t Prrts r rs sss - - PowerPoint PPT Presentation

❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② Pr♦♣❡rt✐❡s ❢♦r ❱❛r✐♦✉s ❈❧❛ss❡s ♦❢ P♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❍②♣❡r❣r♦✉♣s

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• r❛♥❛❞❛✱ ▼❛② ✷✵t❤✱ ✷✵✶✸

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• r❛♥❛❞❛✱ ✷✵▼❛②✷✵✶✸

✶ ✴ ✶✾

❖✉t❧✐♥❡

✶

❍❛r♠♦♥✐❝ ❛♥❛❧②s✐s ♦♥ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❤②♣❡r❣r♦✉♣s✿ ❜❛s✐❝s

✷

• ❡♥❡r❛❧ r❡s✉❧ts

✸

❖♥❡✲♣❛r❛♠❡t❡r ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s ♦❢ ✉❧tr❛s♣❤❡r✐❝❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s

✹

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✷ ✴ ✶✾

❖✉t❧✐♥❡

✶

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✷

• ❡♥❡r❛❧ r❡s✉❧ts

✸

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✹

❈♦♠♣❛r✐s♦♥ t♦ t❤❡ ❣r♦✉♣ ❝❛s❡

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• r❛♥❛❞❛✱ ✷✵▼❛②✷✵✶✸

✸ ✴ ✶✾

P♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❤②♣❡r❣r♦✉♣s ♦♥ N✵

❙t❛rt✐♥❣ ♣♦✐♥t

▲❡t ❛✵ > ✵✱ ❜✵ < ✶✱ (❛♥)♥∈N, (❝♥)♥∈N ⊆ (✵, ✶) ❛♥❞ (❜♥)♥∈N ⊆ [✵, ✶) s❛t✐s❢② ❛✵ + ❜✵ = ✶✱ ❛♥ + ❜♥ + ❝♥ = ✶ (♥ ∈ N)❀ ❞❡✜♥❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✐♥ R[①] ❜② P✵(①) := ✶✱ P✶(①) := ✶

❛✵ (① − ❜✵)✱

P✶(①)P♥(①) = ❛♥P♥+✶(①) + ❜♥P♥(①) + ❝♥P♥−✶(①) (♥ ∈ N) . ❚❤❡♦r❡♠ ♦❢ ❋❛✈❛r❞ ✭✶✾✸✺✮✿ (P♥(①))♥∈N✵ ✐s ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ✇✳r✳t✳ ❛ ✉♥✐q✉❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✭❇♦r❡❧✮ ♠❡❛s✉r❡ µ ♦♥ R ✇✐t❤ |s✉♣♣ µ| = ∞✳ ▲❡t (♣♥(①))♥∈N✵ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✭✇✐t❤ ♣♦s✐t✐✈❡ ❧❡❛❞✐♥❣ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✮✳ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ❢♦r♠✉❧❛✿ P♠(①)P♥(①) =

♠+♥

• ❦=|♠−♥|

❣(♠, ♥; ❦)

• ∈R

P❦(①);

♠+♥

• ❦=|♠−♥|

❣(♠, ♥; ❦) = ✶, ❣(♠, ♥; |♠ − ♥|), ❣(♠, ♥; ♠ + ♥) = ✵ (♠, ♥ ∈ N✵) .

❙✳ ❑❛❤❧❡r ✭❚❯ ▼ü♥❝❤❡♥✮ ❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② Pr♦♣❡rt✐❡s

• r❛♥❛❞❛✱ ✷✵▼❛②✷✵✶✸

✹ ✴ ✶✾

P♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❤②♣❡r❣r♦✉♣s ♦♥ N✵

❙t❛rt✐♥❣ ♣♦✐♥t

▲❡t ❛✵ > ✵✱ ❜✵ < ✶✱ (❛♥)♥∈N, (❝♥)♥∈N ⊆ (✵, ✶) ❛♥❞ (❜♥)♥∈N ⊆ [✵, ✶) s❛t✐s❢② ❛✵ + ❜✵ = ✶✱ ❛♥ + ❜♥ + ❝♥ = ✶ (♥ ∈ N)❀ ❞❡✜♥❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✐♥ R[①] ❜② P✵(①) := ✶✱ P✶(①) := ✶

❛✵ (① − ❜✵)✱

P✶(①)P♥(①) = ❛♥P♥+✶(①) + ❜♥P♥(①) + ❝♥P♥−✶(①) (♥ ∈ N) . ❚❤❡♦r❡♠ ♦❢ ❋❛✈❛r❞ ✭✶✾✸✺✮✿ (P♥(①))♥∈N✵ ✐s ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ✇✳r✳t✳ ❛ ✉♥✐q✉❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✭❇♦r❡❧✮ ♠❡❛s✉r❡ µ ♦♥ R ✇✐t❤ |s✉♣♣ µ| = ∞✳ ▲❡t (♣♥(①))♥∈N✵ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✭✇✐t❤ ♣♦s✐t✐✈❡ ❧❡❛❞✐♥❣ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✮✳ ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ❢♦r♠✉❧❛✿ P♠(①)P♥(①) =

♠+♥

• ❦=|♠−♥|

❣(♠, ♥; ❦)

• ∈R

P❦(①);

♠+♥

• ❦=|♠−♥|

❣(♠, ♥; ❦) = ✶, ❣(♠, ♥; |♠ − ♥|), ❣(♠, ♥; ♠ + ♥) = ✵ (♠, ♥ ∈ N✵) .

❙✳ ❑❛❤❧❡r ✭❚❯ ▼ü♥❝❤❡♥✮ ❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② Pr♦♣❡rt✐❡s

• r❛♥❛❞❛✱ ✷✵▼❛②✷✵✶✸

✹ ✴ ✶✾

P♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❤②♣❡r❣r♦✉♣s ♦♥ N✵

❇❛s✐❝ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥s

❈r✉❝✐❛❧ ❛ss✉♠♣t✐♦♥✿

❆ss✉♠❡ t❤❡ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❣(♠, ♥; ❦) t♦ ❜❡ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡✳ ❉❡✜♥❡ ❛ ❝♦♥✈♦❧✉t✐♦♥ N✵ × N✵ → ❝♦♥✈ {δ♥ : ♥ ∈ N✵} ❜② (♠, ♥) →

♠+♥

• ❦=|♠−♥|

❣(♠, ♥; ❦)δ❦ ; t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ♠❛♣ ❛s ✐♥✈♦❧✉t✐♦♥✱ N✵ ❜❡❝♦♠❡s ❛ ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❞✐s❝r❡t❡ ❤②♣❡r❣r♦✉♣ ✇✐t❤ ✉♥✐t ❡❧❡♠❡♥t ✵✱ ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❤②♣❡r❣r♦✉♣✳ ❍❛❛r ♠❡❛s✉r❡✿ ❝♦✉♥t✐♥❣ ♠❡❛s✉r❡ ✇❡✐❣❤t❡❞ ❜② t❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ❍❛❛r ❢✉♥❝t✐♦♥ ❤ : N✵ → [✶, ∞)✱ ❤(♥) := ♣✷

♥(✶)✳

▲❡t (ℓ♣(❤), .♣)✱ ♣ ∈ [✶, ∞]✱ ❜❡ t❤❡ ℓ♣✲s♣❛❝❡s ✇✳r✳t✳ t❤❡ ❍❛❛r ♠❡❛s✉r❡✳

❙✳ ❑❛❤❧❡r ✭❚❯ ▼ü♥❝❤❡♥✮ ❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② Pr♦♣❡rt✐❡s

• r❛♥❛❞❛✱ ✷✵▼❛②✷✵✶✸

✺ ✴ ✶✾

P♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❤②♣❡r❣r♦✉♣s ♦♥ N✵

❇❛s✐❝ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥s

❈r✉❝✐❛❧ ❛ss✉♠♣t✐♦♥✿

❆ss✉♠❡ t❤❡ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❣(♠, ♥; ❦) t♦ ❜❡ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡✳ ❉❡✜♥❡ ❛ ❝♦♥✈♦❧✉t✐♦♥ N✵ × N✵ → ❝♦♥✈ {δ♥ : ♥ ∈ N✵} ❜② (♠, ♥) →

♠+♥

• ❦=|♠−♥|

❣(♠, ♥; ❦)δ❦ ; t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ♠❛♣ ❛s ✐♥✈♦❧✉t✐♦♥✱ N✵ ❜❡❝♦♠❡s ❛ ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❞✐s❝r❡t❡ ❤②♣❡r❣r♦✉♣ ✇✐t❤ ✉♥✐t ❡❧❡♠❡♥t ✵✱ ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❤②♣❡r❣r♦✉♣✳ ❍❛❛r ♠❡❛s✉r❡✿ ❝♦✉♥t✐♥❣ ♠❡❛s✉r❡ ✇❡✐❣❤t❡❞ ❜② t❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ❍❛❛r ❢✉♥❝t✐♦♥ ❤ : N✵ → [✶, ∞)✱ ❤(♥) := ♣✷

♥(✶)✳

▲❡t (ℓ♣(❤), .♣)✱ ♣ ∈ [✶, ∞]✱ ❜❡ t❤❡ ℓ♣✲s♣❛❝❡s ✇✳r✳t✳ t❤❡ ❍❛❛r ♠❡❛s✉r❡✳

❙✳ ❑❛❤❧❡r ✭❚❯ ▼ü♥❝❤❡♥✮ ❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② Pr♦♣❡rt✐❡s

• r❛♥❛❞❛✱ ✷✵▼❛②✷✵✶✸

✺ ✴ ✶✾

❍❛r♠♦♥✐❝ ❛♥❛❧②s✐s ♦♥ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❤②♣❡r❣r♦✉♣s

❈♦♥✈♦❧✉t✐♦♥✿ ❢♦r ❢ ∈ ℓ♣(❤) ❛♥❞ ❣ ∈ ℓq(❤)✱ ✇❤❡r❡ ♣ ∈ [✶, ∞)✱ q :=

♣ ♣−✶ ∈ (✶, ∞]✱ ♦♥❡ ❤❛s ❢ ∗ ❣ ∈ ℓ∞✱ ✇❤❡r❡

❢ ∗ ❣(♥) :=

∞

• ❦=✵

♥+❦

• ❥=|♥−❦|

❣(♥, ❦; ❥)❢ (❥)❣(❦)❤(❦) . ❚❤✐s ❝♦♥✈♦❧✉t✐♦♥ ❛♥❞ ❝♦♠♣❧❡① ❝♦♥❥✉❣❛t✐♦♥ ♠❛❦❡ ℓ✶(❤) ❛ ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❇❛♥❛❝❤ ∗✲❛❧❣❡❜r❛ ✇✐t❤ ✉♥✐t δ✵✳ ℓ✶(❤) ❛❝ts ♦♥ ℓ♣(❤) (♣ ∈ [✶, ∞]) ❜② ❝♦♥✈♦❧✉t✐♦♥❀ ℓ∞ ✐s t❤❡ ❞✉❛❧ ♠♦❞✉❧❡ ♦❢ ℓ✶(❤)✳ ❙②♠♠❡tr✐❝ ❝❤❛r❛❝t❡rs✿ ①α : N✵ → R✱ ①α(♥) := P♥(①)✱ ✇❤❡r❡

• N✵ := {① ∈ R : ∀♥ ∈ N✵ : |P♥(①)| ≤ ✶}✳

❋♦✉r✐❡r tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ P❧❛♥❝❤❡r❡❧ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠✿

• . : ℓ✶(❤) → ❈(

N✵)✱ ❢ (①) = ∞

❦=✵ ❢ (❦)P❦(①)❤(❦)❀

. ❡①t❡♥❞s t♦ ❛♥ ✐s♦♠❡tr✐❝ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠ P : ℓ✷(❤) → ▲✷(R, µ)✳ ✭▲❛ss❡r ✶✾✽✸✮

❙✳ ❑❛❤❧❡r ✭❚❯ ▼ü♥❝❤❡♥✮ ❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② Pr♦♣❡rt✐❡s

• r❛♥❛❞❛✱ ✷✵▼❛②✷✵✶✸

✻ ✴ ✶✾

❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② ♥♦t✐♦♥s

❇❛s✐❝ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s

▲❡t ❆ ❜❡ ❛ ❇❛♥❛❝❤ ❛❧❣❡❜r❛✱ ❛♥❞ ❧❡t (❳, ·) ❜❡ ❛ ❇❛♥❛❝❤ ❆✲❜✐♠♦❞✉❧❡✳ ❆ ❧✐♥❡❛r ♠❛♣♣✐♥❣ ❉ : ❆ → ❳ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ✐❢ ❉(❛❜) = ❛ · ❉(❜) + ❉(❛) · ❜ (❛, ❜ ∈ ❆)✱ ✐♥♥❡r ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ✐❢ ❉(❛) = ❛ · ① − ① · ❛ (❛ ∈ ❆) ❢♦r s♦♠❡ ① ∈ ❳✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❏♦❤♥s♦♥ ✶✾✼✷❀ ❇❛❞❡✕❈✉rt✐s✕❉❛❧❡s ✶✾✽✼❀ ❏♦❤♥s♦♥ ✶✾✽✼✮

❆ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛♠❡♥❛❜❧❡ ✭✇❡❛❦❧② ❛♠❡♥❛❜❧❡✮ ✐❢ ❢♦r ❡✈❡r② ❇❛♥❛❝❤ ❆✲❜✐♠♦❞✉❧❡ ❳ ❡✈❡r② ❜♦✉♥❞❡❞ ✭✦✮ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ✐♥t♦ t❤❡ ❞✉❛❧ ♠♦❞✉❧❡ ❳ ∗ ✭❆∗✮ ✐s ❛♥ ✐♥♥❡r ❞❡r✐✈❛t✐♦♥✳

• ✐✈❡♥ s♦♠❡ ① ∈

N✵✱ ❛ ❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉① : ℓ✶(❤) → C ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ ♣♦✐♥t ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦♥ ℓ✶(❤) ❛t ① ✐❢ ❉①(❢ ∗ ❣) = ❢ (①)❉①(❣) + ❣(①)❉①(❢ ) (❢ , ❣ ∈ ℓ✶(❤))✳ ❲❡ ❝❛❧❧ ℓ✶(❤) ♣♦✐♥t✲❛♠❡♥❛❜❧❡ ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ① ∈ N✵ ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♥♦♥✲③❡r♦ ❜♦✉♥❞❡❞ ♣♦✐♥t ❞❡r✐✈❛t✐♦♥✳

❙✳ ❑❛❤❧❡r ✭❚❯ ▼ü♥❝❤❡♥✮ ❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② Pr♦♣❡rt✐❡s

• r❛♥❛❞❛✱ ✷✵▼❛②✷✵✶✸

✼ ✴ ✶✾

❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② ♥♦t✐♦♥s

❇❛s✐❝ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s

▲❡t ❆ ❜❡ ❛ ❇❛♥❛❝❤ ❛❧❣❡❜r❛✱ ❛♥❞ ❧❡t (❳, ·) ❜❡ ❛ ❇❛♥❛❝❤ ❆✲❜✐♠♦❞✉❧❡✳ ❆ ❧✐♥❡❛r ♠❛♣♣✐♥❣ ❉ : ❆ → ❳ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ✐❢ ❉(❛❜) = ❛ · ❉(❜) + ❉(❛) · ❜ (❛, ❜ ∈ ❆)✱ ✐♥♥❡r ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ✐❢ ❉(❛) = ❛ · ① − ① · ❛ (❛ ∈ ❆) ❢♦r s♦♠❡ ① ∈ ❳✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❏♦❤♥s♦♥ ✶✾✼✷❀ ❇❛❞❡✕❈✉rt✐s✕❉❛❧❡s ✶✾✽✼❀ ❏♦❤♥s♦♥ ✶✾✽✼✮

❆ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛♠❡♥❛❜❧❡ ✭✇❡❛❦❧② ❛♠❡♥❛❜❧❡✮ ✐❢ ❢♦r ❡✈❡r② ❇❛♥❛❝❤ ❆✲❜✐♠♦❞✉❧❡ ❳ ❡✈❡r② ❜♦✉♥❞❡❞ ✭✦✮ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ✐♥t♦ t❤❡ ❞✉❛❧ ♠♦❞✉❧❡ ❳ ∗ ✭❆∗✮ ✐s ❛♥ ✐♥♥❡r ❞❡r✐✈❛t✐♦♥✳

• ✐✈❡♥ s♦♠❡ ① ∈

N✵✱ ❛ ❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉① : ℓ✶(❤) → C ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ ♣♦✐♥t ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦♥ ℓ✶(❤) ❛t ① ✐❢ ❉①(❢ ∗ ❣) = ❢ (①)❉①(❣) + ❣(①)❉①(❢ ) (❢ , ❣ ∈ ℓ✶(❤))✳ ❲❡ ❝❛❧❧ ℓ✶(❤) ♣♦✐♥t✲❛♠❡♥❛❜❧❡ ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ① ∈ N✵ ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♥♦♥✲③❡r♦ ❜♦✉♥❞❡❞ ♣♦✐♥t ❞❡r✐✈❛t✐♦♥✳

❙✳ ❑❛❤❧❡r ✭❚❯ ▼ü♥❝❤❡♥✮ ❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② Pr♦♣❡rt✐❡s

• r❛♥❛❞❛✱ ✷✵▼❛②✷✵✶✸

✼ ✴ ✶✾

❖✉t❧✐♥❡

✶

❍❛r♠♦♥✐❝ ❛♥❛❧②s✐s ♦♥ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❤②♣❡r❣r♦✉♣s✿ ❜❛s✐❝s

✷

• ❡♥❡r❛❧ r❡s✉❧ts

✸

❖♥❡✲♣❛r❛♠❡t❡r ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s ♦❢ ✉❧tr❛s♣❤❡r✐❝❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s

✹

❈♦♠♣❛r✐s♦♥ t♦ t❤❡ ❣r♦✉♣ ❝❛s❡

❙✳ ❑❛❤❧❡r ✭❚❯ ▼ü♥❝❤❡♥✮ ❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② Pr♦♣❡rt✐❡s

• r❛♥❛❞❛✱ ✷✵▼❛②✷✵✶✸

✽ ✴ ✶✾

• ❡♥❡r❛❧ r❡s✉❧ts✿ ✇❡❛❦ ❛♠❡♥❛❜✐❧✐t②

❚❤❡♦r❡♠ ✭▲❛ss❡r ✷✵✵✼❀ ✇❡❛❦ ❛♠❡♥❛❜✐❧✐t②✿ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥✮

ℓ✶(❤) ✐s ✇❡❛❦❧② ❛♠❡♥❛❜❧❡ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ {

• P−✶(P′

♥) ∗ ϕ

• ∞ : ♥ ∈ N✵} ✐s

✉♥❜♦✉♥❞❡❞ ❢♦r ❛❧❧ ϕ ∈ ℓ∞\{✵}✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳ ✷✵✶✸❀ ✇❡❛❦ ❛♠❡♥❛❜✐❧✐t②✿ ♥❡❝❡ss❛r② ❝r✐t❡r✐❛✮

▲❡t ℓ✶(❤) ❜❡ ✇❡❛❦❧② ❛♠❡♥❛❜❧❡✳ ❚❤❡♥ {P−✶(P′

♥)(✵) : ♥ ∈ N✵} ✐s

✉♥❜♦✉♥❞❡❞❀ ♠♦r❡♦✈❡r✱ µ ❤❛s ❛ s✐♥❣✉❧❛r ♣❛rt ♦r µ′ ✐s ♥♦t ❛❜s♦❧✉t❡❧② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦♥ [♠✐♥ s✉♣♣ µ, ♠❛① s✉♣♣ µ]✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳ ✷✵✶✸❀ ✇❡❛❦ ❛♠❡♥❛❜✐❧✐t②✿ s✉✣❝✐❡♥t ❝r✐t❡r✐♦♥✮

■❢ {

• P−✶(P′

♥) ∗ ϕ

• ∞ : ♥ ∈ N✵} ✐s ✉♥❜♦✉♥❞❡❞ ❢♦r ❛❧❧ ϕ ∈ ℓ∞\O(♥−✶) ❛♥❞

µ ✐s ❛❜s♦❧✉t❡❧② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✱ s✉♣♣ µ = [−✶, ✶]✱ µ′ > ✵ ❛✳❡✳ ✐♥ [−✶, ✶]✱ ❤ ∈ O(♥α) ❢♦r s♦♠❡ α ∈ [✵, ✶)✱ s✉♣♥∈N✵

• R♣✹

♥(①) ❞µ(①) < ∞✱

t❤❡♥ ℓ✶(❤) ✐s ✇❡❛❦❧② ❛♠❡♥❛❜❧❡✳

❙✳ ❑❛❤❧❡r ✭❚❯ ▼ü♥❝❤❡♥✮ ❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② Pr♦♣❡rt✐❡s

• r❛♥❛❞❛✱ ✷✵▼❛②✷✵✶✸

✾ ✴ ✶✾

• ❡♥❡r❛❧ r❡s✉❧ts✿ ✇❡❛❦ ❛♠❡♥❛❜✐❧✐t②

❚❤❡♦r❡♠ ✭▲❛ss❡r ✷✵✵✼❀ ✇❡❛❦ ❛♠❡♥❛❜✐❧✐t②✿ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥✮

ℓ✶(❤) ✐s ✇❡❛❦❧② ❛♠❡♥❛❜❧❡ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ {

• P−✶(P′

♥) ∗ ϕ

• ∞ : ♥ ∈ N✵} ✐s

✉♥❜♦✉♥❞❡❞ ❢♦r ❛❧❧ ϕ ∈ ℓ∞\{✵}✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳ ✷✵✶✸❀ ✇❡❛❦ ❛♠❡♥❛❜✐❧✐t②✿ ♥❡❝❡ss❛r② ❝r✐t❡r✐❛✮

▲❡t ℓ✶(❤) ❜❡ ✇❡❛❦❧② ❛♠❡♥❛❜❧❡✳ ❚❤❡♥ {P−✶(P′

♥)(✵) : ♥ ∈ N✵} ✐s

✉♥❜♦✉♥❞❡❞❀ ♠♦r❡♦✈❡r✱ µ ❤❛s ❛ s✐♥❣✉❧❛r ♣❛rt ♦r µ′ ✐s ♥♦t ❛❜s♦❧✉t❡❧② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦♥ [♠✐♥ s✉♣♣ µ, ♠❛① s✉♣♣ µ]✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳ ✷✵✶✸❀ ✇❡❛❦ ❛♠❡♥❛❜✐❧✐t②✿ s✉✣❝✐❡♥t ❝r✐t❡r✐♦♥✮

■❢ {

• P−✶(P′

♥) ∗ ϕ

• ∞ : ♥ ∈ N✵} ✐s ✉♥❜♦✉♥❞❡❞ ❢♦r ❛❧❧ ϕ ∈ ℓ∞\O(♥−✶) ❛♥❞

µ ✐s ❛❜s♦❧✉t❡❧② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✱ s✉♣♣ µ = [−✶, ✶]✱ µ′ > ✵ ❛✳❡✳ ✐♥ [−✶, ✶]✱ ❤ ∈ O(♥α) ❢♦r s♦♠❡ α ∈ [✵, ✶)✱ s✉♣♥∈N✵

• R♣✹

♥(①) ❞µ(①) < ∞✱

t❤❡♥ ℓ✶(❤) ✐s ✇❡❛❦❧② ❛♠❡♥❛❜❧❡✳

❙✳ ❑❛❤❧❡r ✭❚❯ ▼ü♥❝❤❡♥✮ ❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② Pr♦♣❡rt✐❡s

• r❛♥❛❞❛✱ ✷✵▼❛②✷✵✶✸

✾ ✴ ✶✾

• ❡♥❡r❛❧ r❡s✉❧ts✿ ✇❡❛❦ ❛♠❡♥❛❜✐❧✐t②

❚❤❡♦r❡♠ ✭▲❛ss❡r ✷✵✵✼❀ ✇❡❛❦ ❛♠❡♥❛❜✐❧✐t②✿ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥✮

ℓ✶(❤) ✐s ✇❡❛❦❧② ❛♠❡♥❛❜❧❡ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ {

• P−✶(P′

♥) ∗ ϕ

• ∞ : ♥ ∈ N✵} ✐s

✉♥❜♦✉♥❞❡❞ ❢♦r ❛❧❧ ϕ ∈ ℓ∞\{✵}✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳ ✷✵✶✸❀ ✇❡❛❦ ❛♠❡♥❛❜✐❧✐t②✿ ♥❡❝❡ss❛r② ❝r✐t❡r✐❛✮

▲❡t ℓ✶(❤) ❜❡ ✇❡❛❦❧② ❛♠❡♥❛❜❧❡✳ ❚❤❡♥ {P−✶(P′

♥)(✵) : ♥ ∈ N✵} ✐s

✉♥❜♦✉♥❞❡❞❀ ♠♦r❡♦✈❡r✱ µ ❤❛s ❛ s✐♥❣✉❧❛r ♣❛rt ♦r µ′ ✐s ♥♦t ❛❜s♦❧✉t❡❧② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦♥ [♠✐♥ s✉♣♣ µ, ♠❛① s✉♣♣ µ]✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳ ✷✵✶✸❀ ✇❡❛❦ ❛♠❡♥❛❜✐❧✐t②✿ s✉✣❝✐❡♥t ❝r✐t❡r✐♦♥✮

■❢ {

• P−✶(P′

♥) ∗ ϕ

• ∞ : ♥ ∈ N✵} ✐s ✉♥❜♦✉♥❞❡❞ ❢♦r ❛❧❧ ϕ ∈ ℓ∞\O(♥−✶) ❛♥❞

µ ✐s ❛❜s♦❧✉t❡❧② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✱ s✉♣♣ µ = [−✶, ✶]✱ µ′ > ✵ ❛✳❡✳ ✐♥ [−✶, ✶]✱ ❤ ∈ O(♥α) ❢♦r s♦♠❡ α ∈ [✵, ✶)✱ s✉♣♥∈N✵

• R♣✹

♥(①) ❞µ(①) < ∞✱

t❤❡♥ ℓ✶(❤) ✐s ✇❡❛❦❧② ❛♠❡♥❛❜❧❡✳

❙✳ ❑❛❤❧❡r ✭❚❯ ▼ü♥❝❤❡♥✮ ❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② Pr♦♣❡rt✐❡s

• r❛♥❛❞❛✱ ✷✵▼❛②✷✵✶✸

✾ ✴ ✶✾

• ❡♥❡r❛❧ r❡s✉❧ts✿ ✇❡❛❦ ❛♠❡♥❛❜✐❧✐t②

■♥❣r❡❞✐❡♥ts ❢♦r t❤❡ ♣r♦♦❢s✿ ❤❛r♠♦♥✐❝ ❛♥❛❧②s✐s ♦♥ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❤②♣❡r❣r♦✉♣s✱ P❧❛♥❝❤❡r❡❧ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠✱ ❛s②♠♣t♦t✐❝s ♦❢ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✭◆❡✈❛✐ ❡t ❛❧✳ ✶✾✼✾ ✕✮✱ ❜❛s✐❝ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ t❤❡♦r②✱ ❡❧❡♠❡♥t❛r② ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ t❤❡♦r②✱ ❈❤r✐st♦✛❡❧✕❉❛r❜♦✉① ❢♦r♠✉❧❛✱ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❧❡♠♠❛ ♦❢ t❤❡ ❝❛❧❝✉❧✉s ♦❢ ✈❛r✐❛t✐♦♥s✱ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ❜② ♣❛rts✳

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✶✵ ✴ ✶✾

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❚❋❆❊✿

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♥(①) : ♥ ∈ N✵} ✐s ✉♥❜♦✉♥❞❡❞ ❢♦r ❛❧❧ ① ∈

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✸ {

• P−✶(P′

♥) ∗ ①α

• ∞ : ♥ ∈ N✵} ✐s ✉♥❜♦✉♥❞❡❞ ❢♦r ❛❧❧ ① ∈

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▲❡t ❜♥ ≡ ✵✳ ■❢ ℓ✶(❤) ✐s ♣♦✐♥t✲❛♠❡♥❛❜❧❡✱ t❤❡♥ ❝♥❛♥−✶ > ✶

✹ ❢♦r s♦♠❡ ♥ ∈ N✱

❧✐♠ s✉♣♥→∞ ❝♥ ≥ ✶

✷✳

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❚❋❆❊✿

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✷✳

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• r❛♥❛❞❛✱ ✷✵▼❛②✷✵✶✸

✶✶ ✴ ✶✾

❖✉t❧✐♥❡

✶

❍❛r♠♦♥✐❝ ❛♥❛❧②s✐s ♦♥ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❤②♣❡r❣r♦✉♣s✿ ❜❛s✐❝s

✷

• ❡♥❡r❛❧ r❡s✉❧ts

✸

❖♥❡✲♣❛r❛♠❡t❡r ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s ♦❢ ✉❧tr❛s♣❤❡r✐❝❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s

✹

❈♦♠♣❛r✐s♦♥ t♦ t❤❡ ❣r♦✉♣ ❝❛s❡

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• r❛♥❛❞❛✱ ✷✵▼❛②✷✵✶✸

✶✷ ✴ ✶✾

❖♥❡✲♣❛r❛♠❡t❡r ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s ♦❢ ✉❧tr❛s♣❤❡r✐❝❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s

▲❡t α ≥ − ✶

✷❀ ❧❡t (P♥(①))♥∈N✵ ❜❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ✇✳r✳t✳

❞µ(①) = (. . .)(✶ − ①✷)αχ(−✶,✶)(①) ❞① ✭✏✉❧tr❛s♣❤❡r✐❝❛❧✑✮✳ ❉♦✉❣❛❧❧ ✶✾✶✾✱ ❍sü ✶✾✸✽✿ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❤②♣❡r❣r♦✉♣ ✐♥❞✉❝❡❞✳ ℓ✶(❤) ✇❡❛❦❧② ❛♠❡♥❛❜❧❡ ⇔ α < ✵ ✭❑✳ ❆❍❆✷✵✶✶✮✳ ▼♦st ✐♠♣♦rt❛♥t ♦♥❡✲♣❛r❛♠❡t❡r ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s✿ ❝❧❛ss ♦❢ ❏❛❝♦❜✐ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✱ ❝❧❛ss ♦❢ s②♠♠❡tr✐❝ P♦❧❧❛❝③❡❦ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✱ ❝❧❛ss ♦❢ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✉❧tr❛s♣❤❡r✐❝❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✱ ❝❧❛ss ♦❢ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s q✲✉❧tr❛s♣❤❡r✐❝❛❧ ✭❘♦❣❡rs✮ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✭❝♦♥t❛✐♥s t❤❡ ✉❧tr❛s♣❤❡r✐❝❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ❛s ❧✐♠✐t✐♥❣ ❝❛s❡s✮✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭▲❛ss❡r ✷✵✵✾❀ ❱♦❣❡❧ ✶✾✽✼✮

■❢ (P♥(①))♥∈N✵ ❜❡❧♦♥❣s t♦ t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s q✲✉❧tr❛s♣❤❡r✐❝❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✱ t❤❡♥ ℓ✶(❤) ✐s ♥♦t ❡✈❡♥ ♣♦✐♥t✲❛♠❡♥❛❜❧❡✳

❙✳ ❑❛❤❧❡r ✭❚❯ ▼ü♥❝❤❡♥✮ ❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② Pr♦♣❡rt✐❡s

• r❛♥❛❞❛✱ ✷✵▼❛②✷✵✶✸

✶✸ ✴ ✶✾

❖♥❡✲♣❛r❛♠❡t❡r ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s ♦❢ ✉❧tr❛s♣❤❡r✐❝❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s

▲❡t α ≥ − ✶

✷❀ ❧❡t (P♥(①))♥∈N✵ ❜❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ✇✳r✳t✳

❞µ(①) = (. . .)(✶ − ①✷)αχ(−✶,✶)(①) ❞① ✭✏✉❧tr❛s♣❤❡r✐❝❛❧✑✮✳ ❉♦✉❣❛❧❧ ✶✾✶✾✱ ❍sü ✶✾✸✽✿ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❤②♣❡r❣r♦✉♣ ✐♥❞✉❝❡❞✳ ℓ✶(❤) ✇❡❛❦❧② ❛♠❡♥❛❜❧❡ ⇔ α < ✵ ✭❑✳ ❆❍❆✷✵✶✶✮✳ ▼♦st ✐♠♣♦rt❛♥t ♦♥❡✲♣❛r❛♠❡t❡r ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s✿ ❝❧❛ss ♦❢ ❏❛❝♦❜✐ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✱ ❝❧❛ss ♦❢ s②♠♠❡tr✐❝ P♦❧❧❛❝③❡❦ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✱ ❝❧❛ss ♦❢ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✉❧tr❛s♣❤❡r✐❝❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✱ ❝❧❛ss ♦❢ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s q✲✉❧tr❛s♣❤❡r✐❝❛❧ ✭❘♦❣❡rs✮ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✭❝♦♥t❛✐♥s t❤❡ ✉❧tr❛s♣❤❡r✐❝❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ❛s ❧✐♠✐t✐♥❣ ❝❛s❡s✮✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭▲❛ss❡r ✷✵✵✾❀ ❱♦❣❡❧ ✶✾✽✼✮

■❢ (P♥(①))♥∈N✵ ❜❡❧♦♥❣s t♦ t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s q✲✉❧tr❛s♣❤❡r✐❝❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✱ t❤❡♥ ℓ✶(❤) ✐s ♥♦t ❡✈❡♥ ♣♦✐♥t✲❛♠❡♥❛❜❧❡✳

❙✳ ❑❛❤❧❡r ✭❚❯ ▼ü♥❝❤❡♥✮ ❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② Pr♦♣❡rt✐❡s

• r❛♥❛❞❛✱ ✷✵▼❛②✷✵✶✸

✶✸ ✴ ✶✾

❏❛❝♦❜✐ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s

▲❡t α ≥ − ✶

✷✱ −✶ < β ≤ α s❛t✐s❢② ❛(❛ + ✺)(❛ + ✸)✷ ≥ (❛✷ − ✼❛ − ✷✹)❜✷✱

✇❤❡r❡ ❛ := α + β + ✶✱ ❜ := α − β❀ ❧❡t (P♥(①))♥∈N✵ ❜❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ✇✳r✳t✳ ❞µ(①) = (. . .)(✶ − ①)α(✶ + ①)βχ(−✶,✶)(①) ❞① .

• ❛s♣❡r ✶✾✼✵✿ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❤②♣❡r❣r♦✉♣ ✐♥❞✉❝❡❞✳

❘❛❤♠❛♥ ✶✾✽✶✿ ❡①♣❧✐❝✐t ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❣(♠, ♥; ❦) ❛s ❛ ✾❋✽ ❤②♣❡r❣❡♦♠❡tr✐❝ s❡r✐❡s✳ ❑✳ ✷✵✶✸✿ ❡①♣❧✐❝✐t ❡①♣❛♥s✐♦♥s ♦❢ P−✶(P′

♥)✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳ ✷✵✶✸✮

ℓ✶(❤) ❛♠❡♥❛❜❧❡ ⇔ α = − ✶

✷✱

ℓ✶(❤) ✇❡❛❦❧② ❛♠❡♥❛❜❧❡ ⇔ α < ✵✱ ℓ✶(❤) ♣♦✐♥t✲❛♠❡♥❛❜❧❡ ⇔ α < ✶

✷✳

▼❛✐♥ ♣r♦❜❧❡♠✿ ✇❡❛❦ ❛♠❡♥❛❜✐❧✐t② ❢♦r α < ✵✳

❙✳ ❑❛❤❧❡r ✭❚❯ ▼ü♥❝❤❡♥✮ ❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② Pr♦♣❡rt✐❡s

• r❛♥❛❞❛✱ ✷✵▼❛②✷✵✶✸

✶✹ ✴ ✶✾

❏❛❝♦❜✐ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s

▲❡t α ≥ − ✶

✷✱ −✶ < β ≤ α s❛t✐s❢② ❛(❛ + ✺)(❛ + ✸)✷ ≥ (❛✷ − ✼❛ − ✷✹)❜✷✱

✇❤❡r❡ ❛ := α + β + ✶✱ ❜ := α − β❀ ❧❡t (P♥(①))♥∈N✵ ❜❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ✇✳r✳t✳ ❞µ(①) = (. . .)(✶ − ①)α(✶ + ①)βχ(−✶,✶)(①) ❞① .

• ❛s♣❡r ✶✾✼✵✿ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❤②♣❡r❣r♦✉♣ ✐♥❞✉❝❡❞✳

❘❛❤♠❛♥ ✶✾✽✶✿ ❡①♣❧✐❝✐t ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❣(♠, ♥; ❦) ❛s ❛ ✾❋✽ ❤②♣❡r❣❡♦♠❡tr✐❝ s❡r✐❡s✳ ❑✳ ✷✵✶✸✿ ❡①♣❧✐❝✐t ❡①♣❛♥s✐♦♥s ♦❢ P−✶(P′

♥)✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳ ✷✵✶✸✮

ℓ✶(❤) ❛♠❡♥❛❜❧❡ ⇔ α = − ✶

✷✱

ℓ✶(❤) ✇❡❛❦❧② ❛♠❡♥❛❜❧❡ ⇔ α < ✵✱ ℓ✶(❤) ♣♦✐♥t✲❛♠❡♥❛❜❧❡ ⇔ α < ✶

✷✳

▼❛✐♥ ♣r♦❜❧❡♠✿ ✇❡❛❦ ❛♠❡♥❛❜✐❧✐t② ❢♦r α < ✵✳

❙✳ ❑❛❤❧❡r ✭❚❯ ▼ü♥❝❤❡♥✮ ❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② Pr♦♣❡rt✐❡s

• r❛♥❛❞❛✱ ✷✵▼❛②✷✵✶✸

✶✹ ✴ ✶✾

❙②♠♠❡tr✐❝ P♦❧❧❛❝③❡❦ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s

▲❡t − ✶

✷ < α < ✵✱ ✵ ≤ λ < α + ✶ ✷✱ ♦r ❧❡t α, λ ≥ ✵❀ ❧❡t (P♥(①))♥∈N✵ ❜❡

♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ✇✳r✳t✳ ❞µ(①) = (. . .)(✶ − ①✷)α

• Γ
• α + ✶

✷ + ✐ λ① √ ✶−①✷

• ✷

❡

λ①(π−✷ ❛r❝❝♦s ①)

√

✶−①✷

χ(−✶,✶)(①) ❞① . ▲❛ss❡r ✶✾✾✹✿ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❤②♣❡r❣r♦✉♣ ✐♥❞✉❝❡❞✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳ ✷✵✶✸✮

ℓ✶(❤) ♥♦t ❛♠❡♥❛❜❧❡✱ ℓ✶(❤) ✇❡❛❦❧② ❛♠❡♥❛❜❧❡ ⇔ α < ✵, λ = ✵✱ ℓ✶(❤) ♣♦✐♥t✲❛♠❡♥❛❜❧❡ ⇔ α < ✶

✷, λ = ✵✳

▼❛✐♥ ♣r♦❜❧❡♠✿ ❢❛✐❧✉r❡ ♦❢ ♣♦✐♥t✲❛♠❡♥❛❜✐❧✐t② ✐❢ ✵ < λ < −α +

√✽α+✺ ✷

− ✶✳

❙✳ ❑❛❤❧❡r ✭❚❯ ▼ü♥❝❤❡♥✮ ❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② Pr♦♣❡rt✐❡s

• r❛♥❛❞❛✱ ✷✵▼❛②✷✵✶✸

✶✺ ✴ ✶✾

❆ss♦❝✐❛t❡❞ ✉❧tr❛s♣❤❡r✐❝❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s

▲❡t α > − ✶

✷✱ ν ≥ ✵❀ ❧❡t (P♥(①))♥∈N✵ ❜❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ✇✳r✳t✳

❞µ(①) = (. . .)(✶ − ①✷)α ✶

• ✷❋✶
• ✶

✷ − α, ν

α + ν + ✶

✷

• ❡✷✐ ❛r❝❝♦s ①
• ✷ χ(−✶,✶)(①) ❞① .

▲❛ss❡r ✶✾✾✹✿ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❤②♣❡r❣r♦✉♣ ✐♥❞✉❝❡❞✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳ ✷✵✶✸✮

ℓ✶(❤) ♥♦t ❛♠❡♥❛❜❧❡✱ ℓ✶(❤) ✇❡❛❦❧② ❛♠❡♥❛❜❧❡ ⇔ α < ✵, ν = ✵✱ ℓ✶(❤) ♣♦✐♥t✲❛♠❡♥❛❜❧❡ ⇔ α < ✶

✷✳

▼❛✐♥ ♣r♦❜❧❡♠✿ ❢❛✐❧✉r❡ ♦❢ ✇❡❛❦ ❛♠❡♥❛❜✐❧✐t② ✐❢ α < ✵✱ ν > ✵✳

❙✳ ❑❛❤❧❡r ✭❚❯ ▼ü♥❝❤❡♥✮ ❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② Pr♦♣❡rt✐❡s

• r❛♥❛❞❛✱ ✷✵▼❛②✷✵✶✸

✶✻ ✴ ✶✾

❖✉t❧✐♥❡

✶

❍❛r♠♦♥✐❝ ❛♥❛❧②s✐s ♦♥ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❤②♣❡r❣r♦✉♣s✿ ❜❛s✐❝s

✷

• ❡♥❡r❛❧ r❡s✉❧ts

✸

❖♥❡✲♣❛r❛♠❡t❡r ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s ♦❢ ✉❧tr❛s♣❤❡r✐❝❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s

✹

❈♦♠♣❛r✐s♦♥ t♦ t❤❡ ❣r♦✉♣ ❝❛s❡

❙✳ ❑❛❤❧❡r ✭❚❯ ▼ü♥❝❤❡♥✮ ❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② Pr♦♣❡rt✐❡s

• r❛♥❛❞❛✱ ✷✵▼❛②✷✵✶✸

✶✼ ✴ ✶✾

❈♦♠♣❛r✐s♦♥ t♦ t❤❡ ❣r♦✉♣ ❝❛s❡

❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② ♥♦t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ▲✶✲❛❧❣❡❜r❛s✿

❋✐❣✉r❡ ✿ ▲♦❝❛❧❧② ❝♦♠♣❛❝t ❣r♦✉♣s ✭❧❡❢t✮ ✈s✳ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❤②♣❡r❣r♦✉♣s ✭r✐❣❤t✮❀ ✏❜❧✉❡✑ ♠❡❛♥s ✏❛❧✇❛②s s❛t✐s✜❡❞✑

❙✳ ❑❛❤❧❡r ✭❚❯ ▼ü♥❝❤❡♥✮ ❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② Pr♦♣❡rt✐❡s

• r❛♥❛❞❛✱ ✷✵▼❛②✷✵✶✸

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❙❡❧❡❝t❡❞ r❡❢❡r❡♥❝❡s

❙✳ ❑❛❤❧❡r✱ ❖rt❤♦❣♦♥❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ❛♥❞ ♣♦✐♥t✲ ❛♥❞ ✇❡❛❦ ❛♠❡♥❛❜✐❧✐t② ♦❢ ℓ✶✲❛❧❣❡❜r❛s ♦❢ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❤②♣❡r❣r♦✉♣s✱ s✉❜♠✐tt❡❞ t♦ ❈♦♥str✳ ❆♣♣r♦①✳ ✭✷✵✶✸✮✳ ❙✳ ❑❛❤❧❡r✱ ❈❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥s ♦❢ ✉❧tr❛s♣❤❡r✐❝❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ❛♥❞ t❤❡✐r q✲❛♥❛❧♦❣✉❡s✱ ✐♥ ♣r❡♣❛r❛t✐♦♥✳ ❘✳ ▲❛ss❡r✱ ❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ✇❡❛❦ ❛♠❡♥❛❜✐❧✐t② ♦❢ ℓ✶✲❛❧❣❡❜r❛s ♦❢ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❤②♣❡r❣r♦✉♣s✱ ❙t✉❞✐❛ ▼❛t❤✳ ✶✽✷ ✭✷✵✵✼✮✱ ♥♦✳ ✷✱ ✶✽✸✕✶✾✻✳ ❘✳ ▲❛ss❡r✱ P♦✐♥t ❞❡r✐✈❛t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ▲✶✲❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❤②♣❡r❣r♦✉♣s✱ ❈♦❧❧♦q✳ ▼❛t❤✳ ✶✶✻ ✭✷✵✵✾✮✱ ♥♦✳ ✶✱ ✶✺✕✸✵✳ ❆✳ ▼áté✱ P✳ ◆❡✈❛✐✱ ❛♥❞ ❱✳ ❚♦t✐❦✱ ❙tr♦♥❣ ❛♥❞ ✇❡❛❦ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✱ ❆♠❡r✳ ❏✳ ▼❛t❤✳ ✶✵✾ ✭✶✾✽✼✮✱ ♥♦✳ ✷✱ ✷✸✾✕✷✽✶✳

❙✳ ❑❛❤❧❡r ✭❚❯ ▼ü♥❝❤❡♥✮ ❆♠❡♥❛❜✐❧✐t② Pr♦♣❡rt✐❡s

• r❛♥❛❞❛✱ ✷✵▼❛②✷✵✶✸

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