ ınimo fazendo com que todos estejam conectados? Qual o fluxo m´ aximo que pode ser aplicado a uma rede de encanamentos?
SLIDE 4 Introdu¸ c˜ ao
A teoria dos Grafos surgiu com os trabalhos de Leonard Euler, Gustav Kirchhoff, Arthur Cayley, ... Esta teoria tem sido utilizada largamente em diferentes ´ areas da biologia, qu´ ımica e na matem´ atica aplicada. O termo grafo foi criado no s´ eculo XIX, por James Sylvester (matem´ atico, 1878) e Edward Frankland (qu´ ımico, 1884). Contra¸ c˜ ao de nota¸ c˜ ao gr´ afica (graphic notation → graph) Primeiro e mais famoso problema em teoria dos grafos: O problema das pontes de K¨
resolvido por Euler em 1736.
SLIDE 5 Problema das pontes de K¨
K¨
Prussia/Alemanha (1255-1946)
Kaliningrado
URSS/Russia (1946-)
A cidade ´ e cortada pelo rio Pregel, criando ilhas na cidade. Existiam sete pontes conectando as ilhas e as margens
O problema consiste em determinar se ´ e poss´ ıvel ou n˜ ao fazer um passeio pela cidade come¸ cando e terminando no mesmo lugar, cruzando cada ponte exatamente uma ´ unica vez.
SLIDE 6 Problema das pontes de K¨
Kaliningrado, 2013
SLIDE 7 Problema das pontes de K¨
Kaliningrado, 2013
rio Pregel
SLIDE 8 Problema das pontes de K¨
Königsberg, 1736
rio Pregel
SLIDE 9 Problema das pontes de K¨
Königsberg, 1736
rio Pregel
a e f g d b c
4 1 2 3
SLIDE 10 Problema das pontes de K¨
a e f g d b c
4 1 2 3
SLIDE 11 Defini¸ c˜ ao de grafo
Um grafo G consiste de um conjunto finito e n˜ ao vazio de n v´ ertices (ou n´
- s), denotado por V (G), e m arestas,
denotado por A(G). Cada aresta corresponde a um par n˜ ao ordenado de v´ ertices.
1 2 3 4
a e f g d b c
V (G) = {1, 2, 3, 4} A(G) = {a, b, c, d, e, f, g}
SLIDE 12 La¸ co e arestas m´ ultiplas
Os n´
- s constituintes de uma aresta podem ser diferentes ou
n˜
ao forem diferentes ent˜ ao a aresta forma um la¸ co. Arestas que ligam os mesmos pares de n´
ao chamadas arestas m´ ultiplas.
1 2 5 4 3
SLIDE 13 Grafo, Multigrafo e Pseudografo
Harary define um multigrafo como o grafo que possui arestas m´ ultiplas, mas que n˜ ao possui la¸ cos. Se o grafo possui la¸ cos e arestas m´ ultiplas ent˜ ao ele ´ e chamado pseudografo. Em multigrafos/pseudografos, conv´ em rotular as arestas para distingu´ ı-las entre si, devido a multiplicidade de conex˜
entre os n´
1 2 5 4 3 1 2 5 4 3
a c d b h e f g
1 2 5 4 3
a c d b h e f g
1 2 5 4 3
i
grafo multigrafo pseudografo
SLIDE 14 Incidˆ encia e Adjacˆ encia
Dizemos que uma aresta ´ e incidente aos n´
a associada. Arestas incidentes em um mesmo n´
ao chamadas arestas adjacentes. N´
- s incidentes em uma mesma aresta s˜
ao chamados n´
adjacentes. Um n´
- pode estar isolado dos demais, caso ele n˜
ao esteja ligado atrav´ es de uma aresta aos restantes.
1 2 4 3 5
SLIDE 15
Descrevendo grafos
Dados os grafos abaixo:
1 2 4 3 5 1 2 4 3
a c d b e f
G1 G2
G1: V (G1) = {1, 2, 3, 4, 5} A(G1) = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}. G2: V (G2) = {1, 2, 3, 4} A(G1) = {a, b, c, d, e, f}.
SLIDE 16
D´ ıgrafo
Um grafo dirigido, ou d´ ıgrafo, ´ e um grafo cujas arestas s˜ ao pares ordenados, comumente chamados de arcos ou arestas direcionadas. Grafos orientados s˜ ao grafos dirigidos que n˜ ao possuem la¸ cos ou pares sim´ etricos de arestas direcionadas.
4 5 1 2 3 2 5 4 3 1
D´ ıgrafo Grafo Orientado
SLIDE 17 Grau
O grau dG(v) ou d(v) de um n´
umero de arestas incidentes a ele. Cada la¸ co conta como duas arestas. O menor grau presente em um grafo G ´ e denotado por δ(G) O maior grau presente em um grafo G ´ e denotado por ∆(G)
1 2 4 3 5 1 2 4 3
a c d b e f
δ(G1) = ? ∆(G1) = ? δ(G2) = ? ∆(G2) = ?
SLIDE 18 Grau
O grau dG(v) ou d(v) de um n´
umero de arestas incidentes a ele. Cada la¸ co conta como duas arestas. O menor grau presente em um grafo G ´ e denotado por δ(G) O maior grau presente em um grafo G ´ e denotado por ∆(G)
1 2 4 3 5
3 2 3 2
1 2 4 3
a c d b e f
δ(G1) = 0 ∆(G1) = 3 δ(G2) = ? ∆(G2) = ?
SLIDE 19 Grau
O grau dG(v) ou d(v) de um n´
umero de arestas incidentes a ele. Cada la¸ co conta como duas arestas. O menor grau presente em um grafo G ´ e denotado por δ(G) O maior grau presente em um grafo G ´ e denotado por ∆(G)
1 2 4 3 5
3 2 3 2
1 2 4 3
a c d b e f
2 2 4 4 δ(G1) = 0 ∆(G1) = 3 δ(G2) = 2 ∆(G2) = 4
SLIDE 20 F´
A soma total dos graus de todos os n´
e sempre par
d(v) = 2m Prova por indu¸ c˜ ao no n´ umero de arestas (m) B.I.: Suponha um grafo sem arcos. Todos os seus n´
em grau zero e portanto a soma geral dos graus dos n´
e par (0) H.I.: Suponha que para todo grafo de m arestas a soma dos graus de todos os n´
e par (2m). P.I.: Suponha um grafo G de m + 1 arestas. Seja G′ um grafo igual a G exceto com menos uma aresta. Portanto G′ tem m arestas e pela H.I. tem como soma total dos graus de seus n´
umero par (2m). A inclus˜ ao da aresta removida faz com a soma dos graus seja incrementada de 2 (cada n´
e incrementado de 1 grau), portanto a soma dos graus dos n´
e um n´ umero par (2m + 2 = 2(m + 1)).
SLIDE 21 Lema do aperto de m˜ aos (Handshaking lemma)
O n´ umero de n´
ımpar em um grafo tem que ser par Prova por indu¸ c˜ ao no n´ umero de arestas (m) B.I.: Suponha um grafo sem arestas, neste caso temos a soma dos graus de todos os n´
- s sendo par. Como a quantidade de n´
- s com
grau ´ ımpar ´ e igual a zero. Ent˜ ao temos uma quantidade par de n´
de grau ´ ımpar. H.I.: Suponha um grafo com m arestas e um n´ umero par de n´
com grau ´ ımpar.
SLIDE 22 Lema do aperto de m˜ aos (Handshaking lemma)
P.I.: Seja G um grafo com m + 1 arestas. Seja G′, o grafo resultante da retirada de uma aresta (v, w). Pela H.I., G′ tem um n´ umero par de n´
ımpar. Vamos analisar o grafo G, baseado nas seguintes situa¸ c˜
v e w em G′:
1 v e w tˆ
em grau ´ ımpar
2 v tem grau ´
ımpar e w tem grau par
3 v e w tˆ
em grau par
SLIDE 23 Lema do aperto de m˜ aos (Handshaking lemma)
A adi¸ c˜ ao da aresta (v, w) em G′ pode resultar nas seguintes situa¸ c˜
1 v e w tˆ
em grau ´ ımpar em G′ A adi¸ c˜ ao da aresta (v, w) faz com que v passe a ter grau par, assim como w. Como o n´ umero de n´
ımpar ´ e par e como transformamos 2 n´
ımpar em n´
n´ umero par de n´
ımpar.
2 v tem grau ´
ımpar e w tem grau par em G′ A adi¸ c˜ ao da aresta (v, w) faz com que v passe a ter grau par e w passe a ter grau ´ ımpar. Logo, G tem um n´ umero par de n´
grau ´ ımpar.
3 v e w tˆ
em grau par em G′ A adi¸ c˜ ao da aresta (v, w) faz com que tanto v quanto w passem a ter grau ´ ımpar. Como t´ ınhamos em G′ um n´ umero par de n´
grau ´ ımpar, e como aumentou em 2 este n´ umero, temos que o n´ umero de n´
ımpar em G ´ e par.
SLIDE 24 Exerc´ ıcio
Seja G um grafo com ao menos dois n´
Prove que sim ou que n˜ ao: Eliminando um n´
ao ´ e poss´ ıvel reduzir o grau m´ edio. Eliminando um n´
ao ´ e poss´ ıvel aumentar o grau m´ edio.
SLIDE 25 Exerc´ ıcio
Eliminando um n´
ao ´ e poss´ ıvel reduzir o grau m´ edio.
SLIDE 26 Exerc´ ıcio
Eliminando um n´
ao ´ e poss´ ıvel reduzir o grau m´ edio. grau m´ edio = dG =
n = 2m n dG−x = {
v∈V (G) d(v)} − 2d(x)
n − 1 = 2m − 2δ(G) n − 1
SLIDE 27 Exerc´ ıcio
Eliminando um n´
ao ´ e poss´ ıvel reduzir o grau m´ edio. grau m´ edio = dG =
n = 2m n dG−x = {
v∈V (G) d(v)} − 2d(x)
n − 1 = 2m − 2δ(G) n − 1 Ser´ a poss´ ıvel reduzir o grau m´ edio sse 2m − 2δ(G) n − 1 < 2m n , logo 2mn − 2δ(G)n < 2mn − 2m = ⇒ δ(G)n > m = ⇒ δ(G) > dG 2
SLIDE 28 Exerc´ ıcio
Eliminando um n´
ao ´ e poss´ ıvel reduzir o grau m´ edio. grau m´ edio = dG =
n = 2m n dG−x = {
v∈V (G) d(v)} − 2d(x)
n − 1 = 2m − 2δ(G) n − 1 Ser´ a poss´ ıvel reduzir o grau m´ edio sse 2m − 2δ(G) n − 1 < 2m n , logo 2mn − 2δ(G)n < 2mn − 2m = ⇒ δ(G)n > m = ⇒ δ(G) > dG 2 ´ E v´ alido, logo a afirma¸ c˜ ao ´ e falsa. 2 3 1 2 3 1
SLIDE 29 Exerc´ ıcio
Eliminando um n´
ao ´ e poss´ ıvel aumentar o grau m´ edio.
SLIDE 30 Exerc´ ıcio
Eliminando um n´
ao ´ e poss´ ıvel aumentar o grau m´ edio. grau m´ edio = dG =
n = 2m n dG−x = {
v∈V (G) d(v)} − 2d(x)
n − 1 = 2m − 2∆(G) n − 1
SLIDE 31 Exerc´ ıcio
Eliminando um n´
ao ´ e poss´ ıvel aumentar o grau m´ edio. grau m´ edio = dG =
n = 2m n dG−x = {
v∈V (G) d(v)} − 2d(x)
n − 1 = 2m − 2∆(G) n − 1 Ser´ a poss´ ıvel aumentar o grau m´ edio sse 2m − 2∆(G) n − 1 > 2m n , logo 2mn − 2∆(G)n > 2mn − 2m = ⇒ ∆(G)n < m = ⇒ ∆(G) < dG 2
SLIDE 32 Exerc´ ıcio
Eliminando um n´
ao ´ e poss´ ıvel aumentar o grau m´ edio. grau m´ edio = dG =
n = 2m n dG−x = {
v∈V (G) d(v)} − 2d(x)
n − 1 = 2m − 2∆(G) n − 1 Ser´ a poss´ ıvel aumentar o grau m´ edio sse 2m − 2∆(G) n − 1 > 2m n , logo 2mn − 2∆(G)n > 2mn − 2m = ⇒ ∆(G)n < m = ⇒ ∆(G) < dG 2 N˜ ao ´ e v´ alido, logo a afirma¸ c˜ ao ´ e verdadeira.
SLIDE 33 Passeio
Um passeio (walk) entre os n´
e uma sequˆ encia alternada de n´
ca no n´
1 2 4 3 5 1 2 4 3
a c d b e f
G1 G2 Um exemplo de passeio entre os n´
e (1, (1, 3), 3, (2, 3), 2, (1, 2), 1, (1, 4), 4). Pode-se pensar que apenas a ordem dos n´
e importante. Por´ em, podemos ter passeios diferentes com a mesma sequˆ encia de n´
Por exemplo, no grafo G2 existem os seguintes passeios entre os n´
- s 3 e 4: (3, d, 2, a, 4), (3, c, 2, a, 4)
SLIDE 34 Caminho
Um caminho (path) ´ e um passeio que n˜ ao cont´ em n´
Entre os n´
- s 1 e 4 do grafo G1 temos os seguintes caminhos
(1,4),(1,2,4),(1,3,2,4).
1 2 4 3 5
G1 O comprimento de um caminho entre os n´
e a quantidade de arestas presentes no caminho. Se existirem mais de um caminho de u a v, ent˜ ao o comprimento do caminho de u a v ser´ a igual ao menor comprimento dentre todos
SLIDE 35 Circuito e ciclo
Um circuito (circuit) ´ e um passeio fechado, ou seja, o n´
partida ´ e igual ao n´
Um ciclo (cycle) ´ e um caminho fechado, isto ´ e, um passeio que cont´ em exatamente dois n´
- s iguais: o primeiro e o ´
ultimo. Ciclos de comprimento 1 s˜ ao la¸ cos (loops). Uma caracter´ ıstica interessante de um ciclo ´ e que o n´ umero de arestas pertencentes a ele ´ e igual ao n´ umero de n´
SLIDE 36 Subgrafo
O grafo H ´ e um subgrafo de G, denotado por H ⊆ G se V (H) ⊆ V (G) e A(H) ⊆ A(G) Se H = G temos H ⊂ G, ou seja, H ´ e um subgrafo pr´
de G. Um subgrafo gerador de G ´ e um subgrafo H, com V (H) = V (G).
1 2 5 4 3 1 2 5 3 1 2 5 4 3
G H1 H2 subgrafo pr´
subgrafo gerador
SLIDE 37
Exerc´ ıcio
Sendo e uma aresta que aparece um n´ umero ´ ımpar de vezes em um passeio fechado W. Prove que W possui um ciclo passando por e.
SLIDE 38 Exerc´ ıcio
Sendo e uma aresta que aparece um n´ umero ´ ımpar de vezes em um passeio fechado W. Prove que W possui um ciclo passando por e. Considerando e = (x, y), cada passagem por e corresponde a x, e, y
SLIDE 39 Exerc´ ıcio
Sendo e uma aresta que aparece um n´ umero ´ ımpar de vezes em um passeio fechado W. Prove que W possui um ciclo passando por e. Considerando e = (x, y), cada passagem por e corresponde a x, e, y
Como o n´ umero de passagens por e ´ e ´ ımpar, ao menos duas passagens consecutivas se dar˜ ao na mesma dire¸ c˜
x, e, y, ..., x, e, y
SLIDE 40 Exerc´ ıcio
Sendo e uma aresta que aparece um n´ umero ´ ımpar de vezes em um passeio fechado W. Prove que W possui um ciclo passando por e. Considerando e = (x, y), cada passagem por e corresponde a x, e, y
Como o n´ umero de passagens por e ´ e ´ ımpar, ao menos duas passagens consecutivas se dar˜ ao na mesma dire¸ c˜
x, e, y, ..., x, e, y A por¸ c˜ ao de W entre as duas passagens ´ e um caminho de y at´ e x, sem passar por e. Portanto, adicionando e a este caminho, gera-se um ciclo.
SLIDE 41
Exerc´ ıcio
W ´ e um passeio fechado, de tamanho l no m´ ınimo 2, que n˜ ao cont´ em um ciclo. Prove que alguma aresta de W ´ e repetida em sequˆ encia.
SLIDE 42
Exerc´ ıcio
W ´ e um passeio fechado, de tamanho l no m´ ınimo 2, que n˜ ao cont´ em um ciclo. Prove que alguma aresta de W ´ e repetida em sequˆ encia. Prova por indu¸ c˜ ao:
SLIDE 43
Exerc´ ıcio
W ´ e um passeio fechado, de tamanho l no m´ ınimo 2, que n˜ ao cont´ em um ciclo. Prove que alguma aresta de W ´ e repetida em sequˆ encia. Prova por indu¸ c˜ ao: B.I.: l = 2. Como n˜ ao cont´ em ciclo, o passeio d´ a um passo e retorna pela mesma aresta. Ex: a-a
SLIDE 44 Exerc´ ıcio
W ´ e um passeio fechado, de tamanho l no m´ ınimo 2, que n˜ ao cont´ em um ciclo. Prove que alguma aresta de W ´ e repetida em sequˆ encia. Prova por indu¸ c˜ ao: B.I.: l = 2. Como n˜ ao cont´ em ciclo, o passeio d´ a um passo e retorna pela mesma aresta. Ex: a-a H.I.: l > 2. W ´ e um passeio fechado, com uma aresta repetida em sequˆ
- encia. Ex: a-b-c-...-i-i-...c-b-a
SLIDE 45 Exerc´ ıcio
W ´ e um passeio fechado, de tamanho l no m´ ınimo 2, que n˜ ao cont´ em um ciclo. Prove que alguma aresta de W ´ e repetida em sequˆ encia. Prova por indu¸ c˜ ao: B.I.: l = 2. Como n˜ ao cont´ em ciclo, o passeio d´ a um passo e retorna pela mesma aresta. Ex: a-a H.I.: l > 2. W ´ e um passeio fechado, com uma aresta repetida em sequˆ
- encia. Ex: a-b-c-...-i-i-...c-b-a
P.I.: W ′ ´ e a por¸ c˜ ao de W descontando a repeti¸ c˜ ao. Pela H.I., W ′ tamb´ em ´ e um passeio fechado, com uma aresta repetida em sequˆ encia, caso contr´ ario cont´ em ciclo.
SLIDE 46
Teoria dos Grafos
Introdu¸ c˜ ao
