SLIDE 1
Profs.: Bruno Correia da Nóbrega Queiroz José Eustáquio Rangel de Queiroz Marcelo Alves de Barros
2
Sistemas Lineares
Forma Geral
- nde:
a aij
ij
coeficientes
Resoluo Numrica de Sistemas Lineares Parte I Profs.: Bruno Correia - - PowerPoint PPT Presentation
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Clculo Numrico Clculo Numrico Mdulo V Mdulo V Resoluo Numrica de Sistemas Lineares Parte I Profs.: Bruno Correia da Nbrega Queiroz Jos Eustquio Rangel de Queiroz Marcelo Alves de Barros Sistemas Lineares
SLIDE 2
SLIDE 3
3
Exemplo 01
2, 4, -5, 4, 1, -5, 2, 4 e 5
coeficientes
x1, x2 e x3
incógnitas
Sistemas Lineares
1 x 5 x 4 x 2 2 x 5 x 1 x 4 5 x 5 x 4 x 2
3 2 1 3 2 1 3 2 1
− = + + = − + = − +
SLIDE 4
4
Sistemas Lineares
Forma Matricial
- nde:
4
Ax = b Ax = b
=
nn 3 n 2 n 1 n n 2 22 21 n 1 12 11
a a a a a a a a a a A
=
n 2 1
b b b b =
n 2 1
x x x x
SLIDE 5
5
Sistemas Lineares
1 x 5 x 4 x 2 2 x 5 x 1 x 4 5 x 5 x 4 x 2
3 2 1 3 2 1 3 2 1
− = + + = − + = − +
5
Exemplo 02
Forma Geral Forma Matricial
− = − − 1 2 5 x x x . 5 4 2 5 1 4 5 4 2
3 2 1
SLIDE 6
6
Sistemas Lineares
Classificação I
Impossível
Impossível Não Não possui solução
Exemplo 03
6
= + = + 9 x 2 x 2 3 x x
2 1 2 1
SLIDE 7
7
Sistemas Lineares
Classificação II
Possível
Possível Possui 1 ou mais soluções
Determinado
Determinado Solução única única
Exemplo 04
= − = + 8 x x 4 x x
2 1 2 1
SLIDE 8
8
Classificação III
Possível
Possível Possui 1 ou mais soluções
Indeterminado
Indeterminado Mais de uma Mais de uma solução
Exemplo 05
Sistemas Lineares
= + = + 8 x 2 x 2 4 x x
2 1 2 1
SLIDE 9
9
Sistemas Lineares
Classificação IV
Possível
Possível Possui 1 ou mais soluções
Homogêneo
Homogêneo Vetor b=0 b=0 (x=0 sempre existe solução)
Exemplo 06
= + = + x 3 x 2 x x
2 1 2 1
SLIDE 10
10
Sistemas Lineares
=
nn 3 n 2 n 1 n 33 32 31 22 21 11
a a a a a a a a a a A
Sistemas Triangulares:
Possibilidade
de resolução de forma Retroativa Retroativa
Inferior
Inferior
SLIDE 11
11
Sistemas Lineares
=
nn n 3 33 n 2 23 22 n 1 13 12 11
a a a a a a a a a a A
Sistemas Triangulares:
Possibilidade
de resolução de forma Retroativa Retroativa
Superior
Superior
SLIDE 12
12
Solução Retroativa
Exemplo 7:
Dado o sistema: Primeiro passo para sua resolução:
2 x 2 3 x 5 x 4 1 x 2 x x 10 x x 5 x 4 x 3
4 4 3 4 3 2 4 3 2 1
= = − − = − + − = + − + 1 2 2 x 4 = =
SLIDE 13
13
Solução Retroativa
Exemplo 7:
Segundo passo: Terceiro passo:
2 x 3 1 5 x 4 3 x 5 x 4
3 3 4 3
= = ⋅ − = −
1 x 1 1 2 2 x 1 x 2 x x
2 2 4 3 2
− = − = ⋅ − + − = − +
SLIDE 14
14
Solução Retroativa
Exemplo 7:
Último passo:
1 x 10 1 2 5 ) 1 ( 4 x 3 10 x x 5 x 4 x 3
1 1 4 3 2 1
= − = + ⋅ − − ⋅ + − = + − +
SLIDE 15
15
Métodos Numéricos
Diretos
Diretos
Solução pode ser encontrada através de um
número finito de passos
Método de Gauss
Método de Gauss
Método da Eliminação de Jordan
Método da Eliminação de Jordan
Fatoração LU
Fatoração LU
SLIDE 16
16
Métodos Numéricos
Iterativos
Iterativos
Solução
a partir de uma seqüência de seqüência de aproximações aproximações para o valor do vetor solução x x
,
até que seja obtido um valor que satisfaça à precisão pré-estabelecida
Método de Jacobi
Método de Jacobi
Método de Gauss – Siedel
Método de Gauss – Siedel
SLIDE 17
17
Método de Gauss
Propósito
Transformação do sistema linear a ser resolvido
em um sistema linear triangular sistema linear triangular;
Resolução do sistema linear triangular de forma
retroativa retroativa
SLIDE 18
18
Método de Gauss
Transformação do Sistema Linear
Troca da ordem das linhas; Multiplicação de uma das equações por um
número real não nulo;
Substituição de uma das equações por
uma combinação linear dela mesma com
- utra equação.
SLIDE 19
19
Método de Gauss
Passos do Método de Gauss
Construção da matriz aumentada Ab
Ab
19
[ ]
=
n nn 3 n 2 n 1 n 2 n 2 22 21 1 n 1 12 11
b a a a a b a a a b a a a Ab
SLIDE 20
20
Método de Gauss
Passos do Método de Gauss
Passo 1:
Eliminar os coeficientes de x
Eliminar os coeficientes de x1
1
presentes nas linhas 2,3,...,n - sendo a21 = a31, = ... = an1 = 0 - sendo a a11
11 chamado de pivô da coluna
pivô da coluna
Substituir a linha 2, L
L2
2, pela combinação
linear
11 21 21 1 21 2
a a m :
- nde
, L m L = ⋅ −
SLIDE 21
21
Método de Gauss
11 31 31 1 31 3 3
a a m :
- nde
, L m L L = ⋅ − =
Passos do Métdo de Gauss
Substituir a linha 3, L3, pela combinação
linear:
SLIDE 22
22
Método de Gauss
Passos do Método de Gauss
Deve-se continuar a substituição até a linha
n;
Caso algum elemento app=0, achar outra
linha k onde akp≠ 0 e trocar tais linhas.
Caso a linha k não exista, o sistema linear não possui solução.
SLIDE 23
23
Método de Gauss
Passos do Método de Gauss
Eliminar os coeficientes de x2 nas linhas 3,
4, ..., n (fazer a32=a42=...=an2 = 0);
Eliminar os coeficientes de x3 nas linhas 4,
5, ..., n (fazer a43=a53=...=an3 = 0) e assim sucessivamente.
SLIDE 24
24
Método de Gauss
Exemplo 8:
Resolver o sistema:
Matriz aumentada Ab
1 x x 3 x 2 3 x 3 x 4 x 4 5 x x 3 x 2
3 2 1 3 2 1 3 2 1
− = + − = − + = − +
[ ]
− − − − = 1 1 3 2 3 3 4 4 5 1 3 2 Ab
SLIDE 25
25
Método de Gauss
Exemplo 8:
Faz-se: Assim:
2 a a m , L m L L
11 21 21 1 21 2 2
= = ⋅ − =
[ ] [ ] [ ]
7 1 2 L 5 1 3 2 2 3 3 4 4 L
2 2
− − − = − ⋅ − − =
SLIDE 26
26
Método de Gauss
Exemplo 8:
Faz-se: Assim:
1 a a m , L m L L
11 31 23 1 31 3 3
= = ⋅ − =
[ ] [ ] [ ]
6 2 6 L 5 1 3 2 1 1 1 3 2 L
3 3
− − = − ⋅ − − − =
SLIDE 27
27
Método de Gauss
Exemplo 8:
Obtém-se a matriz:
[ ]
− − − − − − =
6 2 6 7 1 2 5 1 3 2 Ab
SLIDE 28
28
Método de Gauss
Exemplo 8:
Substituindo a linha 3 por: Têm-se:
3 a a m , L m L L
22 32 32 1 32 3 3
= = ⋅ − = [ ] [ ] [ ]
15 5 L 7 1 2 3 7 2 6 L
3 3
= − − − ⋅ − − − =
SLIDE 29
29
Método de Gauss
Exemplo 8:
A matriz [Ab] fica assim com os seguintes
valores: [ ]
− − − − =
15 5 7 1 2 5 1 3 2 Ab
SLIDE 30
30
Método de Gauss
Exemplo 8:
Usa-se a solução retroativa:
= ⇒ = ⇒ = − + ⇒ = − ⋅ + = ⇒ = − − ⇒ − = − − = ⇒ = 2 x 2 x 2 5 3 6 x 2 5 x x 3 x 2 2 x 7 3 x 2 7 x x 2 3 x 15 x 5
1 1 1 3 2 1 2 2 3 2 3 3
SLIDE 31
31
Método de Gauss
Exemplo 9:
Resolver o sistema. Representando
- sistema
pela matriz aumentada:
38 x 14 x 2 x 22 134 x 3 x 110 x 27 57 x 52 x 4 x
3 2 1 3 2 1 3 2 1
= + + = − + = + +
− = 38 14 2 22 134 3 110 27 57 52 4 1 ] AB [
SLIDE 32
32
Método de Gauss
Exemplo 9:
Escolhendo a primeira linha como pivô,
- btém-se:
[ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ]
1210 1130 86 L 57 52 4 1 1 / 22 38 14 2 22 L m L L 1410 1400 2 L 57 52 4 1 ) 1 / 27 ( 134 3 110 27 L m L L
3 1 31 3 3 2 1 21 2 2
− − − = ⋅ − = ⋅ − = − − = ⋅ − − = ⋅ − =
SLIDE 33
33
Método de Gauss
Exemplo 9:
Representando
- sistema
pela matriz aumentada: − − − − − =
1210 1130 86 1410 1400 2 57 52 4 1 ] AB [
SLIDE 34
34
Exemplo 9:
Escolhendo agora a segunda linha como
pivô, têm-se:
Obtêm-se a seguinte matriz ampliada:
Método de Gauss
[ ] ( ) [ ] [ ]
61800 61300 L 1410 1400 2 2 / 86 1210 1130 86 L m L L
3 1 31 3 3
− − = − − ⋅ − − − − − = ⋅ − =
− − − − = 61800 61300 1410 1400 2 57 52 4 1 ] AB [
SLIDE 35
35
Método de Gauss
Exemplo 9:
O que termina com a triangulação:
× − = ⋅ × − ⋅ + ⋅ × − = ⋅ × − ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ +
4 3 4 2 1 3 3 3 2 1 3 2 1
10 6.18 x 10 6.13 x x 10 1 4 . 1 x 10 40 . 1 x 2 x 57 x 52 x 4 x
SLIDE 36
36
Método de Gauss
Exemplo 9:
Com solução: Um pouco diferente da solução exata:
X
X1
1=1,X
=1,X2
2=1 e X
=1 e X3
3=1
=1 x3 = -61800/(-61300)=1.01 x2 =[ -1410 – (-1400)⋅1.01]/2 = 0.0 x1 = [57 - 52⋅1.01 -4⋅0.0]/1 = 4.5
SLIDE 37
37
Método do Pivoteamento Parcial
Semelhante ao método de Gauss; Minimiza
a amplificação de erros de arredondamento durante as eliminações;
Consiste em escolher o elemento de maior
módulo em cada coluna para ser o pivô.
SLIDE 38
38
Método do Pivoteamento Parcial
Exemplo 10:
Resolver o sistema com precisão de 3
casas decimais
= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ +
38 x 14 x 2 x 22 134 x 3 x 110 x 27 57 x 52 x 4 x
3 2 1 3 2 1 3 2 1
SLIDE 39
39
Método do Pivoteamento Parcial
Exemplo 10:
Matriz
aumentada
- riginal
deve ser ajustada:
−
38 14 2 22 134 3 110 27 57 52 4 1
−
38 14 2 22 57 52 4 1 134 3 110 27
SLIDE 40
40
Método do Pivoteamento Parcial
Exemplo 10:
Sistema inalterado, elemento pivô 27
27.
Encontrar as novas linhas:
] 71 5 . 16 6 . 87 [ L ] 134 3 110 27 [ ) 27 / 22 ( ] 38 14 2 22 [ L m L L ] 52 1 . 52 07 . [ L ] 134 3 110 27 [ ) 27 / 1 ( ] 57 52 4 1 [ L m L L
3 1 31 3 3 2 1 21 2 2
− − = − ⋅ − = ⋅ − = − = − ⋅ − = ⋅ − =
SLIDE 41
41
Método do Pivoteamento Parcial
Exemplo 10:
A matriz ampliada fica da forma:
Usando o elemento -87.6
- 87.6 como pivô, tem-se:
− − − −
71 5 . 16 6 . 87 52 1 . 52 07 . 134 3 110 27 − − − − 52 1 . 52 07 . 71 5 . 16 6 . 87 134 3 110 27
] 56 . 52 08 . 52 [ L ] 71 5 . 16 6 . 87 [ ) 6 . 87 / 07 . ( ] 52 1 . 52 07 . [ L m L L
3 2 32 3 3
= − − ⋅ − − = ⋅ − =
SLIDE 42
42
Método do Pivoteamento Parcial
Exemplo 10:
A matriz ampliada fica na forma: − − −
56 . 52 08 . 52 71 5 . 16 6 . 87 134 3 110 27
SLIDE 43
43
Método do Pivoteamento Parcial
Exemplo 10:
A solução do sistema triangular que
resultou dessas operações é:
Solução muito próxima
muito próxima da exata.
x3 = 52.08/52.56 = 0.991 x2 = [-71-16.5⋅0,991]/(-87.6) = 0.997 x1 = [134 – (-3)⋅0,991 – 110⋅0.997]/27 = 1.011
SLIDE 44
44
Método de Jordan
Consiste em efetuar operações sobre as
equações do sistema, com a finalidade de
- bter um sistema diagonal equivalente;
Um sistema diagonal é aquele em que os
elementos a aij
ij da matriz coeficiente [A] são
iguais a zero, para i i≠j ≠j, i, j = 1,2,...,n.
SLIDE 45
45
Método de Jordan
Sistema diagonal equivalente:
=
nn n 3 33 n 2 22 n 1 11
a a a a a a a ] A [
SLIDE 46
46
Método de Jordan
Exemplo 11:
A partir do sistema: Com matriz aumentada:
4 x 2 x 3 x 2 2 x 3 x 2 x 5 1 x x 5 x
3 2 1 3 2 1 3 2 1
= + + = + + = + +
[ ]
= = 4 2 3 2 1 1 5 1 1 3 2 5 4 2 3 2 2 3 2 5 1 1 5 1 Ab
SLIDE 47
47
Método de Jordan
Exemplo 11:
Substituindo a linha 2 por: Substituindo a linha 3 por :
[ ] [ ] [ ]
8 . 4 . 6 . 4 L 2 . 5 / 1 a a m , 1 3 2 5 ) 5 / 1 ( 1 1 5 1 L m L L
2 11 21 21 1 21 2 2
= = = = ⋅ − = ⋅ − =
[ ] [ ] [ ]
6 . 3 8 . 2 . 2 L 4 . 5 / 2 a a m , 1 3 2 5 ) 5 / 2 ( 4 2 3 2 L m L L
3 11 31 31 1 31 3 3
= = = = ⋅ − = ⋅ − =
SLIDE 48
48
Método de Jordan
Exemplo 11:
A matriz ampliada resulta em: Substituindo a linha 3 por:
[ ]
=
6 . 3 8 . 2 . 2 8 . 4 . 6 . 4 1 3 2 5 Ab
[ ] [ ] [ ]
217 . 3 609 . L 478 . 6 . 4 / 2 . 2 a a m , 8 . 4 . 6 . 4 ) 6 . 4 / 2 . 2 ( 6 . 3 8 . 2 . 2 L m L L
3 22 32 32 2 32 3 3
= = = = ⋅ − = ⋅ − =
SLIDE 49
49
Método de Jordan
Exemplo 11:
A matriz ampliada resulta em: Substituindo a linha 2 por
[ ]
=
478 . 609 . 8 . 4 . 6 . 4 1 3 2 5 Ab
[ ] [ ] [ ]
3141 . 1 6 . 4 L 217 . 3 609 . ) 609 . / 4 . ( 8 . 4 . 6 . 4 L m L L
2 3 23 2 2
− = ⋅ − = ⋅ − =
SLIDE 50
50
Método de Jordan
Exemplo 11:
Matriz ampliada resulta em: Substituindo a linha 1 por
[ ]
− =
478 . 609 . 314 . 1 6 . 4 1 3 2 5 Ab
[ ] [ ] [ ]
5714 . 1 3 5 L 6 . 4 / 2 a a m , 314 . 1 6 . 4 ) 6 . 4 / 2 ( 1 3 2 5 L
1 22 12 12 1
= = = − ⋅ − =
SLIDE 51
51
Método de Jordan
Exemplo 11:
Substituindo a linha 1 por: A matriz ampliada fica da seguinte forma:
[ ] [ ] [ ]
277 . 14 5 L 609 . / 3 a a m , 478 . 609 . ) 609 . / 3 ( 5714 . 1 3 5 L
1 33 13 13 1
− = = = ⋅ − =
[ ]
− − = 478 . 609 . 314 . 1 6 . 4 277 . 14 5 Ab
SLIDE 52
52
Método de Jordan
Exemplo 11:
E as soluções são:
x1 =0.78 , x2= -0.28, x3=-2.85 x1 =0.78 , x2= -0.28, x3=-2.85
SLIDE 53
53
Decomposição em LU
O
- bjetivo
é fatorar a matriz dos coeficientes A A em um produto de duas matrizes L L e U U.
Seja:
[ ]
⋅ =
nn n 3 33 n 2 23 22 n 1 13 12 11 nn 3 n 2 n 1 n 32 31 21
u u u u u u u u u u m m m m 1 m m 1 m 1 LU
SLIDE 54
54
Decomposição em LU
E a matriz coeficiente A:
Têm-se:
=
nn 3 n 2 n 1 n n 2 22 21 n 1 12 11
a a a a a a a a a a A
[ ]
⋅ = = =
nn n 3 33 n 2 23 22 n 1 13 12 11 nn 3 n 2 n 1 n 32 31 21 nn 3 n 2 n 1 n n 2 22 21 n 1 12 11
u u u u u u u u u u m m m m 1 m m 1 m 1 ] LU [ a a a a a a a a a a A
SLIDE 55
55
Decomposição em LU
Para se obter os elementos da matriz L
L e da matriz U U, deve-se calcular os elementos das linhas de U U e os elementos da colunas de L L como segue.
SLIDE 56
56
Decomposição em LU
1ª linha de U: Faze-se o produto
produto da 1ª 1ª linha de L L por todas todas as colunas de U U e a iguala com todos os elementos da 1ª 1ª linha de A A, assim:
= = = ⇒ = ⋅ = ⇒ = ⋅ = ⇒ = ⋅
. n ,..., 2 , 1 j , a u , a u a u 1 , a u a u 1 , a u a u 1
j 1 j 1 n 1 n 1 n 1 n 1 12 12 12 12 11 11 11 11
SLIDE 57
57
Decomposição em LU
1ª coluna de L: Faz-se o produto de todas
as linhas de L, (da 2ª 2ª a até a nª nª), ), pela 1ª coluna de U e a iguala com os elementos da 1ª coluna de A, (abaixo da diagonal abaixo da diagonal principal principal), obtendo ,
= = = ⇒ = ⋅ = ⇒ = ⋅ = ⇒ = ⋅
. n ,..., 2 , 1 l , u a m , u a m a u m , u a m a u m , u a m a u m
11 1 l 1 l 11 1 l 1 l 1 l 11 1 l 11 31 31 31 11 31 11 21 21 21 11 21
SLIDE 58
58
Decomposição em LU
2ª linha de U: Faz-se o produto da 2ª linha
de L por todas as colunas de U, (da 2ª 2ª até a nª nª), e igualando com os elementos da 2ª linha de A, (da diagonal principal em da diagonal principal em diante diante), obtêm-se ,
= ⋅ − = ⋅ − = ⇒ = + ⋅ ⋅ − = ⇒ = + ⋅ ⋅ − = ⇒ = + ⋅
. n ,..., 3 j , u m a u , u m a u a u u m , u m a u a u u m , u m a u a u u m
j 1 21 j 2 j 2 n 1 21 n 2 n 2 n 2 n 2 n 1 21 13 21 23 23 23 23 13 21 12 21 22 22 22 22 12 21
SLIDE 59
59
Decomposição em LU
2ª coluna de L: Faz-se o produto de todas
as linhas de L (da 3ª 3ª até a nª nª) pela 2ª coluna de U e a iguala com os elementos da 2ª coluna de A, (abaixo da diagonal principal abaixo da diagonal principal),
- btendo ,
= ⋅ − = ⋅ − = ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ − = ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ − = ⇒ = ⋅ + ⋅
. n ,..., 3 l , u u m a m , u u m a m a u m u m , u u m a m a u m u m , u u m a m a u m u m
22 12 1 l 2 l 2 l 22 12 1 l 2 l 2 l 2 l 22 2 l 12 1 l 22 12 41 42 42 42 22 42 12 41 22 12 31 32 32 32 22 32 12 31
SLIDE 60
60
Decomposição em LU
Temos a seguinte fórmula geral:
> ⋅ − = ≤ ⋅ − =
∑ ∑
− =
. j l , u / ) u m a ( m , j l , u m a u
jj kj lk lj lj 1 l 1 k kj lk lj lj
SLIDE 61
61
Decomposição em LU
Resumo de Passos:
Seja um sistema Ax = b
Ax = b de ordem n, onde A satisfaz as condições da fatoração LU.
Então, o sistema Ax = b
Ax = b pode ser escrito como:
Lux = b
Lux = b
SLIDE 62
62
Decomposição em LU
Resumo dos Passos:
Fazendo Ux = y
Ux = y, a equação acima reduz-se a Ly = b Ly = b.
Resolvendo o sistema triangular inferior Ly
Ly = b = b, obtém-se o vetor y y.
SLIDE 63
63
Decomposição em LU
Resumo dos Passos:
Substituição do valor de y
y no sistema Ux Ux = y = y ⇒ Obtenção de um sistema triangular superior cuja solução é
- vetor
x x procurado;
Aplicação da fatoração LU na resolução de
sistemas lineares ⇒ Necessidade de solução de dois sistemas triangulares
SLIDE 64
64
Erros - Avaliação de Erros
No sistema A
A⋅ ⋅x = b x = b , onde:
- erro da solução
erro da solução é x – x’ x – x’ .
= = =
n 2 1 n 2 1 nn 2 n 1 n n 2 22 21 n 1 12 11
b b b ] b [ a a a ] x [ a a a a a a a a a ] A [
SLIDE 65
65
Procedimento de Determinação do Erro
Determinar:
A
A⋅ ⋅x’ = b’ x’ = b’
Erros - Avaliação de Erros
SLIDE 66
66
Erros – Resíduo
Procedimento de Determinação do Erro
Fazer:
Resíduo
Resíduo = b – b’
Resíduo = Resíduo = b – b’ = A⋅x - A⋅x’ = A⋅(x – x’) = A A⋅ ⋅erro erro
SLIDE 67
67
Erros – Resíduo
Verifica-se que:
O resíduo não
não é o erro, apenas apenas uma estimativa do mesmo;
Quanto menor
menor for o resíduo, menor menor será o erro.
SLIDE 68
68
Exemplo 12:
Refinar a solução do sistema: Cuja solução encontrada através pelo
método de Gauss, utilizando a solução retroativa é:
− = + − − − = + − − − = − + − = + + +
3 , 106 x 5 , 21 x 2 , 13 x , 81 x , 21 8 , 80 x 4 , 11 x 5 , 23 x 8 , 8 x 3 , 53 7 , 49 x 1 , 45 x 5 , 11 x 8 , 8 x 5 , 24 4 , 16 x , 11 x 3 , 9 x , 3 x 7 , 8
4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1
]´ 00 , 1 97 , 98 , 1 97 , [ x
) (
− =
Erros – Resíduo
SLIDE 69
69
Exemplo 12:
O resíduo calculado é: Vê-se
pelo resíduo que a precisão alcançada não foi satisfatória.
O vetor x
x(0)
(0) é chamado de vetor solução
vetor solução. − = − =
594 , 594 , 214 , 042 , Ax b r
) ( ) (
Erros – Resíduo
SLIDE 70
70
Exemplo 12:
Com o intuito de melhorar a solução,
considera-se um novo vetor x x(1)
(1) chamado de
vetor solução melhorado vetor solução melhorado.
Erros – Resíduo
SLIDE 71
71
Exemplo 12:
De forma que : x
x(1) =
(1) = x
x(1) +
(1) + δ
δ(0)
(0), onde δ(0) é o
vetor de correção vetor de correção. Assim:
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 (
r A Ax b A b A Ax b ) x ( A b Ax
= δ − = δ = δ + = δ + =
Erros – Resíduo
SLIDE 72
72
Exemplo 12:
Calcular o vetor de correção:
− = δ δ δ δ − − − − − −
594 , 594 , 214 , 042 , 5 , 21 2 , 13 , 81 , 21 4 , 11 5 , 23 8 , 8 3 , 53 1 , 45 5 , 11 8 , 8 5 , 24 , 11 3 , 9 , 3 7 , 8
4 3 2 1
Erros – Resíduo
SLIDE 73
73
Exemplo 12:
A solução é:
− =
δ
0000 , 0294 , 0195 , 0295 , ) (
Erros – Resíduo
SLIDE 74
74
Exemplo 12:
Desta forma, a solução melhorada será:
− = δ + =
0000 , 1 9999 , 0000 , 2 0000 , 1 x x
) ( ) ( ) 1 (
Erros – Resíduo
SLIDE 75
75
Exemplo 12:
Cujo novo resíduo é:
− − = − =
013 , 024 , 011 , 009 , Ax b r
) 1 ( ) 1 (
Erros – Resíduo
SLIDE 76
76
Exemplo 12:
Utilizando o mesmo procedimento, têm-se
que:
x x(2)
(2)=x
=x(1)
(1)+
+δ δ(1)
(1)
Assim, o vetor correção, calculado por A
A δ δ(1)
(1)=r
=r(1)
(1), é:
− − −
= δ
0000 , 0007 , 0002 , 0002 ,
) 1 (
Erros – Resíduo
SLIDE 77
77
Exemplo 12:
Acha-se assim uma solução melhorada: − =
0000 , 1 0000 , 1 0000 , 2 0000 , 1 x
) 2 (
Erros – Resíduo
SLIDE 78
78
Exemplo 12:
Que possui resíduo:
=
r
) 2 (
Erros – Resíduo
SLIDE 79
79