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Oct 25, 2023 327 likes •706 views

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✶✳✷ ■♥t❡❣r❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❢♦r♠❛❧✐s♠

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  • − i
  • ˆ

H(t′ − t)

  • .

✭✶✳✸✮ ■♥ t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s♣❛❝❡ t❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ s❝❛❧❛r ♣r♦❞✉❝t ψ(x, t) = x|ψ(t)✱ ❛♥❞ ❛t t✐♠❡ t′ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s ψ(x′, t′) =

  • dxx′| ˆ

U(t′, t)|xψ(x, t), ✭✶✳✹✮ ✇❤❡r❡ t❤❡ ♠❛tr✐① ❡❧❡♠❡♥t x′| ˆ U(t′, t)|x = x′| exp(− i

  • ˆ

H(t′ − t))|x ✭✶✳✺✮ ✐s t❤❡ ♣r♦♣❛❣❛t♦r ♦❢ t❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ■❢ ✐t ✐s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛ t✐♠❡ t1 s✉❝❤ ❛s t′ ≥ t1 ≥ t ✐t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✜rst t❤❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❢r♦♠ t t♦ t1 ❛♥❞ t❤❡ ❢r♦♠ t1 t♦ t′ x′| ˆ U(t′, t)|x = x′| exp(− i

  • ˆ

H(t′ − t1)) exp(− i

  • ˆ

H(t1 − t))|x, ✭✶✳✻✮ ♦r x′| ˆ U(t′, t)|x =

  • dx1x′| ˆ

U(t′, t1)|x1x1| ˆ U(t1, t)|x. ✭✶✳✼✮ ❚❤✐s ❧❛st ♣r♦❝❡❡❞ ❝❛♥ ❜❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❞✐✈✐❞✐♥❣ t❤❡ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [t, t′] ✐♥ N ❡q✉❛❧ ♣❛rts t′ − t = Nǫ ✭✶✳✽✮ ✻

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SLIDE 15

❈❍❆P❚❊❘ ✶✳ ■◆❚❘❖❉❯❈❚■❖◆ ✶✳✷✳ ■◆❚❊●❘❆▲ ❋❯◆❈❚■❖◆❆▲ ❋❖❘▼❆▲■❙▼ t❤❡♥ ✐♥s❡rt✐♥❣ ♣♦s✐t✐♦♥ ❡✐❣❡♥❦❡ts |xi ✐♥ ❡❛❝❤ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ t✐♠❡ ti x′| ˆ U(t′, t)|x =

  • dx1
  • dx2 · · ·
  • dxN−1x′| ˆ

U(t′, tN−1)|xN−1 · · · × x1| ˆ U(t1, t)|x. ✭✶✳✾✮ ■❢ t❤❡ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ✐s ˆ H = ˆ p2 2m + ˆ V (ˆ x), ✭✶✳✶✵✮ t❤❡♥ xi+1| ˆ U(ti+1, ti)|xi = m 2πǫ 1/2 exp iǫ

  • m

2 xi+1 − xi ǫ 2 − V (xi)

  • ,

✭✶✳✶✶✮ s♦ t❤❡ ♣r♦♣❛❣❛t♦r ✐s x′| ˆ U(t′, t)|x =

  • Dx exp( i

S[x]), ✭✶✳✶✷✮ ✇❤❡r❡ S[x] = lim

ǫ→0 ǫ

  • i

m 2 xi+1 − xi ǫ 2 − V (xi)

  • =
  • dt

m 2 ˙ x − V (x)

  • ,

✭✶✳✶✸✮ ❛♥❞

  • Dx = lim

ǫ→0

  • m

2πiǫ N/2 dx1 · · ·

  • dxN−1

✭✶✳✶✹✮ ❙♦ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✶✳✶✷✮ ✐s ❛❜♦✉t ❛♥ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦✈❡r ❛❧❧ t❤❡ ♣♦ss✐❜❧❡ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s✳ ❊❛❝❤ ✐♥t❡❣r❛❧

  • dx

❤❛♣♣❡♥s ✐♥ ❛ ♣❤②s✐❝❛❧ s♣❛❝❡✱ ❜✉t t❤❡ r❡s✉❧t ✐s ❛ s✉♠ ♦✈❡r ❛❧❧ t❤❡ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s✳ ❚❤✐s ❢♦r♠❛❧✐s♠ ✐s ♦❢ ❛ ✉s❡❢✉❧ ✉t✐❧✐t② ❢♦r t❤❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❋✐❡❧❞ ❚❤❡♦r② ✭◗❋❚✮ ❞✉❡ ✐t ❣✐✈❡s ❛ ❜r✐❞❣❡ ✇✐t❤ st❛t✐st✐❝❛❧ ♠❡❝❤❛♥✐❝s✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♣❛rt✐t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ Z = Tr exp(−β ˆ H), ✭✶✳✶✺✮ ✇❤❡r❡ β = 1/T ❛♥❞ T ✐s t❤❡ t❡♠♣❡r❛t✉r❡ ✭✇✐t❤ kB = 1✮✳ ■❢ β = i(t′ − t)

  • ,

✭✶✳✶✻✮ ✭❲✐❝❦ r♦t❛t✐♦♥✮ t❤❡♥ ♦♣❡r❛t♦r exp(−β ˆ H) ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✶✳✶✺✮ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s ✇✐t❤ t❤❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ t❡♠♣♦✲ r❛❧ ♦♣❡r❛t♦r ✭✶✳✶✶✮✳ ❙♦ ❛ ✜♥✐t❡ t❡♠♣❡r❛t✉r❡ ❝❛♥ ❜❡ ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ✇✐t❤ ❛♥ ✐♠❛❣✐♥❛r② t✐♠❡✱ t❤❡ ❡✐❝❧✐❞✐❛♥ t✐♠❡✳ ❘♦t❛t✐♦♥ ♦❢ t ✐♥ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ♣❧❛♥❡ ❜② π/2 ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❲✐❝❦ r♦t❛t✐♦♥✳ ■❢ ❛♥ ❛♥❛❧♦❣ ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ❡q✳ ✭✶✳✶✷✮ ✐s ❞♦♥❡ ❜✉t ✇✐t❤ t❤❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ǫ ❜② a ✐♥ t❤❡ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ s♣❛❝❡✱ ❞✐✈✐❞✐♥❣ t❤❡ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ t✐♠❡ ✐♥ N ❡q✉❛❧ ♣❛rts ✇✐t❤ β = Na

  • ✭✶✳✶✼✮

t❤❡♥ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ t❤❡ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ♣❛t❤ ✐♥t❡❣r❛❧ Z =

  • Dx exp(−1

SE[x]), ✭✶✳✶✽✮ ✇❤❡r❡ SE[x] = lim

a→0 a

m 2 xi+1 − xi a 2 + V (x)

  • =

t′

r

dτ m 2 ˙ x2 + V (x)

  • ,

✭✶✳✶✾✮ ✇❤❡r❡

  • Dx = lim

a→0

m 2πa N/2 dx1· · ·

  • dxN.

✭✶✳✷✵✮ ❊q✳ ✭✶✳✶✽✮ ✇✐❧❧ ❜❡ ✉s❡❢✉❧ ✐♥ t❤❡ r❡❣✉❧❛r✐s❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ 3d O(4) ♠♦❞❡❧✳ ✼

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SLIDE 16

❈❍❆P❚❊❘ ✶✳ ■◆❚❘❖❉❯❈❚■❖◆ ✶✳✸✳ ❇❆❙■❈❙ ❖❋ ❚❍❊ ❈❘■❚■❈❆▲ P❍❊◆❖▼❊◆❆ ❚❍❊❖❘❨

✶✳✸ ❇❛s✐❝s ♦❢ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣❤❡♥♦♠❡♥❛ t❤❡♦r②

◆♦✇ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ◗❋❚ ❛♥❞ st❛t✐st✐❝❛❧ ♠❡❝❤❛♥✐❝s ❤❛s ❜❡❡♥ r❡✈❡❛❧❡❞ t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ♣❛rt✐t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ t✐♠❡ ❛s ❣✐✈❡♥ ❜② ❡q✳ ✭✶✳✶✽✮✱ ❛ ❜❛s✐❝ r❡✈✐❡✇ ♦❢ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣❤❡♥♦♠❡♥❛ t❤❡♦r② ✇✐❧❧ ❜❡ ✇❡❧❝♦♠❡❞✳ ❆ ♣❤❛s❡ ✐s ❛ st❛t❡ ♦❢ ♠❛tt❡r ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ♠❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ♣❤②s✐❝❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ s✉❜st❛♥❝❡ ❛r❡ ✉♥✐❢♦r♠ ♦♥ ❛ ♠❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ❧❡♥❣t❤ s❝❛❧❡✱ ❡✳❣✳ ✶ ♠♠✳ ❋❛♠✐❧✐❛r ❡①❛♠♣❧❡s ❛r❡ ✐❝❡✱ ❧✐q✉✐❞ ✇❛t❡r✱ ❛♥❞ ✇❛t❡r ✈❛♣♦r✳ ❆ ♣❤❛s❡ ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② ❛ t❤❡r♠♦❞②♥❛♠✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ t②♣✐❝❛❧❧② t❤❡ ❢r❡❡ ❡♥❡r❣② ✇❤✐❝❤ ❞❡♣❡♥❞s ♦❢ ❢❡✇ ♠❛❝r♦s❝♦♣✐❝❛❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs s✉❝❤ ❛s t❤❡ t❡♠♣❡r❛t✉r❡✱ ♣r❡ss✉r❡ ♦r ❞❡♥s✐t②✳ ❆ ♣❤❛s❡ ❞✐❛❣r❛♠ ✐s ❛ ❣r❛♣❤ ✇✐t❤ t❤♦s❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛s t❤❡ ❛①❡s✱ ♦♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ♣❤❛s❡ ✐s s♣❡❝✐✜❡❞ ❢♦r ❡❛❝❤ ♣♦✐♥t✳ ❆ t②♣✐❝❛❧ ♣❤❛s❡ ❞✐❛❣r❛♠ ❤❛s s❡✈❡r❛❧ s♣❡❝✐✜❝ ❢❡❛t✉r❡s ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ ♣❤❛s❡ ❜♦✉♥❞❛r✐❡s ❛♥❞ ❛ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥ts✳ ❆ ♣❤❛s❡ ❜♦✉♥❞❛r② s❡♣❛r❛t❡s ❞✐✛❡r❡♥t ♣❤❛s❡s✳ ❆ ♣❤❛s❡ ❜♦✉♥❞❛r② s♦♠❡t✐♠❡s ❞✐s❛♣♣❡❛rs ❛t ❛ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥t✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ t✇♦ ♣❤❛s❡s ❜❡❝♦♠❡ ✐♥❞✐st✐♥❣✉✐s❤❛❜❧❡ ❛♥❞ t❤❡ s✉❜st❛♥❝❡ s❤♦✇s ❛♥♦♠❛❧♦✉s ❜❡❤❛✈✐♦r✳ ❆ ♣❤❛s❡ ❝❛♥ ❜❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② ✈❛r✐♦✉s ♣❤②s✐❝❛❧ q✉❛♥t✐t✐❡s✳ ❊s♣❡❝✐❛❧❧② ✐♠♣♦rt❛♥t ✐s t❤❡ ♦r❞❡r ♣❛r❛♠❡t❡r✱ ✇❤✐❝❤ ♠❡❛s✉r❡s ❤♦✇ ♠✐❝r♦s❝♦♣✐❝ ❡❧❡♠❡♥ts ❝♦♥st✐t✉t✐♥❣ t❤❡ ♠❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ♣❤❛s❡ ❛r❡ ♦r❞❡r❡❞ ♦r ✐♥ ❛ s✐♠✐❧❛r st❛t❡✳ t❤❡ ♦r❞❡r ♣❛r❛♠❡t❡r ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❜r❡❛❦✐♥❣ ♦❢ ❛ s②♠♠❡tr② ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ✉♥❞❡r ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ♦r❞❡r ♣❛r❛♠❡t❡r ♠❡❛s✉r❡s t❤❡ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❛s②♠♠❡tr② ✐♥ t❤❡ ❜r♦❦❡♥ s②♠♠❡tr② ♣❤❛s❡ ✭✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ♦r❞❡r❡❞ ♣❤❛s❡✮✱ ✐✳❡✳ ✐t ✐s ♥♦♥✲③❡r♦ ✐♥ t❤❡ ♦r❞❡r❡❞ ♣❤❛s❡ ❛♥❞ ✈❛♥✐s❤❡s ✐♥ t❤❡ ❞✐s♦r❞❡r❡❞ ♣❤❛s❡✳ ❆ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ✐s ❛ ♣❤❡♥♦♠❡♥♦♥ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❛ ❞r❛st✐❝ ❝❤❛♥❣❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡r♠♦❞②♥❛♠✐❝ ♣❤❛s❡s ♦❝❝✉rs ❛s t❤❡ s②st❡♠ ♣❛r❛♠❡t❡rs s✉❝❤ ❛s t❤❡ t❡♠♣❡r❛t✉r❡ ♦r ❞❡♥s✐t② ❛r❡ ✈❛r✐❡❞✳ ❚❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛✲ t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ❛s ❛ ❞r❛st✐❝ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ ♠❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧❧② ❛s t❤❡ ❡♠❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ✭♥♦♥✲❛♥❛❧②t✐❝✐t✐❡s✮ ✐♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s r❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ ♣❤②s✐❝❛❧ q✉❛♥t✐t✐❡s✱ s✉❝❤ ❛s t❤❡ s♣❡❝✐✜❝ ❤❡❛t c ♦r ♠❛❣♥❡t✐❝ s✉s❝❡♣t✐❜✐❧✐t② χm✳ P❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥s ❛r❡ r♦✉❣❤❧② ❞✐✈✐❞❡❞ ✐♥t♦ t✇♦ t②♣❡s ❜② t❤❡ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ s✐♥❣✉❧❛r✐t② ✐♥ ♣❤②s✐❝❛❧ q✉❛♥t✐t✐❡s✳ ❲❤❡♥ t❤❡ ✜rst✲♦r❞❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ t❤❡ ❢r❡❡ ❡♥❡r❣② F s❤♦✇s ❛ ❞✐s❝♦♥t✐♥✉✐t②✱ t❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ✐s ♦❢ ✜rst ♦r❞❡r✳ ❚❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✐❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♦r ❤✐❣❤❡r✲♦r❞❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ♦❢ t❤❡ ❢r❡❡ ❡♥❡r❣② s❤♦✇ ❛ ❞✐s❝♦♥t✐♥✉✐t② ♦r ❛ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡✳ ■t ✐s ❝♦♠♠♦♥ t♦ ♥❛♠❡ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥s ❜② t❤❡ ♦r❞❡r ♦❢ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ t❤❛t ✜rst s❤♦✇s ❛ ❞✐s❝♦♥t✐♥✉✐t② ♦r ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡✱ ❡✳❣✳ ✐t ✐s ❝❛❧❧❡❞ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r ✐❢ ✐t ✐s t❤❡ s❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ t❤❡ ❢r❡❡ ❡♥❡r❣② t❤❛t ✜rst ❞✐s♣❧❛②s t❤❡ ❞✐s❝♦♥t✐♥✉✐t② ♦r ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡✳ ❚❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ◗❋❚ ❛♥❞ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣❤❡♥♦♠❡♥❛ t❤❡♦r② ✐s ♥♦✇ ❝❧❡❛r❧② ✈✐s✐❜❧❡ t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ♣❛t❤ ❢♦r♠❛❧✐s♠ t❤❛t ❣✐✈❡s t❤❡ ♣❛rt✐t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ Z ✐♥ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ t✐♠❡ ✶ ✳ ❆ s❡r✐❡s ♦❢ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ❢♦❧❧♦✇ t♦ ❣✐✈❡ ❛♥ ❛♥❛❧②t✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞ t♦ t❤❡ ✐❞❡❛s ♦❢ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣❤❡♥♦♠❡♥❛✳ ❋♦r ❛ q✉❛♥t✐t② Q t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s Q = 1 Z

  • i

Qi exp(−βHi). ✭✶✳✷✶✮ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❡♥❡r❣② H ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② H = 1 Z

  • i

Hi exp(−βHi) = −∂ log Z ∂β . ✭✶✳✷✷✮ ❚❤❡ s♣❡❝✐✜❝ ❤❡❛t ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② c = ∂U ∂T = kBβ2 ∂2 log Z ∂β2 ✭✶✳✷✸✮ ❙❡✈❡r❛❧ q✉❛♥t✐t✐❡s ❝❛❧❧❡❞ s✉s❝❡♣t✐❜✐❧✐t✐❡s ✇✐❧❧ ❜❡ ✉s❡❞✳ ■♥ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ✇❛②✱ ❢♦r t✇♦ q✉❛♥t✐t✐❡s X ❛♥❞ Y ✱ t❤❡ s✉s❝❡♣t✐❜✐❧✐t② ♦❢ X t♦ Y ♠❡❛s✉r❡s t❤❡ str❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ r❡s♣♦♥s❡ ♦❢ X t♦ ❝❤❛♥❣❡s ✐♥ Y ❛♥❞ ✐s ✉s✉❛❧❧② ❞❡✜♥❡❞ ❛s χ = ∂X ∂Y ✭✶✳✷✹✮

✶■♥ d ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ s♣❛❝❡ t❤❡ ❛❝t✐♦♥ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② SE =

  • ddxL ✇❤❡r❡ L ✐s t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥✳

✽

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SLIDE 17

❈❍❆P❚❊❘ ✶✳ ■◆❚❘❖❉❯❈❚■❖◆ ✶✳✸✳ ❇❆❙■❈❙ ❖❋ ❚❍❊ ❈❘■❚■❈❆▲ P❍❊◆❖▼❊◆❆ ❚❍❊❖❘❨ ❆ ❞❡❡♣❡r ❡①♣❧❛♥❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ✐♥ r❡❢✳ ❬✶❪✳ ❋✐❣✉r❡ ✶✳✷✿ ❚②♣✐❝❛❧ ♣❧♦t ❢r♦♠ ❛ ✜rst ♦r❞❡r tr❛♥s✐t✐♦♥✳ ❖❜s❡r✈❡ t❤❡ ❛❧♠♦st ✐♠♠❡❞✐❛t❡ ❢❛❧❧ ❛r♦✉♥❞ Tcritical ✐♥ t❤❡ ♦r❞❡r ♣❛r❛♠❡t❡r✳ ❋✐❣✉r❡ ✶✳✸✿ ❚②♣✐❝❛❧ ♣❧♦t ❢r♦♠ ❛ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r tr❛♥s✐t✐♦♥✳ ❖❜s❡r✈❡ t❤❡ s♠♦♦t❤ ❢❛❧❧ ✐♥ t❤❡ ♦r❞❡r ♣❛r❛♠❡t❡r ❛s t❤❡ t❡♠♣❡r❛t✉r❡ r❛✐s❡s✳ ✾

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SLIDE 19

❈❤❛♣t❡r ✷

3d O(4) ♠♦❞❡❧

✷✳✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

P❛rt✐❝❧❡ ♣❤②s✐❝s ✐s ❛t ❤❡❛rt ♦❢ ♦✉r ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❧❛✇s ♦❢ ♥❛t✉r❡✳ ■t ✐s ❝♦♥❝❡r♥❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❝♦♥st✐t✉❡♥ts ♦❢ t❤❡ ✉♥✐✈❡rs❡✱ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥t❛r② ♣❛rt✐❝❧❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡♠✳ ■♥ t❤❡ ❛t♦♠✐❝ ♥✉❝❧❡✉s✱ t❤❡ ♣r♦t♦♥s ❛♥❞ ♥❡✉tr♦♥s ❛r❡ ❜♦✉♥❞ t♦❣❡t❤❡r ❜② t❤❡ str♦♥❣ ♥✉❝❧❡❛r ❢♦r❝❡✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ♠❛♥✐❢❡st❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ t❤❡♦r② ♦❢ str♦♥❣ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥s✱ ❝❛❧❧❡❞ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤r♦♠♦❞②♥❛♠✐❝s ✭◗❈❉✮✳ ❋✐❣✉r❡ ✷✳✶✿ P❛rt✐❝❧❡s ❝♦♥❢♦r♠✐♥❣ t❤❡ ❙t❛♥❞❛r❞ ▼♦❞❡❧✳ ◗❈❉ ♣r♦✈✐❞❡s ❛ s✉❝❝❡ss❢✉❧ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ str♦♥❣ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥✳ ■t ✐s ❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ q✉❛r❦s ❛♥❞ ❣❧✉♦♥ ✜❡❧❞s t❤❛t ❜♦✉♥❞ t❤❡♠s❡❧✈❡s ✐♥ ❝♦♠♣❧❡① str✉❝t✉r❡s ❝❛❧❧❡❞ ❤❛❞r♦♥s✳ ❖♥❡ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤❡s ❜❛r②♦♥s ✭✇✐t❤ ✈❛❧❡♥❝❡ t❤r❡❡ q✉❛r❦s ✐♥s✐❞❡✮ ❛♥❞ ♠❡s♦♥s ✭♣❛✐r q✉❛r❦✲❛♥t✐q✉❛r❦✮✳ ◗❈❉ ❤❛s ❜❡❡♥ t❡st❡❞ s✐♥❝❡ ✐ts ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t ✉♥❞❡r s❡✈❡r❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ ❛ q✉❡st✐♦♥ t❤❛t ✐s st✐❧❧ ♦♣❡♥ ✐s t❤❡ ♣❤❛s❡ ❞✐❛❣r❛♠ ❛♥❞ ✇❤❛t ❤❛♣♣❡♥s ❛t ❤✐❣❤ ❜❛r②♦♥ ❞❡♥s✐t②✳ ❆ ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧ q✉❡st✐♦♥ ✐❢ ♦❜❥❡❝ts ❧✐❦❡ ♥❡✉tr♦♥ st❛rs ♦r t❤❡ ❡❛r❧② ✉♥✐✈❡rs❡ ❛r❡ ❣♦✐♥❣ t♦ ❜❡ st✉❞✐❡❞ ✐♥ ❛ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ✇❛②✳ ❖♥❡ ♦❢ t❤❡ r❡❛s♦♥s ✇❤② t❤❡ ♣❤❛s❡ ❞✐❛❣r❛♠ ♦❢ ◗❈❉ ❤❛s♥✬t ❜❡❡♥ s❡tt❧❡❞ ②❡t ❜② ❧❛tt✐❝❡ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s ✐s t❤❡ s✐❣♥ ♣r♦❜❧❡♠✿ ❊q✳ ✭✶✳✶✽✮ ✇✐❧❧ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❞❡✜♥❡ ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② p[U] t❤❛t ✇✐❧❧ ❜❡ ✉s❡❢✉❧ t♦ ❣❡♥❡r❛t❡ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s t❤r♦✉❣❤ ▼❛r❦♦✈ ❝❤❛✐♥s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❜❛r②♦♥✐❝ ❞❡♥s✐t② µB ✇✐❧❧ ❛tt❛❝❤ ❛♥ ✐♠❛❣✐♥❛r② ♣❛rt t♦ t❤❡ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❛❝t✐♦♥ SQCD t❤❛t ✇✐❧❧ t✉r♥ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② p[U] ✐♥ ❛ ❝♦♠♣❧❡① ♥✉♠❜❡r✱ s♦ ✐t ✇✐❧❧ ♥♦ ❧♦♥❣❡r ❞❡✜♥❡ ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❛ str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ ✶✶

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SLIDE 20

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ 3D O(4) ▼❖❉❊▲ ✷✳✶✳ ■◆❚❘❖❉❯❈❚■❖◆ s✐♠✉❧❛t❡ ◗❈❉ ❛s ❛ st❛t✐st✐❝❛❧ s②st❡♠ ❢❛✐❧s✳ ▼❛♥② ❛tt❡♠♣ts ❛r❡ ❜❡✐♥❣ ♠❛❞❡ t♦ ♦✈❡r❝♦♠❡ t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠✳ ❖♥❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✭❛♥❞ t❤❡ ♦♥❡ t❤✐s ✇♦r❦ ✇✐❧❧ ❢♦❝✉s ♦♥✮ t♦ ♦❜t❛✐♥ ❛ r♦✉❣❤ ✐❞❡❛ ♦❢ ✇❤❛t ♣❤❛s❡s ♠✐❣❤t ♦❝❝✉r ✐s t♦ ✉s❡ ♠♦❞❡❧s t❤❛t ❤❛s s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ s❛♠❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❛s ◗❈❉✱ ❜✉t ❛r❡ ❡❛s✐❡r t♦ ♠❛♥✐♣✉❧❛t❡✳ ◆♦✇ ✇❡ ♣r♦❝❡❡❞ t♦ ✜♥❞ s✉❝❤ ❛ s✉✐t❛❜❧❡ ♠♦❞❡❧✳ ■♥ ♣❛rt✐❝❧❡ ♣❤②s✐❝s ✐s ✉s✉❛❧ t♦ ✇♦r❦ ✇✐t❤ ♥❛t✉r❛❧ ✉♥✐ts✱ ✇❤✐❝❤ ♠❡❛♥s t❤❛t t❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ ❛♥❞ c ❛r❡ ✜①❡❞ t♦ 1 ❧❡tt✐♥❣ ❥✉st ♦♥❡ s❝❛❧❡ ❧❡❢t ✭[mass] ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✮ t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❛❧❧ q✉❛♥t✐t✐❡s✳ ❲✐t❤ t❤✐s ✐♥ ♠✐♥❞✱ ✐❢ ♦♥❧② ♠❛ss❧❡ss q✉❛r❦s ❛r❡ ✉s❡❞ t❤❡♥ t❤❡ ◗❈❉ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❞♦❡s ♥♦t ✐♥✈♦❧✈❡ ❛♥② ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ♣❛r❛♠❡t❡r ✇❤✐❝❤ ✐♠♣❧✐❡s s❝❛❧❡ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡ ❛t t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❧❡✈❡❧✳ ❆t t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❧❡✈❡❧✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ ❛♥ ✐♥tr✐♥s✐❝ s❝❛❧❡ ΛQCD = 341(12) ▼❡❱ ❡♠❡r❣❡s ❬✷❪✱ ✇❤✐❝❤ ❜r❡❛❦s t❤✐s ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡✳ ■♥ t❤❡ r❡❛❧ ✇♦r❧❞✱ t✇♦ ✢❛✈♦✉rs ❛r❡ ✈❡r② ❧✐❣❤t ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ ✐♥tr✐♥s✐❝ s❝❛❧❡ ✭s❡❡ ✜❣✳ ✷✳✶✮✳ ❚❤❡s❡ t✇♦ ✢❛✈♦✉rs ❞♦♠✐♥❛t❡ t❤❡ ❧♦✇✲❡♥❡r❣② ♥✉❝❧❡❛r ♣❤②s✐❝s ✇❤✐❝❤ ♠❛tt❡rs ❢♦r ♦✉r ❞❛✐❧② ❧✐❢❡✳ ❚❤❡♥ ❛ s❡♥s✐❜❧❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ✐s t♦ ❝♦♥s✐❞❡r ♦♥❧② t✇♦ ♠❛ss❧❡ss ✢❛✈♦✉rs✳ ❋♦r Nf ✢❛✈♦rs ♦❢ ♠❛ss❧❡ss q✉❛r❦s t❤❡r❡ ❡①✐st ❛ ✭❣❧♦❜❛❧✮ s②♠♠❡tr② ✉♥❞❡r ❝❤✐r❛❧ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ❣r♦✉♣ ❬✻❪ U(Nf)L ⊗ U(Nf)R = SU(2)L ⊗ SU(2)R ⊗ U(1)B × U(1)A. ✭✷✳✶✮ ♦❢ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t s♣❡❝✐❛❧ ✉♥✐t❛r② r♦t❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❧❡❢t✲ ❛♥❞ r✐❣❤t✲ ❤❛♥❞❡❞ ✜❡❧❞s✳ P❛t ♦❢ t❤✐s s②♠✲ ♠❡tr② ❜r❡❛❦s ❡①♣❧✐❝✐t❧② ❞✉❡ t♦ q✉❛♥t✉♠ ❡✛❡❝ts✿ ✐♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ t❤❡ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡ ✉♥❞❡r t❤❡ ❣r♦✉♣ U(1)A = U(1)L=R ✐s ❜r♦❦❡♥ ❜② t❤❡ ❛①✐❛❧ ❛♥♦♠❛❧② ❬✸❪✳ ❘♦t❛t✐♦♥s ✇✐t❤ ❡q✉❛❧ ♣❤❛s❡s ❛r❡ ❝❛♣t✉r❡❞ ❜② t❤❡ s②♠♠❡tr② ❣r♦✉♣ U(1)B = U(1)L=R ✇❤✐❝❤ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❜❛r②♦♥ ♥✉♠❜❡r ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ r❡♠❛✐♥✐♥❣ ❝❤✐r❛❧ ✢❛✈♦✉r s②♠♠❡tr② ❜r❡❛❦s s♣♦♥t❛♥❡♦✉s❧②✱ SU(Nf)L ⊗ SU(Nf)R → SU(Nf)L=R, ✭✷✳✷✮ ✇❤✐❝❤ ❣✐✈❡s r✐s❡ t♦ N 2

f −1 ◆❛♠❜✉✲●♦❧❞st♦♥❡ ❜♦s♦♥s✭◆●❇✮✳ ❚❤❡ ●♦❧❞st♦♥❡ ❜♦s♦♥s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣

t♦ t❤❡ t❤r❡❡ ❜r♦❦❡♥ ❣❡♥❡r❛t♦rs ❛r❡ t❤❡ t❤r❡❡ ♣✐♦♥s ❢♦r Nf = 2✳ ❆s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡✱ t❤❡ ❡✛❡❝t✐✈❡ t❤❡♦r② ♦❢ ◗❈❉ ❜♦✉♥❞ st❛t❡s ❧✐❦❡ t❤❡ ❜❛r②♦♥s✱ ♠✉st ♥♦✇ ✐♥❝❧✉❞❡ ♠❛ss t❡r♠s ❢♦r t❤❡♠✱ ♦st❡♥s✐❜❧② ❞✐s❛❧❧♦✇❡❞ ❜② ✉♥❜r♦❦❡♥ ❝❤✐r❛❧ s②♠♠❡tr②✳ ❚❤✉s✱ t❤✐s ❝❤✐r❛❧ s②♠♠❡tr② ❜r❡❛❦✐♥❣ ✐♥❞✉❝❡s t❤❡ ❜✉❧❦ ♦❢ ❤❛❞r♦♥ ♠❛ss❡s✱ s✉❝❤ ❛s t❤♦s❡ ❢♦r t❤❡ ♥✉❝❧❡♦♥s ✖ ✐♥ ❡✛❡❝t✱ t❤❡ ❜✉❧❦ ♦❢ t❤❡ ♠❛ss ♦❢ ❛❧❧ ✈✐s✐❜❧❡ ♠❛tt❡r✳ ❈❤✐r❛❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ t❤❡♦r② ❢♦r♠✉❧❛t❡s ❛ ❧♦✇✲❡♥❡r❣② ❡✛❡❝t✐✈❡ t❤❡♦r② ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ◆●❇ ✜❡❧❞s✶ ❬✹❪✿ ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡ ✐ts ❧❡❛❞✐♥❣ ♦r❞❡r ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ r❡❛❞s ✭■♥ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ s♣❛❝❡✮ L(∂µU) = F 2

π

4 Tr

  • ∂µU∂µU †

. ✭✷✳✸✮ ✇❤❡r❡ F 2

π ≃ 92 ▼❡❱ ✐s t❤❡ ♣✐♦♥ ❞❡❝❛② ❝♦♥st❛♥t✳

❆t ✜①❡❞ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ t✐♠❡ x4✱ t❤❡ ✜❡❧❞ U ♠❛♣s t❤❡ ✸✸❞ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s♣❛❝❡ t♦ t❤❡ ❣r♦✉♣ SU(Nf)✳ ❚❤❡ ✐❞❡♥t✐t② Π[SU(Nf)] = Z ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡s❡ ♠❛♣s ❛r❡ ❞✐✈✐❞❡❞ ✐♥t♦ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ s❡❝t♦rs✱ ❧❛❜❡❧❡❞ ❜② ❛ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❝❤❛r❣❡ Q ∈ Z✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ✐t ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ t❡r♠ Q = 1 24π2

  • d3xǫijkTr ((U∂iU)(U∂jU)(U∂kU)) , i, j, k ∈ 1, 2, 3,

✭✷✳✹✮ ✇❤✐❝❤ ✐s ❝♦♥s❡r✈❡❞ ✐♥ t✐♠❡✳ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❝❤❛r❣❡ Q ❝❛♥ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s t❤❡ ❜❛r②♦♥ ♥✉♠❜❡r ❬✶✶❪✳ ❋♦r ❛ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ r❡✈✐❡✇ s❡❡ ❘❡❢✳ ❬✶✷❪✳ ❆❝t✉❛❧❧② t❤❡ ❧❡❛❞✐♥❣ ♦r❞❡r ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✭✷✳✸✮ ❞♦❡s ♥♦t ❛❧❧♦✇ ❢♦r st❛❜❧❡ s❡♠✐✲❝❧❛ss✐❝❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ✇✐t❤ Q = 1✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ st❛❜✐❧✐③❡ s✉❝❤ ❛ s❦②r♠✐♦♥✱ ❙❦②r♠❡ ❛❞❞❡❞ ❛ ❢♦✉r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ t❡r♠ LSkyrme(U, ∂µU) = F 2

π

4 Tr

  • ∂µU∂µU †

+ 1 32e2 Tr

  • (∂µU †), (∂νU)U †2

✭✷✳✺✮ ✇❤❡r❡ e ✐s ❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❧❡ss ♣❛r❛♠❡t❡r ❛♥❞ t❤❡ s❦②r♠✐♦♥ r❡♣r❡s❡♥ts ❛ ❢❡r♠✐♦♥✐❝ ✭❜♦s♦♥✐❝✮ ❜❛r②♦♥ ❬✶✷❪✳

✶◆●❇ ✜❡❧❞s U(x) ∈ SU(Nf)

✶✷

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SLIDE 21

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ 3D O(4) ▼❖❉❊▲ ✷✳✷✳ ❚❍❊ 3D O(4) ❆❙ ❆ ▲❖❲✲❊◆❊❘●❨ ❊❋❋❊❈❚■❱❊ ❚❍❊❖❘❨

✷✳✷ ❚❤❡ 3d O(4) ❛s ❛ ❧♦✇✲❡♥❡r❣② ❡✛❡❝t✐✈❡ t❤❡♦r②

❋♦r ❛ s✐♠♣❧❡r ❡✛❡❝t✐✈❡ t❤❡♦r②✱ t❤❡ s②♠♠❡tr② ❜r❡❛❦✐♥❣ ♣❛tt❡r♥ ✭✷✳✷✮ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡s❝r✐❜❡ ❜② ✭❧♦❝❛❧❧②✮ ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ❣r♦✉♣s O(N) → O(n)✱ N > n✳ ❚❤✐s ♦♣t✐♦♥ ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ s♦❧❡❧② ❢♦r Nf = 2 ❬✶✸❪✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ✭✷✳✷✮ ✐s♦♠♦r♣❤✐❝❛❧❧② ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ O(4) → O(3)✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡ t❤❡ O(4) ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r σ✲♠♦❞❡❧ r❡♣r❡s❡♥ts ❛♥ ❡✛❡❝t✐✈❡ t❤❡♦r② ❢♦r ❛ ❧♦✇✲❡♥❡r❣② ◗❈❉ ✇✐t❤ Nf = 2 ♠❛ss❧❡ss q✉❛r❦ ✢❛✈♦✉rs✳ ■ts ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❛❝t✐♦♥ S[ S] = F 2

π

2

  • ddx∂µ

s(x) · ∂µ s(x),

  • s(x) ∈ S3

✭✷✳✻✮ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ ◗❈❉ ❧♦✇✲❡♥❡r❣② ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❢♦r Nf = 2 ♠❛ss❧❡ss q✉❛r❦ ✢❛✈♦✉rs✳ ❚❤❡ ❣❧♦❜❛❧ O(4) s②♠♠❡tr② ♠❛② ❜r❡❛❦ s♣♦♥t❛♥❡♦✉s❧② ❞♦✇♥ t♦ O(3)✱ ✇❤✐❝❤ ②✐❡❧❞s t❤r❡❡ ◆●❇s✱ ✇✐t❤ ✜❡❧❞s ✐♥ t❤❡ ❝♦s❡t s♣❛❝❡ O(3)✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ t♦ SU(2)✳ ❆s ✐t ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥✱ t✇♦ ✢❛✈♦✉r ◗❈❉ ✐s ❜❡❧✐❡✈❡❞ t♦ ❜❡❧♦♥❣ t♦ t❤❡ t❤❡ 3d O(4) ✉♥✐✈❡rs❛❧✐t② ❝❧❛ss ❛t ✐ts ❝❤✐r❛❧ tr❛♥s✐t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ❧✐♠✐t ✭r❡❢✳ ❬✺❪✲❬✶✵❪✮✱ s♦ t❤✐s ✇♦r❦ ✇✐❧❧ ❢♦❝✉s ✐♥ t❤✐s ♠♦❞❡❧ ❛s ❛ st❛t✐❝ ❙❦②r♠❡ ♠♦❞❡❧✳ ■♥ t❤✐s ♠♦❞❡❧✱ t❤❡ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s ❛r❡ ❞✐✈✐❞❡❞ ✐♥t♦ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ s❡❝t♦rs✱ t❤✉s t❤❡ s❦②r♠✐♦♥s ❛r❡ ♣r❡s❡♥t ✐♥ t❤✐s ❧♦✇✲❡♥❡r❣② ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❛s ❝❛rr✐❡rs ♦❢ t❤❡ ❜❛r②♦♥ ♥✉♠❜❡r ❬✶✷❪✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡s❡ ❛r❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s✱ s✉❝❤ ❛ st✉❞② ♠✉st ❜❡ ♥♦♥✲♣❡rt✉r❜❛t✐✈❡✳

✷✳✸ ◆♦♥✲❧✐♥❡❛r σ✲♠♦❞❡❧s

❚❤❡ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r σ✲♠♦❞❡❧s ❤❛s s♦♠❡ ♠✉❧t✐✲❝♦♠♣♦♥❡♥t s❝❛❧❛r ✜❡❧❞ s(x)✱ s = (s1, s2, . . . , sN) ∈ R2✱ ❜✉t ♥♦✇ ✐t ✐s ✐♠♣♦s❡❞ ✖ ✐♥ ❡❛❝❤ ♣♦✐♥t x ✖ t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥t | s(x)| = 1✳ ❚❤✐s ❦✐♥❞ ♦❢ ✜❡❧❞ ✐s ❛❧s♦ ❞❡♥♦t❡❞ ❛s ❛ ✏❝❧❛ss✐❝❛❧ s♣✐♥✑✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ✶ ✐s ❞✐♠❡♥s✐♦♥❧❡ss✱ t❤❡ ✜❡❧❞ s ❝❛♥♥♦t ❤❛✈❡ ❛♥② ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❡✐t❤❡r✱ ✐✳❡✳ ✐ts ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✐s [mass]0 ✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ t❡r♠ ♥♦✇ r❡q✉✐r❡s ❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❡❞ ❢❛❝t♦r✳ ■♥❞❡❡❞✱ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤r♦♠♦❞②♥❛♠✐❝s ✭◗❈❉✮ ❛t ❧♦✇ ❡♥❡r❣② ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s ❛♥ ❡✛❡❝t✐✈❡ ✜❡❧❞ t❤❡♦r② ✭✏❈❤✐r❛❧ P❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r②✑✮ ✐♥ t❤✐s ❢♦r♠✱ ♥❛♠❡❧② L(∂µ s) = 1 2F 2

π∂µ

s(x) · ∂µ s(x) ✭✷✳✼✮ ❚❤✐s t❡r♠ ✐s ❛ s❝❛❧❛r ♣r♦❞✉❝t✱ ❛♥❞ ✐♥ ❈❤✐r❛❧ P❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❢♦r t✇♦ ♠❛ss❧❡ss q✉❛r❦ ✢❛✈♦✉rs u ❛♥❞ d✱ t❤❡ ✜❡❧❞ s N = 4 r❡❛❧✲✈❛❧✉❡❞ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✳ ❚♦ ❣❡t t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ r✐❣❤t✱ t❤❡ ❢❛❝t♦r Fπ ♠✉st ❤❛✈❡ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ [mass](d−2)/2 ✳ ■♥ ✹❞ ◗❈❉✱ ✐t ❤❛s ❛ ♣❤❡♥♦♠❡♥♦❧♦❣✐❝❛❧ ♠❡❛♥✐♥❣✿ ✐t ✐s ❦♥♦✇♥ ❛s t❤❡ ♣✐♦♥ ❞❡❝❛② ❝♦♥st❛♥t✱ ✇❤✐❝❤ ❛♠♦✉♥ts t♦ Fπ ≈ 92 ▼❡❱✳ ❚❤✐s ✐s ❛❝t✉❛❧❧② ❥✉st t❤❡ ✜rst t❡r♠ ♦❢ t❤❡ ❝❤✐r❛❧ ❡①♣❛♥s✐♦♥✱ ❜✉t ✐t ❛❧r❡❛❞② ❞❡s❝r✐❜❡s ♣✐♦♥ ♣❤②s✐❝s q✉✐t❡ ✇❡❧❧✳ ❊✈❡♥ ✇✐t❤ t❤✐s s✐♠♣❧❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥✱ ✐ts ❞②♥❛♠✐❝s ✐s ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞✱ ❡①❛❝t❧② ❞✉❡ t♦ t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥t | s| = 1 ✭♦t❤❡r✇✐s❡ ✐t ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❛ tr✐✈✐❛❧ ❢r❡❡ t❤❡♦r②✮✳ ■❢ s ❤❛s N ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✱ t❤❡♥ ✐t ❧✐✈❡s ♦♥ t❤❡ ✉♥✐t s♣❤❡r❡ SN ✐♥ t❤❡ N✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s♣✐♥ s♣❛❝❡✳ ❚❤❡ ❛❝t✐♦♥ ✐s ✐♥✈❛r✐❛♥t ✇❤❡♥ ❛❧❧ s♣✐♥s ❛r❡ s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s❧② r♦t❛t❡❞✱ ✐✳❡✳ ✇❤❡♥ ✐t ✐s ❛♣♣❧✐❡❞ ❛ ❣❧♦❜❛❧ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ s(x) → Ω s(x)✱ ✇✐t❤ ❛♥ ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ❣r♦✉♣✱ Ω ∈ O(N) ✭❛♥❞ t❤❡r❡❢♦r❡ ΩT = Ω−1✮✳ ❍❡♥❝❡ t❤✐s t②♣❡ ♦❢ ♠♦❞❡❧ ✐s ❛❧s♦ ❦♥♦✇♥ ❛s ❛♥ O(N) ♠♦❞❡❧✳

  • ❡♦♠❡tr② t❡❧❧s t❤❛t t❤❡ ✜❡❧❞ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s ❢❛❧❧ ✐♥t♦ ❞✐st✐♥❝t t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ s❡❝t♦rs ✖ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥

❜❡ ❧❛❜❡❧❡❞ ❜② ❛ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❝❤❛r❣❡ ✭♦r ✇✐♥❞✐♥❣ ♥✉♠❜❡r✮ Q ∈ Z ✖ ✐❢ t❤❡ s♣✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❡①❝❡❡❞s t❤❡ s♣❛❝❡✲t✐♠❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❜② ✶✱ ✐✳❡✳ ✐❢ N = d + 1✳ ❋♦r t❤✐s ♣r♦♣❡rt② t♦ ❤♦❧❞✱ ✐t ✐s ❛ss✉♠❡❞ ❡✐t❤❡r s(x) t♦ ❜❡ ❝♦♥st❛♥t ❛t |x| → ∞✱ ♦r t❤❡ s②st❡♠ ❤❛s ❛ ✜♥✐t❡ ✈♦❧✉♠❡ ✇✐t❤ ♣❡r✐♦❞✐❝ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✐♥ ❛❧❧ d ❞✐r❡❝t✐♦♥s✳ ❚❤❡ s✐♠♣❧❡st ❡①❛♠♣❧❡ ✐s t❤❡ 1d O(2) ♠♦❞❡❧✿ ❤❡r❡ s(tE) ✐s ❛ ♣♦✐♥t ♦♥ t❤❡ ✉♥✐t ❝✐r❝❧❡ S1✱ ✇❤✐❝❤ ♠♦✈❡s ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ t✐♠❡ tE✳ ■❢ t❤✐s ♠♦t✐♦♥ ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❛♥❞ ♣❡r✐♦❞✐❝✱ t❤❡♥ ❛❢t❡r ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♣❡r✐♦❞✱ t❤❡ ♣♦✐♥t ✐s ❜❛❝❦ ❛t ✐ts ♦r✐❣✐♥❛❧ ♣♦s✐t✐♦♥✱ ❛♥❞ ✐t ❤❛s ♠♦✈❡❞ ❛♥ ✐♥t❡❣❡r ♥✉♠❜❡r ♦❢ t✐♠❡s ❛♥t✐✲❝❧♦❝❦✇✐s❡ ❛r♦✉♥❞ t❤❡ ❝✐r❝❧❡ ✭❝❧♦❝❦✇✐s❡ ✇✐♥❞✐♥❣s ❛r❡ ❝♦✉♥t❡❞ ♥❡❣❛t✐✈❡✮✳ ❚❤✐s ♥❡t ✇✐♥❞✐♥❣ ♥✉♠❜❡r ✐s t❤❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❝❤❛r❣❡ Q ∈ Z✳ ✶✸

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SLIDE 22

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ 3D O(4) ▼❖❉❊▲ ✷✳✹✳ ❉■▼❊◆❙■❖◆❆▲ ❘❊❉❯❈❚■❖◆

✷✳✹ ❉✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ r❡❞✉❝t✐♦♥

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ s②st❡♠ ✐♥ ❛ ✜♥✐t❡ ✈♦❧✉♠❡✳ ■t ✐s ❝♦♥✈❡♥✐❡♥t t♦ ❛ss✉♠❡ ♣❡r✐♦❞✐❝ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✱ s✐♥❝❡ t❤✐s ♣r♦✈✐❞❡s tr❛♥s❧❛t✐♦♥ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡✳ ❆ss✉♠❡ t❤❡ 4d ✈♦❧✉♠❡ t♦ ❜❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ β × L3✱ ✇❤❡r❡ β ✐s t❤❡ ❡①t❡♥t ✐♥ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ t✐♠❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥✱ ❛♥❞ L ✐s t❤❡ s✐❞❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ❛ s♣❛t✐❛❧ ❝✉❜❡✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡ t❤❡ ❛❝t✐♦♥ r❡❛❞s SE[ S] = 1 2F 2

π

β dte

  • L3 d3x∂µ

s · ∂µ s, ✭✷✳✽✮ ✇❤❡r❡ tE ✐s ❛❣❛✐♥ t❤❡ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ t✐♠❡ ✭❤❡r❡ t❤❡ sq✉❛r❡ ❜r❛❝❦❡t ✐♥❞✐❝❛t❡s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ♦❢ t❤❡ ✜❡❧❞ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥✮✳ ■♥ ✜❡❧❞ t❤❡♦r②✱ t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ❡①t❡♥t ♦❢ t❤❡ ✭♣❡r✐♦❞✐❝✮ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ t✐♠❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ t❡♠♣❡r✲ ❛t✉r❡ T ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✱ β = 1/T✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❤✐❣❤ T✱ ✇❤❡r❡ β ✐s s❤♦rt✳ ❆ss✉♠❡ ✐t t♦ ❜❡ s♦ s❤♦rt t❤❛t ✐♥ β✲❞✐r❡❝t✐♦♥ ✖ ❢♦r t❤❡ st❛t✐st✐❝❛❧❧② r❡❧❡✈❛♥t ✜❡❧❞ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s ✖ ♦♥❧② t❤❡ ❧❡❛❞✐♥❣ ♠♦❞❡ ❝♦♥tr✐❜✉t❡s s✐❣♥✐✜❝❛♥t❧②✳ ❆❧❧ ❤✐❣❤❡r ♠♦❞❡s ❤❛✈❡ ❛ ✈❡r② ❤✐❣❤ ❡♥❡r❣②✱ s♦ ✐♥ t❤✐s ❡✛❡❝t✐✈❡ ♣✐❝t✉r❡ t❤♦s❡ ♠♦❞❡s ❞❡❝♦✉♣❧❡✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐s ✭❛❧♠♦st✮ ❝♦♥st❛♥t ✐♥ tE✱ ❛♥❞ t❤❡ ❛❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❞ ❛s SE[ S] = 1 2F 2

πβ

  • L3 d3x∂i

s · ∂i s, ✭✷✳✾✮ ✇❤❡r❡ i = 1, 2, 3 ✭✐♥ ❝♦♥tr❛st t♦ µ = 1, . . . , 4✮✳ ❍❡r❡ β ❧♦♦❦s ❧✐❦❡ ❛♥ ✐♥✈❡rs❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t✱ ❜✉t ✐t ❛❧s♦ r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ t❡♠♣❡r❛t✉r❡ ✭❢r♦♠ t❤❡ ✹✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡✮✳ ❚❤✐s s✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ r❡❞✉❝t✐♦♥✳ ◆♦t❡ t❤❛t t❤✐s s✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ t❛❦❡s t❤✐s ✇♦r❦ t♦ ❛ 3✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ O(4) ♠♦❞❡❧✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❡♥❞♦✇❡❞ ✇✐t❤ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❝❤❛r❣❡s✳ ❆t t❤✐s ♣♦✐♥t✱ ❚❤❡r❡ ♠✐❣❤t ❜❡ s♦♠❡ ❝♦♥✢✐❝t ✇✐t❤ t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ t❤❛t t❤❡ ♠♦❞❡❧ ✐s ❞❡❛❧✐♥❣ ✇✐t❤ ❧♦✇ ❡♥❡r❣②✱ s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡ t❤❡ ❤❡❛✈✐❡r q✉❛r❦ ✢❛✈♦✉rs ❛r❡ ♥❡❣❧✐❣✐❜❧❡✱ ❛♥❞ ♥♦ ❤✐❣❤❡r t❡r♠s ✭✇✐t❤ ✹ ♦r ♠♦r❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✮ ❛r❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ✐♥ t❤❡ ❡✛❡❝t✐✈❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✭✷✳✼✮✳ ❙t✐❧❧✱ ✐t ✐s ❛ r❡❛s♦♥❛❜❧❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s t♦ ♠❛❦❡ s❡♥s❡✳

✷✳✺ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ♠❡❝❤❛♥✐❝s ❛♥❞ ❝❤❡♠✐❝❛❧ ♣♦t❡♥t✐❛❧

◆♦✇ ✐t ✐s t✉r♥ ♦❢ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ▼❡❝❤❛♥✐❝s✱ ✇❤✐❝❤ ❞❡❛❧s ✇✐t❤ ❛♥ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ exp(−H/T)✳ H ✐s t❤❡ ❍❛♠✐❧t♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ❛ s♣❛t✐❛❧ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦✈❡r t❤❡ ❍❛♠✐❧t♦♥ ❞❡♥s✐t② H✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ❜② H[ S] =

  • d3xH,

H = 1 2F 2

π∂i

s · ∂i s. ✭✷✳✶✵✮ ❈❧❡❛r❧②✱ H ❤❛s ❞✐♠❡♥s✐♦♥ [mass]✱ ❛♥❞ ✐t ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ❛❞❞❡❞ ❛ ❝❤❡♠✐❝❛❧ ♣♦t❡♥t✐❛❧ µB✳ ■t ♠✉❧t✐♣❧✐❡s t❤❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❝❤❛r❣❡ Q ♦❢ ❛ ✜❡❧❞ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✖ ✐♥ t❤✐s ❡✛❡❝t✐✈❡ ❧♦✇ ❡♥❡r❣② t❤❡♦r② ✖ r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ ❜❛r②♦♥ ♥✉♠❜❡r✱ ❛s ✇✐s❡ ♣❡♦♣❧❡ ❧✐❦❡ ❙❦②r♠❡ ❛♥❞ ❲✐tt❡♥ ♣♦✐♥t❡❞ ♦✉t✱ H[ S] = 1 2F 2

π∂i

s · ∂i s − µBQ[ S] ✭✷✳✶✶✮ ❚❤❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❝❤❛r❣❡ ✐s ❛♥ ✐♥t❡❣❡r✱ Q ∈ Z✱ ❛♥❞ t❤❡r❡❢♦r❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❧❡ss✱ ✇❤✐❧❡ µB ❤❛s ❞✐♠❡♥✲ s✐♦♥ [mass]✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s t❤❡ ❡♥❡r❣② ❞❡❝r❡❛s❡ ✐❢ ♦♥❡ ❜❛r②♦♥ ✐s ❛❞❞❡❞✱ ♦r t❤❡ ❡♥❡r❣② t❤❛t ✐t t❛❦❡s t♦ ❛❞❞ ❛♥ ❛♥t✐✲❜❛r②♦♥ t♦ t❤❡ s②st❡♠✳

✷✳✻ ▲❛tt✐❝❡ r❡❣✉❧❛r✐s❛t✐♦♥

❈❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ✐♥ ◗❋❚ r❡q✉✐r❡ ❛♥ ❯❱ r❡❣✉❧❛r✐s❛t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ♣r❡s❡r✈❡s t❤❡ s②♠♠❡tr✐❡s✳ ❚❤❡ ❧❛tt✐❝❡ r❡❣✉❧❛r✐s❛t✐♦♥ ✐s ❛ s✐♠♣❧❡ ❜✉t ♣♦✇❡r❢✉❧ s❝❤❡♠❡✿ ✐t r❡❞✉❝❡s t❤❡ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ s♣❛❝❡ t♦ ❞✐s❝r❡t❡ s✐t❡s x✳ ✶✹

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SLIDE 23

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ 3D O(4) ▼❖❉❊▲ ✷✳✼✳ ❆▲●❖❘■❚❍▼ ❋❖❘ ❚❍❊ ▼❖◆❚❊ ❈❆❘▲❖ ❙■▼❯▲❆❚■❖◆ ❚❤❡ ♠♦st ♣♦♣✉❧❛r str✉❝t✉r❡ ✐s ❛ s✐♠♣❧❡ ❤②♣❡r✲❝✉❜✐❝ ❧❛tt✐❝❡ ✇✐t❤ s♣❛❝✐♥❣ ❞❡♥♦t❡❞ ❛s a✳ ❖♥❡ ♦❢t❡♥ ✉s❡s ❧❛tt✐❝❡ ✉♥✐ts ❜② s❡tt✐♥❣ a = 1 ❬✶✹❪✳ ❋♦r t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ r❡❣✉❧❛r✐s❛t✐♦♥ ✭✇❤❡r❡ ✐t ✐s ✐♥str✉❝t✐✈❡ ♥♦t t♦ ✉s❡ ❧❛tt✐❝❡ ✉♥✐ts✮ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ s♣❛❝✐♥❣ a ❤❛s ❞✐♠❡♥s✐♦♥ [mass]−1✳ ◆♦✇ t❤❡ ✜❡❧❞ sx ✐s ♦♥❧② ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ s✐t❡s x✱ ✇✐t❤ x/a ∈ Z3✳ ❚❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ t❡r♠ ✐s ❞✐s❝r❡t✐③❡❞ ✐♥ st❛♥❞❛r❞ ♠❛♥♥❡r✱ ∂i s(x) → sx+aˆ

i −

sx a , ✭✷✳✶✷✮ ✇❤❡r❡ ˆ i ✐s t❤❡ ✉♥✐t ✸✲✈❡❝t♦r ✐♥ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t xi✳ ■t ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ∂i s(x) · ∂i s(x) → 2 a2

  • i

(1 − sx+aˆ

i ·

sx) ✭✷✳✶✸✮ ❚❤❡ ❛❞❞✐t✐✈❡ ❝♦♥st❛♥t ✐s ♠❡❛♥✐♥❣❧❡ss s♦ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❞r♦♣♣❡❞ ✭✉♥❧❡ss ♦♥❡ ✐s ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ ❣r❛✈✐t②✱ ✇❤❡r❡ t❤✐s ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❛ ✏❝♦s♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ❝♦♥st❛♥t✑✮✳ ❍❡r❡ ♦♥❧② ❡♥❡r❣② ❞✐✛❡r❡♥❝❡s ❛r❡ t❛❦✐♥❣ ✐♥ ❛❝❝♦✉♥t✱ s♦ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❤❡ ❢❛♠✐❧✐❛r ❢♦r♠ ✭✇✐t❤

  • d3x → a3

x ✮

Hlat[ S] = −Fπa

  • x
  • sx+aˆ

i ·

sx − µBQ[ S] ✭✷✳✶✹✮ ❉❡♥♦t✐♥❣ t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ t❤❛t ✐s ✉s❡❞ ✐♥ t❤❡ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s ❛s βlat✱ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ ❛❝t✐♦♥ ❛♠♦✉♥ts t♦ Slat[ S] = βlatHlat[ S] = βlat

  • −
  • x
  • sx+aˆ

i ·

sx − µB,latQ[ S]

  • .

✭✷✳✶✺✮ ❍❡r❡ t❤❡ ♣❤②s✐❝❛❧ ♠❡❛♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❧❡ss ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ βlat = βF 2

πa,

µB,lat = µB F 2

πa.

✭✷✳✶✻✮

✷✳✼ ❆❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r t❤❡ ▼♦♥t❡ ❈❛r❧♦ s✐♠✉❧❛t✐♦♥

❖♥❝❡ ❛ ❧❛tt✐❝❡ ✜❡❧❞ t❤❡♦r② ❤❛s ❜❡❡♥ ❢♦r♠✉❧❛t❡❞✱ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ✜❡❧❞ t❤❡♦r② ♣r♦❜❧❡♠ ❜❡❝♦♠❡s ♦♥❡ ♦❢ st❛t✐st✐❝❛❧ ♠❡❝❤❛♥✐❝s✿ ❧♦❝❛❧✐③❡ ✐ts ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥ts✱ t❤❡ ♦r❞❡r ♦❢ t❤❡✐r tr❛♥s✐t✐♦♥s ❛♥❞ t❤❡ ♣❤❛s❡ ❞✐❛❣r❛♠✳ ❚❤❡ ❣♦❛❧ ♦❢ ▼♦♥t❡ ❈❛r❧♦ ♠❡t❤♦❞ ✐s t♦ ❣❡♥❡r❛t❡ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s [ S] → [ S′] → [ S′′] → · · · . ✭✷✳✶✼✮ ❊❛❝❤ ♥❡✇ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ✐s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ♦♥❡✱ ✇✐t❤♦✉t ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ t❤❡ ❡❛r❧✐❡r ❤✐st♦r②✷✳ ❚♦ ❛❝❤✐❡✈❡ t❤✐s ❣♦❛❧ ❢♦r t❤❡ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r σ 3d O(4) ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ❢♦r µB = 0 ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❍❛♠✐❧t♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✿ H = −

  • i,j
  • Si ·

Sj, ✭✷✳✶✽✮ ✇❤❡r❡ ij ♠❡❛♥s t❤❡ ♥❡❛r❡st✲♥❡✐❣❤❜♦r s✐t❡s ♦♥ ❛ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❝✉❜✐❝ ❧❛tt✐❝❡ ❛♥❞ Si ∈ S3✳ ❚❤❡ ❲♦❧✛ s✐♥❣❧❡ ❝❧✉st❡r ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s ✉s❡❞ ❞✉❡ t❤❛t ❢♦r O(N) ♠♦❞❡❧s ❛♥❞ t❤✐s ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❤❛s ♣r♦♦❢❡❞ t♦ ❜❡ ❡①tr❡♠❡❧② ❡✣❝✐❡♥t ❬✶✼❪✿ ✶✳ ❍♦t st❛rt✿ ❣❡♥❡r❛t❡ ♦♥ ❡❛❝❤ ❧❛tt✐❝❡ s✐t❡ x ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t❧② ❛ r❛♥❞♦♠ s♣✐♥ Sx ∈ S3✳

✷❚❤✐s ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ ▼❛r❦♦✈ ❝❤❛✐♥✳

✶✺

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SLIDE 24

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ 3D O(4) ▼❖❉❊▲ ✷✳✼✳ ❆▲●❖❘■❚❍▼ ❋❖❘ ❚❍❊ ▼❖◆❚❊ ❈❆❘▲❖ ❙■▼❯▲❆❚■❖◆ ✷✳ ❈❤♦♦s❡ r❛♥❞♦♠❧② ❛ s♣✐♥ S1 ✐♥ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡✳ ❈❛❧❧ ✐t ✏s❡❡❞✑ ❛♥❞ ❛tt❛❝❤ ✐t t♦ t❤❡ ❝❧✉st❡r✳ ✸✳ ●❡♥❡r❛t❡ ❛ r❛♥❞♦♠ ✹✲❝♦♠♣♦♥❡♥t ✉♥✐t ✈❡❝t♦r r ❛♥❞ ❞❡✜♥❡ t❤❡ r❡✢❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ✸❞ ❤②♣❡r♣❧❛♥❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ t♦ r ❛s✿ R( r) Sx = Sx − 2( Sx · r) r. ✭✷✳✶✾✮ ✹✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♥❡❛r❡st ♥❡✐❣❤❜♦rs ♦❢ t❤❡ s❡❡❞✱ s2 ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✿

  • ■❢ ∆H = H[

S1, R( S2)] − H[ S1, S2] < 0 t❤❡♥ ❞♦ ♥♦t ❛tt❛❝❤ s2 t♦ t❤❡ ❝❧✉st❡r✳

  • ■❢ ∆H = H[

S1, R( S2)] − H[ S1, S2] > 0 t❤❡♥ ❛tt❛❝❤ s2 t♦ t❤❡ ❝❧✉st❡r ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② P = 1 − exp(−β∆H)✳ ✺✳ ❘❡♣❡❛t t❤❡ s❛♠❡ st❡♣s ✇✐t❤ ❛❧❧ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦rs ♦❢ t❤❡ s❡❡❞ ❛♥❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦rs ♦❢ t❤❡ s♣✐♥s ❛❞❞❡❞ t♦ t❤❡ ❝❧✉st❡r✱ ✉♥t✐❧ t❤❡ ❝❧✉st❡r ❞♦❡s ♥♦t ❣r♦✇ ❛♥②♠♦r❡✳ ✻✳ ❆♣♣❧② t❤❡ r❡✢❡❝t✐♦♥ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ st❡♣ ✸ t♦ ❛❧❧ s♣✐♥s ✐♥ t❤❡ ❝❧✉st❡r✳ ❚♦ ❛ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ st✉❞② ♦❢ t❤❡ ❲♦❧✛ ❝❧✉st❡r ❛❧❣♦r✐t❤♠ s❡❡ r❡❢❡r❡♥❝❡s ❬✶❪ ❛♥❞ ❬✶✼❪✳ ■❢ ✐t ✐s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ µB > 0 t❤❡♥ ❡q✳ ✭✷✳✶✽✮ ✐s r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② H = −

  • ij
  • Si ·

Sj − µBQ[ S], ✭✷✳✷✵✮ ✇❤❡r❡ µB ✐s t❤❡ ❜❛r②♦♥✐❝ ❝❤❡♠✐❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ❛♥❞ Q[ S] ✐s t❤❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❝❤❛r❣❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥

  • S✳ ❚♦ ✐♥❝❧✉❞❡ t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ µB > 0 t♦ t❤❡ ▼♦♥t❡ ❈❛r❧♦ ✐t ✐s s✉❣❣❡st❡❞ t♦ ♣r♦❝❡❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇✿

✶✳ ❇✉✐❧❞ t❤❡ s✐♥❣❧❡ ❝❧✉st❡r ✉s✐♥❣ t❤❡ ❲♦❧✛ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✇✐t❤♦✉t ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ t❤❡ ♥❡✇ t❡r♠✳ ✷✳ ❈♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❝❤❛r❣❡ Q ❢♦r t❤❡ ♣r❡s❡♥t ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥✱ Q[ S]✱ ❛♥❞ ❢♦r t❤❡ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ✇♦✉❧❞ ❡♠❡r❣❡ ✇❤❡♥ t❤✐s ✢✐♣ ✐s ♣❡r❢♦r♠❡❞✱ Q[ S′]✳ ✸✳ P❡r❢♦r♠ ❛ ▼❡tr♦♣♦❧✐s ❛❝❝❡♣t✴r❡❥❡❝t st❡♣ t♦ ❞❡❝✐❞❡ ✐❢ ✢✐♣ t❤❡ ❝❧✉st❡r ♦r ♥♦t ❛ss✉♠✐♥❣ µB > 0✳ ❲❤❡r❡ t❤❡ ▼❡tr♦♣♦❧✐s st❡♣ ✐s✿

  • ■❢ t❤❡ ✢✐♣ ❞❡❝r❡❛s❡s Q✱ ✢✐♣ t❤❡ ❝❧✉st❡r✳
  • ■❢ t❤❡ ✢✐♣ ✐♥❝r❡❛s❡s ◗✱ ✢✐♣ t❤❡ ❝❧✉st❡r ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② p = exp(−βµB(Q[

S′] − Q[ S])) ■♥ ♣r❛❝t✐❝❡✱ ♦♥❡ ✜rst ♣❡r❢♦r♠s t❤❡ t❤❡r♠❛❧✐③❛t✐♦♥✱ ❛♥❞ ♦♥❡ ✜①❡s ❡♠♣✐r✐❝❛❧❧② ❛ ♥✉♠❜❡r Nsteps ♦❢ s✇❡❡♣s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ❚❤✐s ♥✉♠❜❡r ♠✉st ❜❡ s✉✣❝✐❡♥t t♦ ♠❛❦❡ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts st❛t✐st✐❝❛❧❧② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ❝❤❡❝❦❡❞ ❜② t❤❡ ❛✉t♦✲❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ♦r ✭s✐♠♣❧❡r✮ ❜② ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ✇✐t❤ ❞✐✛❡r❡♥t Nsteps ✿ ✐❢ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ✐t ❞♦❡s♥✬t ❝❤❛♥❣❡ t❤❡ r❡s✉❧ts ✭✇✐t❤✐♥ ❡rr♦rs✮✱ t❤❡♥ ✐t ✐s ❧❛r❣❡ ❡♥♦✉❣❤ ✭t❤❡ s❛♠❡ ❛♣♣❧✐❡s t♦ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t❤❡r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ s✇❡❡♣s✮✳ ❆❢t❡r t❤❡r♠❛❧✐③❛t✐♦♥✱ t❤❡r♠♦❞②♥❛♠✐❝ q✉❛♥t✐t✐❡s ❧✐❦❡ ❡qs✳ ✭✶✳✷✶✮✲✭✶✳✷✹✮ ❝❛♥ ❜❡ ♠❡❛s✉r❡❞ ❛♥❞ ✐♠♣♦rt❛♥t ❝♦♥❝❧✉s✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ r❡tr✐❡✈❡❞ ❬✶✺❪✳ ✶✻

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SLIDE 25

❈❤❛♣t❡r ✸

◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts ❢♦r t❤❡ 3d O(4) ♠♦❞❡❧

✸✳✶ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❝❤❛r❣❡

❚❤❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❝❤❛r❣❡ ❤❛s ❜❡❡♥ s✉❝❝❡ss❢✉❧❧② ❛♣♣❧✐❡❞ ✐♥ t❤❡ 2d O(3) ♠♦❞❡❧ ❬✶✽❪✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❡①t❡♥❞ t❤❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ Q ❢♦r t❤❡ 3d O(4) ♠♦❞❡❧✱ ❛❧❧ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ ✉♥✐t ❝✉❜❡s ❛r❡ ❞❡❝♦♠♣♦s❡❞ ✐♥ s✐① t❡tr❛❤❡❞r❛ ✭s❡❡ ✜❣✉r❡ ✸✳✶✮✳ ❋♦r ❛ ❣✐✈❡♥ t❡tr❛❤❡❞r♦♥✱ t❤❡ s♣✐♥ ✈❛r✐❛❜❧❡s S1✱ S2✱ S3 ❛♥❞ S4 s♣❛♥ ❛ s♣❤❡r✐❝❛❧ t❡tr❛❤❡❞r♦♥ ♦♥ t❤❡ ✸✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s♣❤❡r❡ S3✳ ❋♦r ❛ ❣✐✈❡♥ ❧❛tt✐❝❡ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ✐♥ s♦♠❡ ✈♦❧✉♠❡ V ✇✐t❤ ♣❡r✐♦❞✐❝ ❜♦✉♥❞❛r✐❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✱ ❧❛t✲ t✐❝❡ ✉♥✐t ❝✉❜❡s ❛r❡ s♣❧✐t ✐♥t♦ t❡tr❛❤❡❞r❛✱ ❛♥❞ ❛❧❧ ✈♦❧✉♠❡s ♦❢ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♦r✐❡♥t❡❞ s♣❤❡r✐❝❛❧ t❡tr❛❤❡❞r❛ ❛r❡ s✉♠♠❡❞ ✉♣ t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❝❤❛r❣❡ Q ∈ Z✳ ■t ❝♦✉♥ts ❤♦✇ ♠❛♥② t✐♠❡s t❤❡ s✉♠ ♦❢ t❤❡ s♣❤❡r✐❝❛❧ t❡tr❛❤❡❞r❛ ❝♦✈❡rs t❤❡ s♣❤❡r❡ S3 ❛♥❞ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ❜❛r②♦♥ ♥✉♠❜❡r ✐♥ t❤✐s ❧♦✇ ❡♥❡r❣② ❡✛❡❝t✐✈❡ ♠♦❞❡❧ ❬✶✷❪✳ ❙t❡♣s ❢♦r t❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❝❤❛r❣❡✿ ✶✳ ▲❛tt✐❝❡ ✐s ❞✐✈✐❞❡❞ ✐♥ ❝✉❜✐❝ ✉♥✐ts✳ ❊❛❝❤ ❝✉❜✐❝ ✉♥✐t ❤❛s ❛ s✐① t❡tr❛❤❡❞r♦♥ ♦r❞❡r❡❞ str✉❝t✉r❡✿ ❬❋✱❍✱❆✱❊❪✱❬●✱❇✱❋✱❍❪✱❬❍✱❆✱❇✱❋❪✱❬❍✱●✱❇✱❉❪✱❬❆✱❇✱❉✱❍❪✱❬●✱❇✱❉✱❈❪✳ ✷✳ ❋r♦♠ t❤❡ ❢♦✉r s♣✐♥s ✐♥ t❤❡ ❡❞❣❡ ♦❢ ❡❛❝❤ t❡tr❛❤❡❞r♦♥✱ t❤❡ s✐❣♥❡❞ ✈♦❧✉♠❡ ♦❢ t❤❡ s♣❤❡r✐❝❛❧ t❡tr❛❤❡❞r♦♥ ✐♥ R4 ❢♦r♠❡❞ ❢♦r t❤❡s❡ ❢♦✉r s♣✐♥s ✐s ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞✳ ✸✳ ❆❧❧ t❤❡ s✐❣♥❡❞ ✈♦❧✉♠❡s ♦❢ ❛❧❧ t❤❡ s♣❤❡r✐❝❛❧ t❡tr❛❤❡❞r♦♥ ❢r♦♠ ❛❧❧ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ ✉♥✐ts ❛r❡ s✉♠♠❡❞ ❛♥❞ ❞✐✈✐❞❡❞ ❜② 2 × π2✱ t❤❡ ✈♦❧✉♠❡ ♦❢ S3✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t ✐s t❤❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❝❤❛r❣❡ Q✳ ❚❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✈♦❧✉♠❡ ♦❢ t❤❡ s♣❤❡r✐❝❛❧ t❡tr❛❤❡❞r❛ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛❡ ❡❧❛❜♦r❛t❡❞ ♦♥❧② r❡❝❡♥t❧② ✐♥ ❘❡❢✳ ❬✶✾❪✳ ❋♦r t❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✈♦❧✉♠❡ ♦❢ ❛ s♣❤❡r✐❝❛❧ t❡tr❛❤❡❞r♦♥ s♣❛♥♥❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦✉r s♣✐♥s ✐t ✇❛s ✉s❡❞ t❤❡♦r❡♠ ✶✳✷ ❢r♦♠ r❡❢✳ ❬✶✾❪✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✶✳ ▲❡t ❚ ❜❡ ❛ s♣❤❡r✐❝❛❧ t❡tr❛❤❡❞r♦♥ ✇✐t❤ ❡❞❣❡ ❧❡♥❣t❤s l1, l2, ..., l6 ❛t t❤❡ ❡❞❣❡s e1, e2, ..., e6 r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② ❣✐✈❡♥ ✐♥ ✜❣✉r❡ ✸✳✶ ✳ ▲❡t bj = eilj ❢♦r j = 1, 2, ..., 6 ❛♥❞

  • L(b1, b2, b3, b4, b5, b6, z) = L(−b−1

4 , −b−1 5 , −b−1 6 , −b−1 1 , −b−1 2 , −b−1 3 , z)✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦r✲

♠✉❧❛ ❤♦❧❞s✳ ❋♦r ❛ s♣❤❡r✐❝❛❧ t❡tr❛❤❡❞r♦♥ ❚ ❛s ❛❜♦✈❡✱ V ol(T) = Re( L(b1, b2, ..., z0)) − arg(− q2)π −

6

  • j=1

lj ∂Re( L(b1, b2, ..., b6, z)) ∂lj

  • z=

z0

− 1 2π2 mod 2π2, ✭✸✳✶✮ ✶✼

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SLIDE 26

❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ◆❯▼❊❘■❈❆▲ ❘❊❙❯▲❚❙ ❋❖❘ ❚❍❊ 3D O(4) ▼❖❉❊▲ ✸✳✷✳ ❙❊❚✲❯P ✇❤❡r❡ z0 ❛♥❞ q2 ❛r❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ z0 ❛♥❞ q2 ❣✐✈❡♥ ✐♥ r❡❢✳ ❬✶✾❪ ❜② s✉❜st✐t✉t✐♥❣ −b−1

j±3 t♦ aj ❢♦r

j = 1, 2, ..., 6✳ ❚❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡♦r❡♠ ✭✶✮ ✇❛s ❝❤❛♥❣❡❞ t♦ ❛ ❜❡tt❡r ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♦♥❡✳ ❊❞❣❡ ❧❡♥❣t❤ ✐s t❤❡ ❧✐♥❡❛r ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ s♣✐♥s Si ❛♥❞ Sj✳ ❙♣❤❡r✐❝❛❧ ❡❞❣❡ ❧❡♥❣t❤ ✐s t❤❡ ❛r❝ ♦❢ ❛ ❝✐r❝❧❡ ♦❢ r❛❞✐✉s ✶ ✇✐t❤ Si ❛♥❞ Sj ❛s ✈❡rt✐❝❡s✳ ❆♥ str❛♥❣❡ ♣♦✐♥t t❤❛t ✇❛s ❢♦✉♥❞ ✐♥ t❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s♣❤❡r✐❝❛❧ t❡tr❛❤❡❞r♦♥ ✈♦❧✉♠❡ ✐s t❤❛t t❤❡ ♦r❞❡r ♦❢ t❤❡ ❡❞❣❡ ❧❡♥❣t❤s ei✬s ♠❛tt❡rs ✐♥ ▼✉r❛❦❛♠✐✬s ❢♦r♠✉❧❛✱ s♦ t❤❡ ♥❡①t ❛❣r❡❡♠❡♥t ✇❛s r❡❛❝❤❡❞✿ ■♥ t❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✈♦❧✉♠❡ ♦❢ t❤❡ s♣❤❡r✐❝❛❧ t❡tr❛❤❡❞r♦♥ ❢♦r♠❡❞ ❜② ❢♦✉r s♣✐♥s S1✱ S2✱

  • S3 ❛♥❞

S4✱ t❤❡ s♣✐♥ S1 ✐s t❤❡ t♦♣ ❝♦r♥❡r ♦❢ t❤❡ s♣❤❡r✐❝❛❧ t❡tr❛❤❡❞r♦♥✱ S2 ✇✐❧❧ ❜❡ t❤❡ ❧❡❢t ❝♦r♥❡r✱ S3 ✐s t❤❡ ♦♥❡ ❛t t❤❡ ❜♦tt♦♠ ❛♥❞ S4 ✇✐❧❧ ❜❡ t❤❡ ❝♦r♥❡r ❛t t❤❡ r✐❣❤t✱ s♦ t❤❡♥ t❤❡ ❡❞❣❡ ❧❡♥❣t❤ e1 ❝♦♥♥❡❝ts ( S1, S2✱ e2 ❝♦♥♥❡❝ts ( S1, S3)✱ e3 ❝♦♥♥❡❝ts ( S1, S4)✱ e4 ❝♦♥♥❡❝ts ( S3, S4)✱ e5 ❝♦♥♥❡❝ts ( S2, S4) ❛♥❞ e6 ❝♦♥♥❡❝ts ( S2, S3)✳ ❚❤❡ ✈❡❝t♦rs ✇❡r❡ ✜①❡❞ t❤❛t ✇❛② ❜❡❝❛✉s❡ ✐t s❡❡♠❡❞ t♦ ♠❛t❝❤ t❤❡ ♦r❞❡r ❣✐✈❡♥ ✐♥ r❡❢✳ ❬✶✾❪ ✭s❡❡ ✜❣✉r❡ ✸✳✶✮✳ ❋♦r t❤❡ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✈♦❧✉♠❡ t❤❡ ♥❡①t q✉❛♥t✐t✐❡s ❛r❡ ✉s❡❞✿ q0 = a1a4 + a2a5 + a3a6 + a1a2a6 + a1a3a5 + a2a3a4 + a4a5a6 + a1a2a3a4a5a6 ✭✸✳✷✮ q1 = − (a1 − a−1

1 )(a4 − a−1 4 ) − (a2 − a−1 2 )(a5 − a−1 5 ) − (a3 − a−1 3 )(a6 − a−1 6 )

✭✸✳✸✮ q2 = a−1

1 a−1 4

+ a−1

2 a−1 5

+ a−1

3 a−1 6

+ a−1

1 a−1 2 a−1 6 ) + a−1 1 a−1 3 a−1 5

+ a−1

2 a−1 3 a−1 4

+ a−1

4 a−1 5 a−1 6

+ a−1

1 a−1 2 a−1 3 a−1 4 a−1 5 a−1 6

✭✸✳✹✮ z0 = −q1 +

  • q2

1 − 4q0q2

2q2 ✭✸✳✺✮ L(a1, a2, ..., a6, z) = 1 2(Li2(z) + Li2(a−1

1 a−1 2 a−1 4 a−1 5 z) + Li2(a−1 1 a−1 3 a−1 4 a−1 6 z)

+ Li2(a−1

2 a−1 3 a−1 5 a−1 6 z) − Li2(−a−1 1 a−1 2 a−1 3 z) − Li2(−a−1 1 a−1 5 a−1 6 z)

− Li2(−a−1

2 a−1 4 a−1 6 z) − Li2(−a−1 3 a−1 4 a−1 5 z)

+ log a1 log a4 + log a2 log a5 + log a3 log a6) ✭✸✳✻✮ ❋♦r t❤❡ tr❡❛t♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ❞✐❧♦❣❛r✐t❤♠ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐t ♠❛② ❜❡ ❡①♣❛♥❞ t❤❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠ ✐♥ ♣♦✇❡rs ♦❢ z✱ ♦❜t❛✐♥✐♥❣ t❤❡ ❚❛②❧♦r s❡r✐❡s ❡①♣❛♥s✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❞✐❧♦❣❛r✐t❤♠✱ ✈❛❧✐❞ ❢♦r |z| ≤ 1✱ Li2(x) = − x log (1 − t) t dt ⇒ Li2 =

∞

  • k=1

zk k2 . ✭✸✳✼✮ ❆ ❝♦♠♣❧❡t❡ st✉❞② ♦❢ ❞✐❧♦❣❛r✐t❤♠ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ❛t r❡❢✳ ❬✷✵❪✳ ❚❤❡ s✐❣♥❡❞ ✈♦❧✉♠❡ ♦❢ t❤❡ s♣❤❡r✐❝❛❧ t❡tr❛❤❡❞r♦♥ ❢♦r♠❡❞ ❜② S1✱ S2✱ S3 ❛♥❞ S4 ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② V ( S1, S2, S3, S4) = sign(det( S1, S2, S3, S4)) × V ol( S1, S2, S3, S4) ✭✸✳✽✮

✸✳✷ ❙❡t✲✉♣

❚❤❡ ♥❡①t r❡s✉❧ts ❢♦r t❤❡ 3d O(4) ♠♦❞❡❧ ✇❡r❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ s✐♥❣❧❡ ❝❧✉st❡r ❲♦❧✛ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭❢♦r t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝❧✉st❡rs✮ ❛♥❞ ▼❡tr♦♣♦❧✐s ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭❢♦r t❤❡ ❛❝❝❡♣t❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❝❧✉st❡rs✮ ✇✐t❤ s❡✈❡r❛❧ ❜❛r②♦♥✐❝ ❝❤❡♠✐❝❛❧ ♣♦t❡♥t✐❛❧s ✭µB ≥ 0✮✳ ✶✽

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SLIDE 27

❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ◆❯▼❊❘■❈❆▲ ❘❊❙❯▲❚❙ ❋❖❘ ❚❍❊ 3D O(4) ▼❖❉❊▲ ✸✳✷✳ ❙❊❚✲❯P ❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✿ ❙❦❡t❝❤ ❢♦r t❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❝❤❛r❣❡ ❢♦r t❤❡ 3d O(4) ♠♦❞❡❧✳ ■♥ ❛❧❧ t❤❡ ❝❛s❡s✱ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ str✉❝t✉r❡ ❛♥❞ ✈♦❧✉♠❡ ✐s ❝✉❜✐❝✱ V = L3✱ ✇✐t❤ ♣❡r✐♦❞✐❝ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✐♥ ❛❧❧ ❞✐r❡❝t✐♦♥s✳ ❲❡ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ s♣✐♥ ✜❡❧❞ ❛s Sx✱ ✇✐t❤ | Sx| = 1 ❛♥❞ Sx = (s1, s2, s3, s4) ❛♥❞ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ ❛❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ S[ S] = βH[ S], H[ S] = −

  • xy
  • Sx ·

Sy − µBQ[ S], ✭✸✳✾✮ ✇❤❡r❡ xy ❛r❡ ♥❡❛r❡st✲♥❡✐❣❤❜♦r ❧❛tt✐❝❡ s✐t❡s✱ β ✐s ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ♦❢ t❤❡ t❡♠♣❡r❛t✉r❡✱ µB ✐s t❤❡ ❜❛r②♦♥✐❝ ❝❤❡♠✐❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ❛♥❞ Q[ S] ✐s t❤❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❝❤❛r❣❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ S✳ ❋♦r t❤❡ t❤❡r♠♦❞②♥❛♠✐❝ q✉❛♥t✐t✐❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ❛r❡ r❡❢❡rr❡❞✿ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ s✉s❝❡♣t✐❜✐❧✐t② χt = Q2 − Q2 V , ❙♣❡❝✐✜❝ ❤❡❛t c = β2 V (H2 − H2) ▼❛❣♥❡t✐③❛t✐♦♥

  • M =
  • x
  • Sx

▼❛❣♥❡t✐❝ s✉s❝❡♣t✐❜✐❧✐t② χm = β V (M 2 − |M|2). ✶✾

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SLIDE 28

❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ◆❯▼❊❘■❈❆▲ ❘❊❙❯▲❚❙ ❋❖❘ ❚❍❊ 3D O(4) ▼❖❉❊▲ ✸✳✸✳ ◆❯▼❊❘■❈❆▲ ❘❊❙❯▲❚❙ ❋❖❘ ▲❆❚❚■❈❊❙ ❲■❚❍ V = 83 ■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥ t♦ t❤♦s❡ q✉❛♥t✐t✐❡s✱ t❤❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ C(r) ✐s ❛❧s♦ ♠❡❛s✉r❡❞✱ ❣✐✈❡♥ ❜② C(r) = Sx3 · Sx3+r ∝ cosh r − L/2 ξ

  • ,

✇❤❡r❡ ξ ✐s t❤❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❧❡♥❣t❤ ❛♥❞ Sx3 =

1 L2

  • x1,x2

Sx✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ♠♦♠❡♥t ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❧❡♥❣t❤ ✐s ξ2 = (χm/F) − 1 4 sin2(π/L) 1/2 , ✇❤❡r❡ F = 1 V

  • x,y
  • Sx ·

Sy cos 2π(x1 − y1) L

  • .

❋♦r t❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❝❤❛r❣❡ ❛ ❝❤❛♥❣❡ ✐♥ t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s ✉s❡❞ t♦ s♣❡❡❞✲✉♣ t❤❡ ❝♦❞❡✿ ■♥ ♣❧❛❝❡ ♦❢ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ t❤❡ ✈♦❧✉♠❡ ♦❢ t❤❡ s♣❤❡r✐❝❛❧ t❡tr❛❤❡❞r♦♥✱ ❛ r❛♥❞♦♠ s♣✐♥ r ✐s ✉s❡❞ ❛♥❞ ✐❢ t❤✐s s♣✐♥ ✐s ✐♥s✐❞❡ t❤❡ s♣❤❡r✐❝❛❧ t❡tr❛❤❡❞r♦♥ ❢♦r♠❡❞ ❜② S1✱ S2✱ S3 ❛♥❞ S4✱ t❤❡♥ dQ = ±1 ✭❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♦r✐❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ S1✱ S2✱ S3 ❛♥❞ S4✮ ♦r dQ = 0 ✐❢ r ✐s ♥♦t ✐♥s✐❞❡ t❤❡ s♣❤❡r✐❝❛❧ t❡tr❛❤❡❞r♦♥✳ dQi✬s ❛r❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❛❧❧ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ ❝✉❜✐❝ ✉♥✐ts ❛♥❞ s✉♠♠❡❞ ✉♣✱ s♦ Q =

  • i

dQi. ✭✸✳✶✵✮ ■❢ ❛❧❧ t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ T ❛r❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ✐♥ ❡q✳ ✭✸✳✶✶✮ t❤❡♥ r ✐s ✐♥s✐❞❡ t❤❡ s♣❤❡r✐❝❛❧ t❡tr❛❤❡❞r♦♥ ❢♦r♠❡❞ ❜② S1✱ S2✱ S3 ❛♥❞ S4✳

  • r = [

S1 S2 S3 S4] T. ✭✸✳✶✶✮ ❚❤✐s ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s ✐♥ ❛❣r❡❡♠❡♥t ✇✐t❤ t❤❡ ✉s✉❛❧ ✇❛② t♦ ❣❡t t❤❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❝❤❛r❣❡✱ ❜✉t ✐t ✐s ♠✉❝❤ ❢❛st❡r✳

✸✳✸ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts ❢♦r ❧❛tt✐❝❡s ✇✐t❤ V = 83

❋♦r t❤❡ s✐♥❣❧❡✲❝❧✉st❡r ❛❧❣♦r✐t❤♠✱ ❛ s✇❡❡♣ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ ❆❢t❡r t❤❡r♠❛❧✐s❛t✐♦♥✱ n1 ♠❡❛s✉r❡✲ ♠❡♥ts ♦❢ ❝❧✉st❡r s✐③❡s s❡♣❛r❛t❡❞ ❜② 10 × V s✐♥❣❧❡✲❝❧✉st❡r st❡♣s ❛r❡ ♠❛❞❡✳ ❆ sweep ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s sweep = V cluster, ✇❤❡r❡ cluster ✐s t❤❡ ♠❡❛♥ ♦❢ n1 ❝❧✉st❡r s✐③❡s ❛❢t❡r t❤❡ t❤❡r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ s❡♣❛r❛t❡❞ ❜② 10 × V ✳ ❚❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ sweep ✐s ✉s❡❞ t♦ s♣❡❡❞✲✉♣ t❤❡ ❣❛t❤❡r✐♥❣ ♦❢ ❞❛t❛✳ ❚❛❜❧❡ ✸✳✶ s❤♦✇s t❤❡ st❛t✐st✐❝s ✐♥✈♦❧✈❡❞✳ ❋✐❣✉r❡ ✸✳✷ s❤♦✇s t❤❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡ ❝❧✉st❡r s✐③❡ ✉♥❞❡r t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t β = 0.7, 1.5 ❛♥❞ µB = 0.0✳ ❆ L = 8 ❧❛tt✐❝❡ ✐s ✉s❡❞✳ ❋✐❣✉r❡ ✸✳✸ s❤♦✇s t❤❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ s✉s❝❡♣t✐❜✐❧✐t②✳ ❚❤❡ ❢♦✉r ❣r❛♣❤s ❢r♦♠ ✜❣✉r❡ ✸✳✹ s❤♦✇s t❤❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡ s♣❡❝✐✜❝ ❤❡❛t c ❛s ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ βc ❛s t❤❡ ❜❛r②♦♥✐❝ ❝❤❡♠✐❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ✐s r❛✐s❡❞ ✉s✐♥❣ ❧❛tt✐❝❡s ♦❢ ✈♦❧✉♠❡ V = 83✳ ❋r♦♠ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣❤❡♥♦♠❡♥❛ t❤❡♦r② ✐t ✐s ❦♥♦✇♥ t❤❛t c ❞✐✈❡r❣❡s ❛t βc✳ ❋✐❣✉r❡ ✸✳✺ s❤♦✇s t❤❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡ ♠❛❣♥❡t✐❝ s✉s❝❡♣t✐❜✐❧✐t②✳ ▼❛❣♥❡t✐❝ s✉s❝❡♣t✐❜✐❧✐t② ❞✐✈❡r❣❡s ❛t βc✳ ❋✐❣✉r❡ ✸✳✻ s❤♦✇s t❤❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ |M|✱ ✐t ✐s t❤❡ s♦ ❝❛❧❧❡❞ ♦r❞❡r ♣❛r❛♠❡t❡r ❛♥❞✱ ❢r♦♠ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣❤❡♥♦♠❡♥❛ t❤❡♦r②✱ ✐t ❣✐✈❡s t❤❡ ♦r❞❡r ♦❢ t❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♣❤❛s❡✳ ✷✵

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SLIDE 29

❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ◆❯▼❊❘■❈❆▲ ❘❊❙❯▲❚❙ ❋❖❘ ❚❍❊ 3D O(4) ▼❖❉❊▲ ✸✳✸✳ ◆❯▼❊❘■❈❆▲ ❘❊❙❯▲❚❙ ❋❖❘ ▲❆❚❚■❈❊❙ ❲■❚❍ V = 83 ❚❤❡r♠❛❧✐s❛t✐♦♥ n1 Ndata 1000 × V ✷✵✵✵ ✶✺✵✵✵ ❚❛❜❧❛ ✸✳✶✿ ❙t❛t✐st✐❝s ♦❢ t❤❡ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s✿ ❚❤❡ s②st❡♠s ❜❡❣✐♥s ✐♥ ❛ ✧❤♦t st❛rt✧ ❛♥❞ t❛❦❡s 1000 × V st❡♣s t♦ t❤❡r♠❛❧✐s❡ ✐t✱ t❤❡♥ n1 ❝❧✉st❡r s✐③❡ ❛r❡ ♠❡❛s✉r❡❞ s❡♣❛r❛t❡❞ ❜② 10 × V st❡♣s ❛♥❞ sweep ✐s ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞✳ ❆❢t❡r t❤❛t✱ Ndata ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ ♠❛❞❡ s❡♣❛r❛t❡❞ ❜② 10 × sweep st❡♣s✳ ❋✐❣✉r❡ ✸✳✷✿ ❇❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡ ❝❧✉st❡r s✐③❡s ❛❢t❡r t❤❡r♠❛❧✐s❛t✐♦♥ ❢♦r β = 0.7✱ β = 1.5✱ µB = 0 ❛♥❞ ✉s✐♥❣ L = 8✳ ❚❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s s❤♦✇s ❧❛r❣❡r ❝❧✉st❡rs ❢♦r β = 1.5 ❛s ❡①♣❡❝t❡❞✳ ❋✐❣✉r❡ ✸✳✸✿ ❇❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ s✉s❝❡♣t✐❜✐❧✐t② χt ✉♥❞❡r s❡✈❡r❛❧ µB✳ ❆t µB = 0✱ Q ♠✉st ❜❡ ③❡r♦ ❞✉❡ t♦ ♣❛r✐t② ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡✱ ❛♥❞ ❛t ❧❛r❣❡ β✱ t❤❡r❡ ❛r❡ ♦♥❧② ❢❡✇ t♦♣✳ ✇✐♥❞✐♥❣s✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧❧② s✉♣♣r❡ss❡❞✱ ❛s ♦♥❡ ❡①♣❡❝ts ❢♦r ❛ ❞✐❧✉t❡ ✐♥st❛♥t♦♥ ❣❛s✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ t♦♦ t❤❛t Q ❞❡❝r❡❛s❡s ✇✐t❤ ❧❛r❣❡r µB✱ ❜✉t ✐♥❝r❡❛s❡s ✇✐t❤ ❧❛r❣❡r β✱ ✉♥t✐❧ ❛t ❤✐❣❤ T t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ µB ✐s ✇❛s❤❡❞ ♦✉t ❜❡ str♦♥❣ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥s✳ ✷✶

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❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ◆❯▼❊❘■❈❆▲ ❘❊❙❯▲❚❙ ❋❖❘ ❚❍❊ 3D O(4) ▼❖❉❊▲ ✸✳✸✳ ◆❯▼❊❘■❈❆▲ ❘❊❙❯▲❚❙ ❋❖❘ ▲❆❚❚■❈❊❙ ❲■❚❍ V = 83 ❋✐❣✉r❡ ✸✳✹✿ ❇❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡ s♣❡❝✐✜❝ ❤❡❛t c ✉♥❞❡r s❡✈❡r❛❧ µB✳ ❚❤❡ ♥❡❛r❧② ✢❛t ❜❡❤❛✈✐♦r ❛r♦✉♥❞ βc ❢♦r µB = 1.4 ♠❛② ❜❡ ❛ ❤✐♥t t❤❛t t❤✐s ♣♦✐♥t ✐s ♥❡❛r t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡♥❞ ♣♦✐♥t βcritical✿ t❤❡ ♣♦✐♥t ✇❤❡r❡ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♠❡❡ts ✇✐t❤ t❤❡ ✜rst ♦r❞❡r ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥✳ ✷✷

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❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ◆❯▼❊❘■❈❆▲ ❘❊❙❯▲❚❙ ❋❖❘ ❚❍❊ 3D O(4) ▼❖❉❊▲ ✸✳✸✳ ◆❯▼❊❘■❈❆▲ ❘❊❙❯▲❚❙ ❋❖❘ ▲❆❚❚■❈❊❙ ❲■❚❍ V = 83 ❋✐❣✉r❡ ✸✳✺✿ ❇❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡ ♠❛❣♥❡t✐❝ s✉s❝❡♣t✐❜✐❧✐t②✳ ❚❤❡② ❞✐✈❡r❣❡s ❛t βc ❜✉t ✐t ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❛ ❞✐s♣❧❛❝❡♠❡♥t ❢♦r βc ✇❤❡♥ ✐t ✐s ❝♦♠♣❛r❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ βc ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ ❞❛t❛ ♦❢ t❤❡ s♣❡❝✐✜❝ ❤❡❛t c✳ ✷✸

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❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ◆❯▼❊❘■❈❆▲ ❘❊❙❯▲❚❙ ❋❖❘ ❚❍❊ 3D O(4) ▼❖❉❊▲ ✸✳✸✳ ◆❯▼❊❘■❈❆▲ ❘❊❙❯▲❚❙ ❋❖❘ ▲❆❚❚■❈❊❙ ❲■❚❍ V = 83 ❋✐❣✉r❡ ✸✳✻✿ ❇❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡ ♦r❞❡r ♣❛r❛♠❡t❡r |M|✳ ❉✉❡ t♦ ✜♥✐t❡ s✐③❡ ❡✛❡❝ts✱ t❤❡ ✜rst ♦r❞❡r tr❛♥s✐t✐♦♥ s❡❡♠s ❧✐❦❡ ✐❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ |M| ✇❡r❡ ③❡r♦✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r tr❛♥s✐t✐♦♥ s❡❡♠s ❧✐❦❡ ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❝✉r✈❡ ✇✐t❤ ❛ ❝♦♥❝❛✈✐t② ❞♦✇♥✇❛r❞✳ ✷✹

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SLIDE 33

❈❤❛♣t❡r ✹

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❯s✐♥❣ t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ L = 8✱ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣❤❡♥♦♠❡♥❛ ✐♥ ❡❛❝❤ ❝✉r✈❡ ❢♦r s❡✈❡r❛❧ µB ✇❛s ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ❛♥❞ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ♦❢ β ✇❛s r❡❞✉❝❡❞ ✐♥ ❡❛❝❤ ❝❛s❡ ❢♦r ❛ t❡st ✇✐t❤ ❤✐❣❤❡r L t❤❛t t♦♦❦ ❧❡ss t✐♠❡ ❛♥❞ ❛ ❜❡tt❡r r❡s♦❧✉t✐♦♥✳ ❋r♦♠ ✜❣✉r❡ ✹✳✶ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❞❡❞✉❝❡❞ t❤❛t t❤❡ ❜❡st ❞❛t❛ t♦ ❣❡t t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❝✉r✈❡ ❞✉❡ t♦ ✐ts ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ t♦✇❛r❞s βc ✐s t❤❡ s♣❡❝✐✜❝ ❤❡❛t c✳ ❋♦r t❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ µB = 0.0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0, 2.2, 2.4, 2.6, 2.8, 3.0 t❤❡ ❜❡✲ ❤❛✈✐♦r ♦❢ ✐ts t❤❡r♠♦❞②♥❛♠✐❝❛❧ q✉❛♥t✐t✐❡s ♥❡❛r t❤❡✐r r❡s♣❡❝t✐✈❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❜❡❤❛✈✐♦r ✇❡r❡ ❣❛t❤❡r❡❞ ✉s✐♥❣ L = 8, 12✳ ❚♦ ❣❡t t❤❡ ❡①tr❛♣♦❧❛t❡❞ ✈❛❧✉❡ ♦❢ βc ❢♦r ❡❛❝❤ µB ❢♦r L = ∞ ❡❛❝❤ ❝✉r✈❡ ♥❡❛r t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣❤❡♥♦♠❡♥❛ ♦❢ t❤❡ s♣❡❝✐✜❝ ❤❡❛t c ✇❡r❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❞ t♦ ❛ ●❛✉ss✐❛♥ ✜t t♦ ❣❡t t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ βc ✐♥ ❡❛❝❤ ❝❛s❡✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ βc ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ t❤✐s ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ❛ s♣❡❝✐✜❝ µB ❛♥❞ ❞✐✛❡r❡♥t L✱ ❛ ❡①tr❛♣♦❧❛t✐♦♥ ✉s✐♥❣ ❛ ❧✐♥❡❛r ✜t ♦❢ βc ❱s 1/L ✇❛s ✉s❡❞✳ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ❧✐♥❡❛r ✜t ✇✐t❤ t❤❡ y✲❛①✐s ✐s t❤❡ ❡①tr❛♣♦❧❛t❡❞ ✈❛❧✉❡ βc ✇✐t❤ L = ∞✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ ♠❡t❤♦❞ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜❡❢♦r❡✱ ❛ ♣r❡❧✐♠✐♥❛r② ❝r✐t✐❝❛❧ ❝✉r✈❡ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞✱ ❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ✜❣✉r❡ ✹✳✷✳ ❚❤❡ ♣r❡❧✐♠✐♥❛r② ❣♦❛❧ ♦❢ t❤✐s t❤❡s✐s ❤❛s ❜❡❡♥ ❛❝❤✐❡✈❡❞✳ ✷✺

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SLIDE 34

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SLIDE 35

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SLIDE 36