SLIDE 1 ❊♥✉♠❡r❛t✐♥❣ ❧❛tt✐❝❡ ♣❛t❤s ✇✐t❤ s②♠♠❡tr✐❡s t❤r♦✉❣❤ ♠✉❧t✐✈❛r✐❛t❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧s✳
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SLIDE 2 ▲❛tt✐❝❡ P❛t❤s ✐♥ ❛♥ ❖rt❤❛♥t
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SLIDE 3
▲❛tt✐❝❡ P❛t❤s ✐♥ ❛♥ ❖rt❤❛♥t
Given: ❆ s❡t ♦❢ st❡♣s✴❞✐r❡❝t✐♦♥s ❙ ✒ Z❞ Count: ❝♥ ❂ ★ ♦❢ ✇❛❧❦s st❛②✐♥❣ ✐♥ N❞✱ st❛rt✐♥❣ ❛t ♦r✐❣✐♥ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ❣✐✈❡♥ ❙ ❂ ❢✭✶❀ ✶✮❀ ✭✶❀ ✶✮❀ ✭✶❀ ✶✮❀ ✭✶❀ ✶✮❣ ✒ Z✷ ✇❡ ❤❛✈❡✿
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SLIDE 4
▲❛tt✐❝❡ P❛t❤s ✐♥ ❛♥ ❖rt❤❛♥t
Given: ❆ s❡t ♦❢ st❡♣s✴❞✐r❡❝t✐♦♥s ❙ ✒ Z❞ Count: ❝♥ ❂ ★ ♦❢ ✇❛❧❦s st❛②✐♥❣ ✐♥ N❞✱ st❛rt✐♥❣ ❛t ♦r✐❣✐♥ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ❣✐✈❡♥ ❙ ❂ ❢✭✶❀ ✶✮❀ ✭✶❀ ✶✮❀ ✭✶❀ ✶✮❀ ✭✶❀ ✶✮❣ ✒ Z✷ ✇❡ ❤❛✈❡✿
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SLIDE 5
▲❛tt✐❝❡ P❛t❤s ✐♥ ❛♥ ❖rt❤❛♥t
Given: ❆ s❡t ♦❢ st❡♣s✴❞✐r❡❝t✐♦♥s ❙ ✒ Z❞ Count: ❝♥ ❂ ★ ♦❢ ✇❛❧❦s st❛②✐♥❣ ✐♥ N❞✱ st❛rt✐♥❣ ❛t ♦r✐❣✐♥ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ❣✐✈❡♥ ❙ ❂ ❢✭✶❀ ✶✮❀ ✭✶❀ ✶✮❀ ✭✶❀ ✶✮❀ ✭✶❀ ✶✮❣ ✒ Z✷ ✇❡ ❤❛✈❡✿
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SLIDE 6
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❙ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ❙ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ✹ ✙ ♣ ✶ ✁ ✶ ✁ ♥✶✹♥ ❂ ✹ ✙ ✁ ✹♥ ♥ ✹ ✙ ♣ ✷ ✁ ✷ ✁ ♥✶✹♥ ❂ ✷ ✙ ✁ ✹♥ ♥ ✻ ✙ ♣ ✸ ✁ ✷ ✁ ♥✶✻♥ ❂ ♣ ✻ ✙ ✁ ✻♥ ♥ ✽ ✙ ♣ ✸ ✁ ✸ ✁ ♥✶✽♥ ❂ ✽ ✸✙ ✁ ✽♥ ♥
SLIDE 7
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❋✐① ❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❞ ❛♥❞ st❡♣ s❡t ❙ ✒ ❢✝✶❀ ✵❣❞ ✇❤✐❝❤ ✐s s②♠♠❡tr✐❝ ♦✈❡r ❡✈❡r② ❛①✐s✿ ✭✐✶❀ ✿ ✿ ✿ ❀ ✐❦❀ ✿ ✿ ✿ ❀ ✐❞✮ ✷ ❙ ✐♠♣❧✐❡s ✭✐✶❀ ✿ ✿ ✿ ❀ ✐❦❀ ✿ ✿ ✿ ❀ ✐❞✮ ✷ ❙✿
❙ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ❙ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ✹ ✙ ♣ ✶ ✁ ✶ ✁ ♥✶✹♥ ❂ ✹ ✙ ✁ ✹♥ ♥ ✹ ✙ ♣ ✷ ✁ ✷ ✁ ♥✶✹♥ ❂ ✷ ✙ ✁ ✹♥ ♥ ✻ ✙ ♣ ✸ ✁ ✷ ✁ ♥✶✻♥ ❂ ♣ ✻ ✙ ✁ ✻♥ ♥ ✽ ✙ ♣ ✸ ✁ ✸ ✁ ♥✶✽♥ ❂ ✽ ✸✙ ✁ ✽♥ ♥
SLIDE 8
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SLIDE 9
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❋✐♥❞ ❛s②♠♣t♦t✐❝s ✈✐❛ ❢♦r♠✉❧❛s ♦❢ P❡♠❛♥t❧❡ ❛♥❞ ❲✐❧s♦♥ ✭✷✵✶✸✮
SLIDE 10 ✶✳ ❚❤❡ ❦❡r♥❡❧ ❡q✉❛t✐♦♥
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SLIDE 11 ✶✳ ❚❤❡ ❦❡r♥❡❧ ❡q✉❛t✐♦♥
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SLIDE 12 ✶✳ ❚❤❡ ❦❡r♥❡❧ ❡q✉❛t✐♦♥
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SLIDE 13
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SLIDE 14
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❊①❛♠♣❧❡
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SLIDE 15
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❊①❛♠♣❧❡
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SLIDE 16
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❊①❛♠♣❧❡
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SLIDE 17 ✷✳ ❈✭z❀ t✮ ❛s ❛ r❛t✐♦♥❛❧ ❞✐❛❣♦♥❛❧
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✒ ●✭ ❀ t✮
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✓
❂ ✁
✒✭✶ ✰ ②✶✮ ✁ ✁ ✁ ✭✶ ✰ ②❞✮
✶ t✭②✶ ✁ ✁ ✁ ②❞✮P✭ ✮
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SLIDE 18 ✷✳ ❈✭z❀ t✮ ❛s ❛ r❛t✐♦♥❛❧ ❞✐❛❣♦♥❛❧
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❍✭y❀ t✮
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✒✭✶ ✰ ②✶✮ ✁ ✁ ✁ ✭✶ ✰ ②❞✮
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SLIDE 19 ✷✳ ❈✭z❀ t✮ ❛s ❛ r❛t✐♦♥❛❧ ❞✐❛❣♦♥❛❧
❊①❛♠♣❧❡
❋♦r ❙ ❛s ❜❡❢♦r❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❈✭①❀ ②❀ ③❀ t✮ ❂ ❬①✕❪❬②✕❪❬③✕❪ ✭① ①✮✭② ②✮✭③ ③✮ ①②③✭✶ t✭① ✰ ② ✰ ① ✰ ②✮✭③ ✰ ③✮✮
⑤ ④③ ⑥
❘✭①❀②❀③✮
✿ ❚❤✉s✱ ❈✭✶❀ ✶❀ ✶❀ t✮ ❂ ✁
✒
❘✭①❀ ②❀ ③❀ t①②③✮ ✭✶ ①✮✭✶ ②✮✭✶ ③✮
✓
❂ ✁
✒
①②③✭① ①✮✭② ②✮✭③ ③✮ ✭✶ ①✮✭✶ ②✮✭✶ ③✮✭✶ ①②③tP✭①❀ ②❀ ③✮
✓
❂ ✁
✒
✭✶ ✰ ①✮✭✶ ✰ ②✮✭✶ ✰ ③✮ ✶ t✭①✷② ✰ ①②✷ ✰ ② ✰ ①✮✭③✷ ✰ ✶✮
✓
SLIDE 20 ✷✳ ❈✭z❀ t✮ ❛s ❛ r❛t✐♦♥❛❧ ❞✐❛❣♦♥❛❧
❊①❛♠♣❧❡
❋♦r ❙ ❛s ❜❡❢♦r❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❈✭①❀ ②❀ ③❀ t✮ ❂ ❬①✕❪❬②✕❪❬③✕❪ ✭① ①✮✭② ②✮✭③ ③✮ ①②③✭✶ t✭① ✰ ② ✰ ① ✰ ②✮✭③ ✰ ③✮✮
⑤ ④③ ⑥
❘✭①❀②❀③✮
✿ ❚❤✉s✱ ❈✭✶❀ ✶❀ ✶❀ t✮ ❂ ✁
✒
❘✭①❀ ②❀ ③❀ t①②③✮ ✭✶ ①✮✭✶ ②✮✭✶ ③✮
✓
❂ ✁
✒
①②③✭① ①✮✭② ②✮✭③ ③✮ ✭✶ ①✮✭✶ ②✮✭✶ ③✮✭✶ ①②③tP✭①❀ ②❀ ③✮
✓
❂ ✁
✒
✭✶ ✰ ①✮✭✶ ✰ ②✮✭✶ ✰ ③✮ ✶ t✭①✷② ✰ ①②✷ ✰ ② ✰ ①✮✭③✷ ✰ ✶✮
✓
SLIDE 21 ✷✳ ❈✭z❀ t✮ ❛s ❛ r❛t✐♦♥❛❧ ❞✐❛❣♦♥❛❧
❊①❛♠♣❧❡
❋♦r ❙ ❛s ❜❡❢♦r❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❈✭①❀ ②❀ ③❀ t✮ ❂ ❬①✕❪❬②✕❪❬③✕❪ ✭① ①✮✭② ②✮✭③ ③✮ ①②③✭✶ t✭① ✰ ② ✰ ① ✰ ②✮✭③ ✰ ③✮✮
⑤ ④③ ⑥
❘✭①❀②❀③✮
✿ ❚❤✉s✱ ❈✭✶❀ ✶❀ ✶❀ t✮ ❂ ✁
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❘✭①❀ ②❀ ③❀ t①②③✮ ✭✶ ①✮✭✶ ②✮✭✶ ③✮
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①②③✭① ①✮✭② ②✮✭③ ③✮ ✭✶ ①✮✭✶ ②✮✭✶ ③✮✭✶ ①②③tP✭①❀ ②❀ ③✮
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✒
✭✶ ✰ ①✮✭✶ ✰ ②✮✭✶ ✰ ③✮ ✶ t✭①✷② ✰ ①②✷ ✰ ② ✰ ①✮✭③✷ ✰ ✶✮
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SLIDE 22
✸✳ ❚❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥ts
❆s ✐♥ t❤❡ ✉♥✐✈❛r✐❛t❡ ❝❛s❡✱ ❛s②♠♣t♦t✐❝s ❛r❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ♦❢ ●✭y❀ t✮❂❍✭y❀ t✮✳ ❚❤❡ ③❡r♦ s❡t ♦❢ t❤❡ ❞❡♥♦♠✐♥❛t♦r ❍✭ ❀ t✮ ❂ ✶ t✭②✶ ✁ ✁ ✁ ②❞✮P✭ ✮ ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❛r✐❡t② ❱✳ ❍❡r❡ ✐t ✐s s♠♦♦t❤✳ ❚❤❡ s♠♦♦t❤♥❡ss ❝♦♠❡s ❢r♦♠ t❤❡ s②♠♠❡tr✐❡s✳
SLIDE 23
✸✳ ❚❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥ts
❆s ✐♥ t❤❡ ✉♥✐✈❛r✐❛t❡ ❝❛s❡✱ ❛s②♠♣t♦t✐❝s ❛r❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ♦❢ ●✭y❀ t✮❂❍✭y❀ t✮✳ ❚❤❡ ③❡r♦ s❡t ♦❢ t❤❡ ❞❡♥♦♠✐♥❛t♦r ❍✭y❀ t✮ ❂ ✶ t✭②✶ ✁ ✁ ✁ ②❞✮P✭y✮ ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❛r✐❡t② ❱✳ ❍❡r❡ ✐t ✐s s♠♦♦t❤✳ ❚❤❡ s♠♦♦t❤♥❡ss ❝♦♠❡s ❢r♦♠ t❤❡ s②♠♠❡tr✐❡s✳
SLIDE 24 ✸✳ ❚❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥ts
P❡♠❛♥t❧❡ ❛♥❞ ❲✐❧s♦♥ ✭✷✵✵✷✴✷✵✶✸✮ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ♣♦✐♥ts ❞❡t❡r♠✐♥✐♥❣ ❛s②♠♣t♦t✐❝s s❛t✐s❢② t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥t ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❍ ❂ ✵❀ t❍t ❂ ②✶❍②✶❀ t❍t ❂ ②✷❍②✷❀ ✿ ✿ ✿ t❍t ❂ ②❞❍②❞✿
Pr♦♣♦s✐t✐♦♥
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SLIDE 25
✸✳ ❚❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥ts
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Pr♦♣♦s✐t✐♦♥
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SLIDE 26 ✹✳ ❘❡☞♥❡ t♦ ♠✐♥✐♠❛❧ ♣♦✐♥ts
❖♥❧② t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥ts ❵❝❧♦s❡st✬ t♦ t❤❡ ♦r✐❣✐♥ ❝♦♥tr✐❜✉t❡ ▲❡t ❚✭z❀ t✮ ✿❂ ❢✭w❀ t✵✮ ✿ ❥t✵❥ ✔ ❥t❥ ❛♥❞ ❥✇❥❥ ✔ ❥③❥❥ ❢♦r ✶ ✔ ❥ ✔ ❞❣✿
1 + 2i −1 − 2i
T(1 + 2i)
❚❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥t ✭ ❀ t✮ ✐s str✐❝t❧② ♠✐♥✐♠❛❧ ✐❢ ❚✭ ❀ t✮ ❭ ❱ ❂ ❢✭ ❀ t✮❣ ☞♥✐t❡❧② ♠✐♥✐♠❛❧ ✐❢ ❚✭ ❀ t✮ ❭ ❱ ☞♥✐t❡ s✉❜s❡t ♦❢ ❅❚✭ ❀ t✮ ✐s♦❧❛t❡❞ ✐❢ ✐t ✐s t❤❡ ♦♥❧② ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥t ✐♥ ❛ ♥❡✐❣❤❜♦✉r❤♦♦❞
SLIDE 27 ✹✳ ❘❡☞♥❡ t♦ ♠✐♥✐♠❛❧ ♣♦✐♥ts
❖♥❧② t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥ts ❵❝❧♦s❡st✬ t♦ t❤❡ ♦r✐❣✐♥ ❝♦♥tr✐❜✉t❡ ▲❡t ❚✭z❀ t✮ ✿❂ ❢✭w❀ t✵✮ ✿ ❥t✵❥ ✔ ❥t❥ ❛♥❞ ❥✇❥❥ ✔ ❥③❥❥ ❢♦r ✶ ✔ ❥ ✔ ❞❣✿
1 + 2i −1 − 2i
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SLIDE 28
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SLIDE 31
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SLIDE 32
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SLIDE 33
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SLIDE 37
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SLIDE 38 ❊①❛♠♣❧❡s
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SLIDE 39
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SLIDE 40
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SLIDE 41
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SLIDE 42
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SLIDE 43 ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s
- 1. ■s ❡✈❡r② ✭❣❧♦❜❛❧❧② ❜♦✉♥❞❡❞✮ ❉✲☞♥✐t❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ t❤❡
❞✐❛❣♦♥❛❧ ♦❢ ❛ ♠✉❧t✐✈❛r✐❛t❡ r❛t✐♦♥❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥❄ ❬❈❤r✐st♦❧ ✶✾✾✵❪
- 2. ❍♦✇ ❞♦ t❤❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❛r✐❡t②
❝♦♥♥❡❝t t♦ ❝♦♠❜✐♥❛t♦r✐❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧❄
- 3. ❈❛♥ t❤✐s ♠❡t❤♦❞ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ ❧♦♥❣❡r st❡♣s❄
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SLIDE 44
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