ssts rs r r - - PowerPoint PPT Presentation

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp) ❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp)

■♥ ♠❡♠♦r✐❛♠ ❨✉✳▼✳❇❡r❡③❛♥s❦② ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡✿ ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❆♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ✐ts ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❑②✐✈✱ ❯❦r❛✐♥❡✱ ✼✕✶✶✱ ❙❡♣t❡♠❜❡r✱ ✷✵✷✵✳ ❚❤❡ t♦♣✐❝s ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❢❡r❡♥❝❡✿ ❖♣❡r❛t♦r t❤❡♦r② ❛♥❞ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ▼♦♠❡♥t ❛♥❞ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s ■♥✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❛♥❛❧②s✐s ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❛♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ♦♣❡r❛t♦r ❛❧❣❡❜r❛s ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❛♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠s ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧s ♦❢ ❝♦♠♣❧❡① s②st❡♠s ❛♥❞ ❢r❛❝t❛❧ ❝❛❧❝✉❧✉s

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp)

❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❱✐❡♥♥❛✱ ❉❡❝❡♠❜❡r ✷✷✱ ✷✵✶✾

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp)

❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣✱ ❏✳ ❋✉♥❝t✳ ❆♥❛❧✳✱ ✷✼✼ ✭✷✵✶✾✮✱ ♥♦✳ ✶✱ ✸✶✲✶✶✵✳

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp) ❈❧❛ss UE(J) ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❦❡r♥❡❧ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❛ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ H(x) d dx u(x, λ) = iλu(x, λ)H(x)J, ❛✳❡✳ [0, d] d > 0, ✭✶✮ ✇❤❡r❡ J ✐s ❛ m × m✲s✐❣♥❛t✉r❡ ♠❛tr✐①✱ ✐✳❡✳ J = J∗ = J−1✱ ❛♥❞ H ∈ L1([0, d]), H(x) ≥ 0, tr❛❝❡ H(x) = 1 ❛✳❡✳ [0, d] ✭✷✮ ❚❤❡ ♠❛tr✐① s♦❧✉t✐♦♥ U(x, λ) ♦❢ ✭✷✮ s✉❝❤ t❤❛t U(0, λ) = I ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ♠❛tr✐③❛♥t ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ✭✷✮✳ ❚❤❡ ♠❛tr✐① ✈❛❧✉❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭♠✈❢✮ U(x, λ) ✐s ❡♥t✐r❡ ✐♥ λ ❛♥❞ s❛t✐s✜❡s d dx (U(x, λ)JU(x, ω)∗) = i(λ − ω)U(x, λ)H(x)U(x, ω)∗. ✭✸✮

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp) ❈❧❛ss UE(J) ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❦❡r♥❡❧ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s

A(λ) := U(d, λ) ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ♠♦♥♦❞r♦♠② ♠❛tr✐① ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ✭✷✮✳ ■t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ✭✸✮ t❤❛t t❤❡ ❦❡r♥❡❧ KA

ω(λ) = J − A(λ)JA(ω)∗

ρω(λ) , (ρω(λ) := −2πi(λ − ω)) ✐s ♥♦♥♥❡❣❛t✐✈❡ ♦♥ C+ × C+✱ ✐✳❡✳ ❢♦r ❡✈❡r② ωj ∈ C✱ uj ∈ Cm

n

• i,j=1

u∗

j KA ωj(ωi)ui ≥ 0.

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✱ ▼✳❙✳ ▲✐✈✞ s✐❝✬✺✹ ▼✈❢ A(λ) ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ✐♥ t❤❡ ❝❧❛ss U(J)✱ ✐❢✿ ✭✐✮ KA

ω(λ) ✐s ♥♦♥♥❡❣❛t✐✈❡ ✐♥ C+ × C+❀

✭✐✐✮ J − A(µ)JA(µ)∗ = 0 ♦♥ t❤❡ r❡❛❧ ❧✐♥❡ R✳

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp) ❈❧❛ss UE(J) ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❦❡r♥❡❧ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s

▲❡t u(x, λ) ❜❡ t❤❡ p × 2p ♠❛tr✐① s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ d dx u(x, λ) = iλu(x, λ)H(x)J, ❛✳❡✳ [0, d] d > 0, ✭✹✮ s✉❝❤ t❤❛t u(0, λ) =

• Ip

Ip

• .

❉❡♥♦t❡ E(λ) =

• E−(λ)

E+(λ)

• := u(d, λ).

✭✺✮ ❚❤❡♥ E(λ) ❝♦✐♥❝✐❞❡s ✇✐t❤ t❤❡ ♠✈❢ EA(λ) := √ 2

• Ip
• A(λ)V,

V = 1 √ 2 −Ip Ip Ip Ip

• .

✭✻✮

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp) ❈❧❛ss UE(J) ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❦❡r♥❡❧ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✱ ▲✳ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✬✻✸ ❆♥ ❡♥t✐r❡ p × 2p ♠✈❢ E(λ) =

• E−(λ)

E+(λ)

• ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❡♥t✐r❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐①✱ ✐❢✿

✭✶✮❞❡t E+(λ) ≡ 0 ❢♦r s♦♠❡ λ ∈ C+✳ ✭✷✮t❤❡ ❦❡r♥❡❧ KE

ω(λ) = E+(λ)E+(ω)∗−E−(λ)E−(ω)∗ ρω(λ)

✐s ♥♦♥♥❡❣❛t✐✈❡ ♦♥ C+ × C+ ✭✸✮E+(µ)E∗

+(µ) − E−(µ)E∗ −(µ) = 0

❢♦r µ ∈ R ❚❤❡ ♠✈❢ E(λ) := u(d, λ) ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✺✮ ✐s ❛♥ ❡♥t✐r❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐① ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ ♦❢ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp) ❈❧❛ss UE(J) ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❦❡r♥❡❧ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s

■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❈❤❛r❛❝t❡r✐③❡ ❡♥t✐r❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s✱ ✇❤✐❝❤ ❛❞♠✐t t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ E(λ) := √ 2

• Ip
• A(λ)V.

❢♦r s♦♠❡ ♠✈❢ A ∈ UE(Jp)✳

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp) ❈❧❛ss UE(J) ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❦❡r♥❡❧ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✸ ❆ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ (H, (·, ·)H) ♦❢ p × 1 ✈✈❢✬s ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ Ω ⊂ C ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ r❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❦❡r♥❡❧ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ✭❘❑❍❙✮ ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ❍❡r♠✐t✐❛♥ ❦❡r♥❡❧ ✭❘❑✮ Kω(λ) : Ω × Ω → Cp×p, s✉❝❤ t❤❛t✿ ✭✶✮ Kω(λ)ξ ∈ H ❢♦r ❡✈❡r② ω ∈ Ω ❛♥❞ ξ ∈ Cp ❀ ✭✷✮ (f, Kωξ)H = ξ∗f(ω) ∀f ∈ H✱ ω ∈ Ω✱ ξ ∈ Cp ◆✳ ❆r♦♥s③❛❥♥✬ ✺✵✳ ❋♦r ❡✈❡r② ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ❦❡r♥❡❧ Kω(λ) t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❘❑❍❙✱ s✉❝❤ t❤❛t ✭✶✮ ❛♥❞ ✭✷✮ ❤♦❧❞ ❊①❛♠♣❧❡ ✶ ❍❛r❞② s♣❛❝❡ Hp

2

✐s t❤❡ ❘❑❍❙ ♦❢ p × 1 ✈✈❢✬s ✇✐t❤ t❤❡ ❘❑ Kω(λ) =

1 ρω(λ)Ip✱

ρω(λ) := −2πi(λ − ω)✱ Ω = C+✳

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp) ❈❧❛ss UE(J) ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❦❡r♥❡❧ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s

▲❡t Rα : f − → f(λ)−f(α)

λ−α

, ✐❢ λ = α ❜❡ t❤❡ ❜❛❝❦✇❛r❞ s❤✐❢t ♦♣❡r❛t♦r (α ∈ C)✿ ❊①❛♠♣❧❡ ✷ ❙♣❛❝❡ H(A) ❜❛s❡❞ ♦♥ A ∈ UE(Jp) ✐s t❤❡ ❘❑❍❙ ♦❢ 2p × 1 ❡♥t✐r❡ ✈✈❢✬s ✇✐t❤ t❤❡ ❘❑ KA

ω(λ) = J − A(λ)JA(ω)∗

ρω(λ) , Ω = C+. H(A) ✐s Rα✲✐♥✈❛r✐❛♥t✳ ❊①❛♠♣❧❡ ✸✳ ❉❡ ❇r❛♥❣❡s s♣❛❝❡ B(E) ❜❛s❡❞ ♦♥ ❞❇ ♠❛tr✐① E ✐s t❤❡ ❘❑❍❙ ♦❢ p × 1 ❡♥t✐r❡ ✈✈❢✬s ✇✐t❤ t❤❡ ❘❑ KE

ω(λ) = E+(λ)E+(ω)∗ − E−(λ)E−(ω)∗

ρω(λ) , Ω = C+. B(E) ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② Rα✲✐♥✈❛r✐❛♥t✳

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp) ❈❧❛ss UE(J) ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❦❡r♥❡❧ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s

❚❤❡♦r❡♠ ✶✱ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✬✻✸✱ ❉✳ ❆r♦✈✱ ❍✳❉②♠✬ ✷✵✵✽ ❆♥ ❡♥t✐r❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐① E ❛❞♠✐ts t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ E(λ) := √ 2

• Ip
• A(λ)V.

✭✼✮ ❢♦r s♦♠❡ ♠✈❢ A ∈ UE(Jp) ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ 1 ρω E−1

+

∈ Hp×p

2

, 1 ρω E−1

−

∈ (Hp×p

2

)⊥ ❢♦r s♦♠❡ ω ∈ C+. ✭✽✮ ❚❤❡♦r❡♠ ✷ ■❢ E ✐s ❛♥ ❡♥t✐r❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐① ❛♥❞ det Kω(ω) > 0 ❢♦r s♦♠❡ ω ∈ C+✱ t❤❡♥ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✭✽✮ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ B(E) ✐s Rα − ✐♥✈❛r✐❛♥t ❢♦r s♦♠❡ α ∈ C. ✭✾✮

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp) ❈❧❛ss UE(J) ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❦❡r♥❡❧ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s

❚❤❡♦r❡♠✱ ❉✳ ❆r♦✈✱ ❍✳❉②♠✬ ✷✵✵✽ ■❢ E ❛♥❞ A ∈ UE(Jp) ❛r❡ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❜② E(λ) := √ 2

• Ip
• A(λ)V

t❤❡♥ A(λ) ❛❞♠✐ts t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ A(λ) = 1 √ 2 −c#(λ)E−(λ) c(λ)E+(λ) E−(λ) E+(λ)

• V,

✇❤❡r❡ c(λ) = cs(λ) + ca(λ)✱ cs(λ) = −iβλ (β ≥ 0) ❛♥❞ ca(λ) = iγ + 1 πi ∞

−∞

• 1

µ − λ − µ 1 + µ2

• (E+(µ)E+(µ)∗)−1dµ,

γ = γ∗ ∈ Cp×p✳

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp) ❈❧❛ss UE

κ (J)

■♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❦❡r♥❡❧ P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✹ ❆♥ ❡♥t✐r❡ ♠✈❢ A(λ) ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ✐♥ t❤❡ ❝❧❛ss UE

κ (J) (κ ∈ N)✱ ✐❢✿

✭✐✮ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ KA

ω(λ) = J − A(λ)JA(ω)∗

ρω(λ) ❤❛s κ ♥❡❣❛t✐✈❡ sq✉❛r❡s ✐♥ C+ × C+ ✭✐✐✮ J − A(µ)JA(µ)∗ = 0 ♦♥ t❤❡ r❡❛❧ ❧✐♥❡ R✳ ❆ ❦❡r♥❡❧ Kω(λ) ✐s s❛✐❞ t♦ ❤❛✈❡ κ ♥❡❣❛t✐✈❡ sq✉❛r❡s ✐♥ C+ × C+✱ ✐❢ ❢♦r ❛♥② ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ωj ∈ C+ ❛♥❞ uj ∈ Cp t❤❡ ❢♦r♠ n

j=1 u∗ kKωk(ωj)uj ξjξk ❤❛s ❛t ♠♦st κ ✭❛♥❞ ❢♦r s♦♠❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢

ωj ∈ C+ ❛♥❞ uj ∈ Cp ❡①❛❝t❧② κ✮ ♥❡❣❛t✐✈❡ sq✉❛r❡s✳ ❆✳ ❑✉③❤❡❧✬✻✼✱ ❉✬✼✽✱ ❉✳ ❆❧♣❛②✱ ❍✳ ❉②♠ ✽✻✳

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp) ❈❧❛ss UE

κ (J)

■♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❦❡r♥❡❧ P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠

❱✳ ❆❞❛♠②❛♥✱ ❉✳ ❆r♦✈✱ ▼✳ ❑r❡✟ ✙♥ ✼✶✱

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp) ❈❧❛ss UE

κ (J)

■♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❦❡r♥❡❧ P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✺ ❆♥ ❡♥t✐r❡ p × 2p ♠✈❢ E(λ) =

• E−(λ)

E+(λ)

• ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ ❞❡

❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐① ✇✐t❤ ♥❡❣❛t✐✈❡ ✐♥❞❡① κ✱ ✐❢✿ ✭✶✮ ❞❡t E+(λ) ≡ 0✳ ✭✷✮ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ KE

ω(λ) = E+(λ)E+(ω)∗−E−(λ)E−(ω)∗ ρω(λ)

❤❛s κ ♥❡❣❛t✐✈❡ sq✉❛r❡s ♦♥ C+ × C+ ❛♥❞ ✭✸✮ E+(µ)E∗

+(µ) − E−(µ)E∗ −(µ) = 0 ❢♦r µ ∈ R✳

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶ ■❢ det KE

ω(ω) = 0 ❢♦r s♦♠❡ ω ∈ C t❤❡♥

N E := {u ∈ C2p : E(λ)u ≡ 0} = {0}

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp) ❈❧❛ss UE

κ (J)

■♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❦❡r♥❡❧ P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠

❆ ♣❛✐r (K, [·, ·]K) ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡✱ ✐❢ ❢♦r ❡✈❡r② ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ fj ∈ K t❤❡ ❢♦r♠ n

i,j=1[fi, fj]ξiξj ❤❛s ❛t ♠♦st κ ❛♥❞ ❢♦r s♦♠❡

❝❤♦✐❝❡ ♦❢ fj ∈ K ❡①❛❝t❧② κ ♥❡❣❛t✐✈❡ sq✉❛r❡s✳ K = K+[+]K− ✕ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ K ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✻ ❆ P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡ (K, [·, ·]K) ♦❢ p × 1 ✈✈❢✬s ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ Ω ⊂ C ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ r❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❦❡r♥❡❧ P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡ ✭❘❑P❙✮ ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❍❡r♠✐t✐❛♥ ❦❡r♥❡❧ Kω(λ) : Ω × Ω → Cp×p, s✉❝❤ t❤❛t✿ ✭✶✮ Kω(λ)ξ ∈ K ❢♦r ❡✈❡r② ω ∈ Ω ❛♥❞ ξ ∈ Cp ❀ ✭✷✮ [f, Kωξ]K = ξ∗f(ω) ∀f ∈ K✱ ω ∈ Ω✱ ξ ∈ Cp ❋♦r ❡✈❡r② ❦❡r♥❡❧ Kω(λ) ✇✐t❤ κ ♥❡❣❛t✐✈❡ sq✉❛r❡s t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❘❑P❙✱ s✉❝❤ t❤❛t ✭✶✮ ❛♥❞ ✭✷✮ ❤♦❧❞ ✭▲✳ ❙❝❤✇❛rt③✬ ✻✹✮✳

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp) ❈❧❛ss UE

κ (J)

■♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❦❡r♥❡❧ P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠

❊①❛♠♣❧❡ ✹ ❙♣❛❝❡ H(A) ❜❛s❡❞ ♦♥ A ∈ UE

κ (Jp)

✐s t❤❡ ❘❑P❙ ♦❢ 2p × 1 ❡♥t✐r❡ ✈✈❢✬s ✇✐t❤ t❤❡ ❘❑ KA

ω(λ) = J − A(λ)JA(ω)∗

ρω(λ) , Ω = C. H(A) ✐s Rα✲✐♥✈❛r✐❛♥t✳ ❊①❛♠♣❧❡ ✺✳ ✭▼✳ ❑❛❧t❡♥❜❛❝❦✱ ❍✳ ❲♦r❛❝❤❡❦ ✬✾✾✮ ❉❡ ❇r❛♥❣❡s s♣❛❝❡ B(E) ❜❛s❡❞ ♦♥ ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❇ ♠❛tr✐① E ✐s t❤❡ ❘❑P❙ ♦❢ p × 1 ❡♥t✐r❡ ✈✈❢✬s ✇✐t❤ t❤❡ ❘❑ KE

ω(λ) = E+(λ)E+(ω)∗ − E−(λ)E−(ω)∗

ρω(λ) , Ω = C. B(E) ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② Rα✲✐♥✈❛r✐❛♥t✳

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp) ❈❧❛ss UE

κ (J)

■♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❦❡r♥❡❧ P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠

❚❤❡♦r❡♠ ✷✳ ❱✳❉✱ ❍✳❉②♠✬ ✷✵✶✽ ■❢ E ✐s ❛♥ ❡♥t✐r❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐① ✇✐t❤ ♥❡❣❛t✐✈❡ ✐♥❞❡① κ ❛♥❞ N E := {u ∈ C2p : E(λ)u ≡ 0} = {0} t❤❡♥ E ❛❞♠✐ts t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ E(λ) := √ 2

• Ip
• A(λ)V.

✭✶✵✮ ❢♦r s♦♠❡ ♠✈❢ A ∈ UE

κ (Jp) ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢

B(E) ✐s Rα − ✐♥✈❛r✐❛♥t ❢♦r s♦♠❡ α ∈ C. ✭✶✶✮

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp) ❈❧❛ss UE

κ (J)

■♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❦❡r♥❡❧ P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠

❚❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✷ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ✐s♦♠❡tr✐❝ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ♦❢ B(E) ⊂ M = Xf f

• : f ∈ B(E)
• ✳ ❚❤❡

✐❞❡❛ ✐s ❣♦✐♥❣ ❜❛❝❦ t♦ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✬✻✸✱ ❆❧♣❛②✱ ❉②♠✬ ✽✹✳ ■❢ Cp ⊆ B(E)✱ t❤❡♥ ξ∗(Xf)(λ) := − 1 πi [Rλf, ξ]B(E), ξ ∈ Cp. ❚❤❡♥ M = K(A)✱ ✇❤❡r❡ A(λ) ✐s ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❜②✿ A(λ) = a11(λ) a12(λ) a21(λ) a22(λ)

• =

1 √ 2 E•

−(λ)

E•

+(λ)

E−(λ) E+(λ)

• V,

✭✶✷✮ ❛♥❞ ξ∗E•

±(λ)η = − 1 πi [RλE±η, ξ]B(E).

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp) ❈❧❛ss UE

κ (J)

■♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❦❡r♥❡❧ P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠

■❢ Cp ⊂ B(E) t❤❡♥ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r Rα ❛s ❛♥ ♦♣❡r❛t♦r ❛❝t✐♥❣ ✐♥ ❛ r✐❣❣❡❞ s♣❛❝❡ (B+(E), B(E), B−(E)) ❛♥❞ ✉s❡ ❛ r❡❣✉❧❛r✐③✐♥❣ ♦♣❡r❛t♦r R ❬❚s❡❦❛♥♦✈s❦✐✐✱ ❙❤♠✉❧✬②❛♥✬✼✼❪✳ ❙❤♠✉❧❥❛♥ ❨✉✳ ▲✳ ❚s❡❦❛♥♦✈s❦✐✐ ❊✳❘✳

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp) ❈❧❛ss UE

κ (J)

■♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❦❡r♥❡❧ P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳ ❱✳❉✱ ❍✳❉②♠✬ ✷✵✶✾ ▲❡t E ∈ Ip×2p

κ

✱ T ✐s t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r ♦❢ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❜② t❤❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐♥ B(E) ❛♥❞ N E = {0}✳ ❚❤❡♥✿ ✭✶✮ T ✐s ❝❧♦s❡❞✱ s②♠♠❡tr✐❝ ✇✐t❤ ❞❡✜❝✐❡♥❝② ✐♥❞✐❝❡s (p, p)✳ ✭✷✮ ❚❤❡ ❛❞❥♦✐♥t T [∗] t♦ T ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② T [∗] = f f ◦

• :

f, f ◦ ∈ B(E) f ◦(λ) − λf(λ) = E(λ)ξ ❢♦r s♦♠❡ ξ ∈ C2p

• .

▲❡t B+ = T [∗] ❜❡ ❡♥❞♦✇❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♥♦r♠ ❝♦❧(h, h◦)B+ =

• h2

B(E) + h◦2 B(E)

1/2 . ❚❤❡♥ B+ ✐s ❛ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡✳

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp) ❈❧❛ss UE

κ (J)

■♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❦❡r♥❡❧ P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠

▲❡t T ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r ✇✐t❤ ❞♦♠❛✐♥ B(E) s✉❝❤ t❤❛t (Tf)(λ) = λf(λ). ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✺ ■❢ f, g ∈ B(E)✱ ❝♦❧(h, h◦) ∈ B+✱ t❤❡♥ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ f + Tg, ❝♦❧ (h, h◦) = [f, h]B(E) + [g, h◦]B(E) ✭✶✸✮ ❞❡✜♥❡s ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ♦♥ B+ ▲❡♠♠❛ ❊✈❡r② ❜♦✉♥❞❡❞ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ♦♥ B+ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✭✶✸✮✿ B−(E) = B(E) + TB(E) Cp ⊂ B−(E)✱ s✐♥❝❡ f(ω) = f(λ) − (λ − ω)(Rωf)(λ)

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp) ❈❧❛ss UE

κ (J)

■♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❦❡r♥❡❧ P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠

▲❡♠♠❛ ✺

• Rωf :=

Rωf TRωf

• ∈ L(B−(E), B(E))

❆♥ ♦♣❡r❛t♦r R ∈ L(B−(E), B(E)) t❤❛t ♠❡❡ts t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ✭❘✶✮ RTf = f ❢♦r ❡✈❡r② f ∈ B(E)✳ ✭❘✷✮ Rf := Rf f

• ❜❡❧♦♥❣s t♦ B+ ❢♦r ❡✈❡r② f ∈ B(E)✳

✭❘✸✮ ❚❤❡ ♦♣❡r❛t♦r R|B(E) ✐s s❡❧❢❛❞❥♦✐♥t ✐♥ B(E)✱ ✐✳❡✳ [Rf, g]B(E) = [f, Rg]B(E) ❢♦r ❛❧❧ f, g ∈ B(E) ✭✶✹✮ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ r❡❣✉❧❛r✐③❡r ❢♦r t❤❡ ❜❛❝❦✇❛r❞ s❤✐❢t Rω✳

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp) ❈❧❛ss UE

κ (J)

■♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❦❡r♥❡❧ P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠

❚❤❡♦r❡♠ ✺✳ ❱✳❉✱ ❍✳❉②♠✬ ✷✵✶✾ ▲❡t E ∈ Ip×2p

κ

✱ N E = {0}✱ ❧❡t M := {f = ❝♦❧(Xf, f) : f ∈ B(E)} ξ∗(Xf)(λ) := −(πi)−1ξ, Rλf + R(f(λ))∗ ❢♦r λ ∈ C ❛♥❞ ξ ∈ Cp, ❚❤❡♥✿ ✭✶✮ M ✐s ❛ ❘❑P❙ ✇✐t❤ sq(M) = κ ♦❢ ❡♥t✐r❡ ✈✈❢✬s ✇✳r✳t✳ [f, g]M := 2 [f, g]B(E) , f, g ∈ B(E). ✭✷✮ ❚❤❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ✐❞❡♥t✐t② ❤♦❧❞s ∀f, g ∈ M ❛♥❞ ∀α, β ∈ C✳ [Rαf, g]M − [f, Rβg]M − (α − β) [Rαf, Rβg]M = 2πig(β)∗Jpf(α) ✭✸✮ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ♠✈❢ A ∈ E ∩ Uκ(Jp) s✉❝❤ t❤❛t KM

ω (λ) = Jp − A(λ)JpA(ω)∗

ρω(λ) ❢♦r λ = ω.

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp)

• ❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❈❛r❛t❤❡♦❞♦r② ❝❧❛ss

P❡r❢❡❝t ❛♥❞ s✐♥❣✉❧❛r ♠✈❢✬s ❋❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ ❢♦r♠✉❧❛s ❢♦r A ∈ Uκ(Jp)

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✼✳ ▼✳ ❑r❡✐♥✱ ❍✳ ▲❛♥❣❡r ✶✾✽✶ ❆ p × p ♠✈❢ c(λ) ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡❧♦♥❣ t♦ t❤❡ ❝❧❛ss Cp×p

κ

✐❢ ✐t ✐s ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ♦♥ C+ ❛♥❞ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ kc

ω(λ) = c(λ) + c(ω)∗

ρω(λ) ❤❛s κ ♥❡❣❛t✐✈❡ sq✉❛r❡s ♦♥ h+

c ✳

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp)

• ❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❈❛r❛t❤❡♦❞♦r② ❝❧❛ss

P❡r❢❡❝t ❛♥❞ s✐♥❣✉❧❛r ♠✈❢✬s ❋❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ ❢♦r♠✉❧❛s ❢♦r A ∈ Uκ(Jp)

❚❤❡♦r❡♠ ✸ ■❢ A ∈ UE

κ (Jp) ❛♥❞ E(λ) =

√ 2

• Ip
• A(λ)V, t❤❡♥ t❤❡ ♠❛♣♣✐♥❣

U2 : f ∈ K(A) − → √ 2

• Ip
• f

✭✶✺✮ ❞❡✜♥❡s ❛ ♣❛rt✐❛❧ ✐s♦♠❡tr② ❢r♦♠ K(A) ♦♥t♦ B(E)✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✽ ❆ ♠✈❢ A ∈ UE

κ (Jp) ✐s ❝❛❧❧❡❞ ♣❡r❢❡❝t✱ ✐❢ t❤❡ ♠❛♣♣✐♥❣ U2 ✐s ❛

✉♥✐t❛r② ♦♣❡r❛t♦r ❢r♦♠ K(A) ♦♥t♦ B(E)✱ ❛♥❞ A ∈ E ∩ Uκ(Jp) ✐s ❝❛❧❧❡❞ s✐♥❣✉❧❛r✱ ✐❢ U2K(A) = {0}✳ ❊✈❡r② s✐♥❣✉❧❛r ♠✈❢ A ∈ UE

κ (Jp)✱ A(0) = I2p t❛❦❡s t❤❡ ❢♦r♠

A(λ) = Ip cs(λ) Ip

• , ✇❤❡r❡ cs(λ) ✐s ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✐♥ t❤❡ ❝❧❛ss

Cp×p

κ

s✉❝❤ t❤❛t cs(λ) + c#

s (λ) = 0 ❢♦r ❡✈❡r② ♣♦✐♥t λ ∈ C.

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp)

• ❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❈❛r❛t❤❡♦❞♦r② ❝❧❛ss

P❡r❢❡❝t ❛♥❞ s✐♥❣✉❧❛r ♠✈❢✬s ❋❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ ❢♦r♠✉❧❛s ❢♦r A ∈ Uκ(Jp)

❚❤❡♦r❡♠ ✹ ■❢ A ∈ UE

κ (Jp) ❛♥❞ t❤❡ ♠✈❢ E(λ) =

√ 2

• Ip
• A(λ)V ❤❛s

♥❡❣❛t✐✈❡ ✐♥❞❡① κ1(≤ κ)✱ t❤❡♥✿ A(λ) ❛❞♠✐ts ❛ ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ A(λ) = As(λ)Aa(λ), ✇❤❡r❡ As(λ) = Ip cs(λ) Ip

• ,

✇✐t❤ ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ cs = −c#

s ∈ Cp×p κ−κ1 ❛♥❞ Aa ✐s ❛ ♣❡r❢❡❝t ♠✈❢

t❤❛t ❜❡❧♦♥❣s t♦ t❤❡ ❝❧❛ss UE

κ1(Jp) ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠

Aa(λ) = 1 √ 2

• −c#

a (λ)E−(λ)

ca(λ)E+(λ) E−(λ) E+(λ)

• V,

✇❤❡r❡ ca ∈ Cp×p

κ1

✳

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp)

• ❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❈❛r❛t❤❡♦❞♦r② ❝❧❛ss

P❡r❢❡❝t ❛♥❞ s✐♥❣✉❧❛r ♠✈❢✬s ❋❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ ❢♦r♠✉❧❛s ❢♦r A ∈ Uκ(Jp)

❚❤❡♦r❡♠ ✺ ■❢ A ∈ UE

κ (Jp) ✐s ♣❡r❢❡❝t✱ A(0) = I2p ❛♥❞

E(λ) = √ 2

• Ip
• A(λ)V✱ t❤❡♥

ξ∗(R0a11η)(λ) = 1 πi [Rλa21η, R0a22ξ]B(E) ✭✶✻✮ ❛♥❞ ξ∗(R0a12η)(λ) = 1 πi [Rλa22η, R0a22ξ]B(E) ✭✶✼✮ ❢♦r ❡✈❡r② ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ξ, η ∈ Cp ❛♥❞ λ ∈ C✳

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp)

• ❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❈❛r❛t❤❡♦❞♦r② ❝❧❛ss

P❡r❢❡❝t ❛♥❞ s✐♥❣✉❧❛r ♠✈❢✬s ❋❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ ❢♦r♠✉❧❛s ❢♦r A ∈ Uκ(Jp)

❆❞❛♠❥❛♥✱ ❱✳ ▼✳❀ ❆r♦✈✱ ❉✳ ❩✳❀ ❑r❡✐♥✱ ▼✳ ●✳ ❆♥❛❧②t✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ❙❝❤♠✐❞t ♣❛✐rs ♦❢ ❛ ❍❛♥❦❡❧ ♦♣❡r❛t♦r ❛♥❞ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❙❝❤✉r✲❚❛❦❛❣✐ ♣r♦❜❧❡♠✳ ▼❛t❡♠✳ ❙❜✳ ✽✻ ✭✶✾✼✶✮✱ ✸✹✕✼✺✳ ❉✳ ❆❧♣❛②✱ ❍✳ ❉②♠✱ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡s ♦❢ ❛♥❛❧②t✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ✐♥✈❡rs❡ s❝❛tt❡r✐♥❣ ❛♥❞ ♦♣❡r❛t♦r ♠♦❞❡❧s✳ ■✳ ■♥t❡❣r❛❧ ❊q✉❛t✐♦♥s ❖♣❡r❛t♦r ❚❤❡♦r② ✼ ✭✶✾✽✹✮✱ ♥♦✳ ✺✱ ✺✽✾✲✻✹✶✳ ◆✳ ❆r♦♥s③❛❥♥✱ ❚❤❡♦r② ♦❢ r❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❦❡r♥❡❧s✱ ❚r❛♥s✳ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳✱ ✻✽ ✭✶✾✺✵✮✱ ✸✸✼✲✹✵✹✳ ❉✳❩✳ ❆r♦✈✱ ❍✳ ❉②♠✱ J✲❈♦♥tr❛❝t✐✈❡ ▼❛tr✐① ❱❛❧✉❡❞ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❘❡❧❛t❡❞ ❚♦♣✐❝s✱ ❈❛♠❜r✐❞❣❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✱ ❈❛♠❜r✐❞❣❡✱ ✷✵✵✽✳ ▲✳ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✱ ❙♦♠❡ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡s ♦❢ ❛♥❛❧②t✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ■✱ ❚r❛♥s✳ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳✱ ✶✵✻ ✭✶✾✻✸✮✱ ✹✹✺✲✻✻✽✳

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp)

• ❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❈❛r❛t❤❡♦❞♦r② ❝❧❛ss

P❡r❢❡❝t ❛♥❞ s✐♥❣✉❧❛r ♠✈❢✬s ❋❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ ❢♦r♠✉❧❛s ❢♦r A ∈ Uκ(Jp)

▼✳ ❑❛❧t❡♥❜☎ ❛❝❦✱ ❍✳ ❲♦r❛❝❡❦✱ P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ♦❢ ❡♥t✐r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ■✱ ■♥t❡❣✳ ❊q✳ ❖♣❡r✳ ❚❤✳✱ ✸✸ ✭✶✾✾✾✮✱ ♥♦✳ ✶✱ ✸✹✲✾✼✳ ▼✳●✳ ❑r❡✟ ✙♥ ❛♥❞ ❍✳ ▲❛♥❣❡r✱ ❆❝t❛ ❙❝✐✳▼❛t❤✳ ❙③❡❣❡❞✱ ✹✸ ✭✶✾✽✶✮✱ ✶✽✶✕✷✵✺✳ ▼✳❙✳ ▲✐✈s❤✐ts✱ ▼❛t❡♠✳ ❙❜♦r♥✐❦✱ ✸✹ ✭✶✾✺✹✮✱ ✶✹✺✕✶✾✾✳ ❱✳P✳ P♦t❛♣♦✈✱ ▼✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐✈❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ J✲♥♦♥❡①♣❛♥❞✐♥❣ ♠❛tr✐① ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❚r✉❞② ▼♦s❦✳▼❛t❡♠✳ ❖❜s❝❤✳✱ ✹✱ ✭✶✾✺✺✮ ✶✷✺✕✷✸✻✳ ❨✉✳▲✳ ❙❤♠✉❧✬❥❛♥✱ ❊✳❘✳ ❚s❡❦❛♥♦✈s❦✐✟ ✙✱ ❯s♣❡❦❤✐ ▼❛t✳ ◆❛✉❦ ✸✷ ✭✶✾✼✼✮✱ ♥♦✳ ✺✭✶✾✼✮✱ ✻✾✲✶✷✹✳

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ s②st❡♠s ■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✐♥❞❡✜♥✐t❡ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s ♠❛tr✐❝❡s ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ A ∈ Uκ(Jp)

• ❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❈❛r❛t❤❡♦❞♦r② ❝❧❛ss

P❡r❢❡❝t ❛♥❞ s✐♥❣✉❧❛r ♠✈❢✬s ❋❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ ❢♦r♠✉❧❛s ❢♦r A ∈ Uκ(Jp)

❚❤❛♥❦ ②♦✉✦

❱♦❧♦❞②♠②r ❉❡r❦❛❝❤ ❱❛s②❧ ❙t✉s ❉♦♥❡ts❦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❱✐♥♥✐ts②❛✱ ❯❦r❛✐♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❍❛rr② ❉②♠ ❲❡✐③♠❛♥♥ ■♥st✐t✉t❡✱ ❘❡❤♦✈♦t✱ ■sr❛❡❧ ❘✐❣❣❡❞ ❞❡ ❇r❛♥❣❡s✲P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣