t srrt - PowerPoint PPT Presentation

❍♦♠♦❣❡♥✐③❛t✐♦♥ ♦♥ s✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ❝❧✉st❡r P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s✲❉❛✉♣❤✐♥❡ ❛♥❞ ❊❝♦❧❡ ◆♦r♠❛❧❡ s✉♣ér✐❡✉r❡ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙✳❆r♠str♦♥❣ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✶ ✴ ✶✼

❋✐① ✵ ✶ ✳ ❜❡ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✐✳✐✳❞ ❇❡r♥♦✉✐❧❧✐ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s s✳t ✶ ✶ ✵ ❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ▼♦❞❡❧✿ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ❤②♣❡r❝✉❜✐❝ ❧❛tt✐❝❡ ❧❛tt✐❝❡ Z d ✱ d ≥ ✷✳ V s❡t ♦❢ ✈❡rt✐❝❡s✿ V ∶= Z d ✳ E d s❡t ♦❢ ❡❞❣❡s✿ E d ∶= {( x , y ) ∶ x , y ∈ Z d , ∣ x − y ∣ ✶ = ✶ } . P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✷ ✴ ✶✼

❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ▼♦❞❡❧✿ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ❤②♣❡r❝✉❜✐❝ ❧❛tt✐❝❡ ❧❛tt✐❝❡ Z d ✱ d ≥ ✷✳ V s❡t ♦❢ ✈❡rt✐❝❡s✿ V ∶= Z d ✳ E d s❡t ♦❢ ❡❞❣❡s✿ E d ∶= {( x , y ) ∶ x , y ∈ Z d , ∣ x − y ∣ ✶ = ✶ } . ❋✐① p ∈ [ ✵ , ✶ ] ✳ ( ω e ) e ∈ E d ❜❡ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✐✳✐✳❞ ❇❡r♥♦✉✐❧❧✐ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s s✳t P ( ω e = ✶ ) = ✶ − P ( ω e = ✵ ) = p . P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✷ ✴ ✶✼

P❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ♣❤❛s❡s ❚❤❡r❡ ❡①✐sts p c = p c ( d ) ∈ ( ✵ , ✶ ) s✉❝❤ t❤❛t p < p c ✱ s✉❜❝r✐t✐❝❛❧ ♣❤❛s❡ p = p c ✱ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣❤❛s❡ p > p c ✱ s✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❤❛s❡ → t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ ✐♥✜♥✐t❡ ❝❧✉st❡r✳ P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✸ ✴ ✶✼

❚❤❡ s✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ❝❧✉st❡r ✐s ✇❡❧❧✲❜❡❤❛✈❡❞ ❚❤❡♦r❡♠ ✭●r✐♠♠❡tt✲▼❛rstr❛♥❞✱ ✶✾✾✵✱ ❈❤❛②❡s✲❈❤❛②❡s✲◆❡✇♠❛♥ ✶✾✽✼✮ ❆ss✉♠❡ d ≥ ✸ ❛♥❞ ❧❡t p > p c ✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts L ∶= L ( p , d ) < ∞ s✉❝❤ t❤❛t C ∞ ∩ { x ∈ Z d ∶ ✵ ≤ x ✶ ≤ L } ❝♦♥t❛✐♥s ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ ♦♣❡♥ ❡❞❣❡s ❛❧♠♦st s✉r❡❧②✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ξ ( p ) > ✵ s✉❝❤ t❤❛t✱ ❢♦r ❡❛❝❤ x ∈ Z d ✱ P ( ✵ ↔ x , ✵ ↮ ∞) ≤ exp (− ξ ( p )∣ x ∣) . P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✹ ✴ ✶✼

❚❤❡ s✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ❝❧✉st❡r ✐s ✇❡❧❧✲❜❡❤❛✈❡❞ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❆♥t❛❧✲P✐s③t♦r❛✱ ✶✾✾✻✮ ▲❡t p > p c ✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ρ ∶= ρ ( p , d ) < ∞ ❛♥❞ α ∶= α ( d , p ) > ✵ s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❡❛❝❤ y ∈ Z d P ( ✵ ↔ y , dist ( ✵ , y ) ≥ ρ ∣ y ∣) ≤ exp (− α ∣ y ∣) . P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✺ ✴ ✶✼

❛♥❞ ✺ ❲❡ s❛② t❤❛t ❛ ❝✉❜❡ ✐s ❣♦♦❞ ✐❢ ❛r❡ ❞❡❝❡♥t✳ ✹ ❋✐❣✉r❡ ✷✿ ❆ ❞❡❝❡♥t ❜♦① ❋✐❣✉r❡ ✸✿ ❆ ❣♦♦❞ ❜♦① ❆ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❣♦♦❞ ❝✉❜❡ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❲❡ s❛② t❤❛t ❛ ❝✉❜❡ ◻ ✐s ❞❡❝❡♥t ✐❢ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ ❝r♦ss✐♥❣ ❝❧✉st❡r ✐♥ ◻ ✱ ❞❡♥♦t❡❞ ❜② C (◻) ✳ ✐s ❝♦♥♥❡❝t❡❞ t♦ C (◻) ✇✐t❤✐♥ ❆❧❧ ♦♣❡♥ ♣❛t❤s ♦❢ s✐③❡ ❧❛r❣❡r t❤❛♥ size (◻) ✶✵ ◻ ✳ ❋✐❣✉r❡ ✶✿ ❆ ❞❡❝❡♥t ❜♦① P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✻ ✴ ✶✼

❆ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❣♦♦❞ ❝✉❜❡ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❲❡ s❛② t❤❛t ❛ ❝✉❜❡ ◻ ✐s ❞❡❝❡♥t ✐❢ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ ❝r♦ss✐♥❣ ❝❧✉st❡r ✐♥ ◻ ✱ ❞❡♥♦t❡❞ ❜② C (◻) ✳ ✐s ❝♦♥♥❡❝t❡❞ t♦ C (◻) ✇✐t❤✐♥ ❆❧❧ ♦♣❡♥ ♣❛t❤s ♦❢ s✐③❡ ❧❛r❣❡r t❤❛♥ size (◻) ✶✵ ◻ ✳ ❲❡ s❛② t❤❛t ❛ ❝✉❜❡ ✐s ❣♦♦❞ ✐❢ ◻ ❛♥❞ ✺ ✹ ◻ ❛r❡ ❞❡❝❡♥t✳ ❋✐❣✉r❡ ✶✿ ❆ ❞❡❝❡♥t ❜♦① ❋✐❣✉r❡ ✷✿ ❆ ❣♦♦❞ ❜♦① P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✻ ✴ ✶✼

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ●✐✈❡♥ t✇♦ ❝✉❜❡s ✶ ❛♥❞ ✷ ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ s✐③❡ ❛♥❞ ✶ ❢❛❝❡ ✐♥ ❝♦♠♠♦♥ t❤❡♥ ❛♥❞ ❛r❡ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✇✐t❤✐♥ ✷ ✳ ✶ ✷ ✶ ❆ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❣♦♦❞ ❝✉❜❡s ❚❤❡♦r❡♠ ✭P❡♥r♦s❡✲P✐s③t♦r❛✱ ✶✾✾✻✮ ▲❡t ◻ ❜❡ ❛ ❝✉❜❡ ✐♥ Z d ✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♥st❛♥t C ∶= C ( d , p ) < ∞ ✱ P (◻ ✐s ❛ ❣♦♦❞ ❝✉❜❡ ) ≥ ✶ − C exp (− C − ✶ size (◻)) . P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✼ ✴ ✶✼

❆ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❣♦♦❞ ❝✉❜❡s ❚❤❡♦r❡♠ ✭P❡♥r♦s❡✲P✐s③t♦r❛✱ ✶✾✾✻✮ ▲❡t ◻ ❜❡ ❛ ❝✉❜❡ ✐♥ Z d ✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♥st❛♥t C ∶= C ( d , p ) < ∞ ✱ P (◻ ✐s ❛ ❣♦♦❞ ❝✉❜❡ ) ≥ ✶ − C exp (− C − ✶ size (◻)) . Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ●✐✈❡♥ t✇♦ ❝✉❜❡s ◻ ✶ ❛♥❞ ◻ ✷ ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ s✐③❡ ❛♥❞ ✶ ❢❛❝❡ ✐♥ ❝♦♠♠♦♥ t❤❡♥ C (◻ ✶ ) ❛♥❞ C (◻ ✷ ) ❛r❡ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✇✐t❤✐♥ ◻ ✶ ∪ ◻ ✷ ✳ P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✼ ✴ ✶✼

Pr♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ ❇② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❋✐❣✉r❡ ✸✿ ❚✇♦ ❣♦♦❞ ❜♦①❡s ❞✐s❝♦♥♥❡❝t❡❞ P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✽ ✴ ✶✼

Pr♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ ✹ ◻ ✶ ✳✳✳ ❋✐❣✉r❡ ✹✿ ❆ ❧♦♦❦ ❛t ✺ P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✾ ✴ ✶✼

Pr♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ ❋✐❣✉r❡ ✺✿ ✳✳✳s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ❜♦①❡s ❛r❡ ❝♦♥♥❡❝t❡❞✳ P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✶✵ ✴ ✶✼

Pr♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ ❋✐❣✉r❡ ✻✿ ❚❤❡ ❜✐❣❣❡r ♣✐❝t✉r❡✳ P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✶✶ ✴ ✶✼

❚r✐❛❞✐❝ ❝✉❜❡s ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆ tr✐❛❞✐❝ ❝✉❜❡ ♦❢ Z d ✐s ❛ ❝✉❜❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠✱ ❢♦r s♦♠❡ n ∈ N z + (− ✸ n ✷ , ✸ n d ✷ ) , z ∈ ✸ n Z d . ❋✐❣✉r❡ ✼✿ ❚r✐❛❞✐❝ ❝✉❜❡s✳ P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✶✷ ✴ ✶✼

❚r✐❛❞✐❝ ❝✉❜❡s Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❚✇♦ tr✐❛❞✐❝ ❝✉❜❡s ❛r❡ ❡✐t❤❡r ✐♥❝❧✉❞❡❞ ✐♥ ♦♥❡ ❛♥♦t❤❡r ♦r ❞✐s❥♦✐♥t✳ ■❞❡❛✿ ❝r❡❛t❡ ♦❢ ♣❛rt✐t✐♦♥ ♦❢ ❣♦♦❞ tr✐❛❞✐❝ ❝✉❜❡s ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t s✐③❡s✳ P❛✉❧ ❉❛r✐♦ ❙✉♣❡r❝r✐t✐❝❛❧ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ▼❛② ✸✱ ✷✵✶✽ ✶✸ ✴ ✶✼