s r rs q - - PowerPoint PPT Presentation

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❡①tr✐♥s✐❝ s②♥t❛①

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• ❧♦❜✉❧❛r s❡ts

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• ❧♦❜✉❧❛r s❡ts

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• ❧♦❜✉❧❛r s❡ts ❛s ♠♦❞❡❧s ♦❢ ❛ t②♣❡ t❤❡♦r②✳

❆ ♠♦❞❡❧ ♦❢ ❛ t②♣❡ t❤❡♦r② ❝♦♥s✐sts ✐♥ ✐♥t❡r♣r❡t✐♥❣

◮ ❝❧♦s❡❞ t②♣❡s ✭❛♥❞ ❝♦♥t❡①ts✮ ❛s s❡ts ◮ ❝❧♦s❡❞ t❡r♠s ❛s ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ t❤❡✐r t②♣❡ ◮ ♦♣❡♥ t②♣❡s ❛s ❢❛♠✐❧✐❡s ♦✈❡r t❤❡ ❝♦♥t❡①t ◮ ♦♣❡♥ t❡r♠s ❛s s❡❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡✐r ♦♣❡♥ t②♣❡s

Γ ⊢ AType : Γ → Set Γ ⊢ t : A : ∏(γ : Γ),Γ ⊢ ATypeγ

◮ ✰ s♦♠❡ ❝♦♠♣❛t✐❜✐❧✐t② r❡❧❛t✐♦♥s

Γ,x : A = ∑(γ : Γ),Γ ⊢ ATypeγ ... ■♥ s❤♦rt✱ ❛ ♠♦❞❡❧ ✐s ❛ ❈✇❋ ♠♦r♣❤✐s♠ ❢r♦♠ t❤❡ t②♣❡ t❤❡♦r② t♦ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❈✇❋ str✉❝t✉r❡ ♦♥ t❤❡ Set ❝❛t❡❣♦r②✳

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• ❧♦❜✉❧❛r s❡ts ❛s ♠♦❞❡❧s ♦❢ ❛ t②♣❡ t❤❡♦r②✳
• ❧♦❜✉❧❛r ❚②♣❡ ❚❤❡♦r② ✿ ❛ ❚②♣❡ ❚❤❡♦r② ✇✐t❤ ❛ ❝♦♥st❛♥t t②♣❡ ⋆

❛♥❞ ✐❞❡♥t✐t② t②♣❡s✱ ❜✉t ✇✐t❤♦✉t ❛♥② ❝♦♥str✉❝t♦r ❛♥❞ ❡❧✐♠✐♥❛t♦r✿ Γ ⊢ Γ ⊢ ⋆Type Γ ⊢ t : A Γ ⊢ u : A Γ ⊢ t =A u Type ❆ ♠♦❞❡❧ ♦❢ t❤✐s t②♣❡ t❤❡♦r② ❝♦♥s✐sts ♦❢

◮ ❛ s❡t ⋆ ◮ ❢♦r ❡❛❝❤ x,y ∈ ⋆✱ ❛ s❡t x =A y ◮ ❢♦r ❡❛❝❤ f ,g ∈ x =A y✱ ❛ s❡t f =A g ◮ ✳✳✳

▼♦❞❡❧s ♦❢ t❤✐s t②♣❡ t❤❡♦r② ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ ❣❧♦❜✉❧❛r s❡ts

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• ❧♦❜✉❧❛r s❡ts ❛s ♠♦❞❡❧s ♦❢ ❛ t②♣❡ t❤❡♦r②✳

❈♦♥t❡①ts ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ ✜♥✐t❡ ❣❧♦❜✉❧❛r s❡ts✿

◮ x : ⋆,y : ⋆,z : ⋆,f : x =⋆ y,g : x =⋆ z

x y z

f g ◮ x : ⋆,y : ⋆,z : ⋆,f : x =⋆ y,g : x =⋆ y,α : f =x=⋆y g,h : y =⋆ z

x y z

f g α h ◮ x : ⋆,y : ⋆,z : ⋆,f : x =⋆ y,g : y =⋆ x,h : x =⋆ x

x y

f h g

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❖✉t❧✐♥❡

❆ t②♣❡ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ✇❡❛❦ ♦♠❡❣❛✲❣r♦✉♣♦✐❞s

• ❧♦❜✉❧❛r s❡ts

❇r✉♥❡r✐❡ ❚②♣❡ ❚❤❡♦r② ❋♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ✐♥ ❈♦q ■♥tr✐♥s✐❝ ✈s ❊①tr✐♥s✐❝ ❚✇♦✲❧❡✈❡❧ t②♣❡ s②st❡♠ P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

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❇r✉♥❡r✐❡ ❚②♣❡ ❚❤❡♦r②✳

❇r✉♥❡r✐❡ ❚②♣❡ ❚❤❡♦r② ✿ ❛♥ ❡♥r✐❝❤♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❣❧♦❜✉❧❛r ❚②♣❡ ❚❤❡♦r② s✉❝❤ t❤❛t ♠♦❞❡❧s ❛r❡ ❡q✉✐♣♣❡❞ ✇✐t❤ ❡①♣❡❝t❡❞ ❝♦❤❡r❡♥❝❡s ✭❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✱ r❡✢❡①✐✈✐t②✱ ...✮✳

◮ ❙❛♠❡ t②♣❡ ❝♦♥str✉❝t♦rs ✭❛ ❝♦♥st❛♥t ⋆ ❛♥❞ ✐❞❡♥t✐t② t②♣❡s✮ ◮ ❋♦r ❡❛❝❤ t②♣❡ ✐♥ ❛ ❝♦♥tr❛❝t✐❜❧❡ ❝♦♥t❡①t✱ ❛ t❡r♠ t❤❛t ✐♥❤❛❜✐t

✐t✿ Γ ⊢c Γ ⊢ AType Γ ⊢ coh : A

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❇r✉♥❡r✐❡ ❚②♣❡ ❚❤❡♦r②✳

◮ ❝♦♥tr❛❝t✐❜❧❡ ❝♦♥t❡①ts ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ✐♥❞✉❝t✐✈❡❧②✿

x : ⋆ ⊢c Γ ⊢c y : A ∈ Γ Γ,z : A,h : y =A z ⊢c

x y z

f g

x : ⋆ ⊢c x : ⋆ ∈ x : ⋆ x : ⋆,y : ⋆,f : x =⋆ y ⊢c x : ⋆ ∈ x : ⋆,y : ⋆,f : x =⋆ y x : ⋆,y : ⋆,f : x =⋆ y,z : ⋆,g : x =⋆ z ⊢c x y

f g α

x : ⋆ ⊢c x : ⋆ ∈ x : ⋆ x : ⋆,y : ⋆,f : x =⋆ y ⊢c f : x =⋆ y ∈ x,y : ⋆,f : x =⋆ y x : ⋆,y : ⋆,f : x =⋆ y,g : x =⋆ y,α : f =x=⋆y g ⊢c x y

f h g

✐s ♥♦t ❝♦♥tr❛❝t✐❜❧❡

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❇r✉♥❡r✐❡ ❚②♣❡ ❚❤❡♦r②✳

❈♦♥t❡①ts ❛♥❞ ❝♦♥tr❛❝t✐❜❧❡ ❝♦♥t❡①ts / 0 ⊢ Γ ⊢ AType Γ,x : A ⊢ x : ⋆ ⊢c y : A ∈ Γ Γ ⊢c Γ,x : A,f : y =A x ⊢c ❚②♣❡s Γ ⊢ Γ ⊢ ⋆Type Γ ⊢ t : A Γ ⊢ u : A Γ ⊢ t =A u Type ❚❡r♠s x : A ∈ Γ Γ ⊢ x : A Γ ⊢ σ : ∆ ∆ ⊢ AType ∆ ⊢c Γ ⊢ coh∆,A,σ : A[σ] ❙✉❜st✐t✉t✐♦♥s Γ ⊢ () : / Γ ⊢ σ : ∆ ∆ ⊢ A Γ ⊢ t : A[σ] Γ ⊢ (σ,x → t) : ∆,x : A ⋆[σ] := ⋆ x[σ] := σ(x) ✭✈❛r✐❛❜❧❡✮ (t =A u)[σ] := t[σ] =A[σ] u[σ] coh∆,A,δ[σ]:= coh∆,A,σ◦δ

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❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥s

■❞❡♥t✐t✐❡s x : ⋆ ⊢c x : ∗ ⊢c cohx:⋆,x=⋆x,id : x =⋆ x ❈♦♠♣♦s✐t✐♦♥ x : ⋆,y : ⋆,f : x =⋆ y,z : ⋆,g : y =⋆ z ⊢c x : ⋆,y : ⋆,f : x =⋆ y,z : ⋆,g : y =⋆ z ⊢c coh_,x=⋆z,id : x =⋆ z x y z

f g g◦f :=coh❴,x=⋆z,id

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❖✉t❧✐♥❡

❆ t②♣❡ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ✇❡❛❦ ♦♠❡❣❛✲❣r♦✉♣♦✐❞s

• ❧♦❜✉❧❛r s❡ts

❇r✉♥❡r✐❡ ❚②♣❡ ❚❤❡♦r② ❋♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ✐♥ ❈♦q ■♥tr✐♥s✐❝ ✈s ❊①tr✐♥s✐❝ ❚✇♦✲❧❡✈❡❧ t②♣❡ s②st❡♠ P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

✶✹✴✷✹

❇r✉♥❡r✐❡ ❚②♣❡ ❚❤❡♦r②✳

❈♦♥t❡①ts ❛♥❞ ❝♦♥tr❛❝t✐❜❧❡ ❝♦♥t❡①ts / 0 ⊢ Γ ⊢ AType Γ,x : A ⊢ x : ⋆ ⊢c Γ ⊢c y : A ∈ Γ Γ,x : A,f : x =A y ⊢c ❚②♣❡s Γ ⊢ Γ ⊢ ⋆Type Γ ⊢ t : A Γ ⊢ u : A Γ ⊢ t =A u Type ❚❡r♠s x : A ∈ Γ Γ ⊢ x : A Γ ⊢ σ : ∆ ∆ ⊢ AType ∆ ⊢c Γ ⊢ coh∆,A,σ : A[σ] ❙✉❜st✐t✉t✐♦♥s Γ ⊢ () : / Γ ⊢ σ : ∆ ∆ ⊢ A Γ ⊢ t : A[σ] Γ ⊢ (σ,x → t) : ∆,x : A ⋆[σ] := ⋆ x[σ] := σ(x) ✭✈❛r✐❛❜❧❡✮ (t =A u)[σ] := t[σ] =A[σ] u[σ] coh∆,A,δ[σ]:= coh∆,A,σ◦δ

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❇r✉♥❡r✐❡ ❚②♣❡ ❚❤❡♦r②✳

◮ ❚❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥✿ ♥♦ ♥❡❡❞ t♦ q✉♦t✐❡♥t t❤❡ s②♥t❛① ❜② ❛

❝♦♥✈❡rt✐❜✐❧✐t② r❡❧❛t✐♦♥

◮ ❚❤❡ t②♣✐♥❣ ♦❢ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ t❡r♠s r❡q✉✐r❡ t♦ ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ ❝♦♠♣✉t❡

s✉❜st✐t✉t✐♦♥✿ Γ ⊢ σ : ∆ ∆ ⊢ AType ∆ ⊢c Γ ⊢ coh∆,A,σ : A[σ] ❋♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ✿ ■♥tr✐♥s✐❝ s②♥t❛① ♦r ❊①tr✐♥s✐❝ s②♥t❛① ❄

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❇r✉♥❡r✐❡ ❚②♣❡ ❚❤❡♦r②✳

◮ ❚❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥✿ ♥♦ ♥❡❡❞ t♦ q✉♦t✐❡♥t t❤❡ s②♥t❛① ❜② ❛

❝♦♥✈❡rt✐❜✐❧✐t② r❡❧❛t✐♦♥

◮ ❚❤❡ t②♣✐♥❣ ♦❢ ❝♦❤❡r❡♥❝❡ t❡r♠s r❡q✉✐r❡ t♦ ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ ❝♦♠♣✉t❡

s✉❜st✐t✉t✐♦♥✿ Γ ⊢ σ : ∆ ∆ ⊢ AType ∆ ⊢c Γ ⊢ coh∆,A,σ : A[σ] ❋♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ✿ ■♥tr✐♥s✐❝ s②♥t❛① ♦r ❊①tr✐♥s✐❝ s②♥t❛① ❄

✶✻✴✷✹

■♥tr✐♥s✐❝ s②♥t❛① ❢♦r ❇r✉♥❡r✐❡ ❚②♣❡ ❚❤❡♦r②

■♥tr✐♥s✐❝ s②♥t❛①✿ ❞❡✜♥❡ t❤❡ t②♣❡❞ s②♥t❛① ❞✐r❡❝t❧②✱ ✇✐t❤♦✉t ♠❡♥t✐♦♥♥✐♥❣ ✉♥t②♣❡❞ s②♥t❛①✳ ■♥❞✉❝t✐✈❡✲■♥❞✉❝t✐✈❡✲❘❡❝✉rs✐✈❡ ❞❛t❛t②♣❡✿ Inductive Con : U withTy : Con → U withTm : ∀(Γ : Con),Ty Γ → U := ... |coh :∀Γ∆(σ : SubΓ∆)(A : Ty ∆),isContr ∆ → TmΓ(subTy σ A) ...... withfix subTy (Γ∆ : Con)(σ : SubΓ∆)(A : Ty ∆) : Ty Γ := ... ❙❡❡ ❆❣❞❛ ❢♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❜② ◆✉♦ ▲✐ ✭❙♦♠❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥s ♦♥ ω✲❣r♦✉♣♦✐❞s✱ ▲❋▼❚P ✷✵✶✹✱ ❆❧t❡♥❦✐r❝❤ ✫ ▲✐✮✳

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❊①tr✐♥s✐❝ s②♥t❛① ❢♦r ❇r✉♥❡r✐❡ ❚②♣❡ ❚❤❡♦r②

❖✉r ❈♦q ❢♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❢♦❧❧♦✇s ❛ ❞✐✛❡r❡♥t ♣❛t❤ ✭❈♦q ❞♦❡s ♥♦t s✉♣♣♦rt ■♥❞✉❝t✐✈❡✲■♥❞✉❝t✐✈❡✲❘❡❝✉rs✐✈❡ ❞❛t❛t②♣❡s✮✿

◮ ❊①tr✐♥s✐❝ s②♥t❛①✿ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ✉♥t②♣❡❞ s②♥t❛① ❛♥❞ t❤❡♥ t❤❡

✇❡❧❧✲t②♣❡❞ ❥✉❞❣❡♠❡♥ts ✶✳ ❋✐rst✱ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ✉♥t②♣❡❞ s②♥t❛①✿ Inductive Con : U := ... withTy : U := ... withTm : U := ... ... ✷✳ t❤❡♥✱ ❞❡✜♥❡ fix subTy σ A : Ty := ... ♦♥ t❤❡ ✉♥t②♣❡❞ s②♥t❛①✱ ❛♥❞ ✸✳ ✜♥❛❧❧② ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✇❡❧❧✲t②♣❡❞ ❥✉❞❣❡♠❡♥ts✿ Inductive Conw : Con → U withTyw : Con → Ty → U withTmw : Con → Ty → Tm → U ...

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❖✉t❧✐♥❡

❆ t②♣❡ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ✇❡❛❦ ♦♠❡❣❛✲❣r♦✉♣♦✐❞s

• ❧♦❜✉❧❛r s❡ts

❇r✉♥❡r✐❡ ❚②♣❡ ❚❤❡♦r② ❋♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ✐♥ ❈♦q ■♥tr✐♥s✐❝ ✈s ❊①tr✐♥s✐❝ ❚✇♦✲❧❡✈❡❧ t②♣❡ s②st❡♠ P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

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