rs t r ts - - PowerPoint PPT Presentation

❈❧❛ss✐❝❛❧✐t② ✈s✳ ◗✉❛♥t✉♠♥❡ss ❙♦❧✐t♦♥s ✐♥ ✶+✶ ❉✐♠❡♥s✐♦♥s✿ ❙❡♠✐✲❝❧❛ss✐❝❛❧ ❚r❡❛t♠❡♥t ❈♦r♣✉s❝✉❧❛r ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❛♥❞ ❖✉t❧♦♦❦

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❚❡❤s❡❡♥ ❘✉❣ ❲♦r❦ ✐♥ ❝♦❧❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ●✐❛ ❉✈❛❧✐✱ ❈❡s❛r ●♦♠❡③ ❛♥❞ ▲✉❦❛s

• r✉❡♥❞✐♥❣

▼❛①✲P❧❛♥❝❦✲■♥st✐t✉t ❢ür P❤②s✐❦✱ ▲✉❞✇✐❣✲▼❛①✐♠✐❧✐❛♥s ❯♥✐✈❡rs✐tät

❉❡❝❡♠❜❡r✱ ✶✹t❤ ✷✵✶✺

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❖✉r ●r♦✉♣

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• ✐❛ ❉✈❛❧✐✿ ❊✈❡r②t❤✐♥❣

❚❡❤s❡❡♥ ❘✉❣ ❲♦r❦ ✐♥ ❝♦❧❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ●✐❛ ❉✈❛❧✐✱ ❈❡s❛r ●♦♠❡③ ❛♥❞ ▲✉❦❛s ●r✉❡♥❞✐♥❣ ❚♦✇❛r❞s ❛ ◗✉❛♥t✉♠ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s

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❈♦♥t❡♥ts

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❚❡❤s❡❡♥ ❘✉❣ ❲♦r❦ ✐♥ ❝♦❧❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ●✐❛ ❉✈❛❧✐✱ ❈❡s❛r ●♦♠❡③ ❛♥❞ ▲✉❦❛s ●r✉❡♥❞✐♥❣ ❚♦✇❛r❞s ❛ ◗✉❛♥t✉♠ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s

❈❧❛ss✐❝❛❧✐t② ✈s✳ ◗✉❛♥t✉♠♥❡ss ❙♦❧✐t♦♥s ✐♥ ✶+✶ ❉✐♠❡♥s✐♦♥s✿ ❙❡♠✐✲❝❧❛ss✐❝❛❧ ❚r❡❛t♠❡♥t ❈♦r♣✉s❝✉❧❛r ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❛♥❞ ❖✉t❧♦♦❦

❆♥ ❊①❛♠♣❧❡

❈❧❛ss✐❝❛❧ ❡❧❡❝tr✐❝ ✜❡❧❞✿ ∂✐❊✐ = ρ ✭✶✮ ❣✐✈❡♥ ❝❤❛r❣❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ρ ⇒ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡❧❡❝tr✐❝ ✜❡❧❞ ρ ◗❊❉ ⇒ ♣❛rt✐❝❧❡s ❛r❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧✱ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ✜❡❧❞ ❛s ❡♠❡r❣❡♥t ♣❤❡♥♦♠❡♥♦♥✳ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ✜❡❧❞ ❊✐ ✐s ❝♦❤❡r❡♥t st❛t❡ ♦❢ ◆ ✭❧♦♥❣✐t✉❞✐♥❛❧✮ ♣❤♦t♦♥s s❡♠✐✲❝❧❛ss✐❝❛❧ ❧✐♠✐t✿ ◆ → ∞

❚❡❤s❡❡♥ ❘✉❣ ❲♦r❦ ✐♥ ❝♦❧❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ●✐❛ ❉✈❛❧✐✱ ❈❡s❛r ●♦♠❡③ ❛♥❞ ▲✉❦❛s ●r✉❡♥❞✐♥❣ ❚♦✇❛r❞s ❛ ◗✉❛♥t✉♠ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s

❈❧❛ss✐❝❛❧✐t② ✈s✳ ◗✉❛♥t✉♠♥❡ss ❙♦❧✐t♦♥s ✐♥ ✶+✶ ❉✐♠❡♥s✐♦♥s✿ ❙❡♠✐✲❝❧❛ss✐❝❛❧ ❚r❡❛t♠❡♥t ❈♦r♣✉s❝✉❧❛r ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❛♥❞ ❖✉t❧♦♦❦

❙❡♠✐❝❧❛ss✐❝❛❧ ❆♣♣r♦❛❝❤

◗✉❛♥t✉♠ ❡✛❡❝ts ❡♥❝♦❞❡❞ ✐♥ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥s ❛r♦✉♥❞ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❡①♣❛♥❞ ❊✐ → ❊✐ +δ❊✐ ❝♦♠♣✉t❡ ❧♦♦♣s ♦❢ ✧δ❊✐✲♣❛rt✐❝❧❡s✧ ✐♥ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❊✐ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❧✐♠✐t✿ ¯ ❤ → ✵ ✳ ▲❡✈❡❧s ♦❢ ◗✉❛♥t✉♠♥❡ss ◆ ❤ ◆ ❤ ◆ ❤ ✵ ✭✷✮

❚❡❤s❡❡♥ ❘✉❣ ❲♦r❦ ✐♥ ❝♦❧❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ●✐❛ ❉✈❛❧✐✱ ❈❡s❛r ●♦♠❡③ ❛♥❞ ▲✉❦❛s ●r✉❡♥❞✐♥❣ ❚♦✇❛r❞s ❛ ◗✉❛♥t✉♠ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s

❈❧❛ss✐❝❛❧✐t② ✈s✳ ◗✉❛♥t✉♠♥❡ss ❙♦❧✐t♦♥s ✐♥ ✶+✶ ❉✐♠❡♥s✐♦♥s✿ ❙❡♠✐✲❝❧❛ss✐❝❛❧ ❚r❡❛t♠❡♥t ❈♦r♣✉s❝✉❧❛r ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❛♥❞ ❖✉t❧♦♦❦

❙❡♠✐❝❧❛ss✐❝❛❧ ❆♣♣r♦❛❝❤

◗✉❛♥t✉♠ ❡✛❡❝ts ❡♥❝♦❞❡❞ ✐♥ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥s ❛r♦✉♥❞ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❡①♣❛♥❞ ❊✐ → ❊✐ +δ❊✐ ❝♦♠♣✉t❡ ❧♦♦♣s ♦❢ ✧δ❊✐✲♣❛rt✐❝❧❡s✧ ✐♥ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❊✐ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❧✐♠✐t✿ ¯ ❤ → ✵ ✳ ▲❡✈❡❧s ♦❢ ◗✉❛♥t✉♠♥❡ss Fully Quantum : ◆, ¯ ❤ finite Semi−classical : ◆ → ∞, ¯ ❤ finite Classical Limit : ◆ → ∞, ¯ ❤ → ✵ ✭✷✮

❚❡❤s❡❡♥ ❘✉❣ ❲♦r❦ ✐♥ ❝♦❧❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ●✐❛ ❉✈❛❧✐✱ ❈❡s❛r ●♦♠❡③ ❛♥❞ ▲✉❦❛s ●r✉❡♥❞✐♥❣ ❚♦✇❛r❞s ❛ ◗✉❛♥t✉♠ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s

❈❧❛ss✐❝❛❧✐t② ✈s✳ ◗✉❛♥t✉♠♥❡ss ❙♦❧✐t♦♥s ✐♥ ✶+✶ ❉✐♠❡♥s✐♦♥s✿ ❙❡♠✐✲❝❧❛ss✐❝❛❧ ❚r❡❛t♠❡♥t ❈♦r♣✉s❝✉❧❛r ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❛♥❞ ❖✉t❧♦♦❦

◆♦♥✲t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❙♦❧✐t♦♥

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ❙♦❧✐t♦♥ ✐s ❛ st❛t✐❝✱ ❧♦❝❛❧✐③❡❞✱ ✜♥✐t❡ ❡♥❡r❣② s♦❧✉t✐♦♥ ♥♦♥✲t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ s♦❧✐t♦♥✿ L = (∂µφ)✷ − ♠✷φ ✷ + ❣✷φ ✹ → φ❝(①) =

✶ √ ✷ ♠ ❣ sech(♠①)

❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ s✐③❡✿ ▲ = ♠−✶✱ ❊♥❡r❣②✿ ❊♥t = ✷

❞①(∂①φ)✷ = ✷♠✸

✸❣✷

❚❡❤s❡❡♥ ❘✉❣ ❲♦r❦ ✐♥ ❝♦❧❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ●✐❛ ❉✈❛❧✐✱ ❈❡s❛r ●♦♠❡③ ❛♥❞ ▲✉❦❛s ●r✉❡♥❞✐♥❣ ❚♦✇❛r❞s ❛ ◗✉❛♥t✉♠ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s

❈❧❛ss✐❝❛❧✐t② ✈s✳ ◗✉❛♥t✉♠♥❡ss ❙♦❧✐t♦♥s ✐♥ ✶+✶ ❉✐♠❡♥s✐♦♥s✿ ❙❡♠✐✲❝❧❛ss✐❝❛❧ ❚r❡❛t♠❡♥t ❈♦r♣✉s❝✉❧❛r ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❛♥❞ ❖✉t❧♦♦❦

❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❙♦❧✐t♦♥

t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ s♦❧✐t♦♥✿ L = (∂µφ)✷ − ❣✷(φ ✷ − ♠✷/❣✷)✷ → φ❝(①) = ♠

❣ tanh(①♠)

❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ s✐③❡✿ ▲ = ♠−✶✱ ❊♥❡r❣②✿ ❊t♦♣ = ✽♠✸

✸❣✷

♥❡✇ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝✿ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❝❤❛r❣❡ ◗

❚❡❤s❡❡♥ ❘✉❣ ❲♦r❦ ✐♥ ❝♦❧❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ●✐❛ ❉✈❛❧✐✱ ❈❡s❛r ●♦♠❡③ ❛♥❞ ▲✉❦❛s ●r✉❡♥❞✐♥❣ ❚♦✇❛r❞s ❛ ◗✉❛♥t✉♠ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s

❈❧❛ss✐❝❛❧✐t② ✈s✳ ◗✉❛♥t✉♠♥❡ss ❙♦❧✐t♦♥s ✐♥ ✶+✶ ❉✐♠❡♥s✐♦♥s✿ ❙❡♠✐✲❝❧❛ss✐❝❛❧ ❚r❡❛t♠❡♥t ❈♦r♣✉s❝✉❧❛r ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❛♥❞ ❖✉t❧♦♦❦

❇❛s✐❝ ■❞❡❛ ✭❉✈❛❧✐✱ ●♦♠❡③✱ ●r✉❡♥❞✐♥❣✱ ❘✉❣❀ ◆✉❝❧✳ P❤②s✳ ❇✮

■❞❡❛✿ ❯♥❞❡rst❛♥❞ ❙♦❧✐t♦♥s ❛♥❞ t❤❡✐r ♣r♦♣❡rt✐❡s q✉❛♥t✉♠ ♠❡❝❤❛♥✐❝❛❧❧②✦ ❡①♣❛♥❞ φ❝(①) = √ ❘

• ❞❦

√

✹π|❦| (❡✐❦①α❦ + ❡−✐❦①α∗ ❦)

♣r♦♠♦t❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts t♦ ❝r❡❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❛♥♥✐❤✐❧❛t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦rs ❛❦ ❛❦ ✇✐t❤ ❛❦ ❛♣

❦♣

❝♦♥str✉❝t q✉❛♥t✉♠ s♦❧✐t♦♥ st❛t❡ s❡❧❢✲❝♦♥s✐st❡♥t❧② ❛s ❝♦❤❡r❡♥t st❛t❡✿

❦ ❡

✶ ✷ ❦ ✷

♥❦ ✵

♥❦ ❦

♥❦ ♥❦

❛❦ ◆❦ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❧✐♠✐t✿

❝ ❝✱ ❦ ✷

◆❦✿ ♦❝❝✉♣❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦r♣✉s❝❧❡s ✐♥ ♠♦❞❡ ❦✳

❚❡❤s❡❡♥ ❘✉❣ ❲♦r❦ ✐♥ ❝♦❧❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ●✐❛ ❉✈❛❧✐✱ ❈❡s❛r ●♦♠❡③ ❛♥❞ ▲✉❦❛s ●r✉❡♥❞✐♥❣ ❚♦✇❛r❞s ❛ ◗✉❛♥t✉♠ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s

❈❧❛ss✐❝❛❧✐t② ✈s✳ ◗✉❛♥t✉♠♥❡ss ❙♦❧✐t♦♥s ✐♥ ✶+✶ ❉✐♠❡♥s✐♦♥s✿ ❙❡♠✐✲❝❧❛ss✐❝❛❧ ❚r❡❛t♠❡♥t ❈♦r♣✉s❝✉❧❛r ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❛♥❞ ❖✉t❧♦♦❦

❇❛s✐❝ ■❞❡❛ ✭❉✈❛❧✐✱ ●♦♠❡③✱ ●r✉❡♥❞✐♥❣✱ ❘✉❣❀ ◆✉❝❧✳ P❤②s✳ ❇✮

■❞❡❛✿ ❯♥❞❡rst❛♥❞ ❙♦❧✐t♦♥s ❛♥❞ t❤❡✐r ♣r♦♣❡rt✐❡s q✉❛♥t✉♠ ♠❡❝❤❛♥✐❝❛❧❧②✦ ❡①♣❛♥❞ φ❝(①) = √ ❘

• ❞❦

√

✹π|❦| (❡✐❦①α❦ + ❡−✐❦①α∗ ❦)

♣r♦♠♦t❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts t♦ ❝r❡❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❛♥♥✐❤✐❧❛t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦rs ˆ ❛†

❦, ˆ

❛❦ ✇✐t❤ [ˆ ❛❦,ˆ ❛†

♣] = δ❦♣

❝♦♥str✉❝t q✉❛♥t✉♠ s♦❧✐t♦♥ st❛t❡ s❡❧❢✲❝♦♥s✐st❡♥t❧② ❛s ❝♦❤❡r❡♥t st❛t❡✿

❦ ❡

✶ ✷ ❦ ✷

♥❦ ✵

♥❦ ❦

♥❦ ♥❦

❛❦ ◆❦ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❧✐♠✐t✿

❝ ❝✱ ❦ ✷

◆❦✿ ♦❝❝✉♣❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦r♣✉s❝❧❡s ✐♥ ♠♦❞❡ ❦✳

❚❡❤s❡❡♥ ❘✉❣ ❲♦r❦ ✐♥ ❝♦❧❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ●✐❛ ❉✈❛❧✐✱ ❈❡s❛r ●♦♠❡③ ❛♥❞ ▲✉❦❛s ●r✉❡♥❞✐♥❣ ❚♦✇❛r❞s ❛ ◗✉❛♥t✉♠ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s

❈❧❛ss✐❝❛❧✐t② ✈s✳ ◗✉❛♥t✉♠♥❡ss ❙♦❧✐t♦♥s ✐♥ ✶+✶ ❉✐♠❡♥s✐♦♥s✿ ❙❡♠✐✲❝❧❛ss✐❝❛❧ ❚r❡❛t♠❡♥t ❈♦r♣✉s❝✉❧❛r ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❛♥❞ ❖✉t❧♦♦❦

❇❛s✐❝ ■❞❡❛ ✭❉✈❛❧✐✱ ●♦♠❡③✱ ●r✉❡♥❞✐♥❣✱ ❘✉❣❀ ◆✉❝❧✳ P❤②s✳ ❇✮

■❞❡❛✿ ❯♥❞❡rst❛♥❞ ❙♦❧✐t♦♥s ❛♥❞ t❤❡✐r ♣r♦♣❡rt✐❡s q✉❛♥t✉♠ ♠❡❝❤❛♥✐❝❛❧❧②✦ ❡①♣❛♥❞ φ❝(①) = √ ❘

• ❞❦

√

✹π|❦| (❡✐❦①α❦ + ❡−✐❦①α∗ ❦)

♣r♦♠♦t❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts t♦ ❝r❡❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❛♥♥✐❤✐❧❛t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦rs ˆ ❛†

❦, ˆ

❛❦ ✇✐t❤ [ˆ ❛❦,ˆ ❛†

♣] = δ❦♣

❝♦♥str✉❝t q✉❛♥t✉♠ s♦❧✐t♦♥ st❛t❡ s❡❧❢✲❝♦♥s✐st❡♥t❧② ❛s ❝♦❤❡r❡♥t st❛t❡✿ |sol = ∏❦ ❡− ✶

✷|α❦|✷ ∑∞

♥❦=✵ α

♥❦ ❦

√♥❦!|♥❦ → ˆ

❛❦|sol = √◆❦|sol ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❧✐♠✐t✿

❝ ❝✱ ❦ ✷

◆❦✿ ♦❝❝✉♣❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦r♣✉s❝❧❡s ✐♥ ♠♦❞❡ ❦✳

❚❡❤s❡❡♥ ❘✉❣ ❲♦r❦ ✐♥ ❝♦❧❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ●✐❛ ❉✈❛❧✐✱ ❈❡s❛r ●♦♠❡③ ❛♥❞ ▲✉❦❛s ●r✉❡♥❞✐♥❣ ❚♦✇❛r❞s ❛ ◗✉❛♥t✉♠ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s

❈❧❛ss✐❝❛❧✐t② ✈s✳ ◗✉❛♥t✉♠♥❡ss ❙♦❧✐t♦♥s ✐♥ ✶+✶ ❉✐♠❡♥s✐♦♥s✿ ❙❡♠✐✲❝❧❛ss✐❝❛❧ ❚r❡❛t♠❡♥t ❈♦r♣✉s❝✉❧❛r ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❛♥❞ ❖✉t❧♦♦❦

❇❛s✐❝ ■❞❡❛ ✭❉✈❛❧✐✱ ●♦♠❡③✱ ●r✉❡♥❞✐♥❣✱ ❘✉❣❀ ◆✉❝❧✳ P❤②s✳ ❇✮

■❞❡❛✿ ❯♥❞❡rst❛♥❞ ❙♦❧✐t♦♥s ❛♥❞ t❤❡✐r ♣r♦♣❡rt✐❡s q✉❛♥t✉♠ ♠❡❝❤❛♥✐❝❛❧❧②✦ ❡①♣❛♥❞ φ❝(①) = √ ❘

• ❞❦

√

✹π|❦| (❡✐❦①α❦ + ❡−✐❦①α∗ ❦)

♣r♦♠♦t❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts t♦ ❝r❡❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❛♥♥✐❤✐❧❛t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦rs ˆ ❛†

❦, ˆ

❛❦ ✇✐t❤ [ˆ ❛❦,ˆ ❛†

♣] = δ❦♣

❝♦♥str✉❝t q✉❛♥t✉♠ s♦❧✐t♦♥ st❛t❡ s❡❧❢✲❝♦♥s✐st❡♥t❧② ❛s ❝♦❤❡r❡♥t st❛t❡✿ |sol = ∏❦ ❡− ✶

✷|α❦|✷ ∑∞

♥❦=✵ α

♥❦ ❦

√♥❦!|♥❦ → ˆ

❛❦|sol = √◆❦|sol ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❧✐♠✐t✿ sol|ˆ φ❝|sol = φ❝✱ |α❦|✷ ≡ ◆❦✿ ♦❝❝✉♣❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦r♣✉s❝❧❡s ✐♥ ♠♦❞❡ ❦✳

❚❡❤s❡❡♥ ❘✉❣ ❲♦r❦ ✐♥ ❝♦❧❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ●✐❛ ❉✈❛❧✐✱ ❈❡s❛r ●♦♠❡③ ❛♥❞ ▲✉❦❛s ●r✉❡♥❞✐♥❣ ❚♦✇❛r❞s ❛ ◗✉❛♥t✉♠ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s

❈❧❛ss✐❝❛❧✐t② ✈s✳ ◗✉❛♥t✉♠♥❡ss ❙♦❧✐t♦♥s ✐♥ ✶+✶ ❉✐♠❡♥s✐♦♥s✿ ❙❡♠✐✲❝❧❛ss✐❝❛❧ ❚r❡❛t♠❡♥t ❈♦r♣✉s❝✉❧❛r ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❛♥❞ ❖✉t❧♦♦❦

■♠♣❧✐❝❛t✐♦♥s✿ ◆♦♥✲❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❙♦❧✐t♦♥

t♦t❛❧ ❝♦♥st✐t✉❡♥t ♥✉♠❜❡r✿ ◆ =

• ❦ ◆❦ ∝ ♠✷

❣✷

❡♥❡r❣②✿ ❊♥♦♥−t♦♣ =

• ❦ |❦|◆❦ = ✹♠✸

✸❣✷

❞♦♠✐♥❛♥t ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ t♦ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ❛♥❞ ❡♥❡r❣②✿ ❦ ∼ ♠✦ ✈❛❝✉✉♠ ✐♥st❛❜✐❧✐t②✿ ✵ s♦❧ ❡

◆ ✷

✵ ✈❛❝✉✉♠ ❝❛♥ ❞❡❝❛② ✐♥t♦ s♦❧✐t♦♥ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❝❤❛♥✐❝❛❧❧②✦

❚❡❤s❡❡♥ ❘✉❣ ❲♦r❦ ✐♥ ❝♦❧❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ●✐❛ ❉✈❛❧✐✱ ❈❡s❛r ●♦♠❡③ ❛♥❞ ▲✉❦❛s ●r✉❡♥❞✐♥❣ ❚♦✇❛r❞s ❛ ◗✉❛♥t✉♠ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s

❈❧❛ss✐❝❛❧✐t② ✈s✳ ◗✉❛♥t✉♠♥❡ss ❙♦❧✐t♦♥s ✐♥ ✶+✶ ❉✐♠❡♥s✐♦♥s✿ ❙❡♠✐✲❝❧❛ss✐❝❛❧ ❚r❡❛t♠❡♥t ❈♦r♣✉s❝✉❧❛r ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❛♥❞ ❖✉t❧♦♦❦

■♠♣❧✐❝❛t✐♦♥s✿ ◆♦♥✲❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❙♦❧✐t♦♥

t♦t❛❧ ❝♦♥st✐t✉❡♥t ♥✉♠❜❡r✿ ◆ =

• ❦ ◆❦ ∝ ♠✷

❣✷

❡♥❡r❣②✿ ❊♥♦♥−t♦♣ =

• ❦ |❦|◆❦ = ✹♠✸

✸❣✷

❞♦♠✐♥❛♥t ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ t♦ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ❛♥❞ ❡♥❡r❣②✿ ❦ ∼ ♠✦ ✈❛❝✉✉♠ ✐♥st❛❜✐❧✐t②✿ ✵|s♦❧ = ❡− ◆

✷ = ✵

✈❛❝✉✉♠ ❝❛♥ ❞❡❝❛② ✐♥t♦ s♦❧✐t♦♥ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❝❤❛♥✐❝❛❧❧②✦

❚❡❤s❡❡♥ ❘✉❣ ❲♦r❦ ✐♥ ❝♦❧❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ●✐❛ ❉✈❛❧✐✱ ❈❡s❛r ●♦♠❡③ ❛♥❞ ▲✉❦❛s ●r✉❡♥❞✐♥❣ ❚♦✇❛r❞s ❛ ◗✉❛♥t✉♠ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s

❈❧❛ss✐❝❛❧✐t② ✈s✳ ◗✉❛♥t✉♠♥❡ss ❙♦❧✐t♦♥s ✐♥ ✶+✶ ❉✐♠❡♥s✐♦♥s✿ ❙❡♠✐✲❝❧❛ss✐❝❛❧ ❚r❡❛t♠❡♥t ❈♦r♣✉s❝✉❧❛r ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❛♥❞ ❖✉t❧♦♦❦

■♠♣❧✐❝❛t✐♦♥s✿ ❚♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❙♦❧✐t♦♥

t♦t❛❧ ❝♦♥st✐t✉❡♥t ♥✉♠❜❡r✿ ◆ =

• ❦ ◆❦ ∼ log(❦✵)|❦♦→✵ → ∞

❞♦♠✐♥❛♥t ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ t♦ ◆✿ ❦ = ✵✦ ❊t♦♣ =

• ❦ |❦|◆❦ = ✽♠✸

✸❣✷

❞♦♠✐♥❛♥t ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ t♦ ❡♥❡r❣②✿ ❦ ∼ ♠✦ q✉❛♥t✉♠ st❛❜✐❧✐t②✿ ✵ s♦❧ ❡

◆ ✷

✵ q✉❛♥t✉♠ ♦r✐❣✐♥ ♦❢ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❝❤❛r❣❡✿ ✐♥✜♥✐t❡ ♦❝❝✉♣❛t✐♦♥ ♦❢ ❦ ✵ ❝♦r♣✉s❝❧❡s✦ ❛ttr❛❝t✐✈❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧✿ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ♦❢ ❝♦r♣✉s❝❧❡s

❚❡❤s❡❡♥ ❘✉❣ ❲♦r❦ ✐♥ ❝♦❧❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ●✐❛ ❉✈❛❧✐✱ ❈❡s❛r ●♦♠❡③ ❛♥❞ ▲✉❦❛s ●r✉❡♥❞✐♥❣ ❚♦✇❛r❞s ❛ ◗✉❛♥t✉♠ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s

❈❧❛ss✐❝❛❧✐t② ✈s✳ ◗✉❛♥t✉♠♥❡ss ❙♦❧✐t♦♥s ✐♥ ✶+✶ ❉✐♠❡♥s✐♦♥s✿ ❙❡♠✐✲❝❧❛ss✐❝❛❧ ❚r❡❛t♠❡♥t ❈♦r♣✉s❝✉❧❛r ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♦❧✐t♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❛♥❞ ❖✉t❧♦♦❦

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