r t rtrs t - - PowerPoint PPT Presentation

❍②♣♦♥♦r♠❛❧ ❚♦❡♣❧✐t③ ❖♣❡r❛t♦rs ✇✐t❤ ◆♦♥✲❤❛r♠♦♥✐❝ ❙②♠❜♦❧s ❆❝t✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❇❡r❣♠❛♥ ❙♣❛❝❡

▼❛tt❤❡✇ ❋❧❡❡♠❛♥ ❛♥❞ ❈♦♥st❛♥③❡ ▲✐❛✇

❈❆❋❚ ✷✵✶✽ ✲ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❈r❡t❡

❏✉❧② ✸✱ ✷✵✶✽

❍②♣♦♥♦r♠❛❧ ❖♣❡r❛t♦rs

▲❡t H ❜❡ ❛ ❝♦♠♣❧❡① ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ❛♥❞ T ❜❡ ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ❧✐♥❡❛r ♦♣❡r❛t♦r ✇✐t❤ ❛❞❥♦✐♥t T ∗✳ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ✐❢ ✵✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✐❢ ❢♦r ❛❧❧ ✱ ✵ ❯s❡❞ t♦ st✉❞② ❙♣❡❝tr❛❧ ❛♥❞ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ♦♣❡r❛t♦rs ❙✐♥❣✉❧❛r ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ❙❝❛tt❡r✐♥❣ t❤❡♦r② ❙❡❧❢✲❛❞❥♦✐♥t ◆♦r♠❛❧ ❙✉❜✲♥♦r♠❛❧ ❍②♣♦♥♦r♠❛❧

❍②♣♦♥♦r♠❛❧ ❖♣❡r❛t♦rs

▲❡t H ❜❡ ❛ ❝♦♠♣❧❡① ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ❛♥❞ T ❜❡ ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ❧✐♥❡❛r ♦♣❡r❛t♦r ✇✐t❤ ❛❞❥♦✐♥t T ∗✳ T ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ✐❢ [T ∗, T] := T ∗T − TT ∗ ≥ ✵✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✐❢ ❢♦r ❛❧❧ u ∈ H ✱ [T ∗, T]u, u ≥ ✵. ❯s❡❞ t♦ st✉❞② ❙♣❡❝tr❛❧ ❛♥❞ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ♦♣❡r❛t♦rs ❙✐♥❣✉❧❛r ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ❙❝❛tt❡r✐♥❣ t❤❡♦r② ❙❡❧❢✲❛❞❥♦✐♥t ◆♦r♠❛❧ ❙✉❜✲♥♦r♠❛❧ ❍②♣♦♥♦r♠❛❧

❍②♣♦♥♦r♠❛❧ ❖♣❡r❛t♦rs

▲❡t H ❜❡ ❛ ❝♦♠♣❧❡① ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ❛♥❞ T ❜❡ ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ❧✐♥❡❛r ♦♣❡r❛t♦r ✇✐t❤ ❛❞❥♦✐♥t T ∗✳ T ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ✐❢ [T ∗, T] := T ∗T − TT ∗ ≥ ✵✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✐❢ ❢♦r ❛❧❧ u ∈ H ✱ [T ∗, T]u, u ≥ ✵. ❯s❡❞ t♦ st✉❞② ❙♣❡❝tr❛❧ ❛♥❞ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ♦♣❡r❛t♦rs ❙✐♥❣✉❧❛r ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ❙❝❛tt❡r✐♥❣ t❤❡♦r② ❙❡❧❢✲❛❞❥♦✐♥t ◆♦r♠❛❧ ❙✉❜✲♥♦r♠❛❧ ❍②♣♦♥♦r♠❛❧

❍②♣♦♥♦r♠❛❧ ❖♣❡r❛t♦rs

▲❡t H ❜❡ ❛ ❝♦♠♣❧❡① ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ❛♥❞ T ❜❡ ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ❧✐♥❡❛r ♦♣❡r❛t♦r ✇✐t❤ ❛❞❥♦✐♥t T ∗✳ T ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ✐❢ [T ∗, T] := T ∗T − TT ∗ ≥ ✵✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✐❢ ❢♦r ❛❧❧ u ∈ H ✱ [T ∗, T]u, u ≥ ✵. ❯s❡❞ t♦ st✉❞② ❙♣❡❝tr❛❧ ❛♥❞ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ♦♣❡r❛t♦rs ❙✐♥❣✉❧❛r ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ❙❝❛tt❡r✐♥❣ t❤❡♦r② ❙❡❧❢✲❛❞❥♦✐♥t ◆♦r♠❛❧ ❙✉❜✲♥♦r♠❛❧ ❍②♣♦♥♦r♠❛❧

❍②♣♦♥♦r♠❛❧ ❖♣❡r❛t♦rs

▲❡t H ❜❡ ❛ ❝♦♠♣❧❡① ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ❛♥❞ T ❜❡ ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ❧✐♥❡❛r ♦♣❡r❛t♦r ✇✐t❤ ❛❞❥♦✐♥t T ∗✳ T ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ✐❢ [T ∗, T] := T ∗T − TT ∗ ≥ ✵✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✐❢ ❢♦r ❛❧❧ u ∈ H ✱ [T ∗, T]u, u ≥ ✵. ❯s❡❞ t♦ st✉❞② ❙♣❡❝tr❛❧ ❛♥❞ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ♦♣❡r❛t♦rs ❙✐♥❣✉❧❛r ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ❙❝❛tt❡r✐♥❣ t❤❡♦r② ❙❡❧❢✲❛❞❥♦✐♥t ◆♦r♠❛❧ ❙✉❜✲♥♦r♠❛❧ ❍②♣♦♥♦r♠❛❧

❍②♣♦♥♦r♠❛❧ ❖♣❡r❛t♦rs

▲❡t H ❜❡ ❛ ❝♦♠♣❧❡① ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ❛♥❞ T ❜❡ ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ❧✐♥❡❛r ♦♣❡r❛t♦r ✇✐t❤ ❛❞❥♦✐♥t T ∗✳ T ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ✐❢ [T ∗, T] := T ∗T − TT ∗ ≥ ✵✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✐❢ ❢♦r ❛❧❧ u ∈ H ✱ [T ∗, T]u, u ≥ ✵. ❯s❡❞ t♦ st✉❞② ❙♣❡❝tr❛❧ ❛♥❞ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ♦♣❡r❛t♦rs ❙✐♥❣✉❧❛r ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ❙❝❛tt❡r✐♥❣ t❤❡♦r② ❙❡❧❢✲❛❞❥♦✐♥t = ⇒ ◆♦r♠❛❧ = ⇒ ❙✉❜✲♥♦r♠❛❧ = ⇒ ❍②♣♦♥♦r♠❛❧

P✉t♥❛♠✬s ■♥❡q✉❛❧✐t②

❖♥❡ ♣❛rt✐❝✉❧❛r❧② ✐♥t❡r❡st✐♥❣ r❡s✉❧t ❢♦r ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ♦♣❡r❛t♦rs ✐s P✉t♥❛♠✬s ✐♥❡q✉❛❧✐t②✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❈✳❘✳ P✉t♥❛♠✱ ✶✾✼✵✮ ■❢ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ t❤❡♥ ❆r❡❛ ✇❤❡r❡ ❞❡♥♦t❡s t❤❡ s♣❡❝tr✉♠ ♦❢ ✳ ❲❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ st✉❞②✐♥❣ t❤❡ st❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ♦♣❡r❛t♦rs ✉♥❞❡r ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ✐♥ ❝❡rt❛✐♥ ❛♥❛❧②t✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ s♣❛❝❡s✳

P✉t♥❛♠✬s ■♥❡q✉❛❧✐t②

❖♥❡ ♣❛rt✐❝✉❧❛r❧② ✐♥t❡r❡st✐♥❣ r❡s✉❧t ❢♦r ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ♦♣❡r❛t♦rs ✐s P✉t♥❛♠✬s ✐♥❡q✉❛❧✐t②✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❈✳❘✳ P✉t♥❛♠✱ ✶✾✼✵✮ ■❢ T ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ t❤❡♥ [T ∗, T] ≤ ❆r❡❛(σ(T)) π , ✇❤❡r❡ σ(T) ❞❡♥♦t❡s t❤❡ s♣❡❝tr✉♠ ♦❢ T✳ ❲❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ st✉❞②✐♥❣ t❤❡ st❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ♦♣❡r❛t♦rs ✉♥❞❡r ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ✐♥ ❝❡rt❛✐♥ ❛♥❛❧②t✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ s♣❛❝❡s✳

P✉t♥❛♠✬s ■♥❡q✉❛❧✐t②

❖♥❡ ♣❛rt✐❝✉❧❛r❧② ✐♥t❡r❡st✐♥❣ r❡s✉❧t ❢♦r ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ♦♣❡r❛t♦rs ✐s P✉t♥❛♠✬s ✐♥❡q✉❛❧✐t②✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❈✳❘✳ P✉t♥❛♠✱ ✶✾✼✵✮ ■❢ T ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ t❤❡♥ [T ∗, T] ≤ ❆r❡❛(σ(T)) π , ✇❤❡r❡ σ(T) ❞❡♥♦t❡s t❤❡ s♣❡❝tr✉♠ ♦❢ T✳ ❲❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ st✉❞②✐♥❣ t❤❡ st❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ♦♣❡r❛t♦rs ✉♥❞❡r ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ✐♥ ❝❡rt❛✐♥ ❛♥❛❧②t✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ s♣❛❝❡s✳

❚❤❡ ❍❛r❞② ❙♣❛❝❡

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆ ❢✉♥❝t✐♦♥ f (z)✱ ❛♥❛❧②t✐❝ ✐♥ D✱ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡❧♦♥❣ t♦ t❤❡ ❍❛r❞② s♣❛❝❡✱ H✷✱ ✐❢ sup

✵<r<✶

• T

|f (reiθ)|✷dθ < ∞

✷ ❝❛♥ ❜❡ t❤♦✉❣❤t ♦❢ ❛s ❛ s✉❜s♣❛❝❡ ♦❢ ✷

✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲❡t ❜❡ ✐♥ ✳ ❚❤❡ ❚♦❡♣❧✐t③ ♦♣❡r❛t♦r

✷ ✷ ✇✐t❤

s②♠❜♦❧ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✇❤❡r❡ ✐s t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ❢r♦♠

✷

♦♥t♦

✷✳

❚❤❡ ❍❛r❞② ❙♣❛❝❡

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆ ❢✉♥❝t✐♦♥ f (z)✱ ❛♥❛❧②t✐❝ ✐♥ D✱ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡❧♦♥❣ t♦ t❤❡ ❍❛r❞② s♣❛❝❡✱ H✷✱ ✐❢ sup

✵<r<✶

• T

|f (reiθ)|✷dθ < ∞ H✷ ❝❛♥ ❜❡ t❤♦✉❣❤t ♦❢ ❛s ❛ s✉❜s♣❛❝❡ ♦❢ L✷(T) ✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲❡t ❜❡ ✐♥ ✳ ❚❤❡ ❚♦❡♣❧✐t③ ♦♣❡r❛t♦r

✷ ✷ ✇✐t❤

s②♠❜♦❧ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✇❤❡r❡ ✐s t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ❢r♦♠

✷

♦♥t♦

✷✳

❚❤❡ ❍❛r❞② ❙♣❛❝❡

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆ ❢✉♥❝t✐♦♥ f (z)✱ ❛♥❛❧②t✐❝ ✐♥ D✱ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡❧♦♥❣ t♦ t❤❡ ❍❛r❞② s♣❛❝❡✱ H✷✱ ✐❢ sup

✵<r<✶

• T

|f (reiθ)|✷dθ < ∞ H✷ ❝❛♥ ❜❡ t❤♦✉❣❤t ♦❢ ❛s ❛ s✉❜s♣❛❝❡ ♦❢ L✷(T) ✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲❡t ϕ(z) ❜❡ ✐♥ L∞(T)✳ ❚❤❡ ❚♦❡♣❧✐t③ ♦♣❡r❛t♦r Tϕ : H✷ → H✷ ✇✐t❤ s②♠❜♦❧ ϕ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② Tϕf = P+(ϕf ), ✇❤❡r❡ P+ ✐s t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ❢r♦♠ L✷(T) ♦♥t♦ H✷✳

❍②♣♦♥♦r♠❛❧ ❖♣❡r❛t♦rs ✐♥ t❤❡ ❍❛r❞② ❙♣❛❝❡

❚❤❡♦r❡♠ ✭❈✳ ❈♦✇❡♥✱ ✶✾✽✽✮ ▲❡t ϕ ∈ L∞(T) ❜❡ ❣✐✈❡♥ ❜② ϕ = f + ¯ g✱ ✇✐t❤ f , g ∈ H✷✳ ❚❤❡♥ Tϕ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ g = c + T¯

hf ,

❢♦r s♦♠❡ ❝♦♥st❛♥t c ❛♥❞ s♦♠❡ h ∈ H∞(D)✱ ✇✐t❤ h∞ ≤ ✶✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ r❡❧✐❡s ♦♥ ❛ ❞✐❧❛t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠ ❜② ❙❛r❛s♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t

✷

❝♦♥s✐sts ♦❢ ❝♦♥❥✉❣❛t❡s ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥

✷✳

❍②♣♦♥♦r♠❛❧ ❖♣❡r❛t♦rs ✐♥ t❤❡ ❍❛r❞② ❙♣❛❝❡

❚❤❡♦r❡♠ ✭❈✳ ❈♦✇❡♥✱ ✶✾✽✽✮ ▲❡t ϕ ∈ L∞(T) ❜❡ ❣✐✈❡♥ ❜② ϕ = f + ¯ g✱ ✇✐t❤ f , g ∈ H✷✳ ❚❤❡♥ Tϕ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ g = c + T¯

hf ,

❢♦r s♦♠❡ ❝♦♥st❛♥t c ❛♥❞ s♦♠❡ h ∈ H∞(D)✱ ✇✐t❤ h∞ ≤ ✶✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ r❡❧✐❡s ♦♥ ❛ ❞✐❧❛t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠ ❜② ❙❛r❛s♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t H✷⊥ ❝♦♥s✐sts ♦❢ ❝♦♥❥✉❣❛t❡s ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥ zH✷✳

❚❤❡ ❇❡r❣♠❛♥ ❙♣❛❝❡

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆ ❢✉♥❝t✐♦♥ f ❛♥❛❧②t✐❝ ✐♥ D ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡❧♦♥❣ t♦ t❤❡ ❇❡r❣♠❛♥ s♣❛❝❡✱ A✷✱ ✐❢ ✶ π

• D

|f (z)|✷ dA(z) < ∞, ✇❤❡r❡ dA ✐s ❛r❡❛ ♠❡❛s✉r❡ ♦♥ D✳ ❋♦r

✵

✐♥

✷

✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t

✷

✷

✵ ✷

✶

❚❤❡ ❇❡r❣♠❛♥ ❙♣❛❝❡

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆ ❢✉♥❝t✐♦♥ f ❛♥❛❧②t✐❝ ✐♥ D ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡❧♦♥❣ t♦ t❤❡ ❇❡r❣♠❛♥ s♣❛❝❡✱ A✷✱ ✐❢ ✶ π

• D

|f (z)|✷ dA(z) < ∞, ✇❤❡r❡ dA ✐s ❛r❡❛ ♠❡❛s✉r❡ ♦♥ D✳ ❋♦r f =

n≥✵ anzn ✐♥ A✷(D)✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t

f ✷

A✷ = ∞

• n=✵

|an|✷ n + ✶.

❚♦❡♣❧✐t③ ❖♣❡r❛t♦rs ♦♥ A✷

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲❡t ϕ(z) ❜❡ ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ D✳ ❚❤❡ ❚♦❡♣❧✐t③ ♦♣❡r❛t♦r Tϕ : A✷ → A✷ ✇✐t❤ s②♠❜♦❧ ϕ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② Tϕf = P(ϕf ), ✇❤❡r❡ P ✐s t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ❢r♦♠ L✷(D) ♦♥t♦ A✷✳ ■t ✐s st✐❧❧ ❛♥ ♦♣❡♥ q✉❡st✐♦♥ t♦ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❝❧❛ss✐❢② ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ❚♦❡♣❧✐t③ ♦♣❡r❛t♦rs ❛❝t✐♥❣ ♦♥

✷✳

❚❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❛♥❛❧♦❣ ♦❢ ❙❛r❛s♦♥✬s ❞✐❧❛t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠✳

✷

✐s ❛ ♠✉❝❤ ❧❛r❣❡r s♣❛❝❡✳

❚♦❡♣❧✐t③ ❖♣❡r❛t♦rs ♦♥ A✷

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲❡t ϕ(z) ❜❡ ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ D✳ ❚❤❡ ❚♦❡♣❧✐t③ ♦♣❡r❛t♦r Tϕ : A✷ → A✷ ✇✐t❤ s②♠❜♦❧ ϕ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② Tϕf = P(ϕf ), ✇❤❡r❡ P ✐s t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ❢r♦♠ L✷(D) ♦♥t♦ A✷✳ ■t ✐s st✐❧❧ ❛♥ ♦♣❡♥ q✉❡st✐♦♥ t♦ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❝❧❛ss✐❢② ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ❚♦❡♣❧✐t③ ♦♣❡r❛t♦rs ❛❝t✐♥❣ ♦♥ A✷✳ ❚❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❛♥❛❧♦❣ ♦❢ ❙❛r❛s♦♥✬s ❞✐❧❛t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠✳

✷

✐s ❛ ♠✉❝❤ ❧❛r❣❡r s♣❛❝❡✳

❚♦❡♣❧✐t③ ❖♣❡r❛t♦rs ♦♥ A✷

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲❡t ϕ(z) ❜❡ ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ D✳ ❚❤❡ ❚♦❡♣❧✐t③ ♦♣❡r❛t♦r Tϕ : A✷ → A✷ ✇✐t❤ s②♠❜♦❧ ϕ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② Tϕf = P(ϕf ), ✇❤❡r❡ P ✐s t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ❢r♦♠ L✷(D) ♦♥t♦ A✷✳ ■t ✐s st✐❧❧ ❛♥ ♦♣❡♥ q✉❡st✐♦♥ t♦ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❝❧❛ss✐❢② ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ❚♦❡♣❧✐t③ ♦♣❡r❛t♦rs ❛❝t✐♥❣ ♦♥ A✷✳ ❚❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❛♥❛❧♦❣ ♦❢ ❙❛r❛s♦♥✬s ❞✐❧❛t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠✳

✷

✐s ❛ ♠✉❝❤ ❧❛r❣❡r s♣❛❝❡✳

❚♦❡♣❧✐t③ ❖♣❡r❛t♦rs ♦♥ A✷

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲❡t ϕ(z) ❜❡ ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ D✳ ❚❤❡ ❚♦❡♣❧✐t③ ♦♣❡r❛t♦r Tϕ : A✷ → A✷ ✇✐t❤ s②♠❜♦❧ ϕ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② Tϕf = P(ϕf ), ✇❤❡r❡ P ✐s t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ❢r♦♠ L✷(D) ♦♥t♦ A✷✳ ■t ✐s st✐❧❧ ❛♥ ♦♣❡♥ q✉❡st✐♦♥ t♦ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❝❧❛ss✐❢② ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ❚♦❡♣❧✐t③ ♦♣❡r❛t♦rs ❛❝t✐♥❣ ♦♥ A✷✳ ❚❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❛♥❛❧♦❣ ♦❢ ❙❛r❛s♦♥✬s ❞✐❧❛t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠✳

• A✷⊥ ✐s ❛ ♠✉❝❤ ❧❛r❣❡r s♣❛❝❡✳

❙♦♠❡ ✉s❡❢✉❧ ❢❛❝ts ❛❜♦✉t ❚♦❡♣❧✐t③ ♦♣❡r❛t♦rs

T ∗

ϕ = T ¯ ϕ

❤②♣♦♥♦r♠❛❧

✷ ✷

✵ ❢♦r ❛❧❧

✷✳

❋♦r ✱ ❛♥❞

✷✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t ✷ ✷ ✷ ✷

✷❘❡

❙♦♠❡ ✉s❡❢✉❧ ❢❛❝ts ❛❜♦✉t ❚♦❡♣❧✐t③ ♦♣❡r❛t♦rs

T ∗

ϕ = T ¯ ϕ

Tf +g = Tf + Tg ❤②♣♦♥♦r♠❛❧

✷ ✷

✵ ❢♦r ❛❧❧

✷✳

❋♦r ✱ ❛♥❞

✷✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t ✷ ✷ ✷ ✷

✷❘❡

❙♦♠❡ ✉s❡❢✉❧ ❢❛❝ts ❛❜♦✉t ❚♦❡♣❧✐t③ ♦♣❡r❛t♦rs

T ∗

ϕ = T ¯ ϕ

Tf +g = Tf + Tg Tϕ ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ⇐ ⇒ Tϕu✷ − Tϕu✷ ≥ ✵ ❢♦r ❛❧❧ u ∈ A✷✳ ❋♦r ✱ ❛♥❞

✷✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t ✷ ✷ ✷ ✷

✷❘❡

❙♦♠❡ ✉s❡❢✉❧ ❢❛❝ts ❛❜♦✉t ❚♦❡♣❧✐t③ ♦♣❡r❛t♦rs

T ∗

ϕ = T ¯ ϕ

Tf +g = Tf + Tg Tϕ ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ⇐ ⇒ Tϕu✷ − Tϕu✷ ≥ ✵ ❢♦r ❛❧❧ u ∈ A✷✳ ❋♦r f , g ∈ L∞(D)✱ ❛♥❞ u ∈ A✷✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t

• [T ∗

f +g, Tf +g]u, u

• =
• Tf u✷ − T ∗

f u✷

+

• Tgu✷ −
• T ∗

g u

• ✷

+✷❘❡

• Tf u, Tgu −
• T ∗

f u, T ∗ g u

• .

❑♥♦✇♥ ❘❡s✉❧ts

❚❤❡♦r❡♠ ✭❍✳ ❙❛❞r❛♦✉✐✱ ✶✾✾✷ ✮ ▲❡t f ❛♥❞ g ❜❡ ❜♦✉♥❞❡❞ ❛♥❛❧②t✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ s✉❝❤ t❤❛t f ′ ∈ H✷✳ ■❢ Tf +¯

g ❛❝t✐♥❣ ♦♥ A✷ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✱ t❤❡♥ g′ ∈ H✷ ❛♥❞ |g′| ≤ |f ′|

❛❧♠♦st ❡✈❡r②✇❤❡r❡ ♦♥ T✳ ■♥t❡r❡st✐♥❣❧②✱ t❤✐s ✐s ❛ ❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡ r❡s✉❧t✦ P✳ ❆❤❡r♥ ❛♥❞ ❩✳ ❷✉↔❦♦✈✐➣ s❤♦✇❡❞ ✐♥ ✶✾✾✻ t❤❛t t❤❡ ❤②♣♦t❤❡s❡s ❝❛♥ ❜❡ r❡❧❛①❡❞ q✉✐t❡ ❛ ❜✐t✳

❑♥♦✇♥ ❘❡s✉❧ts

❚❤❡♦r❡♠ ✭❍✳ ❙❛❞r❛♦✉✐✱ ✶✾✾✷ ✮ ▲❡t f ❛♥❞ g ❜❡ ❜♦✉♥❞❡❞ ❛♥❛❧②t✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ s✉❝❤ t❤❛t f ′ ∈ H✷✳ ■❢ Tf +¯

g ❛❝t✐♥❣ ♦♥ A✷ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✱ t❤❡♥ g′ ∈ H✷ ❛♥❞ |g′| ≤ |f ′|

❛❧♠♦st ❡✈❡r②✇❤❡r❡ ♦♥ T✳ ■♥t❡r❡st✐♥❣❧②✱ t❤✐s ✐s ❛ ❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡ r❡s✉❧t✦ P✳ ❆❤❡r♥ ❛♥❞ ❩✳ ❷✉↔❦♦✈✐➣ s❤♦✇❡❞ ✐♥ ✶✾✾✻ t❤❛t t❤❡ ❤②♣♦t❤❡s❡s ❝❛♥ ❜❡ r❡❧❛①❡❞ q✉✐t❡ ❛ ❜✐t✳

❑♥♦✇♥ ❘❡s✉❧ts

❚❤❡♦r❡♠ ✭❍✳ ❙❛❞r❛♦✉✐✱ ✶✾✾✷ ✮ ▲❡t f ❛♥❞ g ❜❡ ❜♦✉♥❞❡❞ ❛♥❛❧②t✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ s✉❝❤ t❤❛t f ′ ∈ H✷✳ ■❢ Tf +¯

g ❛❝t✐♥❣ ♦♥ A✷ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✱ t❤❡♥ g′ ∈ H✷ ❛♥❞ |g′| ≤ |f ′|

❛❧♠♦st ❡✈❡r②✇❤❡r❡ ♦♥ T✳ ■♥t❡r❡st✐♥❣❧②✱ t❤✐s ✐s ❛ ❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡ r❡s✉❧t✦ P✳ ❆❤❡r♥ ❛♥❞ ❩✳ ❷✉↔❦♦✈✐➣ s❤♦✇❡❞ ✐♥ ✶✾✾✻ t❤❛t t❤❡ ❤②♣♦t❤❡s❡s ❝❛♥ ❜❡ r❡❧❛①❡❞ q✉✐t❡ ❛ ❜✐t✳

❑♥♦✇♥ r❡s✉❧ts ❝♦♥t✐♥✉❡❞

❚❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✐s ♥❡❝❡ss❛r②✱ ❜✉t ♥♦t s✉✣❝✐❡♥t ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ ❛s ❞❡♠♦♥str❛t❡❞ ❜② t❤❡ ♥❡①t t❤❡♦r❡♠✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❍✳ ❙❛❞r❛♦✉✐✱ ✶✾✾✷✮ ✶✳ ■❢ ✱ t❤❡♥ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢

✶ ✶ ✳

✷✳ ■❢ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✳ ❚❤✐s ❧❡❛❞s t♦ ❛ ❤♦st ♦❢ ❡①❛♠♣❧❡s ✇❤❡r❡ ♦♥ ❜✉t ✐s ♥♦t ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✳ ❡✳❣✳

✸ ✷ ✐s ♥♦t ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✳

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❚❤❡♦r❡♠ ✭■✳❙✳ ❍✇❛♥❣ ❛♥❞ ❏✳ ▲❡❡✱ ✷✵✵✺✮ ▲❡t f (z) = amzm + anzn ❛♥❞ g(z) = a−mzm + a−nzn✱ ✇✐t❤ ✵ < m < n✳ ■❢ Tf +¯

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t❤❛t n✷ |a−n|✷ + m✷ |a−m|✷ ≤ m✷ |am|✷ + n✷ |an|✷ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❩✳ ❷✉↔❦♦✈✐➣ ❛♥❞ ❘✳ ❈✉rt♦✱ ✷✵✶✻✮ ❙✉♣♣♦s❡ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ♦♥

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✷ ✷ ✷ ✷ ✷ ✷ ✷ ✷

✷ ◆♦t❡ t❤❛t s♦ ❢❛r✱ ❛❧❧ t❤❡ s②♠❜♦❧s ✐♥✈♦❧✈❡❞ ❛r❡ ❤❛r♠♦♥✐❝✳

❑♥♦✇♥ r❡s✉❧ts ❝♦♥t✐♥✉❡❞

❚❤❡♦r❡♠ ✭■✳❙✳ ❍✇❛♥❣ ❛♥❞ ❏✳ ▲❡❡✱ ✷✵✵✺✮ ▲❡t f (z) = amzm + anzn ❛♥❞ g(z) = a−mzm + a−nzn✱ ✇✐t❤ ✵ < m < n✳ ■❢ Tf +¯

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t❤❛t n✷ |a−n|✷ + m✷ |a−m|✷ ≤ m✷ |am|✷ + n✷ |an|✷ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❩✳ ❷✉↔❦♦✈✐➣ ❛♥❞ ❘✳ ❈✉rt♦✱ ✷✵✶✻✮ ❙✉♣♣♦s❡ Tϕ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ♦♥ A✷(D) ✇✐t❤ ϕ(z) = αzm + βzn + γ¯ zp + δ¯ zq✱ ✇❤❡r❡ m < n ❛♥❞ p < q✱ ❛♥❞ α, β, γ.δ ∈ C✳ ❆ss✉♠❡ ❛❧s♦ t❤❛t n − m = q − p✳ ❚❤❡♥ |α|✷ n✷ + |β|✷ m✷ − |γ|✷ p✷ − |δ|✷ q✷ ≥ ✷ |¯ αβmn − ¯ γδpq| . ◆♦t❡ t❤❛t s♦ ❢❛r✱ ❛❧❧ t❤❡ s②♠❜♦❧s ✐♥✈♦❧✈❡❞ ❛r❡ ❤❛r♠♦♥✐❝✳

❑♥♦✇♥ r❡s✉❧ts ❝♦♥t✐♥✉❡❞

❚❤❡♦r❡♠ ✭■✳❙✳ ❍✇❛♥❣ ❛♥❞ ❏✳ ▲❡❡✱ ✷✵✵✺✮ ▲❡t f (z) = amzm + anzn ❛♥❞ g(z) = a−mzm + a−nzn✱ ✇✐t❤ ✵ < m < n✳ ■❢ Tf +¯

g ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ❛♥❞ |an| ≤ |a−n| t❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡

t❤❛t n✷ |a−n|✷ + m✷ |a−m|✷ ≤ m✷ |am|✷ + n✷ |an|✷ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❩✳ ❷✉↔❦♦✈✐➣ ❛♥❞ ❘✳ ❈✉rt♦✱ ✷✵✶✻✮ ❙✉♣♣♦s❡ Tϕ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ♦♥ A✷(D) ✇✐t❤ ϕ(z) = αzm + βzn + γ¯ zp + δ¯ zq✱ ✇❤❡r❡ m < n ❛♥❞ p < q✱ ❛♥❞ α, β, γ.δ ∈ C✳ ❆ss✉♠❡ ❛❧s♦ t❤❛t n − m = q − p✳ ❚❤❡♥ |α|✷ n✷ + |β|✷ m✷ − |γ|✷ p✷ − |δ|✷ q✷ ≥ ✷ |¯ αβmn − ¯ γδpq| . ◆♦t❡ t❤❛t s♦ ❢❛r✱ ❛❧❧ t❤❡ s②♠❜♦❧s ✐♥✈♦❧✈❡❞ ❛r❡ ❤❛r♠♦♥✐❝✳

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✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✳ ❯♣ ✉♥t✐❧ ♥♦✇ ❡✈❡r②t❤✐♥❣ ❤❛s ❜❡❡♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ♠♦❞✉❧✐ ♦❢ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✳

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z✹z✸✳ ❇② ❝❤❡❝❦✐♥❣ ❛❣❛✐♥st t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❚❤❡♦r❡♠✱ ✇❡ ❝❛♥ s❤♦✇ t❤❛t Tϕ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ❚❤✐s ❡①❛♠♣❧❡ ❝❛♥ ❜❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭▼❈❋ ❛♥❞ ▲✐❛✇✱ ✷✵✶✼✮ ❋✐① ❋♦r ❡✈❡r② ✐♥t❡❣❡r t❤❡r❡ ❡①✐sts ✱ s✉❝❤ t❤❛t ✇✐t❤ s②♠❜♦❧

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✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✳ ❯♣ ✉♥t✐❧ ♥♦✇ ❡✈❡r②t❤✐♥❣ ❤❛s ❜❡❡♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ♠♦❞✉❧✐ ♦❢ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✳

❚✇♦ t❡r♠ ♥♦♥✲❤❛r♠♦♥✐❝ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ s②♠❜♦❧s

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✼ ¯

z✹z✸✳ ❇② ❝❤❡❝❦✐♥❣ ❛❣❛✐♥st t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❚❤❡♦r❡♠✱ ✇❡ ❝❛♥ s❤♦✇ t❤❛t Tϕ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ❚❤✐s ❡①❛♠♣❧❡ ❝❛♥ ❜❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭▼❈❋ ❛♥❞ ▲✐❛✇✱ ✷✵✶✼✮ ❋✐① ❋♦r ❡✈❡r② ✐♥t❡❣❡r t❤❡r❡ ❡①✐sts ✱ s✉❝❤ t❤❛t ✇✐t❤ s②♠❜♦❧

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✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✳ ❯♣ ✉♥t✐❧ ♥♦✇ ❡✈❡r②t❤✐♥❣ ❤❛s ❜❡❡♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ♠♦❞✉❧✐ ♦❢ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✳

❚✇♦ t❡r♠ ♥♦♥✲❤❛r♠♦♥✐❝ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ s②♠❜♦❧s

❲❡ ❝❛♥ ✉s❡ t❤✐s t♦ ❝♦♥str✉❝t ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ♦♣❡r❛t♦rs✳ ❊①❛♠♣❧❡ ✭▼❈❋ ❛♥❞ ▲✐❛✇✱ ✷✵✶✼✮ ❈♦♥s✐❞❡r ϕ(z) = z✷z + ✶

✼ ¯

z✹z✸✳ ❇② ❝❤❡❝❦✐♥❣ ❛❣❛✐♥st t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❚❤❡♦r❡♠✱ ✇❡ ❝❛♥ s❤♦✇ t❤❛t Tϕ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ❚❤✐s ❡①❛♠♣❧❡ ❝❛♥ ❜❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭▼❈❋ ❛♥❞ ▲✐❛✇✱ ✷✵✶✼✮ ❋✐① δ ∈ N. ❋♦r ❡✈❡r② ✐♥t❡❣❡r n ∈ N t❤❡r❡ ❡①✐sts j ∈ N✱ s✉❝❤ t❤❛t Tϕ ✇✐t❤ s②♠❜♦❧ ϕ(z) = zn+δzn +

✶ ✷j+δzj+δzj ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✳

❯♣ ✉♥t✐❧ ♥♦✇ ❡✈❡r②t❤✐♥❣ ❤❛s ❜❡❡♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ♠♦❞✉❧✐ ♦❢ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✳

❚✇♦ t❡r♠ ♥♦♥✲❤❛r♠♦♥✐❝ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ s②♠❜♦❧s

❲❡ ❝❛♥ ✉s❡ t❤✐s t♦ ❝♦♥str✉❝t ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ♦♣❡r❛t♦rs✳ ❊①❛♠♣❧❡ ✭▼❈❋ ❛♥❞ ▲✐❛✇✱ ✷✵✶✼✮ ❈♦♥s✐❞❡r ϕ(z) = z✷z + ✶

✼ ¯

z✹z✸✳ ❇② ❝❤❡❝❦✐♥❣ ❛❣❛✐♥st t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❚❤❡♦r❡♠✱ ✇❡ ❝❛♥ s❤♦✇ t❤❛t Tϕ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ❚❤✐s ❡①❛♠♣❧❡ ❝❛♥ ❜❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭▼❈❋ ❛♥❞ ▲✐❛✇✱ ✷✵✶✼✮ ❋✐① δ ∈ N. ❋♦r ❡✈❡r② ✐♥t❡❣❡r n ∈ N t❤❡r❡ ❡①✐sts j ∈ N✱ s✉❝❤ t❤❛t Tϕ ✇✐t❤ s②♠❜♦❧ ϕ(z) = zn+δzn +

✶ ✷j+δzj+δzj ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✳

❯♣ ✉♥t✐❧ ♥♦✇ ❡✈❡r②t❤✐♥❣ ❤❛s ❜❡❡♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ♠♦❞✉❧✐ ♦❢ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✳

▼❡❧❧✐♥ ❚r❛♥s❢♦r♠

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❙✉♣♣♦s❡ ϕ ∈ L✶ ([✵, ✶] , rdr)✳ ❋♦r ❘❡ z ≥ ✷✱t❤❡ ▼❡❧❧✐♥ ❚r❛♥s❢♦r♠ ♦❢ ϕ✱ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ˆ ϕ(z) = ✶

✵

ϕ(x)xz−✶dx ❋♦r

✵

✇✐t❤ ❛♥❞

✵ r❛❞✐❛❧✱

✷ ✶

✵ ✷

✷ ✵ ✵ ✵ ❛♥❞ ✷ ✶

✵ ✷

✷ ✵ ✵ ✵

▼❡❧❧✐♥ ❚r❛♥s❢♦r♠

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❙✉♣♣♦s❡ ϕ ∈ L✶ ([✵, ✶] , rdr)✳ ❋♦r ❘❡ z ≥ ✷✱t❤❡ ▼❡❧❧✐♥ ❚r❛♥s❢♦r♠ ♦❢ ϕ✱ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ˆ ϕ(z) = ✶

✵

ϕ(x)xz−✶dx ❋♦r ϕ(reiθ) = eikθϕ✵(r), ✇✐t❤ k ∈ Z ❛♥❞ ϕ✵ r❛❞✐❛❧✱ Tϕzn =

• ✷ (n + k + ✶) ˆ

ϕ✵(✷n + k + ✷)zn+k n + k ≥ ✵ ✵ n + k < ✵ ❛♥❞ T ¯

ϕzn =

• ✷ (n − k + ✶) ˆ

ϕ✵(✷n − k + ✷)zn−k n − k ≥ ✵ ✵ n − k < ✵

❆ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ r❡s✉❧t

❚❤❡♦r❡♠ ✭❨✳ ▲✉ ❛♥❞ ❈✳ ▲✐✉✱ ✷✵✵✾ ✮ ▲❡t ϕ(reiθ) = eiδθϕ✵(r) ∈ L∞(D), ✇❤❡r❡ δ ∈ Z ❛♥❞ ϕ✵ ✐s r❛❞✐❛❧✳ ❚❤❡♥ Tϕ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❤♦❧❞s✿ ✶✮ ✵ ❛♥❞

✵

✵❀ ✷✮ ✵❀ ✸✮ ✵ ❛♥❞ ❢♦r ❡❛❝❤ ✱

✵ ✷

✷ ✶ ✶

✵ ✷

✷ ✭✶✮

❆ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ r❡s✉❧t

❚❤❡♦r❡♠ ✭❨✳ ▲✉ ❛♥❞ ❈✳ ▲✐✉✱ ✷✵✵✾ ✮ ▲❡t ϕ(reiθ) = eiδθϕ✵(r) ∈ L∞(D), ✇❤❡r❡ δ ∈ Z ❛♥❞ ϕ✵ ✐s r❛❞✐❛❧✳ ❚❤❡♥ Tϕ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❤♦❧❞s✿ ✶✮ δ < ✵ ❛♥❞ ϕ✵ ≡ ✵❀ ✷✮ ✵❀ ✸✮ ✵ ❛♥❞ ❢♦r ❡❛❝❤ ✱

✵ ✷

✷ ✶ ✶

✵ ✷

✷ ✭✶✮

❆ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ r❡s✉❧t

❚❤❡♦r❡♠ ✭❨✳ ▲✉ ❛♥❞ ❈✳ ▲✐✉✱ ✷✵✵✾ ✮ ▲❡t ϕ(reiθ) = eiδθϕ✵(r) ∈ L∞(D), ✇❤❡r❡ δ ∈ Z ❛♥❞ ϕ✵ ✐s r❛❞✐❛❧✳ ❚❤❡♥ Tϕ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❤♦❧❞s✿ ✶✮ δ < ✵ ❛♥❞ ϕ✵ ≡ ✵❀ ✷✮ δ = ✵❀ ✸✮ ✵ ❛♥❞ ❢♦r ❡❛❝❤ ✱

✵ ✷

✷ ✶ ✶

✵ ✷

✷ ✭✶✮

❆ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ r❡s✉❧t

❚❤❡♦r❡♠ ✭❨✳ ▲✉ ❛♥❞ ❈✳ ▲✐✉✱ ✷✵✵✾ ✮ ▲❡t ϕ(reiθ) = eiδθϕ✵(r) ∈ L∞(D), ✇❤❡r❡ δ ∈ Z ❛♥❞ ϕ✵ ✐s r❛❞✐❛❧✳ ❚❤❡♥ Tϕ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❤♦❧❞s✿ ✶✮ δ < ✵ ❛♥❞ ϕ✵ ≡ ✵❀ ✷✮ δ = ✵❀ ✸✮ δ > ✵ ❛♥❞ ❢♦r ❡❛❝❤ α ≥ δ✱ | ϕ✵(✷α + δ + ✷)| ≥

• α − δ + ✶

α + δ + ✶ | ϕ✵(✷α − δ + ✷)| . ✭✶✮

❆ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ▲✐✉✲▲✉ ❚❤❡♦r❡♠

❋r♦♠ t❤✐s ❚❤❡♦r❡♠✱ ✇❡ ♠❛② ❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛t ✐❢ ϕ(z) = a✶zm✶ ¯ zn✶ + . . . + akzmk ¯ znk, ✇✐t❤ m✶ − n✶ = . . . = mk − nk ≥ ✵✱ ❛♥❞ ai ❛❧❧ ❧✐❡ ♦♥ t❤❡ s❛♠❡ r❛② ❢♦r ✶ ≤ i ≤ k✱ t❤❡♥ Tϕ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✳ ■❢ ✇❡ t❛❦❡

✶ ✶✱ ✇❡ ♠❛② ✇r✐t❡ ✶

✶ ✶

❙✐♥❝❡ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ❢♦r ✶ ✱ t❤❡♥ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✶✮ ✐s s❛t✐s✜❡❞ ❢♦r ❡❛❝❤ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧❧② ❙✐♥❝❡ ❛❧❧ ❧✐❡ ♦♥ t❤❡ s❛♠❡ r❛② ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✶✮ ✇✐❧❧ ❜❡ s❛t✐s✜❡❞ ❜② t❤❡ s✉♠✳

❆ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ▲✐✉✲▲✉ ❚❤❡♦r❡♠

❋r♦♠ t❤✐s ❚❤❡♦r❡♠✱ ✇❡ ♠❛② ❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛t ✐❢ ϕ(z) = a✶zm✶ ¯ zn✶ + . . . + akzmk ¯ znk, ✇✐t❤ m✶ − n✶ = . . . = mk − nk ≥ ✵✱ ❛♥❞ ai ❛❧❧ ❧✐❡ ♦♥ t❤❡ s❛♠❡ r❛② ❢♦r ✶ ≤ i ≤ k✱ t❤❡♥ Tϕ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✳ ■❢ ✇❡ t❛❦❡ δ = m✶ − n✶✱ ✇❡ ♠❛② ✇r✐t❡ ϕ(reiθ) = eiδθ a✶rm✶+n✶ + . . . + akrmk+nk . ❙✐♥❝❡ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ❢♦r ✶ ✱ t❤❡♥ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✶✮ ✐s s❛t✐s✜❡❞ ❢♦r ❡❛❝❤ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧❧② ❙✐♥❝❡ ❛❧❧ ❧✐❡ ♦♥ t❤❡ s❛♠❡ r❛② ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✶✮ ✇✐❧❧ ❜❡ s❛t✐s✜❡❞ ❜② t❤❡ s✉♠✳

❆ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ▲✐✉✲▲✉ ❚❤❡♦r❡♠

❋r♦♠ t❤✐s ❚❤❡♦r❡♠✱ ✇❡ ♠❛② ❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛t ✐❢ ϕ(z) = a✶zm✶ ¯ zn✶ + . . . + akzmk ¯ znk, ✇✐t❤ m✶ − n✶ = . . . = mk − nk ≥ ✵✱ ❛♥❞ ai ❛❧❧ ❧✐❡ ♦♥ t❤❡ s❛♠❡ r❛② ❢♦r ✶ ≤ i ≤ k✱ t❤❡♥ Tϕ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✳ ■❢ ✇❡ t❛❦❡ δ = m✶ − n✶✱ ✇❡ ♠❛② ✇r✐t❡ ϕ(reiθ) = eiδθ a✶rm✶+n✶ + . . . + akrmk+nk . ❙✐♥❝❡ Taizmi ¯

zni ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ❢♦r ✶ ≤ i ≤ n✱ t❤❡♥ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✶✮

✐s s❛t✐s✜❡❞ ❢♦r ❡❛❝❤ i ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧❧② ❙✐♥❝❡ ❛❧❧ ❧✐❡ ♦♥ t❤❡ s❛♠❡ r❛② ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✶✮ ✇✐❧❧ ❜❡ s❛t✐s✜❡❞ ❜② t❤❡ s✉♠✳

❆ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ▲✐✉✲▲✉ ❚❤❡♦r❡♠

❋r♦♠ t❤✐s ❚❤❡♦r❡♠✱ ✇❡ ♠❛② ❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛t ✐❢ ϕ(z) = a✶zm✶ ¯ zn✶ + . . . + akzmk ¯ znk, ✇✐t❤ m✶ − n✶ = . . . = mk − nk ≥ ✵✱ ❛♥❞ ai ❛❧❧ ❧✐❡ ♦♥ t❤❡ s❛♠❡ r❛② ❢♦r ✶ ≤ i ≤ k✱ t❤❡♥ Tϕ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✳ ■❢ ✇❡ t❛❦❡ δ = m✶ − n✶✱ ✇❡ ♠❛② ✇r✐t❡ ϕ(reiθ) = eiδθ a✶rm✶+n✶ + . . . + akrmk+nk . ❙✐♥❝❡ Taizmi ¯

zni ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ❢♦r ✶ ≤ i ≤ n✱ t❤❡♥ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✶✮

✐s s❛t✐s✜❡❞ ❢♦r ❡❛❝❤ i ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧❧② ❙✐♥❝❡ ❛❧❧ ai ❧✐❡ ♦♥ t❤❡ s❛♠❡ r❛② ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✶✮ ✇✐❧❧ ❜❡ s❛t✐s✜❡❞ ❜② t❤❡ s✉♠✳

❆r❣✉♠❡♥t ▼❛tt❡rs

❚❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t t❤❛t ❛❧❧ ai ❧✐❡ ♦♥ t❤❡ s❛♠❡ r❛② ✐s ♥♦t ✈❡r② s❛t✐s❢❛❝t♦r②✳ ❲❡ ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡ t♦ r❡❧❛① t❤✐s ❝♦♥❞✐t✐♦♥✱ ❜✉t ✇❡ ❝❛♥♥♦t ❞r♦♣ ✐t ❡♥t✐r❡❧②✳ ❊①❛♠♣❧❡ ▲❡t

✷ ✸ ✷✳ ❚❤❡♥ ✵ ✶ ✸ ✶ ✺✱ ❛♥❞ ✇❡ ✜♥❞ t❤❛t

✶ ✷ ✻ ✶ ✷ ✽ ✷ ✶ ✷ ✹ ✶ ✷ ✻ ✇❤❡♥❡✈❡r ✷ ❇② t❤❡ ▲✐✉✲▲✉ ❚❤❡♦r❡♠✱ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✳ ❍♦✇❡✈❡r ✐❢

✷ ✸ ✷✱ t❤❡♥

✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✳

❆r❣✉♠❡♥t ▼❛tt❡rs

❚❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t t❤❛t ❛❧❧ ai ❧✐❡ ♦♥ t❤❡ s❛♠❡ r❛② ✐s ♥♦t ✈❡r② s❛t✐s❢❛❝t♦r②✳ ❲❡ ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡ t♦ r❡❧❛① t❤✐s ❝♦♥❞✐t✐♦♥✱ ❜✉t ✇❡ ❝❛♥♥♦t ❞r♦♣ ✐t ❡♥t✐r❡❧②✳ ❊①❛♠♣❧❡ ▲❡t

✷ ✸ ✷✳ ❚❤❡♥ ✵ ✶ ✸ ✶ ✺✱ ❛♥❞ ✇❡ ✜♥❞ t❤❛t

✶ ✷ ✻ ✶ ✷ ✽ ✷ ✶ ✷ ✹ ✶ ✷ ✻ ✇❤❡♥❡✈❡r ✷ ❇② t❤❡ ▲✐✉✲▲✉ ❚❤❡♦r❡♠✱ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✳ ❍♦✇❡✈❡r ✐❢

✷ ✸ ✷✱ t❤❡♥

✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✳

❆r❣✉♠❡♥t ▼❛tt❡rs

❚❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t t❤❛t ❛❧❧ ai ❧✐❡ ♦♥ t❤❡ s❛♠❡ r❛② ✐s ♥♦t ✈❡r② s❛t✐s❢❛❝t♦r②✳ ❲❡ ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡ t♦ r❡❧❛① t❤✐s ❝♦♥❞✐t✐♦♥✱ ❜✉t ✇❡ ❝❛♥♥♦t ❞r♦♣ ✐t ❡♥t✐r❡❧②✳ ❊①❛♠♣❧❡ ▲❡t ϕ(z) = z✷¯ z − z✸¯ z✷✳ ❚❤❡♥ ϕ✵(k) =

✶ k+✸ − ✶ k+✺✱ ❛♥❞ ✇❡ ✜♥❞ t❤❛t

✶ ✷α + ✻ − ✶ ✷α + ✽ <

• α

α + ✷

• ✶

✷α + ✹ − ✶ ✷α + ✻

• ,

✇❤❡♥❡✈❡r α ≥ ✷. ❇② t❤❡ ▲✐✉✲▲✉ ❚❤❡♦r❡♠✱ Tϕ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✳ ❍♦✇❡✈❡r ✐❢

✷ ✸ ✷✱ t❤❡♥

✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✳

❆r❣✉♠❡♥t ▼❛tt❡rs

❚❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t t❤❛t ❛❧❧ ai ❧✐❡ ♦♥ t❤❡ s❛♠❡ r❛② ✐s ♥♦t ✈❡r② s❛t✐s❢❛❝t♦r②✳ ❲❡ ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡ t♦ r❡❧❛① t❤✐s ❝♦♥❞✐t✐♦♥✱ ❜✉t ✇❡ ❝❛♥♥♦t ❞r♦♣ ✐t ❡♥t✐r❡❧②✳ ❊①❛♠♣❧❡ ▲❡t ϕ(z) = z✷¯ z − z✸¯ z✷✳ ❚❤❡♥ ϕ✵(k) =

✶ k+✸ − ✶ k+✺✱ ❛♥❞ ✇❡ ✜♥❞ t❤❛t

✶ ✷α + ✻ − ✶ ✷α + ✽ <

• α

α + ✷

• ✶

✷α + ✹ − ✶ ✷α + ✻

• ,

✇❤❡♥❡✈❡r α ≥ ✷. ❇② t❤❡ ▲✐✉✲▲✉ ❚❤❡♦r❡♠✱ Tϕ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✳ ❍♦✇❡✈❡r ✐❢ ϕ(z) = z✷¯ z + z✸¯ z✷✱ t❤❡♥ Tϕ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✳

❆r❣✉♠❡♥t ▼❛tt❡rs

❚❤❡♦r❡♠ ✭▼❈❋ ❛♥❞ ▲✐❛✇✱ ✷✵✶✼✮ ▲❡t ϕ(z) = a✶zm✶ ¯ zn✶ + . . . + akzmk ¯ znk✱ ✇✐t❤ m✶ − n✶ = . . . = mk − nk = δ ≥ ✵✱ ❛♥❞ ai ❛❧❧ ❧②✐♥❣ ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ q✉❛rt❡r✲♣❧❛♥❡ ✶ ≤ i ≤ k ✭✐✳❡✳ max✶≤i,j≤k |❛r❣(ai) − ❛r❣ (aj)| ≤ π

✷ ✮✱

t❤❡♥ Tϕ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐♥✈♦❧✈❡s ❡①❛♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ▼❡❧❧✐♥ tr❛♥s❢♦r♠ ♦❢ ✱ ❛♥❞ t❤❡♥ ❛♣♣❧②✐♥❣ t❤❡ ▲✐✉✲▲✉ t❤❡♦r❡♠✳

❆r❣✉♠❡♥t ▼❛tt❡rs

❚❤❡♦r❡♠ ✭▼❈❋ ❛♥❞ ▲✐❛✇✱ ✷✵✶✼✮ ▲❡t ϕ(z) = a✶zm✶ ¯ zn✶ + . . . + akzmk ¯ znk✱ ✇✐t❤ m✶ − n✶ = . . . = mk − nk = δ ≥ ✵✱ ❛♥❞ ai ❛❧❧ ❧②✐♥❣ ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ q✉❛rt❡r✲♣❧❛♥❡ ✶ ≤ i ≤ k ✭✐✳❡✳ max✶≤i,j≤k |❛r❣(ai) − ❛r❣ (aj)| ≤ π

✷ ✮✱

t❤❡♥ Tϕ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐♥✈♦❧✈❡s ❡①❛♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ▼❡❧❧✐♥ tr❛♥s❢♦r♠ ♦❢ ϕ✱ ❛♥❞ t❤❡♥ ❛♣♣❧②✐♥❣ t❤❡ ▲✐✉✲▲✉ t❤❡♦r❡♠✳

❆r❣✉♠❡♥t ▼❛tt❡rs

■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❛ t✇♦✲t❡r♠ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✇❡ ❝❛♥ ❛❧s♦ ❣❡t ❛ ♣❛rt✐❛❧ ❝♦♥✈❡rs❡✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭▼❈❋ ❛♥❞ ▲✐❛✇✱ ✷✵✶✼✮ ▲❡t

✶ ✷

✱ ✇✐t❤ ✵✳ ■❢ ✵

✶

✶

✷

✶ ✶ ✶

✶

✶

✷

✶ ❢♦r s♦♠❡ ✱ t❤❡♥ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❛r❣

✶

❛r❣

✷ ✷ ✳

❆r❣✉♠❡♥t ▼❛tt❡rs

■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❛ t✇♦✲t❡r♠ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✇❡ ❝❛♥ ❛❧s♦ ❣❡t ❛ ♣❛rt✐❛❧ ❝♦♥✈❡rs❡✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭▼❈❋ ❛♥❞ ▲✐❛✇✱ ✷✵✶✼✮ ▲❡t ϕ(z) = a✶zm¯ zn + a✷zi ¯ zj✱ ✇✐t❤ m − n = i − j = δ ≥ ✵✳ ■❢ ✵ ≤ |a✶| α + m + ✶− |a✷| α + i + ✶ < α − δ + ✶ α + δ + ✶

• |a✶|

α + n + ✶ − |a✷| α + j + ✶

• ❢♦r s♦♠❡ α ≥ δ✱ t❤❡♥ Tϕ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢

|❛r❣ (a✶) − ❛r❣ (a✷)| ≤ π

✷ ✳

■❞❡❛ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢

❲▲❖● ❛ss✉♠❡ t❤❛t a✶ > ✵✱ ❛♥❞ ❧❡t θ = ❛r❣(a✷)✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t ❜② t❤❡ ▲✐✉✲▲✉ ❚❤❡♦r❡♠✱ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❢♦r ❡❛❝❤ ✱

✵ ✷

✷ ✶ ✶

✵ ✷

✷ ❚❤✐s ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ t❤❛t ❢♦r

✶

✶

✷

✶

✷ ✷ ✷ ✷

✶ ✷ ✶ ✶

✶

✶

✷

✶

✷ ✷ ✷ ✷

✶ ✷ ✵

■❞❡❛ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢

❲▲❖● ❛ss✉♠❡ t❤❛t a✶ > ✵✱ ❛♥❞ ❧❡t θ = ❛r❣(a✷)✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t ❜② t❤❡ ▲✐✉✲▲✉ ❚❤❡♦r❡♠✱ Tϕ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❢♦r ❡❛❝❤ α ≥ δ✱ | ϕ✵(✷α + δ + ✷)| ≥

• α − δ + ✶

α + δ + ✶ | ϕ✵(✷α − δ + ✷)| . ❚❤✐s ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ t❤❛t ❢♦r

✶

✶

✷

✶

✷ ✷ ✷ ✷

✶ ✷ ✶ ✶

✶

✶

✷

✶

✷ ✷ ✷ ✷

✶ ✷ ✵

■❞❡❛ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢

❲▲❖● ❛ss✉♠❡ t❤❛t a✶ > ✵✱ ❛♥❞ ❧❡t θ = ❛r❣(a✷)✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t ❜② t❤❡ ▲✐✉✲▲✉ ❚❤❡♦r❡♠✱ Tϕ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❢♦r ❡❛❝❤ α ≥ δ✱ | ϕ✵(✷α + δ + ✷)| ≥

• α − δ + ✶

α + δ + ✶ | ϕ✵(✷α − δ + ✷)| . ❚❤✐s ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ t❤❛t ❢♦r α ≥ δ Fϕ,α(θ) :=

• a✶

α + m + ✶ + |a✷| cos (θ) α + i + ✶ ✷ + |a✷|✷ sin✷ (θ) (α + i + ✶)✷ −α − δ + ✶ α + δ + ✶

• a✶

α + n + ✶ + |a✷| cos (θ) α + j + ✶ ✷ + |a✷|✷ sin✷ (θ) (α + j + ✶)✷

• ≥ ✵.

■❞❡❛ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢

0.05 0.10 0.15

• 0.05

0.05

❋✐❣✉r❡✿ ❚❤❡ s✐t✉❛t✐♦♥ ✇❤❡♥ α = ✻✱ m = ✺✱ i = ✾✱ ❛♥❞ δ = ✹

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ t✇♦ ❝✐r❝❧❡s✿ C✶ :=

• z :
• z −

a✶ α+m+✶

• =

|a✷| α+i+✶

• C✷ :=
• z :
• z − α−δ+✶

α+δ+✶ a✶ α+n+✶

• = α−δ+✶

α+δ+✶ |a✷| α+j+✶

■❞❡❛ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢

0.05 0.10 0.15

• 0.05

0.05

❋✐❣✉r❡✿ ❚❤❡ s✐t✉❛t✐♦♥ ✇❤❡♥ α = ✻✱ m = ✺✱ i = ✾✱ ❛♥❞ δ = ✹

❚❤❡ ❤②♣♦t❤❡s✐s t❤❛t ✵ ≤ |a✶| α + m + ✶− |a✷| α + i + ✶ < α − δ + ✶ α + δ + ✶

• |a✶|

α + n + ✶ − |a✷| α + j + ✶

• ❣✉❛r❛♥t❡❡s t❤❛t C✷ ❧✐❡s ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ✐♥ t❤❡ r❡❣✐♦♥ ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② C✶✳

■❞❡❛ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢

0.05 0.10 0.15

• 0.05

0.05

❋✐❣✉r❡✿ ❚❤❡ s✐t✉❛t✐♦♥ ✇❤❡♥ α = ✻✱ m = ✺✱ i = ✾✱ ❛♥❞ δ = ✹

❋♦r ❡✈❡r② α t❤❡r❡ ✇✐❧❧ ❡①✐st ❛ π

✷ ≤ θα < π s✉❝❤ t❤❛t Fϕ,α(θ) < ✵ ❢♦r

θα < θ < π✳ ❆s ✱ ✇❡ ✜♥❞ t❤❛t

✷ ✱ ❛♥❞ s♦

✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢

✷ ✳

■❞❡❛ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢

0.05 0.10 0.15

• 0.05

0.05

❋✐❣✉r❡✿ ❚❤❡ s✐t✉❛t✐♦♥ ✇❤❡♥ α = ✻✱ m = ✺✱ i = ✾✱ ❛♥❞ δ = ✹

❋♦r ❡✈❡r② α t❤❡r❡ ✇✐❧❧ ❡①✐st ❛ π

✷ ≤ θα < π s✉❝❤ t❤❛t Fϕ,α(θ) < ✵ ❢♦r

θα < θ < π✳ ❆s α → ∞✱ ✇❡ ✜♥❞ t❤❛t θα → π

✷ ✱ ❛♥❞ s♦ Tϕ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧ ✐❢ ❛♥❞

♦♥❧② ✐❢ |θ| ≤ π

✷ ✳

❆r❣✉♠❡♥t ♦♥❧② ♠❛tt❡rs s♦♠❡t✐♠❡s

0.14 0.16 0.18 0.20 0.22

• 0.015
• 0.010
• 0.005

0.005 0.010 0.015

❋✐❣✉r❡✿ ❚❤❡ s✐t✉❛t✐♦♥ ✇❤❡♥ α = ✷✱ m = ✷✱ i = ✸✱ ❛♥❞ δ = ✶

▲❡t ϕθ(z) = ϕ(z) = z✷¯ z + ✶

✶✵eiθz✸¯

z✷. ❆s α → ∞✱ ✇❡ ✜♥❞ t❤❛t Fϕ,α(θ) > ✵ ❢♦r ❛❧❧ θ ∈ [✵, π] ❛♥❞ ❛❧❧ α ≥ ✶✳

❘❡♠❛r❦s ❛♥❞ ❋✉rt❤❡r ❘❡s❡❛r❝❤

❲❡ ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡ t♦ t❤❛♥❦ ❈❛r❧ ❈♦✇❡♥ ❢♦r ❤✐s ❤❡❧♣❢✉❧ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡✱ ❛♥❞ ❇r✐❛♥ ❙✐♠❛♥❡❦ ❢♦r ✈❡r② ❢r✉✐t❢✉❧ ❞✐s❝✉ss✐♦♥s✳ ❚❤❡ ❝✉rr❡♥t ♣r♦♦❢s r❡❧② ♦♥ r❛t❤❡r str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ❛♥❞ ✏❤❛r❞✑ ❛♥❛❧②s✐s✳ ❲❡ ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡ t♦ ✜♥❞ ✏s♦❢t❡r✑✱ ♠♦r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ t❤❡♦r❡t✐❝ ♣r♦♦❢s✱ ✐❢ ♣♦ss✐❜❧❡✱ ♦❢ t❤❡s❡ r❡s✉❧ts ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ ▲✐✉✲▲✉ ❚❤❡♦r❡♠✳ ❖✉r ❝✉rr❡♥t ❡st✐♠❛t❡s ❝♦✉❧❞ ❛❧s♦ ❜❡ s❤❛r♣❡♥❡❞ q✉✐t❡ ❛ ❜✐t✳ ❲❡ ✇♦✉❧❞ ❛❧s♦ ❧✐❦❡ t♦ ❡①♣❧♦r❡ ♠♦r❡ q✉❛❧✐t❛t✐✈❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✱ s✐♠✐❧❛r t♦ ❙❛r❞r❛♦✉✐✬s r❡s✉❧ts✱ ♦♥ ❛ s②♠❜♦❧ ❢♦r ✇❤❡♥ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐❢ ❛♥❞ ✐s ❤②♣♦♥♦r♠❛❧✱ ❞♦❡s t❤❛t ✐♠♣❧② ❛ ♥❡❝❡ss❛r② r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ ❛♥❞ ❄

❘❡♠❛r❦s ❛♥❞ ❋✉rt❤❡r ❘❡s❡❛r❝❤

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❊υχαριστω!