t srrt - - PowerPoint PPT Presentation

❍♦♠♦❣❡♥✐③❛t✐♦♥ ♦♥ s✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ❝❧✉st❡r

P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s✲❉❛✉♣❤✐♥❡ ❛♥❞ ❊❝♦❧❡ ◆♦r♠❛❧❡ s✉♣ér✐❡✉r❡ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙✳❆r♠str♦♥❣ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽

P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✶ ✴ ✶✼

❚❤❡ ♠♦❞❡❧

▼♦❞❡❧✿ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ❤②♣❡r❝✉❜✐❝ ❧❛tt✐❝❡ ❧❛tt✐❝❡ Zd✱ d ≥ ✷✳ V s❡t ♦❢ ✈❡rt✐❝❡s✿ V ∶= Zd✳ Ed s❡t ♦❢ ❡❞❣❡s✿ Ed ∶= {(x,y) ∶ x,y ∈ Zd, ∣x − y∣✶ = ✶}. ❋✐① ✵ ✶ ✳ ❜❡ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✐✳✐✳❞ ❇❡r♥♦✉✐❧❧✐ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s s✳t ✶ ✶ ✵

P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✷ ✴ ✶✼

❚❤❡ ♠♦❞❡❧

▼♦❞❡❧✿ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ❤②♣❡r❝✉❜✐❝ ❧❛tt✐❝❡ ❧❛tt✐❝❡ Zd✱ d ≥ ✷✳ V s❡t ♦❢ ✈❡rt✐❝❡s✿ V ∶= Zd✳ Ed s❡t ♦❢ ❡❞❣❡s✿ Ed ∶= {(x,y) ∶ x,y ∈ Zd, ∣x − y∣✶ = ✶}. ❋✐① p ∈ [✵,✶]✳ (ωe)e∈Ed ❜❡ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✐✳✐✳❞ ❇❡r♥♦✉✐❧❧✐ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s s✳t P(ωe = ✶) = ✶ − P(ωe = ✵) = p.

P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✷ ✴ ✶✼

P❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ♣❤❛s❡s

❚❤❡r❡ ❡①✐sts pc = pc(d) ∈ (✵,✶) s✉❝❤ t❤❛t p < pc✱ s✉❜❝r✐t✐❝❛❧ ♣❤❛s❡ p = pc✱ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣❤❛s❡ p > pc✱ s✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❤❛s❡ → t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ ✐♥✜♥✐t❡ ❝❧✉st❡r✳

P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✸ ✴ ✶✼

❚❤❡ s✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ❝❧✉st❡r ✐s ✇❡❧❧✲❜❡❤❛✈❡❞

❚❤❡♦r❡♠ ✭●r✐♠♠❡tt✲▼❛rstr❛♥❞✱ ✶✾✾✵✱ ❈❤❛②❡s✲❈❤❛②❡s✲◆❡✇♠❛♥ ✶✾✽✼✮

❆ss✉♠❡ d ≥ ✸ ❛♥❞ ❧❡t p > pc✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts L ∶= L(p,d) < ∞ s✉❝❤ t❤❛t C∞ ∩ {x ∈ Zd ∶ ✵ ≤ x✶ ≤ L} ❝♦♥t❛✐♥s ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ ♦♣❡♥ ❡❞❣❡s ❛❧♠♦st s✉r❡❧②✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ξ(p) > ✵ s✉❝❤ t❤❛t✱ ❢♦r ❡❛❝❤ x ∈ Zd✱ P(✵ ↔ x, ✵ ↮ ∞) ≤ exp(−ξ(p)∣x∣).

P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✹ ✴ ✶✼

❚❤❡ s✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ❝❧✉st❡r ✐s ✇❡❧❧✲❜❡❤❛✈❡❞

❚❤❡♦r❡♠ ✭❆♥t❛❧✲P✐s③t♦r❛✱ ✶✾✾✻✮

▲❡t p > pc✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ρ ∶= ρ(p,d) < ∞ ❛♥❞ α ∶= α(d,p) > ✵ s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❡❛❝❤ y ∈ Zd P(✵ ↔ y, dist(✵,y) ≥ ρ∣y∣) ≤ exp(−α∣y∣).

P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✺ ✴ ✶✼

❆ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❣♦♦❞ ❝✉❜❡

❉❡✜♥✐t✐♦♥

❲❡ s❛② t❤❛t ❛ ❝✉❜❡ ◻ ✐s ❞❡❝❡♥t ✐❢ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ ❝r♦ss✐♥❣ ❝❧✉st❡r ✐♥ ◻✱ ❞❡♥♦t❡❞ ❜② C (◻)✳ ❆❧❧ ♦♣❡♥ ♣❛t❤s ♦❢ s✐③❡ ❧❛r❣❡r t❤❛♥ size(◻)

✶✵

✐s ❝♦♥♥❡❝t❡❞ t♦ C (◻) ✇✐t❤✐♥ ◻✳ ❲❡ s❛② t❤❛t ❛ ❝✉❜❡ ✐s ❣♦♦❞ ✐❢ ❛♥❞ ✺

✹

❛r❡ ❞❡❝❡♥t✳

❋✐❣✉r❡ ✶✿ ❆ ❞❡❝❡♥t ❜♦① ❋✐❣✉r❡ ✷✿ ❆ ❞❡❝❡♥t ❜♦① ❋✐❣✉r❡ ✸✿ ❆ ❣♦♦❞ ❜♦①

P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✻ ✴ ✶✼

❆ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❣♦♦❞ ❝✉❜❡

❉❡✜♥✐t✐♦♥

❲❡ s❛② t❤❛t ❛ ❝✉❜❡ ◻ ✐s ❞❡❝❡♥t ✐❢ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ ❝r♦ss✐♥❣ ❝❧✉st❡r ✐♥ ◻✱ ❞❡♥♦t❡❞ ❜② C (◻)✳ ❆❧❧ ♦♣❡♥ ♣❛t❤s ♦❢ s✐③❡ ❧❛r❣❡r t❤❛♥ size(◻)

✶✵

✐s ❝♦♥♥❡❝t❡❞ t♦ C (◻) ✇✐t❤✐♥ ◻✳ ❲❡ s❛② t❤❛t ❛ ❝✉❜❡ ✐s ❣♦♦❞ ✐❢ ◻ ❛♥❞ ✺

✹◻ ❛r❡ ❞❡❝❡♥t✳

❋✐❣✉r❡ ✶✿ ❆ ❞❡❝❡♥t ❜♦① ❋✐❣✉r❡ ✷✿ ❆ ❣♦♦❞ ❜♦①

P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✻ ✴ ✶✼

❆ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❣♦♦❞ ❝✉❜❡s

❚❤❡♦r❡♠ ✭P❡♥r♦s❡✲P✐s③t♦r❛✱ ✶✾✾✻✮

▲❡t ◻ ❜❡ ❛ ❝✉❜❡ ✐♥ Zd✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♥st❛♥t C ∶= C(d,p) < ∞✱ P(◻ ✐s ❛ ❣♦♦❞ ❝✉❜❡) ≥ ✶ − C exp(−C −✶ size(◻)).

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

• ✐✈❡♥ t✇♦ ❝✉❜❡s

✶ ❛♥❞ ✷ ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ s✐③❡ ❛♥❞ ✶ ❢❛❝❡ ✐♥ ❝♦♠♠♦♥ t❤❡♥ ✶

❛♥❞

✷

❛r❡ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✇✐t❤✐♥

✶ ✷✳

P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✼ ✴ ✶✼

❆ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❣♦♦❞ ❝✉❜❡s

❚❤❡♦r❡♠ ✭P❡♥r♦s❡✲P✐s③t♦r❛✱ ✶✾✾✻✮

▲❡t ◻ ❜❡ ❛ ❝✉❜❡ ✐♥ Zd✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♥st❛♥t C ∶= C(d,p) < ∞✱ P(◻ ✐s ❛ ❣♦♦❞ ❝✉❜❡) ≥ ✶ − C exp(−C −✶ size(◻)).

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

• ✐✈❡♥ t✇♦ ❝✉❜❡s ◻✶ ❛♥❞ ◻✷ ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ s✐③❡ ❛♥❞ ✶ ❢❛❝❡ ✐♥ ❝♦♠♠♦♥ t❤❡♥

C (◻✶) ❛♥❞ C (◻✷) ❛r❡ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✇✐t❤✐♥ ◻✶ ∪ ◻✷✳

P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✼ ✴ ✶✼

Pr♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥

❇② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t

❋✐❣✉r❡ ✸✿ ❚✇♦ ❣♦♦❞ ❜♦①❡s ❞✐s❝♦♥♥❡❝t❡❞

P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✽ ✴ ✶✼

Pr♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥

❋✐❣✉r❡ ✹✿ ❆ ❧♦♦❦ ❛t ✺

✹◻✶✳✳✳

P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✾ ✴ ✶✼

Pr♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥

❋✐❣✉r❡ ✺✿ ✳✳✳s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ❜♦①❡s ❛r❡ ❝♦♥♥❡❝t❡❞✳

P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✶✵ ✴ ✶✼

Pr♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥

❋✐❣✉r❡ ✻✿ ❚❤❡ ❜✐❣❣❡r ♣✐❝t✉r❡✳

P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✶✶ ✴ ✶✼

❚r✐❛❞✐❝ ❝✉❜❡s

❉❡✜♥✐t✐♦♥

❆ tr✐❛❞✐❝ ❝✉❜❡ ♦❢ Zd ✐s ❛ ❝✉❜❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠✱ ❢♦r s♦♠❡ n ∈ N z + (−✸n ✷ , ✸n ✷ )

d

, z ∈ ✸nZd.

❋✐❣✉r❡ ✼✿ ❚r✐❛❞✐❝ ❝✉❜❡s✳

P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✶✷ ✴ ✶✼

❚r✐❛❞✐❝ ❝✉❜❡s

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

❚✇♦ tr✐❛❞✐❝ ❝✉❜❡s ❛r❡ ❡✐t❤❡r ✐♥❝❧✉❞❡❞ ✐♥ ♦♥❡ ❛♥♦t❤❡r ♦r ❞✐s❥♦✐♥t✳ ■❞❡❛✿ ❝r❡❛t❡ ♦❢ ♣❛rt✐t✐♦♥ ♦❢ ❣♦♦❞ tr✐❛❞✐❝ ❝✉❜❡s ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t s✐③❡s✳

P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✶✸ ✴ ✶✼

❆ ♣❛rt✐t✐♦♥ ♦❢ ❣♦♦❞ ❜♦①❡s

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭❆ ♣❛rt✐t✐♦♥ P ♦❢ ❣♦♦❞ ❜♦①❡s✮

❚❤❡r❡ ❡①✐sts✱ ❛❧♠♦st s✉r❡❧②✱ ❛ ♣❛rt✐t✐♦♥ P ♦❢ Zd ✐♥t♦ ❣♦♦❞ ❝✉❜❡s s✉❝❤ t❤❛t ❚✇♦ ♥❡✐❣❤❜♦r✐♥❣ ❝✉❜❡s ❛r❡ ♦❢ ❝♦♠♣❛r❛❜❧❡ s✐③❡s✿ ❢♦r ❡❛❝❤ ◻,◻′ ∈ P s✉❝❤ t❤❛t dist(◻,◻′) ≤ ✶✱ ✶ ✸ ≤ size(◻) size(◻′) ≤ ✸. ❚❤❡ s✐③❡ ♦❢ ❡❛❝❤ ❝✉❜❡ ✐s ✑❛❧♠♦st✑ ❜♦✉♥❞❡❞✱ ❢♦r ❡❛❝❤ x ∈ Zd✱ E[exp(size(◻P(x)))] < ∞.

P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✶✹ ✴ ✶✼

❲❤❛t t❤❡ ♣❛rt✐t✐♦♥ ❧♦♦❦s ❧✐❦❡ ✭✇✐t❤♦✉t ❝❧✉st❡rs✮

❋✐❣✉r❡ ✽✿ ❆ ♣❛rt✐t✐♦♥ ♦❢ ❣♦♦❞ ❝✉❜❡s✳

P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✶✺ ✴ ✶✼

❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣❛rt✐t✐♦♥

❊st✐♠❛t✐♥❣ t❤❡ ❝❤❡♠✐❝❛❧ ❞✐st❛♥❝❡ ♦♥ t❤❡ ✐♥✜♥✐t❡ ❝❧✉st❡r ❊①t❡♥❞ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ C∞ t♦ Zd Pr♦✈✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ♦♥ t❤❡ ✐♥✜♥✐t❡ ❝❧✉st❡r✳

P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✶✻ ✴ ✶✼

❚❤❛♥❦ ②♦✉✦

P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✶✼ ✴ ✶✼