Recorncias e difuso anmala em sistemas Hamiltoneanos caticos IFUSP - - PowerPoint PPT Presentation

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Recorências e difusão anômala em sistemas Hamiltoneanos caóticos

IFUSP - Março 2010

• Eduardo. G. Altmann

http://www.tinyurl.com/ifusp2010

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Torus, mapa padrão, ilhas ao redor de ilhas

Apresentação 1:

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Text

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Recorrências para detectar rompimento de tori

Apresentação II:

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Interesse em sistemas temporalmente reversíveis (dinâmica quasi-Hamiltoneana pode aparecer)

N=4 Se mais de uma simetria esta presente no sistema a condição de torção (twist) é violada:

Exemplo: Osciladores acoplados

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4 osciladores de fase acoplados: Sistema não Hamiltoneano mas com dinâmica quasi- Hamiltoneana e torus “não torcidos”!

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Reconexões típicas de sistemas não torcionais também ocorrem em sistemas não Hamiltoneanos

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Para o transporte de trajetórias é importante determinar quais parâmetros (ε,ω) o torus existe (divide o espaço de fases). Método: Verificar se uma trajetória que tem de pertencer ao torus (IP) satisfaz o teorema de Slater (e.g., máximo 3 Ts distintos). Particularmente útil quando:

• Grande número de parâmetros (ε,ω) tem de ser varridos.
• Sistema de tempos contínuo (difícil integração/sessão de Poincaré)
• Parâmetros (ε,ω) próximos ao rompimento são escolhidos. Nesse

caso ilhas (“stickiness”) fazem demais métodos muito lentos Limitação:

• N=4, i.e., mapas bi-dimensionais

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Rompimento do torus

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Exemplo: mapa bi-dimensional Simetrias: Jacobiano:

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Exemplo: mapa bi-dimensional

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mapa linear por partes espaço de fases hierárquico

Apresentação III:

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Caso genérico / hierárquico

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Figure 2.3: (Color online) Sticking time distribution ρ(τ) for 100 differ- ent standard maps (2.14) with a con- stant K† added to the y equation: K ∈ [0.5, 0.6], K† ∈ [0, 0.2]. The central green (gray) curve is the average [for fixed ρ(τ)] over all curves, and the red curve (axis on the right) corresponds to the standard deviation of the curves (for fixed ρ(τ) projected to the x-axis). The further parameters are equivalent to those of Fig. 6.1b below.

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Efeito de ruído branco e altas dimensões no aprisionamento de trajetórias

Apresentação 1V:

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Coupled standard maps: 2.1 Motivation / model 2.2 Noise perturbation 2.3 High dimensional

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Qual o problema? (do ponto de vista de Mec. Estatística)

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Violate the hypothesis of strong chaos:

• 1. Ergodicity, i.e., negligible measure of regular components
• 2. Strong mixing, i.e., fast decay of correlations

Qual o problema? (do ponto de vista de Mec. Estatística)

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Violate the hypothesis of strong chaos:

• 1. Ergodicity, i.e., negligible measure of regular components
• 2. Strong mixing, i.e., fast decay of correlations

What happens for increasing phase space dimension? Qual o problema? (do ponto de vista de Mec. Estatística)

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C

Coupled symplectic maps model

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C

Coupled symplectic maps model

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Map is symplectic iff:

Coupled symplectic maps model

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Map is symplectic iff:

Coupled symplectic maps model

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Coupled standard maps: 2.1 Motivation / model 2.2 Noise perturbation 2.3 High dimensional

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2.2 Noise perturbation

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2.2 Noise perturbation

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2.2 Noise perturbation

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2.2 Noise perturbation

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2.2 Noise perturbation

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2.2 Noise perturbation

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2.2 Noise perturbation RW theory

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2.2 Noise perturbation RW theory

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2.2 Noise perturbation RW theory

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Coupled standard maps: 2.1 Motivation / model 2.2 Noise perturbation 2.3 High dimensional

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C

Coupled symplectic maps model

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Coupled symplectic maps model Ergodicity?

C

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Coupled symplectic maps model Ergodicity?

C

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Coupled symplectic maps model Ergodicity?

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N=2-5 show power-law behavior [Kantz, Grassberger (1987), Ding, Bountis, Ott (1990)]

• 1. Ergodicity, i.e., negligible measure of regular components
• 2. Strong mixing, i.e., fast decay of correlations

✘ ✔

e.g., zero measure sets on Bunimovich stadium Billiards

?

Coupled symplectic maps model

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Coupled symplectic maps model Strong mixing?

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Coupled symplectic maps model Strong mixing?

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Coupled symplectic maps model Strong mixing?

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Coupled symplectic maps model Strong mixing?

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Coupled symplectic maps model

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Coupled symplectic maps model

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Coupled symplectic maps model

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Coupled symplectic maps model

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Coupled symplectic maps model Strong mixing?

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Coupled symplectic maps model Strong mixing?

N=2,3,4,5 N=2,3,...,15 ξ = 0.05 ξ = 0.05

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Coupled symplectic maps model Strong mixing?

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• 1. Ergodicity, i.e., negligible measure of regular components
• 2. Strong mixing, i.e., fast decay of correlations

Coupled symplectic maps

✔ ✔

Non-exponential decay, but sufficiently fast power-law

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fluído incompressível

Apresentação V:

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Passive scalar field θ( x, t) (contaminant), advected by a flow with velocity field given by v(x, t) [Aref,1984] ∂θ ∂t + ∇.( vθ) = Dm∇2θ, where Dm is the molecular diffusion coefficient. The motion of fluid elements (Lagrangian description) is written as d x dt = v( x, t) + η(t), where ηi(t)ηj(t) = 2Dmδi,jδ(t − t). Consider an incompressible ∇. v = 0 2-D fluid x = (x, y). In this case there exist a stream function ψ(x, y, t) such that dx dt = vx = −∂ψ ∂y and dy dt = vy = ∂ψ ∂x .

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Consider a fluid channel infinite in the x direction having the following two flows: Laminar regime: ψ1(x, y) = −v1 sin(πy); Vortex regime: ψ2(x, y) = v2cos(2x)(1 − y2)2

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xn = xn+1 + λ sin(πyn) − 2ρ

π yn(1 − y2 n) cos[2π(xn + 1)] + ξδn,

yn+1 = yn − ρ(1 − y2

n)2 sin[2πxn+1] + ξδ n.

ρ = πv2t0/2 – intensity of the vortex regime; λ = v1t0/2 – intensity of the laminar regime; ξ – intensity of the white noise variable δ (ξ ∼ √Dm); Alternating periodically between the two regimes in a period t0 and mapping the evolution from nt0 → (n + 1)t0 one gets

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xn = xn+1 + λ sin(πyn) − 2ρ

π yn(1 − y2 n) cos[2π(xn + 1)] + ξδn,

yn+1 = yn − ρ(1 − y2

n)2 sin[2πxn+1] + ξδ n.

Espaço misto para dois parâmetros de controle

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10

1

10

2

10

3

10

4

10

5

10

6

t

10

1

10

2

10

3

10

4

10

5

10

6

10

7

x

2

=0.25 =1 =1 (normal diffusion) =2 (ballistic motion)

Transporte super-difusivo

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10 20 30 40 50 60 70 80

x =1 =0.25

• 0.8
• 0.4

0.4 0.8

y 100 200 300 400 500 number of iterations - n

• 0.8
• 0.4

0.4 0.8

y

trapping trapping flying flying flying flying flying f l y i n g

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1

10

2

10

3

10

4

10

5

• 10
• 8

10

• 7

10

• 6

10

• 5

10

• 4

10

• 3

10

• 2

10

• 1

()

Flights =1 Flights =0.25 Traps =0.25

Estatísitca de aprisionamento e voo

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10

1

10

2

10

3

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4

10

5

• 10
• 8

10

• 7

10

• 6

10

• 5

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• 4

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• 3

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• 2

10

• 1

() =0 =0.005 =0.001

=1 flies

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4

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• 10
• 8

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• 7

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• 6

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• 5

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• 4

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• 3

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• 2

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• 1

()

=0.25 flies

10

1

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4

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• 10
• 8

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• 7

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• 6

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• 5

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• 4

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• 3

10

• 2

10

• 1

()

=0.25 traps

Efeito da difusão molecular no aprisionamento Tempo final do regime de super-aprisionamento t~ 1/ξ2

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10 100 1000 10000 1e+05 t 1 10 100 D=x

2/t

=0 =0.0004 =0.001 =0.002 =0.01 =0.1 (a) =0.6 =1

Coeficiente de difusão como função do tempo λ=1

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λ=0.25 Coeficiente de difusão como função do tempo

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Difusão total (advecção+molecular) como função da difusão molecular

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