r tt - - PowerPoint PPT Presentation

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✯❙ ◆P ❱P ✯◆P P◆ ❱ ❉

 ❣❡♥❞

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  ◆  ❣❡♥❞

✶ ❢

♥✉♠

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 

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❉❡s❝r✐❜✐♥❣ ❯♥❣r❛♠♠❛t✐❝❛❧ ❯tt❡r❛♥❝❡s ✭✷ ✴ ✷✮

✯❙ ◆P ✯❱P ◆P P◆ ❱ ❉

 ❣❡♥❞

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  ◆  ❣❡♥❞

✶ ❢

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 

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

• ❍♦✇ t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ ♥❛t✉r❛❧ ❧❛♥❣✉❛❣❡ s②♥t❛① ❄

✶ ❘❡✇r✐t✐♥❣ r✉❧❡s ✭❡✳❣✳✱ ❚r❡❡✲❆❞❥♦✐♥✐♥❣ ●r❛♠♠❛r✮ ✷ ❈♦♥str❛✐♥t✲❜❛s❡❞ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ✭❡✳❣✳✱ Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r✮

• ❆❞✈❛♥t❛❣❡ ♦❢ ✷✳ ✿ ✐❢ ♦♥❡ ❛❧❧♦✇s s♦♠❡ ❝♦♥str❛✐♥ts t♦ ❜❡ ✈✐♦❧❛t❡❞✱

✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❢♦r♠❛❧❧② ❛♥❞ ❧✐♥❣✉✐st✐❝❛❧❧② ❞❡s❝r✐❜❡ s②♥t❛❝t✐❝ str✉❝t✉r❡s t❤❛t ❛r❡ ✉♥❣r❛♠♠❛t✐❝❛❧

✼✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

❖✉t❧✐♥❡

✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✷ Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ✇✐t❤ ❋❡❛t✉r❡s ✸ ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ✇✐t❤ ❋❡❛t✉r❡s ✹ Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ✉s✐♥❣ ❝♦♥str❛✐♥t s❛t✐s❢❛❝t✐♦♥ ✺ ■♠♣❧❡♠❡♥t✐♥❣ ❛ ♣r♦t♦t②♣❡

✽✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r

• ❋♦r♠❛❧✐s♠ ❞❡s❝r✐❜✐♥❣ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ s②♥t❛❝t✐❝ ❝♦♥st✐t✉❡♥ts

✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❧♦❝❛❧ ❝♦♥str❛✐♥ts ✭t❤❡ s♦✲❝❛❧❧❡❞ ♣r♦♣❡rt✐❡s✮ ❬❇❧❛❝❤❡✱ ✷✵✵✵❪

• ❈♦♥str❛✐♥ts t♦ ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ ♦♥ s②♥t❛❝t✐❝ tr❡❡s
• Pr♦♣❡rt✐❡s ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦r♠❛❧✐s♠ ✿

❖❜❧✐❣❛t✐♦♥ ❆ : △❇ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ❇ ❯♥✐q✉❡♥❡ss ❆ : ❇! ❛t ♠♦st ♦♥❡ ❇ ▲✐♥❡❛r✐t② ❆ : ❇ ≺ ❈ ❇ ♣r❡❝❡❞❡s ❈ ❘❡q✉✐r❡♠❡♥t ❆ : ❇ ⇒ ❈ ✐❢ ∃ ❇✱ t❤❡♥ ∃ ❈ ❊①❝❧✉s✐♦♥ ❆ : ❇ ⇔ ❈ ♥♦t ❜♦t❤ ❇ ❛♥❞ ❈ ❈♦♥st✐t✉❡♥❝② ❆ : ❙❄ ❛❧❧ ❝❤✐❧❞r❡♥ ∈ ❙ ❆❣r❡❡♠❡♥t ❆ : ❇ ❈ ❢❡❛t✳ ❝♦♥str❛✐♥ts

✾✴✹✷

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P✐❡rr❡ ♠❛♥❣❡ ❧❛ ♣♦♠♠❡

✶✵✵ ✪

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P✐❡rr❡ ♠❛♥❣❡ ❧❛ ♣♦♠♠❡

✶✵✵ ✪

✶✵✴✹✷

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Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ✇✐t❤ ❋❡❛t✉r❡s

• ▲❡t ❙ ❜❡ ❛♥ ❆ttr✐❜✉t❡✲✈❛❧✉❡ ♠❛tr✐① ✭❆❱▼✮ ♦❢ t②♣❡

M = [❢✶:❉✶, . . . , ❢♥:❉♥]

• M ❢♦r♠s ❛ ✜♥✐t❡ ✉♣♣❡r s❡♠✐✲❧❛tt✐❝❡✱ ❡q✉✐♣♣❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ✉s✉❛❧ ✏♣r♦❞✉❝t

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◆P

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   ❝❛t ◆ ❣❡♥❞

✶

♥✉♠

✷

  

• 

  ❝❛t ❉ ❣❡♥❞

✶

♥✉♠

✷

   ✭✇r✐tt❡♥ ◆P : ◆

• ❣❡♥❞

✶

♥✉♠

✷

• ❉
• ❣❡♥❞

✶

♥✉♠

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• ✮

✶✶✴✹✷

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❊①tr❛❝t ♦❢ ❛ P● ❢♦r ❋r❡♥❝❤

◆P ✭◆♦✉♥ P❤r❛s❡✮ ♦❜❧✐❣❛t✐♦♥ : △(◆ ⊔ Pr♦) ✉♥✐q✉❡♥❡ss : ❉! : ◆! : PP! : Pr♦! ❧✐♥❡❛r✐t② : ❉ ≺ ◆ : ❉ ≺ Pr♦ : ❉ ≺ ❆P : ◆ ≺ PP r❡q✉✐r❡♠❡♥t : ◆ ⇒ ❉ : ❆P ⇒ ◆ ❡①❝❧✉s✐♦♥ : ◆ ⇔ Pr♦ ❛❣r❡❡♠❡♥t : ◆

• ❣❡♥❞

✶

♥✉♠

✷

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• ❣❡♥❞

✶

♥✉♠

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• ❱P ✭❱❡r❜ P❤r❛s❡✮

♦❜❧✐❣❛t✐♦♥ : △❱ ✉♥✐q✉❡♥❡ss : ❱[♠♦❞❡ ✿♣❛st✲♣❛rt]! : ◆P! : PP! ❧✐♥❡❛r✐t② : ❱ ≺ ◆P : ❱ ≺ ❆❞✈ : ❱ ≺ PP r❡q✉✐r❡♠❡♥t : ❱[♠♦❞❡ ✿♣❛st✲♣❛rt] ⇒ ❱[❛✉① ✿✰] ❡①❝❧✉s✐♦♥ : Pr♦[❝❛s❡ ✿❛❝❝] ⇔ ◆P

✭❡①❛♠♣❧❡ ❢r♦♠ ❬Pr♦st✱ ✷✵✵✽❪✮

✶✷✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

❖✉t❧✐♥❡

✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✷ Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ✇✐t❤ ❋❡❛t✉r❡s ✸ ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ✇✐t❤ ❋❡❛t✉r❡s ✹ Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ✉s✐♥❣ ❝♦♥str❛✐♥t s❛t✐s❢❛❝t✐♦♥ ✺ ■♠♣❧❡♠❡♥t✐♥❣ ❛ ♣r♦t♦t②♣❡

✶✸✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

▼♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ♦❢ Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r

❋♦❧❧♦✇✐♥❣ ❬❉✉❝❤✐❡r ❡t ❛❧✳✱ ✷✵✵✾❪ ✿ ❆ tr❡❡ ❞♦♠❛✐♥ ❉ ✐s ❛ ✜♥✐t❡ s✉❜s❡t ♦❢ N∗

✵ ✇❤✐❝❤ ✐s ❝❧♦s❡❞ ❢♦r ♣r❡✜①❡s

❛♥❞ ❧❡❢t✲s✐❜❧✐♥❣s ❀ ✐♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ ∀π, π′ ∈ N∗

✵, ∀✐, ❥ ∈ N✵ :

ππ′ ∈ ❉ ⇒ π ∈ ❉ ✐ < ❥ ∧ π❥ ∈ ❉ ⇒ π✐ ∈ ❉ ǫ ✶ ✷ ✸ ✶✶ ✷✶ ✸✶ ✸✷ τ = (❉τ, ▲τ, ❘τ) ✇❤❡r❡ ▲τ : ❉τ → M↓ ✭❧❛❜❡❧❧✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥✮ ❘τ : ❉τ → W∗ ✭s✉r❢❛❝❡ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥✮

✶✹✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

✭❙tr♦♥❣✮ s❡♠❛♥t✐❝s ♦❢ Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r

❋♦❧❧♦✇✐♥❣ ❬❉✉❝❤✐❡r ❡t ❛❧✳✱ ✷✵✵✾❪ ✿

• ▲❡t ● ❜❡ ❛ Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r
• ❉♦♠❛✐♥ ✿ t❤❡ s❡t ♦❢ ✜♥✐t❡ tr❡❡s ✇❤❡r❡ ❡❛❝❤ ♥♦❞❡ ✐s ❧❛❜❡❧❧❡❞ ❜② ❛

❝♦♠♣❧❡① s②♥t❛❝t✐❝ ❝❛t❡❣♦r② ✭✐✳❡✳✱ ❛♥ ❆❱▼ ✈❛❧✉❡✮

• ▼♦❞❡❧ ✿ ❛ s②♥t❛❝t✐❝ tr❡❡ ✐s ❛ ♠♦❞❡❧ ♦❢ ● ✐✛

❢♦r ❡❛❝❤ ♣r♦♣❡rt② ♣ ∈ ● ❢♦r ❡❛❝❤ ♥♦❞❡ ♥ ♦❢ t❤❡ s②♥t❛❝t✐❝ tr❡❡ ✐❢ ♣ ✐s ♣❡rt✐♥❡♥t ❛t ♥✱ t❤❡♥ ♣ ✐s s❛t✐s✜❡❞ ❛t ♥

• ❊①❛♠♣❧❡ ✿ ♣r♦♣❡rt② ◆P : ❉ ≺ ◆✱

▲✐♥❡❛r✐t② ❤❛s t♦ ❜❡ s❛t✐s✜❡❞ ❢♦r ❡✈❡r② ♥♦❞❡ ♥ ❧❛❜❡❧❧❡❞ ✇✐t❤ [❝❛t:◆P] ❛♥❞ ❢♦r ❡✈❡r② ❝♦✉♣❧❡ ♦❢ ❝❤✐❧❞r❡♥ ♥✶, ♥✷ ❧❛❜❡❧❧❡❞ ✇✐t❤ [❝❛t:❉] ❛♥❞ [❝❛t:◆] r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②

✶✺✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

Pr♦♣❡rt② ✐♥st❛♥❝❡

• ❊❛❝❤ ♣r♦♣❡rt② ✐s ✈❡r✐✜❡❞ ❛t ❡❛❝❤ ♥♦❞❡ ♥ ♦❢ t❤❡ s②♥t❛❝t✐❝ tr❡❡ ❛♥❞

❛t ✵✱ ✶ ♦r ✷ ♦❢ ♥✬s ❝❤✐❧❞r❡♥s ✭✇r✐tt❡♥ ♥✶, ♥✷✮ ❖❜❧✐❣❛t✐♦♥ ❙✵ : △❙✶ @ ♥ ❘❡q✉✐r❡♠❡♥t ❙✵ : ❙✶ ⇒ ❙✷ @ ♥, ♥✶ ❈♦♥st✐t✉❡♥❝② ❙✵ : s? @ ♥, ♥✶ ❯♥✐q✉❡♥❡ss ❙✵ : ❙✶! @ ♥, ♥✶, ♥✷ ▲✐♥❡❛r✐t② ❙✵ : ❙✶ ≺ ❙✷ @ ♥, ♥✶, ♥✷ ❊①❝❧✉s✐♦♥ ❙✵ : ❙✶ ⇔ ❙✷ @ ♥, ♥✶, ♥✷ ❆❣r❡❡♠❡♥t ❙✵ : ❙✶ ❙✷ @ ♥, ♥✶, ♥✷

• ❈❤❡❝❦✐♥❣ t❤❡ ♣❡rt✐♥❡♥❝❡ ❛♥❞ s❛t✐s❢❛❝t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣r♦♣❡rt② ✐♥st❛♥❝❡✱

s✉❝❤ ❛s ◆P : ❉ ≺ ◆ @ ♥, ♥✶, ♥✷

• ♣❡rt✐♥❡♥❝❡ ✿

▲τ(♥) ⊑ [❝❛t:◆P] ∧ ▲τ(♥✶) ⊑ [❝❛t:❉] ∧ ▲τ(♥✷) ⊑ [❝❛t:◆]

• s❛t✐s❢❛❝t✐♦♥ ✿ ♥✶ ❧✐♥❡❛r❧② ♣r❡❝❡❞❡s ♥✷

✶✻✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

Pr♦♣❡rt② ■♥st❛♥❝❡ ♦❢ ❛ ●r❛♠♠❛r ● ♦♥ ❛ ❙②♥t❛❝t✐❝ ❚r❡❡ τ

❋♦❧❧♦✇✐♥❣ ❬❉✉❝❤✐❡r ❡t ❛❧✳✱ ✷✵✵✾❪ ✿

Iτ[ [●] ] = ∪{Iτ[ [♣] ] | ∀♣ ∈ P●} Iτ[ [❙✵ : ❙✶ ≺ ❙✷] ] = {(❙✵ : ❙✶ ≺ ❙✷)@π, π✐, π❥ | ∀π, π✐, π❥ ∈ ❉τ, ✐ = ❥} Iτ[ [❙✵ : △❙✶] ] = {(❙✵ : △❙✶)@π | ∀π ∈ ❉τ} Iτ[ [❙✵ : ❙✶!] ] = {(❙✵ : ❙✶!)@π, π✐, π❥ | ∀π, π✐, π❥ ∈ ❉τ, ✐ = ❥} Iτ[ [❙✵ : ❙✶ ⇒ ❙✷] ] = {(❙✵ : ❙✶ ⇒ ❙✷)@π, π✐ | ∀π, π✐ ∈ ❉τ} Iτ[ [❙✵ : ❙✶ ⇔ ❙✷] ] = {(❙✵ : ❙✶ ⇔ ❙✷)@π, π✐, π❥ | ∀π, π✐, π❥ ∈ ❉τ, ✐ = ❥} Iτ[ [❙✵ : s✶❄] ] = {(❙✵ : s✶❄)@π, π✐ | ∀π, π✐ ∈ ❉τ} Iτ[ [❙✵ : ❙✶ ❙✷] ] = {(❙✵ : ❙✶ ❙✷)@π, π✐, π❥ | ∀π, π✐, π❥ ∈ ❉τ, ✐ = ❥}

✶✼✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

Pr♦♣❡rt② ■♥st❛♥❝❡ ♦❢ ❛ ●r❛♠♠❛r ● ♦♥ ❛ ❙②♥t❛❝t✐❝ ❚r❡❡ τ

❋♦❧❧♦✇✐♥❣ ❬❉✉❝❤✐❡r ❡t ❛❧✳✱ ✷✵✵✾❪ ✿

Iτ[ [●] ] = ∪{Iτ[ [♣] ] | ∀♣ ∈ P●} Iτ[ [❙✵ : ❙✶ ≺ ❙✷] ] = {(❙✵ : ❙✶ ≺ ❙✷)@π, π✐, π❥ | ∀π, π✐, π❥ ∈ ❉τ, ✐ = ❥} Iτ[ [❙✵ : △❙✶] ] = {(❙✵ : △❙✶)@π | ∀π ∈ ❉τ} Iτ[ [❙✵ : ❙✶!] ] = {(❙✵ : ❙✶!)@π, π✐, π❥ | ∀π, π✐, π❥ ∈ ❉τ, ✐ = ❥} Iτ[ [❙✵ : ❙✶ ⇒ ❙✷] ] = {(❙✵ : ❙✶ ⇒ ❙✷)@π, π✐ | ∀π, π✐ ∈ ❉τ} Iτ[ [❙✵ : ❙✶ ⇔ ❙✷] ] = {(❙✵ : ❙✶ ⇔ ❙✷)@π, π✐, π❥ | ∀π, π✐, π❥ ∈ ❉τ, ✐ = ❥} Iτ[ [❙✵ : s✶❄] ] = {(❙✵ : s✶❄)@π, π✐ | ∀π, π✐ ∈ ❉τ} Iτ[ [❙✵ : ❙✶ ❙✷] ] = {(❙✵ : ❙✶ ❙✷)@π, π✐, π❥ | ∀π, π✐, π❥ ∈ ❉τ, ✐ = ❥}

✶✼✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

Pr♦♣❡rt② ■♥st❛♥❝❡ ♦❢ ❛ ●r❛♠♠❛r ● ♦♥ ❛ ❙②♥t❛❝t✐❝ ❚r❡❡ τ

❋♦❧❧♦✇✐♥❣ ❬❉✉❝❤✐❡r ❡t ❛❧✳✱ ✷✵✵✾❪ ✿

Iτ[ [●] ] = ∪{Iτ[ [♣] ] | ∀♣ ∈ P●} Iτ[ [❙✵ : ❙✶ ≺ ❙✷] ] = {(❙✵ : ❙✶ ≺ ❙✷)@π, π✐, π❥ | ∀π, π✐, π❥ ∈ ❉τ, ✐ = ❥} Iτ[ [❙✵ : △❙✶] ] = {(❙✵ : △❙✶)@π | ∀π ∈ ❉τ} Iτ[ [❙✵ : ❙✶!] ] = {(❙✵ : ❙✶!)@π, π✐, π❥ | ∀π, π✐, π❥ ∈ ❉τ, ✐ = ❥} Iτ[ [❙✵ : ❙✶ ⇒ ❙✷] ] = {(❙✵ : ❙✶ ⇒ ❙✷)@π, π✐ | ∀π, π✐ ∈ ❉τ} Iτ[ [❙✵ : ❙✶ ⇔ ❙✷] ] = {(❙✵ : ❙✶ ⇔ ❙✷)@π, π✐, π❥ | ∀π, π✐, π❥ ∈ ❉τ, ✐ = ❥} Iτ[ [❙✵ : s✶❄] ] = {(❙✵ : s✶❄)@π, π✐ | ∀π, π✐ ∈ ❉τ} Iτ[ [❙✵ : ❙✶ ❙✷] ] = {(❙✵ : ❙✶ ❙✷)@π, π✐, π❥ | ∀π, π✐, π❥ ∈ ❉τ, ✐ = ❥}

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P❡rt✐♥❡♥❝❡ ♦❢ ❛ Pr♦♣❡rt② ■♥st❛♥❝❡ ♦♥ ❛ ❙②♥t❛❝t✐❝ ❚r❡❡ τ

Pτ((❙✵ : ❙✶ ≺ ❙✷)@π, π✐, π❥) ≡ (▲τ(π) ⊑ ❙✈

✵ ) ∧ (▲τ(π✐) ⊑ ❙✈ ✶ ) ∧ (▲τ(π❥) ⊑ ❙✈ ✷ )

Pτ((❙✵ : △❙✶)@π) ≡ ▲τ(π) ⊑ ❙✈

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Pτ((❙✵ : ❙✶!)@π, π✐, π❥) ≡ (▲τ(π) ⊑ ❙✈

✵ ) ∧ (▲τ(π✐) ⊑ ❙✈ ✶ ) ∧ (▲τ(π❥) ⊑ ❙✈ ✶ )

Pτ((❙✵ : ❙✶ ⇒ ❙✷)@π, π✐) ≡ (▲τ(π) ⊑ ❙✈

✵ ) ∧ (▲τ(π✐) ⊑ ❙✈ ✶ )

Pτ((❙✵ : ❙✶ ⇔ ❙✷)@π, π✐, π❥) ≡ (▲τ(π) ⊑ ❙✈

✵ ) ∧ ((▲τ(π✐) ⊑ ❙✈ ✶ ) ∨ (▲τ(π❥) ⊑ ❙✈ ✷ ))

Pτ((❙✵ : s✶❄)@π, π✐) ≡ ▲τ(π) ⊑ ❙✈

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Pτ((❙✵ : ❙✶ ❙✷)@π, π✐, π❥) ≡ (▲τ(π) ⊑ ❙✈

✵ ) ∧ (▲τ(π✐) ⊑ ❙✈ ✶ ) ∧ (▲τ(π❥) ⊑ ❙✈ ✷ )

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Pτ((❙✵ : ❙✶ ≺ ❙✷)@π, π✐, π❥) ≡ (▲τ(π) ⊑ ❙✈

✵ ) ∧ (▲τ(π✐) ⊑ ❙✈ ✶ ) ∧ (▲τ(π❥) ⊑ ❙✈ ✷ )

Pτ((❙✵ : △❙✶)@π) ≡ ▲τ(π) ⊑ ❙✈

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Pτ((❙✵ : ❙✶!)@π, π✐, π❥) ≡ (▲τ(π) ⊑ ❙✈

✵ ) ∧ (▲τ(π✐) ⊑ ❙✈ ✶ ) ∧ (▲τ(π❥) ⊑ ❙✈ ✶ )

Pτ((❙✵ : ❙✶ ⇒ ❙✷)@π, π✐) ≡ (▲τ(π) ⊑ ❙✈

✵ ) ∧ (▲τ(π✐) ⊑ ❙✈ ✶ )

Pτ((❙✵ : ❙✶ ⇔ ❙✷)@π, π✐, π❥) ≡ (▲τ(π) ⊑ ❙✈

✵ ) ∧ ((▲τ(π✐) ⊑ ❙✈ ✶ ) ∨ (▲τ(π❥) ⊑ ❙✈ ✷ ))

Pτ((❙✵ : s✶❄)@π, π✐) ≡ ▲τ(π) ⊑ ❙✈

✵

Pτ((❙✵ : ❙✶ ❙✷)@π, π✐, π❥) ≡ (▲τ(π) ⊑ ❙✈

✵ ) ∧ (▲τ(π✐) ⊑ ❙✈ ✶ ) ∧ (▲τ(π❥) ⊑ ❙✈ ✷ )

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Pτ((❙✵ : ❙✶ ≺ ❙✷)@π, π✐, π❥) ≡ (▲τ(π) ⊑ ❙✈

✵ ) ∧ (▲τ(π✐) ⊑ ❙✈ ✶ ) ∧ (▲τ(π❥) ⊑ ❙✈ ✷ )

Pτ((❙✵ : △❙✶)@π) ≡ ▲τ(π) ⊑ ❙✈

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Pτ((❙✵ : ❙✶!)@π, π✐, π❥) ≡ (▲τ(π) ⊑ ❙✈

✵ ) ∧ (▲τ(π✐) ⊑ ❙✈ ✶ ) ∧ (▲τ(π❥) ⊑ ❙✈ ✶ )

Pτ((❙✵ : ❙✶ ⇒ ❙✷)@π, π✐) ≡ (▲τ(π) ⊑ ❙✈

✵ ) ∧ (▲τ(π✐) ⊑ ❙✈ ✶ )

Pτ((❙✵ : ❙✶ ⇔ ❙✷)@π, π✐, π❥) ≡ (▲τ(π) ⊑ ❙✈

✵ ) ∧ ((▲τ(π✐) ⊑ ❙✈ ✶ ) ∨ (▲τ(π❥) ⊑ ❙✈ ✷ ))

Pτ((❙✵ : s✶❄)@π, π✐) ≡ ▲τ(π) ⊑ ❙✈

✵

Pτ((❙✵ : ❙✶ ❙✷)@π, π✐, π❥) ≡ (▲τ(π) ⊑ ❙✈

✵ ) ∧ (▲τ(π✐) ⊑ ❙✈ ✶ ) ∧ (▲τ(π❥) ⊑ ❙✈ ✷ )

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❙❛t✐s❢❛❝t✐♦♥ ♦❢ ❛ Pr♦♣❡rt② ■♥st❛♥❝❡ ♦♥ ❛ ❙②♥t❛❝t✐❝ ❚r❡❡ τ

❙τ((❙✵ : ❙✶ ≺ ❙✷)@π, π✐, π❥) ≡ ✐ < ❥ ❙τ((❙✵ : △❙✶)@π) ≡ ∨{(▲τ(π✐) ⊑ ❙✈

✶ ) | ✶ ≤ ✐ ≤ ❆τ(π)}

❙τ((❙✵ : ❙✶!)@π, π✐, π❥) ≡ ✐ = ❥ ❙τ((❙✵ : ❙✶ ⇒ ❙✷)@π, π✐) ≡ ∨{(▲τ(π❥) ⊑ ❙✈

✷ ) | ✶ ≤ ❥ ≤ ❆τ(π)}

❙τ((❙✵ : ❙✶ ⇔ ❙✷)@π, π✐, π❥) ≡ (▲τ(π✐) ⊑ ❙✈

✶ ) ∨ (▲τ(π❥) ⊑ ❙✈ ✷ )

❙τ((❙✵ : s✶❄)@π, π✐) ≡ ▲τ(π✐) ⊑ ① ❢♦r s♦♠❡ ① ✐♥ s✶ ❙τ((❙✵ : ❙✶ ❙✷)@π, π✐, π❥) ≡ ▲τ(π), ▲τ(π✐), ▲τ(π❥) | = ❊(❙✵, ❙✶, ❙✷)

✇❤❡r❡ ✿

• ❊(❙✵, ❙✶, ❙✷) ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ❝♦r❡❢❡r❡♥❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥s (✐, ❢ ) .

= (❥, ❣) ❢♦r ❛❧❧ ❢ :❳ ✐♥ ❙✐ ❛♥❞ ❣:❳ ✐♥ ❙❥

• ▼✵, ▼✶, ▼✷ |

= ❊(❙✵, ❙✶, ❙✷)✱ ✐✛ ▼✐.❢ =▼❥.❣ ❢♦r ❛❧❧ (✐, ❢ ) . =(❥, ❣) ✐♥ ❊(❙✵, ❙✶, ❙✷)

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❙❛t✐s❢❛❝t✐♦♥ ♦❢ ❛ Pr♦♣❡rt② ■♥st❛♥❝❡ ♦♥ ❛ ❙②♥t❛❝t✐❝ ❚r❡❡ τ

❙τ((❙✵ : ❙✶ ≺ ❙✷)@π, π✐, π❥) ≡ ✐ < ❥ ❙τ((❙✵ : △❙✶)@π) ≡ ∨{(▲τ(π✐) ⊑ ❙✈

✶ ) | ✶ ≤ ✐ ≤ ❆τ(π)}

❙τ((❙✵ : ❙✶!)@π, π✐, π❥) ≡ ✐ = ❥ ❙τ((❙✵ : ❙✶ ⇒ ❙✷)@π, π✐) ≡ ∨{(▲τ(π❥) ⊑ ❙✈

✷ ) | ✶ ≤ ❥ ≤ ❆τ(π)}

❙τ((❙✵ : ❙✶ ⇔ ❙✷)@π, π✐, π❥) ≡ (▲τ(π✐) ⊑ ❙✈

✶ ) ∨ (▲τ(π❥) ⊑ ❙✈ ✷ )

❙τ((❙✵ : s✶❄)@π, π✐) ≡ ▲τ(π✐) ⊑ ① ❢♦r s♦♠❡ ① ✐♥ s✶ ❙τ((❙✵ : ❙✶ ❙✷)@π, π✐, π❥) ≡ ▲τ(π), ▲τ(π✐), ▲τ(π❥) | = ❊(❙✵, ❙✶, ❙✷)

✇❤❡r❡ ✿

• ❊(❙✵, ❙✶, ❙✷) ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ❝♦r❡❢❡r❡♥❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥s (✐, ❢ ) .

= (❥, ❣) ❢♦r ❛❧❧ ❢ :❳ ✐♥ ❙✐ ❛♥❞ ❣:❳ ✐♥ ❙❥

• ▼✵, ▼✶, ▼✷ |

= ❊(❙✵, ❙✶, ❙✷)✱ ✐✛ ▼✐.❢ =▼❥.❣ ❢♦r ❛❧❧ (✐, ❢ ) . =(❥, ❣) ✐♥ ❊(❙✵, ❙✶, ❙✷)

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

❙❛t✐s❢❛❝t✐♦♥ ♦❢ ❛ Pr♦♣❡rt② ■♥st❛♥❝❡ ♦♥ ❛ ❙②♥t❛❝t✐❝ ❚r❡❡ τ

❙τ((❙✵ : ❙✶ ≺ ❙✷)@π, π✐, π❥) ≡ ✐ < ❥ ❙τ((❙✵ : △❙✶)@π) ≡ ∨{(▲τ(π✐) ⊑ ❙✈

✶ ) | ✶ ≤ ✐ ≤ ❆τ(π)}

❙τ((❙✵ : ❙✶!)@π, π✐, π❥) ≡ ✐ = ❥ ❙τ((❙✵ : ❙✶ ⇒ ❙✷)@π, π✐) ≡ ∨{(▲τ(π❥) ⊑ ❙✈

✷ ) | ✶ ≤ ❥ ≤ ❆τ(π)}

❙τ((❙✵ : ❙✶ ⇔ ❙✷)@π, π✐, π❥) ≡ (▲τ(π✐) ⊑ ❙✈

✶ ) ∨ (▲τ(π❥) ⊑ ❙✈ ✷ )

❙τ((❙✵ : s✶❄)@π, π✐) ≡ ▲τ(π✐) ⊑ ① ❢♦r s♦♠❡ ① ✐♥ s✶ ❙τ((❙✵ : ❙✶ ❙✷)@π, π✐, π❥) ≡ ▲τ(π), ▲τ(π✐), ▲τ(π❥) | = ❊(❙✵, ❙✶, ❙✷)

✇❤❡r❡ ✿

• ❊(❙✵, ❙✶, ❙✷) ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ❝♦r❡❢❡r❡♥❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥s (✐, ❢ ) .

= (❥, ❣) ❢♦r ❛❧❧ ❢ :❳ ✐♥ ❙✐ ❛♥❞ ❣:❳ ✐♥ ❙❥

• ▼✵, ▼✶, ▼✷ |

= ❊(❙✵, ❙✶, ❙✷)✱ ✐✛ ▼✐.❢ =▼❥.❣ ❢♦r ❛❧❧ (✐, ❢ ) . =(❥, ❣) ✐♥ ❊(❙✵, ❙✶, ❙✷)

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

❆❜♦✉t ❋❡❛t✉r❡ ■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥

❱P : ❱[♠♦❞❡ ✿♣❛st✲♣❛rt] ⇒ ❱[❛✉① ✿✰]

■♥st✳ ✿ π, π✐ P❡rt✳ ✿π✐ : [♠♦❞❡ ✿♣❛st✲♣❛rt] ✭▲τ(π✐) ⊑ ❙✈

✶ ✮

❙❛t✳ ✿ ∃π❥ s✉❝❤ t❤❛t π❥ : [❛✉① ✿✰]✭▲τ(π❥) ⊑ ❙✈

✷ ✮ ◆P : ◆

• ❣❡♥❞

✶

♥✉♠

✷

❉

• ❣❡♥❞

✶

♥✉♠

✷

• ■♥st✳ ✿ π, π✐, π❥

P❡rt✳ ✿❝❛t✳ ❤♦❧❞ ✭▲τ(π) ⊑ ❙✈

✵ ) ∧ . . .✮

❙❛t✳ ✿ ❝♦r❡❢✳ ❤♦❧❞ ✭▲τ (π), ▲τ (π✐), ▲τ (π❥) |

= ❊(❙✵, ❙✶, ❙✷)✮ ❱P : ❱       ♠♦❞❡ ♣❛st✲♣❛rt ❣❡♥❞

✶

♥✉♠

✷

♣❡rs

✸

     

Pr♦

      ❝❛s❡ ❛❝❝ ❣❡♥❞

✶

♥✉♠

✷

♣❡rs

✸

     

■♥st✳ ✿ π, π✐, π❥ P❡rt✳ ✿π : [❝❛t ✿❱P] ✭▲τ(π) ⊑ ❙✈

✵ ✮

π✐ : [♠♦❞❡ ✿♣✲♣❛rt]✭▲τ(π✐) ⊑ ❙✈

✶ ✮

π❥ : [❝❛s❡ ✿❛❝❝] ✭▲τ(π❥) ⊑ ❙✈

✷ ✮

❙❛t✳ ✿ ❝♦r❡❢✳ ❤♦❧❞ ✭▲τ (π), ▲τ (π✐), ▲τ (π❥) |

= ❊(❙✵, ❙✶, ❙✷)✮ ✷✵✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

▲♦♦s❡ s❡♠❛♥t✐❝s ♦❢ Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r

• ❲❤❛t ✐❢ ✇❡ ❛❧❧♦✇ s♦♠❡ ♣r♦♣❡rt② ✐♥st❛♥❝❡s t♦ ❜❡ ✈✐♦❧❛t❡❞ ❄
• ▲❡t I●,τ ❜❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ♣r♦♣❡rt② ✐♥st❛♥❝❡s✱ I✵
• ,τ t❤❡ s❡t ♦❢

♣❡rt✐♥❡♥t ♣r♦♣❡rt② ✐♥st❛♥❝❡s✱ ❛♥❞ I+

• ,τ t❤❡ s❡t ♦❢ ♣r♦♣❡rt②

✐♥st❛♥❝❡s t❤❛t ❛r❡ ❜♦t❤ ♣❡rt✐♥❡♥t ❛♥❞ s❛t✐s✜❡❞ ✿ I✵

• ,τ = {♣ ∈ Iτ[

[●] ] | Pτ(♣)} I+

• ,τ = {♣ ∈ I✵
• ,τ | ❙τ(♣)}

I−

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• ,τ | ¬❙τ(♣)}
• ◗✉❛s✐✲♠♦❞❡❧ ✿ s②♥t❛❝t✐❝ tr❡❡ ✇❤♦s❡ r❛t✐♦ |I+
• ,τ|/|I✵
• ,τ| ✐s ♠❛①✐♠❛❧

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

❚♦② ❡①❛♠♣❧❡ ✭❝♦♥t✐♥✉❡❞✮

❙ : {◆P, ❱P}?, ◆P : {❉, ◆}?, ❱P : {❱, ◆P}?, ❙ : △◆P, ❙ : ◆P!, ❙ : △❱P, ❙ : ❱P!, ❙ : ◆P ≺ ❱P, ❱P : △❱, ❱P : ❱!, ❱P : ◆P!, ◆P : ❉!, ◆P : △◆, ◆P : ❉ ⇒ ◆, ◆P : ❉ ≺ ◆ ❝❛t(♠❛♥❣❡) = ❱, ❝❛t(❧❛) = ❉, ❝❛t(P✐❡rr❡) = ◆, ❝❛t(♣♦♠♠❡) = ◆ ❙✶ ◆P✷ ◆✹ ❱P✸ ❱✺ ◆P✻ ◆✼ ❉✽

P✐❡rr❡ ♠❛♥❣❡ ♣♦♠♠❡ ❧❛

✾✸✳✸ ✪ ◆P✻ : ❉✽ ≺ ◆✼ ♣❡rt✐♥❡♥t ❜✉t ♥♦t s❛t✐s✜❡❞ ✭|I+

• ,τ|/|I✵
• ,τ| = ✶✹/✶✺✮

✷✷✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

❖✉t❧✐♥❡

✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✷ Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ✇✐t❤ ❋❡❛t✉r❡s ✸ ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ✇✐t❤ ❋❡❛t✉r❡s ✹ Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ✉s✐♥❣ ❝♦♥str❛✐♥t s❛t✐s❢❛❝t✐♦♥ ✺ ■♠♣❧❡♠❡♥t✐♥❣ ❛ ♣r♦t♦t②♣❡

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ✉s✐♥❣ ❝♦♥str❛✐♥t s❛t✐s❢❛❝t✐♦♥

• ❙②♥t❛❝t✐❝ tr❡❡ ❂ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❈♦♥str❛✐♥t ❙❛t✐s❢❛❝t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠
• ❈♦♥str❛✐♥ts ❡♥❢♦r❝✐♥❣ tr❡❡✲s❤❛♣❡❞♥❡ss
• ❈♦♥str❛✐♥ts ❡♥❢♦r❝✐♥❣ ❣r❛♠♠❛t✐❝❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s
• ▲❡①✐❝❛❧ ❝♦♥str❛✐♥ts ❛ss♦❝✐❛t✐♥❣ ❆❱▼ ✈❛❧✉❡s ✇✐t❤ ✇♦r❞s
• ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❝♦♥str❛✐♥t ♠❛①✐♠✐③✐♥❣ t❤❡ r❛t✐♦ |I+
• ,τ|/|I✵
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✭❝❢✱ q✉❛s✐✲♠♦❞❡❧✮

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

❘❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ tr❡❡s ✉s✐♥❣ ❛ ❣r✐❞ ✭✶✴✸✮

• ◆✉♠❜❡r ♦❢ ♥♦❞❡s ♦❢ t❤❡ s②♥t❛❝t✐❝ tr❡❡ ✐s ❛ ♣r✐♦r✐ ✉♥❦♥♦✇♥

= ⇒ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❛♥ ✉♣♣❡r✲❜♦✉♥❞ ✉s✐♥❣ ❛ ❣r✐❞

• ●r✐❞ ♥ × ♠ ✿ ❱ = {✇✐❥ | ✶ ≤ ✐ ≤ ♥, ✶ ≤ ❥ ≤ ♠}
• ♠ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ s❡♥t❡♥❝❡ ✭♥✉♠❜❡r ♦❢ ❧❡❛✈❡s ♦❢ t❤❡ tr❡❡✮✱
• ♥ ♣❛r❛♠❡t❡r ✭♠❛①✐♠❛❧ ❤❡✐❣❤t ♦❢ t❤❡ tr❡❡✮

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❘❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ tr❡❡s ✉s✐♥❣ ❛ ❣r✐❞ ✭✶✴✸✮

• ◆✉♠❜❡r ♦❢ ♥♦❞❡s ♦❢ t❤❡ s②♥t❛❝t✐❝ tr❡❡ ✐s ❛ ♣r✐♦r✐ ✉♥❦♥♦✇♥

= ⇒ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❛♥ ✉♣♣❡r✲❜♦✉♥❞ ✉s✐♥❣ ❛ ❣r✐❞

• ●r✐❞ ♥ × ♠ ✿ ❱ = {✇✐❥ | ✶ ≤ ✐ ≤ ♥, ✶ ≤ ❥ ≤ ♠}
• ♠ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ s❡♥t❡♥❝❡ ✭♥✉♠❜❡r ♦❢ ❧❡❛✈❡s ♦❢ t❤❡ tr❡❡✮✱
• ♥ ♣❛r❛♠❡t❡r ✭♠❛①✐♠❛❧ ❤❡✐❣❤t ♦❢ t❤❡ tr❡❡✮

♥ ↑ → ♠ ✭✶✱✶✮◆ ❱ ❉ ◆ P❡t❡r ❡❛ts t❤❡ ❛♣♣❧❡ ❙ ◆P ❱P ◆P

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❘❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ tr❡❡s ✉s✐♥❣ ❛ ❣r✐❞ ✭✷✴✸✮

• ❱ + ♥♦❞❡s ♦❢ t❤❡ tr❡❡s✱ ❱ − ✉♥✉s❡❞ ♥♦❞❡s r❡♠❛✐♥✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❣r✐❞✱

❱ +, ❱ − ∈ P(❱ ) ❱ = ❱ + ⊎ ❱ −

• ❋♦❧❧♦✇✐♥❣ ❬❉✉❝❤✐❡r✱ ✷✵✵✸❪✱ ❢♦r ❡❛❝❤ ♥♦❞❡ ✇ ♦❢ t❤❡ ❣r✐❞✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡

✻ s❡t ✈❛r✐❛❜❧❡s ↓✇✱ ↓+✇✱ ↓∗✇✱ ↑✇✱ ↑+✇✱ ↑∗✇ ∈ P(❱ ) ↓+✇ = ⊎{↓∗✇′ | ✇′ ∈ ↓✇} ↓∗✇ = {✇} ⊎ ↓+✇ ↑+✇ = ⊎{↑∗✇′ | ✇′ ∈ ↑✇} ↑∗✇ = {✇} ⊎ ↑+✇

✷✻✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

❘❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ tr❡❡s ✉s✐♥❣ ❛ ❣r✐❞ ✭✸✴✸✮

• ❉✉❛❧✐t② ❞❡s❝❡♥❞❛♥t✴❛s❝❡♥❞❛♥t ✿

✇ ∈ ↑✇′ ⇔ ✇′ ∈ ↓✇

• ❚❤❡r❡ ✐s ❛t ♠♦st ♦♥❡ ♠♦t❤❡r ♥♦❞❡ ✿

|↑✇′| ≤ ✶

• ❘ ✿ s❡t ♦❢ r♦♦t ♥♦❞❡s ✭r♦♦t ✉♥❦♥♦✇♥✮✱ ❘ ∈ P(❱ )

|❘| = ✶ ❱ + = ❘ ⊎ ( ⊎{↓✇ | ✇ ∈ ❱ } )

• ❯♥✉s❡❞ ♥♦❞❡s ✿

✇ ∈ ❱ − ⇒ ↓✇ = ↑✇ = ∅

✷✼✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

❘❡❝t❛♥❣✉❧❛r tr❡❡s ✭✶✴✷✮

• ❉✐✛❡r❡♥t ✇❛②s ♦❢ ❧❛②✐♥❣ ♦✉t ❛ ❣✐✈❡♥ tr❡❡ ♦♥ t❤❡ ❣r✐❞ ✿

= ⇒ r❡♠♦✈✐♥❣ s②♠♠❡tr✐❡s ✿ r❡❝t❛♥❣✉❧❛r tr❡❡s ▲❡❛✈❡s ❛r❡ ❧♦❝❛t❡❞ ♦♥ t❤❡ ❜♦tt♦♠ r♦✇ ✇✶❥ ✶ ❥ ♠ ❱ ❚r❡❡ ✏♣✉s❤❡❞✑ t♦ t❤❡ ❧❡❢t ✿ ✇✐❥ ✶ ♠ ✭♣r♦❥❡❝t✐♦♥✮ ✇✐❥ ❱ ❝ ✇✐❥ ♠✐♥ ✇✐❥

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

❘❡❝t❛♥❣✉❧❛r tr❡❡s ✭✶✴✷✮

• ❉✐✛❡r❡♥t ✇❛②s ♦❢ ❧❛②✐♥❣ ♦✉t ❛ ❣✐✈❡♥ tr❡❡ ♦♥ t❤❡ ❣r✐❞ ✿

= ⇒ r❡♠♦✈✐♥❣ s②♠♠❡tr✐❡s ✿ r❡❝t❛♥❣✉❧❛r tr❡❡s

• ▲❡❛✈❡s ❛r❡ ❧♦❝❛t❡❞ ♦♥ t❤❡ ❜♦tt♦♠ r♦✇

{✇✶❥ | ✶ ≤ ❥ ≤ ♠} ⊆ ❱ + ❚r❡❡ ✏♣✉s❤❡❞✑ t♦ t❤❡ ❧❡❢t ✿ ✇✐❥ ✶ ♠ ✭♣r♦❥❡❝t✐♦♥✮ ✇✐❥ ❱ ❝ ✇✐❥ ♠✐♥ ✇✐❥

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

❘❡❝t❛♥❣✉❧❛r tr❡❡s ✭✶✴✷✮

• ❉✐✛❡r❡♥t ✇❛②s ♦❢ ❧❛②✐♥❣ ♦✉t ❛ ❣✐✈❡♥ tr❡❡ ♦♥ t❤❡ ❣r✐❞ ✿

= ⇒ r❡♠♦✈✐♥❣ s②♠♠❡tr✐❡s ✿ r❡❝t❛♥❣✉❧❛r tr❡❡s

• ▲❡❛✈❡s ❛r❡ ❧♦❝❛t❡❞ ♦♥ t❤❡ ❜♦tt♦♠ r♦✇

{✇✶❥ | ✶ ≤ ❥ ≤ ♠} ⊆ ❱ +

• ❚r❡❡ ✏♣✉s❤❡❞✑ t♦ t❤❡ ❧❡❢t ✿ ⇓✇✐❥ ∈ P({✶, . . . , ♠}) ✭♣r♦❥❡❝t✐♦♥✮

✇✐❥ ∈ ❱ + ⇔ ❝(✇✐❥) = ♠✐♥ ⇓✇✐❥

✷✽✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

❘❡❝t❛♥❣✉❧❛r tr❡❡s ✭✷✴✷✮

• ❊❛❝❤ ♥♦❞❡ ✐s ❧♦❝❛t❡❞ ❛❜♦✈❡ ✐ts ❞❡s❝❡♥❞❛♥ts

↓+✇✐❥ ⊆ {✇❧❦ | ✶ ≤ ❧ < ✐, ❥ ≤ ❦ ≤ ♠} ↑+✇✐❥ ⊆ {✇❧❦ | ✐ < ❧ ≤ ♥, ✶ ≤ ❦ ≤ ❥} ❆t ❛ ❧❡❛st ♦♥❡ ♦❢ ✐ts ❞❛✉❣❤t❡r ♥♦❞❡ ✐s ❧♦❝❛t❡❞ ♦♥ t❤❡ r♦✇ ❞✐r❡❝t❧② ❜❡❧♦✇ ✇✐❥ ❱ ✐ ✶ ✇ ✇ ✇✐❥

✶ ✐ ♥

✷✾✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

❘❡❝t❛♥❣✉❧❛r tr❡❡s ✭✷✴✷✮

• ❊❛❝❤ ♥♦❞❡ ✐s ❧♦❝❛t❡❞ ❛❜♦✈❡ ✐ts ❞❡s❝❡♥❞❛♥ts

↓+✇✐❥ ⊆ {✇❧❦ | ✶ ≤ ❧ < ✐, ❥ ≤ ❦ ≤ ♠} ↑+✇✐❥ ⊆ {✇❧❦ | ✐ < ❧ ≤ ♥, ✶ ≤ ❦ ≤ ❥}

• ❆t ❛ ❧❡❛st ♦♥❡ ♦❢ ✐ts ❞❛✉❣❤t❡r ♥♦❞❡ ✐s ❧♦❝❛t❡❞ ♦♥ t❤❡ r♦✇ ❞✐r❡❝t❧②

❜❡❧♦✇ ✇✐❥ ∈ ❱ + ⇔ ✐ − ✶ ∈ {ℓ(✇) | ✇ ∈ ↓✇✐❥} ✶<✐≤♥

✷✾✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

❘❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ s❡♠✐✲❧❛tt✐❝❡s ✉s✐♥❣ s❡ts ✭✶ ✴ ✷✮

• ❍♦✇ t♦ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ▲τ(✇) ⊑ ❙✈ ❛s ❝♦♥str❛✐♥ts ❄
• ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t ❛❧❧ ❆❱▼ ✈❛❧✉❡s ❛r❡ ♦❢ t②♣❡ M = [❢✶:❉✶, . . . , ❢♥:❉♥]

❛♥❞ t❤❛t ▲τ(✇) ♠✉st ❜❡ ✐♥st❛♥t✐❛t❡❞ ❜② ❛ ♠✐♥✐♠❛❧ ❆❱▼ ✈❛❧✉❡ ✭✇✳r✳t✳ ⊑✮ ■✳❡✳✱ ▲τ(✇)|❢✐ ♠✉st ❜❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ❣r♦✉♥❞ ✈❛❧✉❡ ✐♥ ❉✐ ▲τ(✇) ⊑ ❙✈ ≡

♥

• ✐=✶

▲τ(✇)|❢✐ ∈ ⌊❙✈|❢✐⌋ ✭✶✮ ❈♦♥s✐❞❡r ❙✈ ❢ ✇❤❡r❡ ❉ ✐s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❡♠✐✲❧❛tt✐❝❡ ✿ ❛ ❜ ❝ ▲ ✇ ❙✈ ✐✛ ▲ ✇

❢

❛ ❜ ✳

✸✵✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

❘❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ s❡♠✐✲❧❛tt✐❝❡s ✉s✐♥❣ s❡ts ✭✶ ✴ ✷✮

• ❍♦✇ t♦ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ▲τ(✇) ⊑ ❙✈ ❛s ❝♦♥str❛✐♥ts ❄
• ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t ❛❧❧ ❆❱▼ ✈❛❧✉❡s ❛r❡ ♦❢ t②♣❡ M = [❢✶:❉✶, . . . , ❢♥:❉♥]

❛♥❞ t❤❛t ▲τ(✇) ♠✉st ❜❡ ✐♥st❛♥t✐❛t❡❞ ❜② ❛ ♠✐♥✐♠❛❧ ❆❱▼ ✈❛❧✉❡ ✭✇✳r✳t✳ ⊑✮ ■✳❡✳✱ ▲τ(✇)|❢✐ ♠✉st ❜❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ❣r♦✉♥❞ ✈❛❧✉❡ ✐♥ ❉✐ ▲τ(✇) ⊑ ❙✈ ≡

♥

• ✐=✶

▲τ(✇)|❢✐ ∈ ⌊❙✈|❢✐⌋ ✭✶✮

• ❈♦♥s✐❞❡r ❙✈ = [❢ :α] ✇❤❡r❡ ❉ ✐s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❡♠✐✲❧❛tt✐❝❡ ✿

⊤ α β ❛ ❜ ❝ ▲τ(✇) ⊑ ❙✈ ✐✛ ▲τ(✇)|❢ ∈ ⌊α⌋ = {❛, ❜}✳

✸✵✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

❘❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ s❡♠✐✲❧❛tt✐❝❡s ✉s✐♥❣ s❡ts ✭✷ ✴ ✷✮

• ▲❡t ❙✵, ❙✶, ❙✷ ❜❡ ❆❱▼ ❡①♣r❡ss✐♦♥s

❍♦✇ t♦ r❡♣r❡s❡♥t ▲τ(✇✵), ▲τ(✇✶), ▲τ(✇✷) | = ❊(❙✵, ❙✶, ❙✷) ❄

• (✐,❢✉) .

=(❥,❢✈)∈❊(❙✵,❙✶,❙✷)

▲τ(✇✐)|❢✉ = ▲τ(✇❥)|❢✈ ❚♦ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ ✐♥❛❝t✐✈❡ ♥♦❞❡s✱ ✇❡ r❡♣r❡s❡♥t ▲ ✇

❢✐ ✉s✐♥❣ ❛ s❡t

✈❛r✐❛❜❧❡ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛t ♠♦st ♦♥❡ ❡❧❡♠❡♥t ✿ ▲ ✇

❢✐ ✐

▲ ✇

❢✐

✶ ✇ ❱ ▲ ✇

❢✐

✶ ✶ ✐ ♥ ✭✶✮ ✐s r❡♣❧❛❝❡❞ ✇✐t❤ ✿ ▲ ✇ ❙✈

♥ ✐ ✶

▲ ✇

❢✐

❙✈

❢✐

✸✶✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

❘❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ s❡♠✐✲❧❛tt✐❝❡s ✉s✐♥❣ s❡ts ✭✷ ✴ ✷✮

• ▲❡t ❙✵, ❙✶, ❙✷ ❜❡ ❆❱▼ ❡①♣r❡ss✐♦♥s

❍♦✇ t♦ r❡♣r❡s❡♥t ▲τ(✇✵), ▲τ(✇✶), ▲τ(✇✷) | = ❊(❙✵, ❙✶, ❙✷) ❄

• (✐,❢✉) .

=(❥,❢✈)∈❊(❙✵,❙✶,❙✷)

▲τ(✇✐)|❢✉ = ▲τ(✇❥)|❢✈

• ❚♦ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ ✐♥❛❝t✐✈❡ ♥♦❞❡s✱ ✇❡ r❡♣r❡s❡♥t ▲τ(✇)|❢✐ ✉s✐♥❣ ❛ s❡t

✈❛r✐❛❜❧❡ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛t ♠♦st ♦♥❡ ❡❧❡♠❡♥t ✿ ▲τ(✇)|❢✐ ⊆ ⌊⊤✐⌋ |▲τ(✇)|❢✐| ≤ ✶ ✇ ∈ ❱ + ⇔ |▲τ(✇)|❢✐| = ✶ ✶ ≤ ✐ ≤ ♥ ✭✶✮ ✐s r❡♣❧❛❝❡❞ ✇✐t❤ ✿ ▲τ(✇) ⊑ ❙✈ ≡

♥

• ✐=✶

▲τ(✇)|❢✐ ⊆ ⌊❙✈|❢✐⌋

✸✶✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

Pr♦♣❡rt② ❝♦♥str❛✐♥ts

• Pr♦♣❡rt② ✐♥st❛♥❝❡s ❛r❡ ♦❢ t❤❡ t②♣❡ ♣@♥✱ ♣@♥, ♥✶ ♦r

♣@♥, ♥✶, ♥✷ ✭♥ ❜❡✐♥❣ ❛ ♥♦❞❡✱ ♥✶, ♥✷ ✐ts ❞❛✉❣❤t❡rs✮

• ❲❡ ❝❛♥ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❡①❛❝t ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐♥st❛♥❝❡s ♦♥ t❤❡ ❣r✐❞
• ❲❡ ❝❛♥ ✐♥❞❡① t❤❡s❡ ✐♥st❛♥❝❡s ✐♥ ❛ ❣❧♦❜❛❧ ❞❛t❛ str✉❝t✉r❡✱

❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ♣❡rt✐♥❡♥❝❡ ❛♥❞ s❛t✐s❢❛❝t✐♦♥ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❡❛❝❤ ♣r♦♣❡rt② ✐♥st❛♥❝❡ ✿

• P(■) ❝♦♥t❛✐♥s t❤❡ ♣❡rt✐♥❡♥❝❡ ♦❢ ✐♥st❛♥❝❡ ■
• ❙(■) ❝♦♥t❛✐♥s t❤❡ ♣❡rt✐♥❡♥❝❡ ❛♥❞ s❛t✐s❢❛❝t✐♦♥ ♦❢ ✐♥st❛♥❝❡ ■
• P❡rt✐♥❡♥❝❡ ❛♥❞ s❛t✐s❢❛❝t✐♦♥ ❛r❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ❛s

❝♦♥❥✉♥❝t✐♦♥s✴❞✐s❥✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ s❡t ❝♦♥str❛✐♥ts

✸✷✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡ ✶ ✿ ♦❜❧✐❣❛t✐♦♥

• ■♥st❛♥❝❡s ■ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠

Iτ[ [❙✵ : △❙✶] ]@✇✐✵❥✵ ✇✐t❤ ✇✐✵❥✵ ∈ ❱

• P❡rt✐♥❡♥❝❡

P(■) ⇔

• ✇✐✵❥✵ ∈ ❱ + ∧ ▲τ(✇✐✵❥✵) ⊑ ❙✈

✵

• P❡rt✐♥❡♥❝❡ ❛♥❞ s❛t✐s❢❛❝t✐♦♥

❙(■) ⇔ P(■) ∧

• ✇✐❥∈↓✇✐✵❥✵

▲τ(✇✐❥) ⊑ ❙✈

✶

✸✸✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡ ✷ ✿ r❡q✉✐r❡♠❡♥t

• ■♥st❛♥❝❡s ■ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠

Iτ[ [❙✵ : ❙✶ ⇒ ❙✷] ]@✇✐❥, ✇✐✶❥✶ ✇✐t❤ ✇✐❥, ✇✐✶❥✶, ✇✐✷❥✷ ∈ ❱

• P❡rt✐♥❡♥❝❡

P(■) ⇔

• ✇✐✵❥✵ ∈ ❱ + ∧ ✇✐✶❥✶ ∈ ↓✇✐✵❥✵∧

▲τ(✇✐✵❥✵) ⊑ ❙✈

✵ ∧ ▲τ(✇✐✶❥✶) ⊑ ❙✈ ✶

• P❡rt✐♥❡♥❝❡ ❛♥❞ s❛t✐s❢❛❝t✐♦♥

❙(■) ⇔ P(■) ∧

• ✇✐❥∈↓✇✐✵❥✵

▲τ(✇✐❥) ⊑ ❙✈

✷

✸✹✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡ ✸ ✿ ❧✐♥❡❛r✐t②

• ■♥st❛♥❝❡s ■ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠

Iτ[ [❙✵ : ❙✶ ≺ ❙✷] ]@✇✐❥, ✇✐✶❥✶, ✇✐✷❥✷ ✇✐t❤ ✇✐❥, ✇✐✶❥✶, ✇✐✷❥✷ ∈ ❱

• P❡rt✐♥❡♥❝❡

P(■) ⇔

• ✇✐❥ ∈ ❱ + ∧ ✇✐✶❥✶ ∈ ↓✇✐✵❥✵ ∧ ✇✐✷❥✷ ∈ ↓✇✐✵❥✵∧

▲τ(✇✐✵❥✵) ⊑ ❙✈

✵ ∧ ▲τ(✇✐✶❥✶) ⊑ ❙✈ ✶ ∧ ▲τ(✇✐✷❥✷) ⊑ ❙✈ ✷

• P❡rt✐♥❡♥❝❡ ❛♥❞ s❛t✐s❢❛❝t✐♦♥

❙(■) ⇔ P(■) ∧ ❥✶ < ❥✷

✸✺✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

▲❡①✐❝❛❧ ❝♦♥str❛✐♥ts

• ■♥t❡r♥❛❧ ♥♦❞❡ ✇ ♦❢ ❛ ❝❛♥❞✐❞❛t❡ tr❡❡ ♠♦❞❡❧ ✿

|▲τ(✇)|❢✐| = ✶ ✶ ≤ ✐ ≤ ♥

• ▲❡❛❢ ♥♦❞❡s ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ✇♦r❞s ♦❢ t❤❡ s❡♥t❡♥❝❡ t♦ ♣❛rs❡ ✿

♠

• ❥=✶

∃▼✐ (✇♦r❞❥, ▼❥) ∈ ▲● ∧ ▲τ(✇✶❥) ⊑ ▼❥ ✇❤❡r❡ ✇♦r❞❥ ✐s t❤❡ ❥t❤ ✇♦r❞ ♦❢ t❤❡ s❡♥t❡♥❝❡ t♦ ♣❛rs❡ ❛♥❞ ▲● t❤❡ ❧❡①✐❝♦♥

✸✻✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

▼♦❞❡❧ ❛♥❞ q✉❛s✐✲♠♦❞❡❧

• ▼♦❞❡❧ ✭str♦♥❣ s❡♠❛♥t✐❝s✮ ✿

P(■) → ❙(■) ◗✉❛s✐✲♠♦❞❡❧ ✭❧♦♦s❡ s❡♠❛♥t✐❝s✮ ✿ ♠❛①

• ✵
• ✵
• ■

P ■

• ■

❙ ■

✸✼✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

▼♦❞❡❧ ❛♥❞ q✉❛s✐✲♠♦❞❡❧

• ▼♦❞❡❧ ✭str♦♥❣ s❡♠❛♥t✐❝s✮ ✿

P(■) → ❙(■)

• ◗✉❛s✐✲♠♦❞❡❧ ✭❧♦♦s❡ s❡♠❛♥t✐❝s✮ ✿

♠❛① |I+

• ,τ|/|I✵
• ,τ|

|I✵

• ,τ| =
• ■∈I

P(■) |I+

• ,τ| =
• ■∈I

❙(■)

✸✼✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

❖✉t❧✐♥❡

✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✷ Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ✇✐t❤ ❋❡❛t✉r❡s ✸ ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ✇✐t❤ ❋❡❛t✉r❡s ✹ Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ✉s✐♥❣ ❝♦♥str❛✐♥t s❛t✐s❢❛❝t✐♦♥ ✺ ■♠♣❧❡♠❡♥t✐♥❣ ❛ ♣r♦t♦t②♣❡

✸✽✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

■♠♣❧❡♠❡♥t✐♥❣ ❛ ♣r♦t♦t②♣❡ ✭✶✴✷✮

■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❆P■ ❢♦r ❈♦♥str❛✐♥t Pr♦❣r❛♠♠✐♥❣ ♣r♦✈✐❞❡❞ ❜② ●❡❝♦❞❡ ✭●❡♥❡r✐❝ ❈♦♥str❛✐♥t ❉❡✈❡❧♦♣♠❡♥t ❊♥✈✐r♦♥♠❡♥t✮ ❬●❡❝♦❞❡ ❚❡❛♠✱ ✷✵✶✵❪

• ◆♦❞❡ ✇✐❥ ✿ ✐♥t❡❣❡r (✐ − ✶) × ♠ + ❥
• ●r✐❞ ✿ ❱ = {✶, . . . , ♥ × ♠}
• ❱ + ❛♥❞ ❱ − ❛r❡ t✇♦ s❡t ✈❛r✐❛❜❧❡s s✉❝❤ t❤❛t ❱ + ⊎ ❱ − = ❱
• ↓✇✱ ↓+✇✱ ↓∗✇✱ ↑✇✱ ↑+✇✱ ↑∗✇ ❛r❡ s❡t ✈❛r✐❛❜❧❡s
• P(■) ❛♥❞ ❙(■) ❛r❡ t❛❜❧❡s ♦❢ ❜♦♦❧❡❛♥ ✈❛r✐❛❜❧❡s
• ❈♦♥str❛✐♥ts ✭tr❡❡✲s❤❛♣❡❞♥❡ss✱ ♣❡rt✐♥❡♥❝❡ ❛♥❞ s❛t✐s❢❛❝t✐♦♥ ♦❢

♣r♦♣❡rt② ✐♥st❛♥❝❡s✱ ❧❡①✐❝❛❧ ❝♦♥str❛✐♥ts✱ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❝♦♥str❛✐♥t✮ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❛s ❝♦♥str❛✐♥ts ♦♥ ✜♥✐t❡ s❡ts

• ❙❡❛r❝❤ ❢♦r t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ s②♥t❛❝t✐❝ tr❡❡ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❜r❛♥❝❤✲❛♥❞✲❜♦✉♥❞

❛❧❣♦r✐t❤♠

✸✾✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

■♠♣❧❡♠❡♥t✐♥❣ ❛ ♣r♦t♦t②♣❡ ✭✷✴✷✮

• ❊①❛♠♣❧❡ ✿ ✓ P❡t❡r ❡❛ts t❤❡ ❛♣♣❧❡ ✔
• r❛♠♠❛r ✿ ✶✾ ♣r♦♣❡rt✐❡s✱ ✻ ❝❛t❡❣♦r✐❡s

❙❡❛r❝❤ tr❡❡ ✿ ✹✺✵✱✵✵✵ ♥♦❞❡s✱ ✼ s♦❧✉t✐♦♥s

❤tt♣s✿✴✴❧❛✉♥❝❤♣❛❞✳♥❡t✴♣r♦♣❡rt②✲❣r❛♠♠❛r

✹✵✴✹✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋❇✲P● ❆ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❋❇✲P● Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ♣❛rs✐♥❣ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

• ▼♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ♦❢ Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r ✇✐t❤ ❋❡❛t✉r❡s
• ▼♦❞❡❧✐s❛t✐♦♥ ♦❢ Pr♦♣❡rt② ●r❛♠♠❛r P❛rs✐♥❣ ❛s ❛ ❈♦♥str❛✐♥t

❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠

• ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❝♦♥str❛✐♥t✲❜❛s❡❞ ♣❛rs❡r ❛❜❧❡ t♦ ♣❛rs❡

❜♦t❤ ❣r❛♠♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ✉♥❣r❛♠♠❛t✐❝❛❧ ✉tt❡r❛♥❝❡s

• ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ✿ ♣r♦✈✐❞✐♥❣ t❤❡ ❧✐♥❣✉✐st ✇✐t❤ ❛ ❞❡✈✐❝❡ t♦ ❝❤❡❝❦ ❤❡r✴❤✐s

t❤❡♦r✐❡s ❛♥❞ t❤❡ ❧♦❣✐❝❛❧ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡s ♦❢ t❤❡s❡ ♦♥ s②♥t❛❝t✐❝ tr❡❡s

• ❚♦ ❜❡ ❞♦♥❡ ✿
• ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥s ✿
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